微专题5-9 构造抽象函数模型解不等式和比较大小6种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

微专题5-9 构造抽象函数模型解不等式和比较大小 2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 6种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用导数的运算法则构造 题型2 构造幂函数型 题型3 构造指数函数型 题型4 构造对数函数型 题型5 构造三角函数型 题型6 等式型构造问题 1、构造抽象函数模型主要观察两个结构： （1） 等价不等式的变形结构（分离变量） （2）已知条件中关于导数的关系式特征； 2、构造抽象函数模型解不等式和比较大小，前提要求学生熟练应用两个函数的和、差、积、商的求导公式，实质上就是构造目标导函数（一元）的原函数，是一个积分的过程，学生可以通过专题训练体会求原函数和原函数的不唯一性，因题而异，构造合适的抽象函数模型； 3、本专题从函数多项式、具体的指数函数、三角函数与的关系分类构造抽象函数模型，读者朋友可以基于文章，直接根据函数的四种运算进行分类讨论和归纳，其中乘法和除法比较常见，现归纳如下： 常见函数的变形 （1）对于，构造 （2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． （3）对于，构造 （4）对于，构造 （5）对于不等式，构造函数. （6）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （7）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （8）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （9）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （10）对于，分类讨论： ①若，则构造②若，则构造 （11）对于，构造. （12）对于，构造. （13）对于，即，构造． （14）对于，构造． （15）对于，构造． （16）对于，构造． 4、构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上． 构造函数的主要步骤： (1)分析：分析已知条件，联想函数模型； (2)构造：构造辅助函数，转化问题本质； (3)回归：解析所构函数，回归所求问题． 题型1 利用导数的运算法则构造 【例1】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1】已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型2 构造幂函数型 【例2】已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（       ） A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023） 【变式1】设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______． 【变式2】已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知定义在R上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数是定义域为的奇函数，是其导函数，，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式5】定义在上的奇函数满足时，都有不等式成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6】设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式7】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8】定义在上的偶函数的导函数为，且当时，.则（       ） A． B． C． D． 题型3 构造指数函数型 【例3】已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则(　　) A．e－2 021f(－2 021)<f(0)，e2 021f(2 021)>f(0) B．e－2 021f(－2 021)<f(0)，e2 021f(2 021)<f(0) C．e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)>f(0) D．e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)<f(0) 【变式1】已知是函数的导数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2】定义在R上的函数满足：，，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为___________. 【变式4】已知是定义在R上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知定义在上的函数的导函数为，满足，若函数的图像关于直线对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6】已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7】设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型4 构造对数函数型 【例4】定义在（0，+∞）的函数f（x）满足，，则不等式的解集为（       ） A．（－∞，0） B．（－∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 【变式1】已知函数的定义域为R，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为______． 【变式2】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式3】设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ） A． B． C． D． 题型5 构造三角函数型 【例5】已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【变式1】已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ） A． B． C． D． 题型6 等式型构造问题 【例6】已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（       ） A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值 【变式1】定义在上的函数满足，且，则（       ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 .【变式2】函数满足：，，则当时，（       ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 $$微专题5-9 构造抽象函数模型解不等式和比较大小 2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 6种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用导数的运算法则构造 题型2 构造幂函数型 题型3 构造指数函数型 题型4 构造对数函数型 题型5 构造三角函数型 题型6 等式型构造问题 1、构造抽象函数模型主要观察两个结构： （1） 等价不等式的变形结构（分离变量） （2）已知条件中关于导数的关系式特征； 2、构造抽象函数模型解不等式和比较大小，前提要求学生熟练应用两个函数的和、差、积、商的求导公式，实质上就是构造目标导函数（一元）的原函数，是一个积分的过程，学生可以通过专题训练体会求原函数和原函数的不唯一性，因题而异，构造合适的抽象函数模型； 3、本专题从函数多项式、具体的指数函数、三角函数与的关系分类构造抽象函数模型，读者朋友可以基于文章，直接根据函数的四种运算进行分类讨论和归纳，其中乘法和除法比较常见，现归纳如下： 常见函数的变形 （1）对于，构造 （2）对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)． （3）对于，构造 （4）对于，构造 （5）对于不等式，构造函数. （6）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （7）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （8）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （9）对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 （10）对于，分类讨论： ①若，则构造②若，则构造 （11）对于，构造. （12）对于，构造. （13）对于，即，构造． （14）对于，构造． （15）对于，构造． （16）对于，构造． 4、构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上． 构造函数的主要步骤： (1)分析：分析已知条件，联想函数模型； (2)构造：构造辅助函数，转化问题本质； (3)回归：解析所构函数，回归所求问题． 题型1 利用导数的运算法则构造 【例1】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【详解】 构造函数法 令，则，函数在上为减函数，因为，即，故为奇函数，于是在上为减函数，而不等式可化为，则，即.选A. 【变式1】已知是函数的导数，且，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据导数判断单调性，再利用奇偶性求出解集. 【详解】设，则， 因为当时，，所以当时，， 即在上单调递增， 因为，所以为偶函数，则也是偶函数,所以在上单调递减. 因为,所以, 即, 则，解得， 故选：D. 【变式2】设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，可得奇偶性，求导数确定的单调性，由单调性解不等式． 【详解】设，则， 时，，递增， 又是奇函数，所以，从而， 由得， ， ，所以是奇函数， 所以在时也是增函数，， 所以由得， 综上，不等式的解为． 故选：D． 题型2 构造幂函数型 【例2】已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（       ） A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023） 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】 由题设，所以在上单调递减，又，即，又函数的定义域为，所以，综上可得：. 故选：D. 【变式1】设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】 设，利用导数求得在为单调递减函数，进而得到函数为奇函数，且在为单调递减函数，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】 设，可得， 因为当时，，可得， 所以在为单调递减函数， 又因为函数为奇函数，且，可得， 则满足，所以函数也为奇函数， 所以在为单调递减函数，且， 当时，由，即，即，可得； 当时，由，即，即，可得； 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2】已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】引入函数，由导数确定其单调性，题设不等式转化为关于函数的不等式，然后由单调性求解． 【详解】设，则，所以在R上单调递减；由，得，即，所以，解得. 故选：A. 【变式3】已知定义在R上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可变形为，构造函数，判断其奇偶性、单调性，据此分类解不等式或即可. 【详解】当时，， 所以当时，， 令，则当时，， 故在时，单调递减， 又因为在R上为偶函数，所以在R上为奇函数， 故在R上单调递减，因为，所以， 当时，可变形为，即， 因为在R上单调递减，所以且，得； 当时，可变形为，即， 因为在R上单调递减，所以且，得； 综上：不等式的解集为. 故选：B. 【变式4】已知函数是定义域为的奇函数，是其导函数，，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意构造函数，利用导数判断单调性，再由奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 当时，，故， 所以在上单调递减，又， 所以即， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 即为定义域为的偶函数， 所以由可得， 所以，即或， 即不等式的解集是， 故选：B 【变式5】定义在上的奇函数满足时，都有不等式成立，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据构造函数，可得函数为减函数，又由为奇函数可知为偶函数，据此可比较大小. 【详解】当时不等式成立， ， 在上是减函数． 则，，， 又函数是定义在上的奇函数， 是定义在上的偶函数，则， ，在上是减函数， ，则， 故选：A． 【变式6】设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答. 【详解】 依题意，令函数，则， 因，于是得时，时， 从而有在上单调递减，在上单调递增， 因此得：，而，即f(x)不恒为0， 所以恒成立.故选：A 【变式7】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，得到函数的单调性，根据单调性解不等式即可. 【详解】令，则，所以在单调递减， 不等式可以转化为，即，所以. 故选：D. 【变式8】定义在上的偶函数的导函数为，且当时，.则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题构造函数，利用导函数可得函数在(0，+∞)上为减函数，且为偶函数，再利用函数的单调性即得. 【详解】 设，则， 又当时，， ∴， 则函数在(0，+∞)上为减函数， ∵是定义在上的偶函数， ∴， 即g(x)为偶函数， 所以，即，故A错误； ，即，故B错误； ，即 因为为偶函数，所以， 所以，故C错误，D正确. 故选：D. 题型3 构造指数函数型 【例3】已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则(　　) A．e－2 021f(－2 021)<f(0)，e2 021f(2 021)>f(0) B．e－2 021f(－2 021)<f(0)，e2 021f(2 021)<f(0) C．e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)>f(0) D．e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)<f(0) 【解析】构造函数h(x)＝exf(x)， 则h′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0， 所以函数h(x)在R上单调递增， 故h(－2 021)<h(0)，即e－2 021f(－2 021)<e0f(0)，即e－2 021f(－2 021)<f(0)． 同理，h(2 021)>h(0)，即e2 021f(2 021)>f(0)，故选A. 【变式1】已知是函数的导数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求出函数的导数，得到在上单调递增，问题等价于，即可解决． 【详解】令，则， 因为， 所以，即， 设， 所以， 因为， 所以，所以在上单调递增， 因为， 所以， 所以等价于， 则，即，解得． 所以不等式的解集是． 故选：C 【变式2】定义在R上的函数满足：，，则关于不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数,由得的单调性,再将不等式转化为,由构造函数的单调性与即可求解． 【详解】设，则, , , 又， 所以, 在定义域上单调递增, 对于不等式转化为， 又，, , 而在定义域上单调递增, 故选：D 【变式3】已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 令，利用导数说明函数的单调性，则原不等式等价于，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】 解：令，，则，因为，即， 所以，即在上单调递减，又，所以， 所以不等式，即，即， 即，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式4】已知是定义在R上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导得，由题意可得在R上单调递增.再逐一判断即可. 【详解】设，则. 因为，所以，则在R上单调递增. 因为，所以，即， 所以，则A错误； 因为，的大小不能确定，所以，的大小不能确定，则B错误； 因为，所以，则，所以，则C正确； 因为，的大小不能确定，所以，不能确定，则D错误. 故选:C 【变式5】已知定义在上的函数的导函数为，满足，若函数的图像关于直线对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据函数的单调性求出不等式的解集即可． 【详解】解：函数的图象关于直线对称， ， ， 设，则， 又， ； 单调递减， 而当时，； 不等式，即，解得：， 故不等式的解集为， 故选：C． 【变式6】已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，根据题意，求得的单调性，再利用函数的对称性，即可求得答案． 【详解】构造函数，则． 因为满足， 所以当时，．所以．此时函数单调递减； 当时，．所以．此时函数单调递增； 由已知，变形得，即，所以图像上的点关于的对称点也在函数图像上，即函数的图像关于直线对称， 不等式，可变形为，即 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增，且，有，解得. 故选：A． 【变式7】设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，由已知可得函数在上为增函数，不等式即为，根据函数的单调性即可得解. 【详解】解：令，则， 因为， 所以， 所以函数在上为增函数， 不等式即不等式， 又，， 所以不等式即为， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 题型4 构造对数函数型 【例4】定义在（0，+∞）的函数f（x）满足，，则不等式的解集为（       ） A．（－∞，0） B．（－∞，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题干条件构造函数，，得到其单调递减，从而求解不等式. 【详解】 设， 则， 所以在上单调递减， 因为，所以， 且， 所以由得： 结合单调性可得：，解得：， 故选：C 【变式1】已知函数的定义域为R，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】 依据函数单调性和奇偶性把抽象不等式转化为整式不等式去求解即可. 【详解】 当时，， 故函数在上单调递减，易知， 故当时，，， 当时，，； 而， 而为奇函数， 则当时，当的解为， 故当时，的解为或， 故不等式的解集为． 故答案为： 【变式2】已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定含导数的不等式构造函数，由此探求出在上恒负，在上恒正，再解给定不等式即可. 【详解】 令，，则，在上单调递减，而， 因此，由得，而，则，由得，而，则，又， 于是得在上，，而是上的奇函数，则在上，， 由得：或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 【变式3】设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题设构造，易知上，即单调递减，进而可比较、的大小. 【详解】 由题意，在上的函数恒成立， 若，则， ∵上，即， ∴在上单调递减，而，故 ∴，可得. 故选：B 题型5 构造三角函数型 【例5】已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，设，利用导数求得在上单调递减，且为偶函数，再把不等式，转化为，结合单调性，即可求解. 【详解】 由题意，设，则， 当时，因为，则有， 所以在上单调递减， 又因为在上是偶函数，可得， 所以是偶函数， 由，可得，即，即 又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有， 解得或， 即不等式的解集为， 故选：B. 【变式1】已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集. 【详解】当时，，则 则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数 则是上的偶函数，且在单调递减， 由，可得，则， 则时，不等式 可化为 又由函数在上单调递增，且，， 则有，解之得 故选：D 【变式2】已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数，由于，关于的不等式可化为，即，所以且，解得， 不等式的解集为.故选：B 【变式3】已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由得，即，即可得到单调性，再结合的奇偶性，即可对选项进行判断 【详解】构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误. 偶函数在上为增函数，在上为减函数， ，故B正确； ，，故C错误； ，，故D错误. 故选：B 题型6 等式型构造问题 【例6】已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（       ） A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，，可得出，利用导数分析函数的单调性与最值，可得出的符号，由此可得出结论. 【详解】 构造函数，则， 所以，，则， 设，则，， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 所以，，对任意的恒成立， 因此，函数在上单调递增. 故选：A. 【变式1】定义在上的函数满足，且，则（       ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】D 【解析】 【分析】 将代入，推出，然后再判断左右两侧导数的符号，从而确定的极值情况. 【详解】 因为，且， 所以，① 令，则， 又，记， 所以. 当时，，递减；当时，，递增. 结合①当时，，所以的最小值为0，即， 因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值. 故选：D. 【点睛】 本题主要考查导数与函数的极值，还考查了构造转化求解问题的能力,属于较难题. 【变式2】函数满足：，，则当时，（       ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件，构造函数，则，且，求出，再进行二次求导，研究函数的正负，得到在上单调递减，由此判断函数的极值情况. 【详解】 因为，所以， 令，则，且， 所以， 令，则， 令，解得：， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，取得最大值， 则，故在上恒成立， 所以在上单调递减， 则当时，既无极大值，也无极小值. 故选：D 【点睛】 （1）求极值需研究函数的单调性； （2）利用导数证明不等式的本质是利用导数判断单调性，利用单调性比较大小. $$