微专题5-8 含参函数的单调性、极值和最值10种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-8 含参函数的单调性、极值和最值10种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 含参函数的单调性讨论——导主一次型 题型2 含参函数的单调性讨论——导主二次型（可因式分解型） 题型3 含参函数的单调性讨论——导主二次型（不可因式分解型） 题型4 含参函数的单调性讨论——导主指数型（一次型） 题型5 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次可因式分解型） 题型6 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次不可因式分解型） 题型7 含参函数的单调性讨论——导主对数型 题型8 含参函数的单调性讨论——导主正余型 题型9 含参函数的极值讨论 题型10 含参函数的最值讨论 知识点1 含参函数单调性的讨论 对含参函数单调性问题，求解的关键在于思考，相对于具体函数而言含参函数的不确定性在哪里？分类的逻辑是什么？分类的不同层次及各层次分类的依据又是什么？ 1、对含参函数单调性的分析思路 (1) 如何分析原函数的单调性？ 答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性. (2) 那如何分析导函数的正负性呢？。 答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”（即解导数不等式，与其零点有莫大关系)），看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”（即原函数的大致趋势）也不难了(看下图). (导函数看“零点”，原函数看单调性) (3) 那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？ 答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题： ① 导函数是否存在零点； ② 若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？ ③ 零点是否在定义域内？ (4) 怎么做到准确的分类讨论呢？ 答：① 熟悉模型，确定分类讨论的标准； ② 做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”. 2、常见的分类标准有哪些呢？ 一般的含参的函数单调性的讨论常见的分类标准有： （1）函数类型；（2）开口方向；（3）判别式；（4）导数等于0有根无根；（6）两根大小；（7）极值点是否在定义域内. 3、解含参函数单调性问题的通性通法 首先要明确题意，确定参数的范围和函数的定义域，其次按照导函数的类型、导函数是否存在零点、零点是否在定义域内、零点的大小进行分类讨论，最后进行整理和总结就能得到正确的结论.含参函数单调性问题的解决是层递进的，在递进的过程中，因参数在不同位置，使得问题的解决出现了不确定性，为了将不确定的问题转化为确定性的问题，需进行分类讨论. 讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，我们可按以下步骤进行： 以下是对单调性一般步骤的讨论（解决了讨论的大部分单调性问题）： 第一步：求定义域，单调区间是定义域的子集，因此求单调区间必须先求定义域，定义域有三种常见的情况需要讨论。 （1）偶次根式：根号下整体不小于0；（2）分式：分母不等于0；（3）对数：真数大于0. 第二步： 求函数导数，导函数是分式一般先通分，并且还要考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，有可以讨论该参数得0和不得0，最高次项系数是否为0影响的是函数的类型；（最高次幂的系数是否为0，即“零不零”） 第三步：令求出它的根，根的个数一般有三种情况：无根、一个根，两个根。（导函数是否有变号零点，即“有没有”） （1） 导数等于0得到的方程若为一元二次方程，可判断其判别式的符号：当判别式小于等于0时，若二次项系数为正，则导数恒大于等于0，函数在定义域内为增函数，若二次项系数为负，则导数恒小于等于0，函数在定义域内为减函数；当判别式大于0时，可以结合韦达定理分析导数等于0的两根与定义域的关系，确定单调区间； （2）导数等于0得到的方程不是二次函数时，根据方程的特点判断有根无根，若有根，再判断其与定义域的关系，若根在定义域内，且为变号零点，则根为极值点，再判断定义域内极值点分成的各段区间导数的正负从而得到函数的单调性；(导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”) （3）如果根不能被求解，并且导数不能被判断出正的或负的，那么我们就需要求函数的二阶导数，利用二阶导数的正负来确定一阶导数的单调性，然后利用最值得到一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性。 第四步：确定分类点：①是否存在根（判断根是否在定义域中），得到参数的分类点。②，得到参数的分类点。③，得到参数的分类点。④，得到参数的分类点。 第五步：若导数等于0，方程有两个根且均在定义域内，当两根大小不确定时，可通过比较两根大小确定讨论的分界点.(导函数的变号零点之间的大小关系，即“比不比”) 第六步：判断分定义域的每个区间的导数的正负情况，如果导数大于0，则函数单调递增，如果导数小于0，则函数单调递减。 以下三种常见方法可用来判断导数的正负： （1）数轴穿根法：（2）函数图像法：（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负。 第七步：综述，这是许多人往往忽视的一个步骤，少了这一步，会被扣分的。 4、各模型分类讨论的标准 分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据. “一次函数”型： 是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小； 1.先求函数的定义域；2.求导函数（能通分要通分，化为乘除分解式，便于讨论正负）；3.先讨论函数只有一种单调区间的（导函数同号的）情况；4.再讨论函数有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界） “二次函数”型： 对于导函数为二次型含参函数单调性的讨论，通法如下： 第一步，先看二次项系数是否含有参数，若含有参数，则将系数分大于0、小于0和等于0三种情况进行讨论；若二次项系数为0，则将问题转化为一次函数问题去解决；若二次项系数不为0，则进入第二步. 第二步，对一元二次方程的判别式分△≤0或△>0 两种情况进行讨论，若△≤0，则函数在定义域上单调递增或单调递减；若△>0，则进入第三步. 第三步，求出对应一元二次方程的两个不等实根，判断两根是否在定义域内，若两根都不在定义域内或只有一个实根在定义域内，可以借助二次函数图象来解决；若两根都在定义域内，则进入第四步. 第四步，判断两个根的大小，从而使问题得解. “指数函数”型： 是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论. 5、分类点示例 （1）以导函数零点的大小为分类依据 示例1．设函数，其中常数；讨论的单调性； 【解析】因为， 所以， ①当即时，在是增函数，在是减函数，在是增函数； ②当即时，在是增函数； ③当即时，在是增函数，在是减函数，在是增函数； 注：当导函数的零点大小不确定时，讨论函数单调性的基本步骤如图所示. （2）以导函数零点是否在定义域内为分类依据 示例2．已知函数，讨论函数的单调性. 【解析】由题意知函数的定义域为， ， 令，则或， （1）当，即时，在时恒成立，即在上单调递增； （2）当，即时，在和上单调递增，在上单调递减； （3）当，即时，在和上单调递增，在上单调递减； （4）当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 注：当导函数的零点是否在定义域内不能确定时，讨论函数单调性的基本步骤如图所示. （3）以导函数是否存在零点为分类依据 示例3．已知函数，讨论的单调性； 【解析】，记， 当时，，，所以在上单调递增； 当时，，令，所以且， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知：时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为 注：当不确定导函数是否存在零点（或零点的个数）时，讨论函数单调性的基本步骤如图所示. （4）以导函数的类型为分类依据 示例4．已知函数，若，试讨论函数的单调性. 【解析】由题意，函数的定义域为， 则， （1）当时，， 令，即，解得，所以函数在上单调递增； 令，即，解得，所以函数在上单调递增； （2）当时，令，解得或， ①若，即时， 由，可得或，由，可得， 即函数在和单调递增，在单调递减. ②若，即时， 由，可得或，由，可得， 即函数在和单调递增，在单调递减. ③若，即时，，可得在单调递增. 综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减. 注：当导函数为类二次函数时，若其类型不确定，讨论函数单调性的基本步骤如图所示. 知识点2 含参函数极值的讨论 1、利用导数研究函数极值问题的步骤 2、已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值．解决此类问题的一般步骤为： (1)确定函数定义域； (2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根； (3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干个区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，并得出结论． 注：如果解析式中含有参数，需分类讨论，分类标准主要有以下几个方面： (1)f′(x)＝0的根是否存在； (2)f′(x)＝0根的大小； (3)f′(x)＝0的根与定义域的关系等． 知识点3 含参函数最值的讨论 1、求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路 (1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 注：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，然后借助图象观察得到函数的最值． 2、用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范. 题型1 含参函数的单调性讨论——导主一次型 【例1】已知函数，其中．讨论的单调性； 【详解】（1）， 当时，在恒成立，在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【变式1】已知函数，且． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）因为，所以， 则，， 所以在处的切线方程为 即. （2）由（1）得，， 当时，，则，故在上单调递减， 当时，令则， 当时，，单调递增, 当时，，单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式2】函数．当时，讨论的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，求导得， 当，即时，在上单调递增； 当，即时令，， 当时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 所以时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式3】已知函数．讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为，， 当时，即时，在上恒成立，在上单调递增， 当时，即时，令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时,在上单调递增，在上单调递减. 题型2 含参函数的单调性讨论——导主二次型（可因式分解型） 【例2】函数，讨论函数的单调性； 【详解】（1）， 所以， ， 当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，         当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，         当时恒成立，所以此时在上单调递增 ，            当时；， 所以此时在上单调递减，在上单调递增. 【变式1】已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调性； 【详解】（1），， 又， 故在处的切线方程为， 即； （2），定义域为， ， 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【变式2】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，，在上单调递增， 当时，由得，或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 当时，由得，或，由得， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 综上所述， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式3】讨论函数的单调性 【答案】见解析. 【解析】 ， 令得， 当即时，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 当时，；当或时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当即时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当，即时， 当时，；当或时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式4】设函数． 当时，讨论函数的单调性； 【解析】的定义域为，.令，则得到导函数的两个零点，或，由于分母为正，故我们只关注分子函数，其为二次函数，借助其图像，以两个零点的大小关系为分类标准得到如下：①当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增；②当时，即时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增；综上所述，当时，的单减区间为，单增区间为；当时，只有单增区间； 题型3 含参函数的单调性讨论——导主二次型（不可因式分解型） 【例3】已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 【详解】（1）由于，则， 点在上， 故； 又，则， 则，解得或； （2）由题意得的定义域为， 则， 令， 当时，即，所以在上单调递减； 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，的根为， 由于，即， 当或时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 当时，在上单调递增； 【变式1】已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线垂直于直线，得， 所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，方程中，， 若，则，，函数在上单调递增； 若，则，关于x的方程有两个正根，，， 当或时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 【变式2】已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)设函数在区间上是减函数，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，，. 当，即时，恒成立，在R上为增函数； 当，即或时，由得，， 由得，或，由得，， 所以在上为增函数，在上为减函数. 综上得，当时，在R上为增函数； 当或时，在上为增函数，在上为减函数. （2）由（1）得，当或时，在上为减函数， 故， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 【变式3】已知函数． 讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为，. 当时，对任意的，，此时函数的减区间为； 当时，方程在时的解为， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【变式4】已知函数，其中为非零实数. 讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为， 则， ①当即时，，函数在上单调递增； ②当即时，令，得， 则当时，， 当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，，舍去. 则当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 题型4 含参函数的单调性讨论——导主指数型（一次型） 【例4】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 求导得，则， 即切线的斜率为，又， 故曲线在点处的切线方程为， 化简得． （2）求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式1】已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知，， 当时，对恒成立，则在上单调递增； 当时，令，即，则， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式2】已知函数 (1)当时，求该曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为R，且， 当时，恒成立，函数在R上单调递减； 当时，由，解得，由，解得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 题型5 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次可因式分解型） 【例5】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，函数， 得， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即切线方程为； （2）当时，，， 令，得，， 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，的单调增区间为和，单调减区间为． 【变式1】已知函数. (1)当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，求导可得， 设函数在点的切线过点，所以， 又， 所以， 又因为切线过点，所以， 所以，解得， 所以切线方程为，即. （2）由， 可得， 当时，由，可得或， 所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 当时，由，可得，所以函数在上单调递增， 当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增， 由，可得，所以函数在上单调递减， 综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 【变式2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）. ①当时，由，得或. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减. 若，则，为R上的增函数. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减 ②当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由，可得， 则且， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 题型6 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次不可因式分解型） 【例6】已知函数 讨论的单调性； 【解析】由， 求导得， 易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断， ①当时，即，，则在上单调递增； ②当时，即或， 令时，解得或， 当时，， 则在上单调递减； 当或，， 则在和上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当或时，在上单调递减， 在和上单调递增. 【变式1】已知函数 讨论函数的单调性； 【解析】的定义域为，对求导得： ， 令 1）若，则，即，所以在上单调递增. 2）若 ①当时，即，则，即，所以在上单调递增. ②当时，即，由，得 当时， 当时， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时, 在上是单调递增的， 在上是单调递减的. 题型7 含参函数的单调性讨论——导主对数型 【例7】设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 【变式1】已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】因为， 所以， 令，则两根分别为，. ①当时，此时有， 在恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，此时有. 令，得或，所以的单调递增区间为，； 令，得，所以的单调递减区间为. ③当时，此时有. 令得或时，所以的单调递增区间为，； 令得，所以的单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为. 【变式2】已知函数.讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为，. ①当时，令，即，解得：. 令，解得：；令，解得：； 所以函数在上单调递增，在上单调递减. ②当时，则，所以函数在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数在上单调递增. 题型8 含参函数的单调性讨论——导主正余型 【例8】已知函数． 讨论在上的单调性； 【解析】(1)由函数，可得 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间是，递减区间是． 【变式1】已知函数． 讨论函数的单调性； 【解析】由题意得，函数的定义域为， 则， ，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式2】已知函数，. 当时，讨论的单调性； 【解析】， 若时，则， 当时，恒成立，当且仅当时等号成立， 故此时在为减函数，无增区间. 当时，若，则；若，则， ，则， 故在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数. 当时，若，则，，则， 故在上为增函数，在上为减函数. 题型9 含参函数的极值讨论 【例9】已知函数.讨论在定义域内的极值； 【解析】函数的定义域为， 当a=0时，，在定义域内单调递减，无极值； 当时，； 当时，在定义域内恒小于0，因此在定义域内单调递减，无极值； 当时，令，可以得到. 在上，，单调递减，在上，，单调递增，因此为的极小值点. 综上所述，只有当时，有极小值，无极大值. 【变式1】已知函数，求函数的极值; 【解析】函数的定义域为， ， ∵，∴ ∴由得或 由得， ∴的单调递增区间为和；单调递减区间为． ∴的极大值： 的极小值： 【变式2】已知函数 求函数的极值； 【解析】因为，（） 所以（）， 则， 令，则或， ①当时，方程在上无解，则当，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即的极小值为，无极大值， ②当时，由，得（）， 随的变化情况如下表 1 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以在处取得极大值，的极大值为， 在处取得极小值，则的极小值为， ③当时，由，得，， 随的变化情况如下表 1 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以在处取得极小值，的极小值为， 在处取得极大值，则的极大值为， ④当时，，此时在上单调递增，所以函数无极值， 综上，当时，的极小值为，无极大值， 当时，的极大值为，极小值为， 当时，的极小值为，极大值为， 当时，无极值， 【变式3】已知函数.讨论函数的极值； 【解析】显然的定义域为， 因为，所以， 若，则当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减； 故在处取得唯一的极大值，且极大值为1. 若，则当时恒成立，故函数在上单调递增，无极值. 综上，当时，的极大值为，无极小值；当时，无极值. 题型10 含参函数的最值讨论 【例10】已知函数，. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； (2)当时，求函数在区间上的最小值. 【解析】(1) (2)当时，最小值为；当时，最小值为 【分析】（1）首先求出函数的导函数，再根据，得到方程，解得即可； （2）依题意可得，再对分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可求出函数的最小值； (1) 解：因为，所以， ∵曲线在点处的切线垂直于直线， 又直线的斜率为1， ∴， ∴； (2) 解：∵，， ①当时，在区间上，此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. ②当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，在区间上，此时函数在区间上单调递增，则函数在区间上的最小值为. ③当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，则函数在区间上的最小值. 综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为. 【变式1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的最小值. 【解析】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程； （2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值. 【详解】（1）当时， 所以. 所以曲线在处的切线方程为：. （2）. ①当时，. 所以时，. 所以在上是增函数.所以. ②当时，令，解得（舍） 1°当，即时，时，. 所以在上是增函数.所以. 2°当，即时， x - 0 + 减函数 极小值 增函数 所以. 3°当，即时，时，. 所以在上是减函数.所以. 综上，当时，； 当时，. 当时，. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-8 含参函数的单调性、极值和最值10种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 含参函数的单调性讨论——导主一次型 题型2 含参函数的单调性讨论——导主二次型（可因式分解型） 题型3 含参函数的单调性讨论——导主二次型（不可因式分解型） 题型4 含参函数的单调性讨论——导主指数型（一次型） 题型5 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次可因式分解型） 题型6 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次不可因式分解型） 题型7 含参函数的单调性讨论——导主对数型 题型8 含参函数的单调性讨论——导主正余型 题型9 含参函数的极值讨论 题型10 含参函数的最值讨论 知识点1 含参函数单调性的讨论 对含参函数单调性问题，求解的关键在于思考，相对于具体函数而言含参函数的不确定性在哪里？分类的逻辑是什么？分类的不同层次及各层次分类的依据又是什么？ 1、对含参函数单调性的分析思路 (1) 如何分析原函数的单调性？ 答：分析原函数的单调性等价于分析导函数的正负性. (2) 那如何分析导函数的正负性呢？。 答：数形结合，若能得到导函数的“穿线图”（即解导数不等式，与其零点有莫大关系)），看图“说话”便可，进而得出原函数的“趋势图”（即原函数的大致趋势）也不难了(看下图). (导函数看“零点”，原函数看单调性) (3) 那要得到导函数的“穿线图”，要注意什么呢？ 答：掌握“一次函数”型、“二次函数”型、“指数函数”型常见模型，画“穿线图”思考以下问题： ① 导函数是否存在零点； ② 若存在，有几个零点呢？若有两个以上，哪个零点大？ ③ 零点是否在定义域内？ (4) 怎么做到准确的分类讨论呢？ 答：① 熟悉模型，确定分类讨论的标准； ② 做到分类讨论“不漏不重”，把每项分类看成一个集合，每个集合的交集为空集则“不重”，所有集合的并集为参数的全集则为“不漏”. 2、常见的分类标准有哪些呢？ 一般的含参的函数单调性的讨论常见的分类标准有： （1）函数类型；（2）开口方向；（3）判别式；（4）导数等于0有根无根；（6）两根大小；（7）极值点是否在定义域内. 3、解含参函数单调性问题的通性通法 首先要明确题意，确定参数的范围和函数的定义域，其次按照导函数的类型、导函数是否存在零点、零点是否在定义域内、零点的大小进行分类讨论，最后进行整理和总结就能得到正确的结论.含参函数单调性问题的解决是层递进的，在递进的过程中，因参数在不同位置，使得问题的解决出现了不确定性，为了将不确定的问题转化为确定性的问题，需进行分类讨论. 讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，我们可按以下步骤进行： 以下是对单调性一般步骤的讨论（解决了讨论的大部分单调性问题）： 第一步：求定义域，单调区间是定义域的子集，因此求单调区间必须先求定义域，定义域有三种常见的情况需要讨论。 （1）偶次根式：根号下整体不小于0；（2）分式：分母不等于0；（3）对数：真数大于0. 第二步： 求函数导数，导函数是分式一般先通分，并且还要考虑能不能因式分解。若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，有可以讨论该参数得0和不得0，最高次项系数是否为0影响的是函数的类型；（最高次幂的系数是否为0，即“零不零”） 第三步：令求出它的根，根的个数一般有三种情况：无根、一个根，两个根。（导函数是否有变号零点，即“有没有”） （1） 导数等于0得到的方程若为一元二次方程，可判断其判别式的符号：当判别式小于等于0时，若二次项系数为正，则导数恒大于等于0，函数在定义域内为增函数，若二次项系数为负，则导数恒小于等于0，函数在定义域内为减函数；当判别式大于0时，可以结合韦达定理分析导数等于0的两根与定义域的关系，确定单调区间； （2）导数等于0得到的方程不是二次函数时，根据方程的特点判断有根无根，若有根，再判断其与定义域的关系，若根在定义域内，且为变号零点，则根为极值点，再判断定义域内极值点分成的各段区间导数的正负从而得到函数的单调性；(导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”) （3）如果根不能被求解，并且导数不能被判断出正的或负的，那么我们就需要求函数的二阶导数，利用二阶导数的正负来确定一阶导数的单调性，然后利用最值得到一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性。 第四步：确定分类点：①是否存在根（判断根是否在定义域中），得到参数的分类点。②，得到参数的分类点。③，得到参数的分类点。④，得到参数的分类点。 第五步：若导数等于0，方程有两个根且均在定义域内，当两根大小不确定时，可通过比较两根大小确定讨论的分界点.(导函数的变号零点之间的大小关系，即“比不比”) 第六步：判断分定义域的每个区间的导数的正负情况，如果导数大于0，则函数单调递增，如果导数小于0，则函数单调递减。 以下三种常见方法可用来判断导数的正负： （1）数轴穿根法：（2）函数图像法：（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负。 第七步：综述，这是许多人往往忽视的一个步骤，少了这一步，会被扣分的。 4、各模型分类讨论的标准 分类讨论要确定每步分类的标准，做到有根有据. “一次函数”型： 是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0，函数零点与定义域端点的大小； 1.先求函数的定义域；2.求导函数（能通分要通分，化为乘除分解式，便于讨论正负）；3.先讨论函数只有一种单调区间的（导函数同号的）情况；4.再讨论函数有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界） “二次函数”型： 对于导函数为二次型含参函数单调性的讨论，通法如下： 第一步，先看二次项系数是否含有参数，若含有参数，则将系数分大于0、小于0和等于0三种情况进行讨论；若二次项系数为0，则将问题转化为一次函数问题去解决；若二次项系数不为0，则进入第二步. 第二步，对一元二次方程的判别式分△≤0或△>0 两种情况进行讨论，若△≤0，则函数在定义域上单调递增或单调递减；若△>0，则进入第三步. 第三步，求出对应一元二次方程的两个不等实根，判断两根是否在定义域内，若两根都不在定义域内或只有一个实根在定义域内，可以借助二次函数图象来解决；若两根都在定义域内，则进入第四步. 第四步，判断两个根的大小，从而使问题得解. “指数函数”型： 是否存在零点；利用导函数正负性的等价可转化为二次函数讨论. 5、分类点示例 （1）以导函数零点的大小为分类依据 示例1．设函数，其中常数；讨论的单调性； 【解析】因为， 所以， ①当即时，在是增函数，在是减函数，在是增函数； ②当即时，在是增函数； ③当即时，在是增函数，在是减函数，在是增函数； 注：当导函数的零点大小不确定时，讨论函数单调性的基本步骤如图所示. （2）以导函数零点是否在定义域内为分类依据 示例2．已知函数，讨论函数的单调性. 【解析】由题意知函数的定义域为， ， 令，则或， （1）当，即时，在时恒成立，即在上单调递增； （2）当，即时，在和上单调递增，在上单调递减； （3）当，即时，在和上单调递增，在上单调递减； （4）当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 注：当导函数的零点是否在定义域内不能确定时，讨论函数单调性的基本步骤如图所示. （3）以导函数是否存在零点为分类依据 示例3．已知函数，讨论的单调性； 【解析】，记， 当时，，，所以在上单调递增； 当时，，令，所以且， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上可知：时，的单调递增区间为；时，的单调递增区间为，，单调递减区间为 注：当不确定导函数是否存在零点（或零点的个数）时，讨论函数单调性的基本步骤如图所示. （4）以导函数的类型为分类依据 示例4．已知函数，若，试讨论函数的单调性. 【解析】由题意，函数的定义域为， 则， （1）当时，， 令，即，解得，所以函数在上单调递增； 令，即，解得，所以函数在上单调递增； （2）当时，令，解得或， ①若，即时， 由，可得或，由，可得， 即函数在和单调递增，在单调递减. ②若，即时， 由，可得或，由，可得， 即函数在和单调递增，在单调递减. ③若，即时，，可得在单调递增. 综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减. 注：当导函数为类二次函数时，若其类型不确定，讨论函数单调性的基本步骤如图所示. 知识点2 含参函数极值的讨论 1、利用导数研究函数极值问题的步骤 2、已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值．解决此类问题的一般步骤为： (1)确定函数定义域； (2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根； (3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干个区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，并得出结论． 注：如果解析式中含有参数，需分类讨论，分类标准主要有以下几个方面： (1)f′(x)＝0的根是否存在； (2)f′(x)＝0根的大小； (3)f′(x)＝0的根与定义域的关系等． 知识点3 含参函数最值的讨论 1、求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路 (1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 注：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，然后借助图象观察得到函数的最值． 2、用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范. 题型1 含参函数的单调性讨论——导主一次型 【例1】已知函数，其中．讨论的单调性； 【变式1】已知函数，且． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)讨论函数的单调性． 【变式2】函数．当时，讨论的单调性； 【变式3】已知函数．讨论的单调性； 题型2 含参函数的单调性讨论——导主二次型（可因式分解型） 【例2】函数，讨论函数的单调性； 【变式1】已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调性； 【变式2】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式3】讨论函数的单调性 【变式4】设函数． 当时，讨论函数的单调性； 题型3 含参函数的单调性讨论——导主二次型（不可因式分解型） 【例3】已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【变式1】已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 【变式2】已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)设函数在区间上是减函数，求a的取值范围． 【变式3】已知函数． 讨论的单调性； 【变式4】已知函数，其中为非零实数. 讨论的单调性； 题型4 含参函数的单调性讨论——导主指数型（一次型） 【例4】已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式1】已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【变式2】已知函数 (1)当时，求该曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间. 题型5 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次可因式分解型） 【例5】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【变式1】已知函数. (1)当时，求过点且与函数图象相切的直线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【变式2】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式3】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 题型6 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次不可因式分解型） 【例6】已知函数 讨论的单调性； 【变式1】已知函数 讨论函数的单调性； 题型7 含参函数的单调性讨论——导主对数型 【例7】设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【变式1】已知函数，讨论函数的单调性. 【变式2】已知函数.讨论的单调性； 题型8 含参函数的单调性讨论——导主正余型 【例8】已知函数． 讨论在上的单调性； 【变式1】已知函数． 讨论函数的单调性； 【变式2】已知函数，. 当时，讨论的单调性； 题型9 含参函数的极值讨论 【例9】已知函数.讨论在定义域内的极值； 【变式1】已知函数，求函数的极值; 【变式2】已知函数 求函数的极值； 【变式3】已知函数.讨论函数的极值； 题型10 含参函数的最值讨论 【例10】已知函数，. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值； (2)当时，求函数在区间上的最小值. 【变式1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的最小值. $$