精品解析：辽宁省大连市西岗区2024-2025学年八年级上学期数学期末考试卷

西岗区期末质量抽测试卷 八年级数学 2025年1月 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题．每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察以下汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把分式中的、的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 原来的3倍 C. 原来的倍 D. 原来的 6. 以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（ ） A. B. C. D. 8. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 9. 甲、乙两同学分别去文具店买硬皮本与软皮本．已知硬皮本价格是软皮本价格的1.5倍，乙同学花40元买软皮本比甲同学花72元买硬皮本少买4本．若设软皮本单价是元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为15和3，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 12. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 13. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 14. 分式与的最简公分母是________________． 15. 如图，在中，是边的垂直平分线，平分，若，，则______．（用含，的代数式表示） 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算：． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，、、、在同一条直线上，，，．求证：． 19. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，． （1）画出关于轴对称后的； （2）点坐标______，坐标______，坐标______； （3）的面积为______． 20. 某商家两次购进同一种商品进行销售，已知第一次进价是第二次进价的1.2倍，第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件． （1）问商品的两次进价分别为多少元？ （2）商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，则每件商品的售价至少是多少元？（假设购进的商品全部销售完） 21. 数学活动课上，同学们准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形． 小明发现：将不同纸片“拼”在一起，可得面积之和（如图2）； 小强发现：将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差（如图3、4）： （1）由图2所拼图形可得乘法公式：______； （2）由图3，将图与图叠放一起，阴影部分面积______（用含、的式子表示）； 由图4，将图与图叠放一起，阴影部分面积______（用含、的式子表示）； （3）若（2）中的，，则______，______． 22. 在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型： “在等腰中，，，等于腰长的一条线段绕点旋转，……” 同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若，则在内旋转任意位置，的大小不变（如图2）； 小颖同学：若，则在外旋转任意位置，的大小也不变（如图3）： 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，旋转到任意位置上，与都存在一定的数量关系； …… 老师：在图4中，若时，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； （1）若时， ①如图2，当在内旋转任意位置，______°； ②如图3，当在外旋转任意位置，______°； （2）若取任意数值，旋转任意位置，______（用含的式子表示）； （3）在图4中，，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，点，点，动点（），、分别为点关于直线、的对称点，连接，． （1）如图1，当时，______； （2）如图2，当时，是否存在点，使得，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由： （3）当时，四边形的面积是否随点的运动而改变？若不变，请求出四边形的面积：若改变，请描述四边形的面积随点运动的变化规律． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西岗区期末质量抽测试卷 八年级数学 2025年1月 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题．每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察以下汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数必须大于或等于零进行求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选B． 3. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方．根据积的乘方，同底数幂的乘除，幂的乘方运算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 把分式中的、的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 原来的3倍 C. 原来的倍 D. 原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质．利用分式的基本性质即可求得答案． 【详解】解：把分式中的、的值同时扩大为原来的3倍可得 ， 即分式的值为原来的3倍， 故选：B． 6. 以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是首先根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形，如果能组成三角形，再用勾股定理的逆定理判断是否能组成直角三角形． 【详解】解：A选项：， 、、三条线段不能组成三角形，故A选项不符合题意； B选项：， 、、三条线段能组成三角形， 又，， ， 、、三条线段不能组直角三角形，故B选项不符合题意； C选项：：， 、、三条线段能组成三角形， 又，， ， 、、三条线段能组直角三角形，故C选项符合题意； D选项：、、，其中， 、、三条线段不能组成三角形，故D选项不符合题意． 故选： C． 7. 如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，添加时，不能判定，故选项A符合题意； B、，添加时，根据“”判定，故选项B不符合题意； C、如图， ∵， ∴， 添加时，根据“”判定，得出， 则，即， 再根据“”判定判定，故选项C不符合题意； D、，添加时，根据“”判定，故选项D不符合题意； 故选：A． 8. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、符合因式分解的定义，原选项符合题意； 、是乘法运算，原选项不符合题意； 、中等号右边不是积的形式，原选项不符合题意； 、中是单项式，原选项不符合题意； 故选：． 9. 甲、乙两同学分别去文具店买硬皮本与软皮本．已知硬皮本价格是软皮本价格的1.5倍，乙同学花40元买软皮本比甲同学花72元买硬皮本少买4本．若设软皮本单价是元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．设软皮本单价是x元，硬皮本价格是软皮本价格的，甲同学花72元买硬皮本的数量为，乙同学购买软皮本的数量为，根据题意列出方程即可． 【详解】解：软皮本单价是x元，硬皮本价格是软皮本价格的元， 由题意可得：， 故选：B． 10. 如图，在中，，的角平分线交于点，于点，若与的周长分别为15和3，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，推出，推出的周长的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∴， ∴． 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，需熟练掌握其定义，根据等腰三角形的底角相等及内角和等于180度，可求得答案． 【详解】解：根据三角形的底角 ． 故答案为：． 13. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母， 即． 故答案为：． 14. 分式与的最简公分母是________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三定法，系数：最小公倍数，字母：所有字母，次数：最高次幂，确定最简公分母即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查最简公分母．熟练掌握三定法求最简公分母，是解题的关键． 15. 如图，在中，是边的垂直平分线，平分，若，，则______．（用含，的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，与角平分线有关的三角形内角和定理．根据题意得，，得到，再根据三角形内角和定理得到，进而由角的和差关系得到，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，射线为的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算．先根据负整数指数幂、零指数幂、算术平方根的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是关键． （1）先将两个分式整理成同分母分式，再按照同分母分式相加减即可； （2）先整理括号内的分式，再将除号变乘号，根据分式的乘法运算法则运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴，， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质、等角的补角相等求出，，利用证明，再根据“全等三角形的对应边相等”即可得证． 【详解】略 19. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，． （1）画出关于轴对称后的； （2）点坐标______，坐标______，坐标______； （3）的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，熟练掌握对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据所作图形即可求解； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 由图可得：，，， 故答案为：，，； 【小问3详解】 的面积为， 故答案为：． 20. 某商家两次购进同一种商品进行销售，已知第一次进价是第二次进价的1.2倍，第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件． （1）问商品的两次进价分别为多少元？ （2）商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，则每件商品的售价至少是多少元？（假设购进的商品全部销售完） 【答案】（1）100元 （2）130元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设商品第二次的进价为x元，则第一次的进价为元，根据第一次用6000元购进商品的数量比第二次用6000元购进商品的数量少10件，列出分式方程，解方程即可； （2）设每件商品的售价是m元，根据商家计划将两次购进的商品按同一价格出售后获利不低于2300元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设商品第二次的进价为x元，则第一次的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：商品第一次的进价为120元，第二次的进价为100元； 【小问2详解】 解：由（1）可知，（件），（件）， 设每件商品的售价是m元， 由题意得：， 解得：， 答：每件商品的售价至少是130元． 21. 数学活动课上，同学们准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形． 小明发现：将不同纸片“拼”在一起，可得面积之和（如图2）； 小强发现：将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差（如图3、4）： （1）由图2所拼图形可得乘法公式：______； （2）由图3，将图与图叠放一起，阴影部分面积______（用含、的式子表示）； 由图4，将图与图叠放一起，阴影部分面积______（用含、的式子表示）； （3）若（2）中的，，则______，______． 【答案】（1） （2）， （3）2，5 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的求解能力，关键是能准确理解并运用该知识和数形结合思想． （1）通过对图2面积的整体和各部分求和的不同表示进行求解； （2）运用图形的面积公式进行做差求解； （3）将（2）中结果进行变形后，运用完全平方公式进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得，图1的面积为： 或， ∴可得乘法公式， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， 阴影部分面积， 阴影部分面积， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由（2）题可得， ，， ∴ ， ∵，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 解得；， 解得， 故答案为：2，5． 22. 在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型： “在等腰中，，，等于腰长的一条线段绕点旋转，……” 同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若，则在内旋转任意位置，的大小不变（如图2）； 小颖同学：若，则在外旋转任意位置，的大小也不变（如图3）： 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，旋转到任意位置上，与都存在一定的数量关系； …… 老师：在图4中，若时，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； （1）若时， ①如图2，当在内旋转任意位置，______°； ②如图3，当在外旋转任意位置，______°； （2）若取任意数值，旋转任意位置，______（用含的式子表示）； （3）在图4中，，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 【答案】（1）150；30 （2）或 （3）的最大值 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①由，推出，，可得，求出即可； ②由，推出，，可得，求出即可； （2）利用（1）中方法可得结论； （3）结论：的最大值．如图4中，作点C关于直线的对称点，连接．利用全等三角形的性质证明可得结论． 【小问1详解】 解：①如图2中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150； ②如图3中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30； 【小问2详解】 解：当在内旋转时，． 当在外旋转时，． 故答案为：或． 【小问3详解】 解：结论：的最大值． 理由：如图4中，作点C关于直线的对称点，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 23. 在平面直角坐标系中，点，点，动点（），、分别为点关于直线、的对称点，连接，． （1）如图1，当时，______； （2）如图2，当时，是否存在点，使得，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由： （3）当时，四边形的面积是否随点的运动而改变？若不变，请求出四边形的面积：若改变，请描述四边形的面积随点运动的变化规律． 【答案】（1） （2）点P坐标为； （3）当时，四边形的面积不随点P的运动而改变． 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，根据轴对称性可得，，进而可以解决问题； （2）设长为x，则的长为，长为，得，根据，列出方程求出x的值，即可解决问题； （3）设，得，，，根据，代入值即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图1，连接， ∵M、N分别为点P关于直线的对称点， ∴O为的中点，为的中垂线，， ∴为等腰三角形， ∴， 同理可证， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，存在点P，使得，理由如下： ∵M为点P关于直线的对称点， ∴， ∴， 如图2，连接． 由（1）知B在的中垂线上，A在的中垂线上， ∴，， 设长为x，则的长为，长为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点P坐标为； 【小问3详解】 解：当时，四边形的面积不随点P的运动而改变， 如图2，连接．由（1）知B在的中垂线上，A在的中垂线上， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∵ ． ∴当时，四边形的面积不随点P的运动而改变． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查梯形的面积，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $