微专题——正余弦定理的应用-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 微专题——正余弦定理的应用 题型一：求边角 解三角形时，当已知元素和目标元素构成两边两角，选择正弦定理； 解三角形时，当已知元素和目标元素构成三边一角，选择余弦定理. 【例1】（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】在中，由正弦定理，得. 因为，，所以或. 故选：AB. 【例2】在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 【变式1-1】在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】如图， 在中，由余弦定理可得 ，即， 则， 因为，可得，故 由知，所以. 故选：A. 【变式1-2】在中，，，则的一个取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为，， 所以，所以，且， 所以，且， 所以. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式1-3】已知：是的内角，分别是其对边长，向量，且 (1)求角的大小； (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）向量，由， 则， 即，两边平方得， 在中，，，解得， 所以. （2）由（1）知，，由，得，而， 由正弦定理得. 题型二： 判断三角形的形状 化边为角，再根据角的关系判断三角形的形状； 当出现边的齐次式时，用正弦定理化边为角； 当出现三边平方时，用余弦定理化边为角； 化角为边，再根据边的关系判断三角形的形状. 当出现角正弦的齐次式时，用正弦定理化角为边； 当出现角余弦时，用余弦定理化角为边. 【例3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 【答案】(1) (2)，是钝角三角形 【详解】（1）（1）由正弦定理得，得， 由余弦定理得，而， 所以． （2）由（1）知，，在中，， 所以， 因此，即． 又因为，所以，而， 所以，故． 由正弦定理得，可知角B最大， 因为， 所以，所以，故是钝角三角形． 【例4】已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 【答案】B 【详解】对于A，在中，由，得， 整理得 ，则都是锐角， 是锐角三角形，A正确； 对于B：由及正弦定理得， 即，则或，即或， 因此是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得， 即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确； 对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确. 故选：B 【变式2-1】在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【答案】(1) (2)为等边三角形，证明见解析 【详解】（1）由，可得， 因为，所以. （2）解法一：为等边三角形，证明如下： 由三角形内角和定理得，， 故，由已知条件，可得， 整理得，所以， 因为、，则，所以， 又由（1）知，所以为等边三角形； 解法二：为等边三角形，证明如下： 因为，由正弦定理和余弦定理，得， 整理得，即. 又由（1）知，所以为等边三角形. 【变式2-2】已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)判断的形状； (2)若，且的面积为，求角． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【详解】（1）由正弦定理， ， 因，则，，则为等腰三角形； （2）由（1）设等腰三角形两腰，即c，a为x， 则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为， 则，即为等边三角形，则角为. 【变式2-3】（多选）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意； 对于B，由正弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰三角形，符合题意； 对于C，因为，解得， 所以，是直角三角形，不符合题意； 对于D，由正弦定理可知， 所以， 即， ， 即， 所以，是等腰三角形，符合题意. 故选：BD. 题型三：求三角形中的边长或周长的最值或范围 化边为角，再根据三角函数的性质求范围或最值； 当出现边的齐次式时，用正弦定理化边为角； 当出现三边平方时，用余弦定理化边为角； 化角为边，再根据基本不等式求最值. 当出现角正弦的齐次式时，用正弦定理化角为边； 当出现角余弦时，用余弦定理化角为边. 【例5】记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，所以， 又，所以， 因为，所以. （2）若，则， 故. （3）因为，由余弦定理得， 化简得，即， 当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为3. 【例6】已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. （2）由正弦定理可得，， 所以， 因为在均为单调递增， 所以在为单调递减， 所以当时，最大值为；所以当时，最小值为； 所以的取值范围为. 【变式3-1】在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，则，， 所以，，即，所以，. （2）因为为锐角三角形，可得，解得， 则， 因为，则,所以，可得， 即，所以的取值范围为. 【变式3-2】在非等腰中，角的对边分别为，已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即． 因为，所以，从而，则的外接圆直径为． 由，得，， 得． 因为且，所以且， 所以，即的取值范围为． （2）． 设，则，所以． 又是上的增函数，从而在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围为． 【变式3-3】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，其中．小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，经过的路程为． (1)求函数的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设的最小正周期为，由题意，， ， 又，， 当时，小球位于最高点，则， ， 又由题意，解得， ； （2）由题意，，故， 即， 为锐角三角形， 故或， 当时，解得， 当时，解得，舍去， 故，则， 又，， 解得， ， ， 又， 令，则， 根据对勾函数的性质，函数在上单调递增， 所以， 所以则的取值范围为． 题型四：求三角形面积的最值或范围 化边为角，再根据三角函数的性质求范围或最值； 当出现边的齐次式时，用正弦定理化边为角； 当出现三边平方时，用余弦定理化边为角； 化角为边，再根据基本不等式求最值. 当出现角正弦的齐次式时，用正弦定理化角为边； 当出现角余弦时，用余弦定理化角为边. 【例7】（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意知，，故设外接圆的半径为R，则， 即得，则外接圆的面积为，A错误； 对于B，若，则， 则，B正确； 对于C，由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立，则， 故面积的最大值为，C正确； 对于D，由，得， 则，当且仅当时等号成立， 即得，故周长的最大值为，D正确， 故选：BCD 【例8】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【详解】（1）若选择①．由，得， 所以，所以，解得或． 又因为，故． 若选择②． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 即，整理可得，解得． 又因为，故． 若选择③：． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以，即． 可得， 又因为，所以，所以，故． （2）由（1）可知，且，由正弦定理及， 可得． 又因为在锐角三角形中，，所以， 故，所以． 所以面积，所以， 所以面积的取值范围是． 【变式4-1】（多选）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 【答案】BCD 【详解】对于A。当时，，由三角形三边关系可得，， 所以，因此的周长的取值范围是，故A错误； 对于B，由，可知， 当时，的面积取到最大值，故B正确； 对于C，当时，由，即，得； 由，得，从而， 所以， 因此的周长的取值范围是，故C正确； 对于D，由余弦定理可得， 可得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 【变式4-2】在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， 又，所以，所以， 又，所以， 所以，所以； （2）如图，由题意及第（1）问知，， 且， ∴， ∴，化简得， ∵，，∴由基本不等式得，∴， 当且仅当时，等号成立， ∴， ∴， 故的面积的最小值为.    【变式4-3】我国南宋著名数学家秦九韶（约1202~1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中.具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是.现将一根长为20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm，求该三角形面积的最大值. 【答案】 【详解】不妨取，则， 故三角形的面积 ， 因为，当且仅当时，等号成立， 则， 所以该三角形面积的最大值为. 题型五：正余弦定理与三角函数性质的结合应用 先根据正余弦定理化边为角，从而利用降幂公式和辅助角公式进行化简，再结合三角函数的性质解决问题. 【例9】在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 为锐角三角形，，故，所以， 故，， 又，故，故， 解得， ， 因为为锐角三角形，且， 解得，故， ，， 故. 故答案为：， 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 【例10】已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 【变式5-1】如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，，所以，设，则， 在中由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以，显然当，即时，最大值为. 故答案为： 【变式5-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 【变式5-3】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，，若部分直线段，且要求市中心与的距离为20千米，则的最短距离为 .    【答案】 【详解】如图所示，作垂足为，则， 由题意知，设， 在中，由正弦定理得，可得， 在中，， 所以， 因为，所以当时，取得最小值， 此时. 故答案为：.    题型六：正余弦定理的实际应用 根据题意画出图形. 再结合正余弦定理解决问题. 【例11】某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为 . 【答案】米 【详解】在中，，，则， 因为，所以， 因为， 所以, 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中，， 由余弦定理得 ， 所以米. 故答案为：米 【例12】地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点为地震的位置， 依题意，，，，则， 由正弦定理，得 （） 所以地震的位置距离甲地． 故选：C 【变式6-1】雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，在中，延长DC与AB的延长线交于点E. 由已知得，， 则，则，， 设，则， 又，则在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 又因为，所以. 故选：C 【变式6-2】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 【变式6-3】圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A．30m B．20m C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 且 在中， (m)． 故选：C． 1．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若A >B， 则 B．，则 C．若，则定为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 而，解得，B错误； 对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确； 对于D，有两解，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 2．在中，角所对的边分别是，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理得，则， 因此，即为钝角，所以的形状为钝角三角形. 故选：B 3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 【答案】A 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 4．沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁（）和临秀亭（）两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的两地之间的距离，某同学任意选定了与不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案： ①测量；②测量；③测量． 其中一定能唯一确定两地之间的距离的所有方案的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】对于①，由正弦定理可得，则， 若且为锐角，则， 此时有两解，则也有两解，此时也有两解； 对于②，若已知，则确定，由正弦定理，知唯一确定； 对于③，若已知，由余弦定理得，则唯一确定． 故答案为：②③ 5．在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 解得或（舍去）， 又，所以. （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长， 即 ， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以，即的周长l的取值范围为. 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，，， 所以，所以， 由，且是角A的平分线， 所以，所以. （2）因为D是BC的中点，所以， 两式平方，并代换得 ，当且仅当时取等号， 所以AD长的最小值为. 7．已知的内角的对边分别为. (1)判断的形状； (2)若是内一点，且，求面积的最大值. 【答案】(1)直角三角形 (2) 【详解】（1）因为，所以. 又，所以. 因为，所以，整理得， 则，故为直角三角形. （2）设.因为，所以. 在中，由正弦定理得. 因为，所以， 则. 设的面积为，则 . 当，即时，取得最大值，即面积的最大值为. 8．如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得. 故选：C 9．已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】(1),对称中心为 (2) (3) 【详解】（1）. 令，则，， 函数的对称中心为，. （2）由可知，， 化简得， ，，， . （3）由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 10．如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，即， 而，解得，则， 在中，， 由余弦定理得. （2）在锐角中，，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此，即， 所以的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 微专题——正余弦定理的应用 题型一：求边角 解三角形时，当已知元素和目标元素构成两边两角，选择正弦定理； 解三角形时，当已知元素和目标元素构成三边一角，选择余弦定理. 【例1】（多选）在中，，则角A为（   ） A． B． C． D． 【例2】在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式1-2】在中，，，则的一个取值可以为 . 【变式1-3】已知：是的内角，分别是其对边长，向量，且 (1)求角的大小； (2)若，求的长. 题型二： 判断三角形的形状 化边为角，再根据角的关系判断三角形的形状； 当出现边的齐次式时，用正弦定理化边为角； 当出现三边平方时，用余弦定理化边为角； 化角为边，再根据边的关系判断三角形的形状. 当出现角正弦的齐次式时，用正弦定理化角为边； 当出现角余弦时，用余弦定理化角为边. 【例3】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 【例4】已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 【变式2-1】在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【变式2-2】已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)判断的形状； (2)若，且的面积为，求角． 【变式2-3】（多选）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型三：求三角形中的边长或周长的最值或范围 化边为角，再根据三角函数的性质求范围或最值； 当出现边的齐次式时，用正弦定理化边为角； 当出现三边平方时，用余弦定理化边为角； 化角为边，再根据基本不等式求最值. 当出现角正弦的齐次式时，用正弦定理化角为边； 当出现角余弦时，用余弦定理化角为边. 【例5】记的内角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求周长的最大值. 【例6】已知的内角A、、的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【变式3-1】在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【变式3-2】在非等腰中，角的对边分别为，已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【变式3-3】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在时间(单位：)时相对于平衡位置的高度(单位：)由关系式确定，其中．小球从最高点出发，经过后，第一次到达最低点，经过的路程为． (1)求函数的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，若，求的取值范围． 题型四：求三角形面积的最值或范围 化边为角，再根据三角函数的性质求范围或最值； 当出现边的齐次式时，用正弦定理化边为角； 当出现三边平方时，用余弦定理化边为角； 化角为边，再根据基本不等式求最值. 当出现角正弦的齐次式时，用正弦定理化角为边； 当出现角余弦时，用余弦定理化角为边. 【例7】（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【例8】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【变式4-1】（多选）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 【变式4-2】在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交边于点，，求面积的最小值． 【变式4-3】我国南宋著名数学家秦九韶（约1202~1261）独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中.具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式，就是.现将一根长为20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm，求该三角形面积的最大值. 题型五：正余弦定理与三角函数性质的结合应用 先根据正余弦定理化边为角，从而利用降幂公式和辅助角公式进行化简，再结合三角函数的性质解决问题. 【例9】在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ． 【例10】已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【变式5-1】如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ． 【变式5-2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【变式5-3】如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，，若部分直线段，且要求市中心与的距离为20千米，则的最短距离为 .    题型六：正余弦定理的实际应用 根据题意画出图形. 再结合正余弦定理解决问题. 【例11】某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为 . 【例12】地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山之上，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点共面），在点C处测得点A，B的仰角分别为，，在点D处测得点A的仰角为，且测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【变式6-3】圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A．30m B．20m C． D． 1．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（    ） A．若A >B， 则 B．，则 C．若，则定为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 2．在中，角所对的边分别是，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 4．沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁（）和临秀亭（）两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的两地之间的距离，某同学任意选定了与不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案： ①测量；②测量；③测量． 其中一定能唯一确定两地之间的距离的所有方案的序号是 ． 5．在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 7．已知的内角的对边分别为. (1)判断的形状； (2)若是内一点，且，求面积的最大值. 8．如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 10．如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$