第五章 圆 专项训练 与圆的切线有关的证明与计算2024-2025学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

第五章 圆 专项训练 与圆的切线有关的证明与计算 类型一 切线的性质 1.如图,已知在Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠ABC=30 ,⊙O是 ABC 的外接圆,点P在AC的延长线上,PQ⊥AB于点Q,交BC于点E,CD是⊙O的切线,交PQ于点D. (1)判断 DCE 的形状,并说明理由; (2)若CD=AC=2,求OQ的长度. 2.如图,在 Rt ABC中,∠ABC=90 ,以 AB为直径的⊙O交 AC于点D,且AC平分∠BAE,DE是⊙O的切线. (1)求证:AE⊥DE; (2)若⊙O的半径为4, 求线段 BC的长度. 3.如图,AB为⊙O的直径,CD切⊙O于点D,AC⊥CD于点C,交⊙O于点E,连接AD,BD,ED. (1)求证:BD=ED; (2)若CE=3,CD=4,求 AB的长. 类型二 切线的判定 4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD 是⊙O的直径,过点 A 作AE⊥CD,交 CD 的延长线于点 E,DA 平分∠BDE. (1)求证:AE是⊙O的切线; (2)已知 AE=4 cm,CD=6 cm,求⊙O 的半径. 5.如图1,在 ABC中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E.点 F在AC 的延长线上,且∠CAB=2∠CBF. (1)求证:BF 是⊙O的切线; (2)若AB=6,BF=8,求AD的长; (3)如图 2,在(2)的条件下,求 tan∠CBF的值. 6.如图,在 ABC中,O为AC上一点,以O为圆心,OC长为半径作圆,与BC相切于点 C,过点 A 作 AD⊥BO,交 BO的延长线于点 D,且∠AOD=∠BAD. (1)求证:AB为⊙O的切线; (2)若 求 BC的长. 7.如图,以线段AB 为直径作⊙O,交射线 AC于点 C,AD 平分∠CAB 交⊙O于点 D,过点 D 作直线DE⊥AC于点 E,交AB 的延长线于点 F.连接BD 并延长交AC于点 M. (1)求证:直线 DE 是⊙O的切线; (2)求证:AB=AM; (3)若 ME=1,∠F=30 ,求 BF 的长. 8.如图,O为正方形 ABCD对角线 AC上一点,以O为圆心,OA长为半径的⊙O与 BC相切于点 M,与AB,AD分别相交于点 E,F. (1)求证:CD与⊙O相切; (2)若⊙O的半径为 ,求正方形 ABCD的边长. 9.如图,在菱形 ABCD中,P 是对角线AC 上的一点,且 PA=PD,⊙O为 APD的外接圆. (1)试判断直线 AB 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若AC=8,tan∠DAC= 求⊙O的半径. 类型三 切线的判定与性质 10.如图, ABC内接于⊙O,过点B的切线与CA的延长线相交于点 E,且∠BEC=90 ,点 D 在OA 的延长线上,AO⊥BC,∠ODC=30 . (1)求证:DC为⊙O的切线. (2)若CA=6,求 DC的长. 11.如图,PA 是⊙O的切线,切点为 A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O 于点 E.过 A 点作 AB⊥PO 于点D,交⊙O于点 B,连接 BC,PB. (1)求证:PO∥BC; (2)求证:PB是⊙O的切线; (3)若 求 PO的长. 12.如图,在 ABC中,AB=AC,点O在AB 上,以 OB 为半径的⊙O分别与BC,AB 相交于点D,F,与AC相切于点 E,过点 D 作 DG⊥AC,垂足为G. (1)求证:DG是⊙O的切线; (2)若CG=2,CD=8,求 BD的长. 13.如图,点 P 是⊙O外一点,PA 与⊙O相切于A 点,B,C是⊙O上的另外两点,连接AC,BC,∠APB+2∠ACB=180 . (1)求证:PB是⊙O的切线; (2)若BC∥PA,⊙O 的半径为5,BC=6,求 PA 的长. 易错点一 不能正确选择连半径还是作直径 14.如图, ABC 内接于⊙O,CD与AB 的延长线相交于点D,且∠BCD=∠BAC. 求证:CD是⊙O的切线. 易错点二 对于证切线的两种题型不够熟练 15.如图,等腰 BEF 中,BE=BF,BA 平分∠EBF,O为线段AB 上一点,以 AO为半径的⊙O与BE 相切于点C. (1)求证:BF 与⊙O相切; (2)⊙O交AB 于点 D, 求 AC的长. 参考答案 1.解:(1) DCE是等边三角形,理由: 如图,连接OC, ∵ ∠ACB = 90 ,∠ABC=30 ,⊙O 是 ABC的外接圆, ∴ AB 是⊙O 的直径,∴OB=OC,∴∠OCB=∠ABC=30 , ∵CD是⊙O的切线, ∵PQ⊥AB,∠ABC=30 ,∴∠CED=∠BEQ=60 , ∴∠CED=∠DCE=60 ,∴ DCE是等边三角形; (2)∵∠ACB=90 ,∠ABC=30 ,AC=2,∴AB=2AC=4, ∵ DCE是等边三角形,CD=2,∴CE=CD=2, ∵PQ⊥AB,∠ABC=30 ,∴BQ=BE cos∠ABC 2.解:(1)证明:连接OD,如图所示: ∵DE是⊙O的切线,∴∠ODE=90 , ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO, ∵AC平分∠BAE,∴∠OAD=∠DAE,∴∠DAE=∠ADO,∴AE∥OD, ∴∠E+∠ODE=180 ,∴∠E=90 ,即AE⊥DE; (2)连接BD,如图所示, ∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90 , ∵⊙O的半径为4,∴AB=8, 又∵ 在Rt ABC中,BC=AB tan∠BAC=6. 3.解:(1)证明:连接OD,OE. ∵CD切⊙O于点D,∴OD⊥CD. ∵AC⊥CD,∴OD∥AC.∴∠EAO=∠DOB,∠AEO=∠EOD. 又∵∠EAO=∠AEO,∴∠EOD=∠DOB.∴BD=ED; (2)∵AC⊥CD,∴∠ACD=90 . 又∵CE=3,CD=4,∴ED=5. ∵BD=ED,∴BD=5. ∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90 .∴∠ACD=∠ADB. ∵四边形ABDE内接于⊙O,∴∠CED=∠B.∴ CDE∽ DAB. 4.解:(1)证明:连接OA, ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD, ∵DA平分∠BDE,∴∠ODA=∠EDA,∴∠OAD=∠EDA,∴EC∥OA, ∵AE⊥CD,∴OA⊥AE, ∵OA 是⊙O的半径,∴AE是⊙O的切线; (2)过点O作OF⊥CD,垂足为点 F, ∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90 ,∴四边形 AOFE 是矩形,∴OF=AE=4cm, ∵OF⊥CD,CD=6 cm, 在 Rt ODF中, 即⊙O的半径为5cm . 5.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∵∠CAB=2∠CBF, 即∠ABC+∠CBF=90 ,∴AB⊥BF, ∵AB为⊙O的直径,∴BF是⊙O的切线; (2)在 Rt ABF中,∵AB=6,BF=8, ∵∠DAB=∠BAF,∠ADB=∠ABF=90 ,∴Rt ABD∽Rt AFB, ∴AD:AB=AB:AF,即AD:6=6:10, (3)作 CH⊥BF 于点H,如图, ∴CH∥AB, ∵AC=AB=6,∴CF=AF-AC=10-6=4, ∵CH∥AB,∴ FCH∽ FAB, 即 在Rt BHC中,即 tan∠CBF的值为 6.解:(1)证明:过点O作OE⊥AB于点E, ∵AD⊥BO于点 D,∴∠D=90 , ∴∠BAD+∠ABD=90 ,∠AOD+∠OAD=90 , 又∵∠AOD=∠BAD,∴∠ABD=∠OAD, ∵BC为⊙O的切线,∴AC⊥BC,∴∠BCO=∠D=90 , ∵∠BOC=∠AOD,∴ ∠OBC = ∠OAD =∠ABD, 在 BOC 和 BOE中, ∴ BOC≌ BOE(AAS),∴OE=OC,∴OE为⊙O的半径, ∵OE⊥AB,∴AB是⊙O的切线; ∴设 BC=3k,则 4k, ∴BC= BE = 3k, AE= AB - BE = 2k, ∵∠ABD=∠DAO,∠D=∠D,∴ ADO∽ BDA, ∴k=1,∴BC=3. 7.解:(1)证明:连接OD,则OD=OA, ∴∠ODA=∠OAD. ∵AD平分∠CAB,∴∠OAD=∠DAC.∴∠ODA=∠DAC.∴OD∥AC. ∵DE⊥AC,∴∠ODF=∠AED=90 .∴DE⊥OD, 又∵OD 是⊙O的半径,∴直线 DE是⊙O的切线; (2)证明:∵线段AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90 . ∴∠ADM=180 -∠ADB=90 ,∴∠M+∠DAM=90 ,∠ABM+∠DAB=90 . ∵∠DAM=∠DAB,∴∠M=∠ABM.∴AB=AM; (3)∵∠AEF=90 ,∠F=30 ,∴∠BAM=60 ,∴ ABM是等边三角形. ∴∠M=60 . ∵∠DEM=90 ,ME=1,∴∠EDM=30 .∴MD=2ME=2.∴BD=MD=2. ∵∠BDF=∠EDM=30 ,∴∠BDF=∠F.∴BF=BD=2. 8.解:(1)证明:连接⊙M,过点 O作ON⊥CD,垂足为 N, ∵⊙O与BC 相切于点 M,∴OM⊥BC. ∵正方形 ABCD中,AC平分∠BCD,又∵ON⊥CD,OM⊥BC,∴OM=ON, ∴CD与⊙O相切; (2)设正方形 ABCD的边长为a, ∵∠OCM=∠ACB,∠OMC=∠B=90 ,∴ COM∽ CAB. 解得 舍去), ∴正方形 ABCD的边长为 9.解:(1)直线AB与⊙O相切.理由: 连接OP,OA,OP交AD于点E,如图, ∵PA=PD, ∴OP⊥AD,AE=DE. ∵OP=OA,∴∠OAP=∠OPA.∴∠1+∠OAP=90 . ∵四边形ABCD为菱形,∴∠1=∠2.∴∠2+∠OAP=90 .∴OA⊥AB, ∵OA 是⊙O的半径,∴直线 AB与⊙O相切; (2)连接 BD,交AC 于点F,如图, ∵四边形ABCD为菱形,∴DB与AC互相垂直平分. ∴DF=2. 在Rt PAE中, 设⊙O的半径为R,则 ,在Rt OAE中, 即⊙O的半径为 10.解:(1)连接OC,连接 BO并延长,交⊙O 于点F,连接AF,如图所示: ∵AO⊥BC,且O为圆心,∴点 A为BC的中点,即 ∴∠BCA=∠ABC. ∵BE为切线,∴∠ABE+∠ABF=90 , ∵BF为直径,∴∠ABF+∠F=90 ,∴∠ABE=∠F, ∴∠ABE=∠ACB.∴∠ABE=∠ACB=∠ABC. ∵∠BEC=90 ,∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30 .∴∠AOC=2∠ABC=60 . 又∵∠ODC=30 , ∴OC⊥CD,∵OC是⊙O的半径,∴CD为⊙O切线; (2)∵OA=OC,∠AOC=60 ,∴ AOC为等边三角形.∴OA=OC=AC=6. 在 Rt OCD中,∠ODC=30 , 则 11.解:(1)证明:∵AC为⊙O的直径,∴∠ABC=90 ,即AB⊥BC. 又∵AB⊥PO,∴PO∥BC; (2)证明:连接OB,如图, ∵PO∥BC,∴∠POB=∠OBC,∠POA=∠C, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠C,∴∠AOP=∠POB, 在 AOP与 BOP中,∴ AOP≌ BOP(SAS), ∴∠OAP=∠OBP, ∵PA为⊙O的切线,∴OB⊥PB, ∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线; (3)∵∠PAB+∠BAC=90 ,∠C+∠BAC=90 ,∴∠PAB=∠C, 在Rt ABC中, ∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90 ,∴∠PAO=∠ABC=90 . ∵∠POA=∠C,∴ ABC∽ PAO,∴PO=5. 12.解:(1)证明:连接OD,则OD=OB,∴∠ODB=∠B, ∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC, ∵DG⊥AC,∴DG⊥OD, ∵OD是⊙O的半径,∴DG是⊙O的切线; (2)连接OE, ∵⊙O 与 AC 相切于点 E,∴AC⊥OE, ∵∠ODG=∠DGE=∠OEG=90 ,∴四边形ODGE 是矩形, ∵OD=OE,∴四边形ODGE是正方形, ∵∠DGC=90 ,CG=2,CD=8, 作OI⊥BD 于点I,则∠OID=90 ,ID=IB= ∴BD的长是 13.解:(1)证明:连接OA,OB,如图1所示:∵∠APB+2∠ACB=180 ,∠AOB=2∠ACB, ∴∠APB+∠AOB=180 ,∴∠OAP+∠OBP=180 , ∵PA与⊙O相切于点A,∴PA⊥OA,∴∠OAP=90 , ∴∠OBP=90 , ∵OB是⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线; (2)连接AO并延长交BC 于点D,连接OC,过点 P作PQ⊥BC交CB 的延长线于点Q,如图2所示: ∵PA⊥OA,BC∥PA,∴AD⊥BC, 3,四边形 ADQP 是矩形, ∴PQ=AD=OA+OD=5+4=9, ∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB, 在 Rt PBQ中,设 PB=PA=x,则.BQ=x-3, 由勾股定理,得( 解得x=15, 即 PA 的长为15. 14.证明:过C作⊙O的直径CE,连接BE, 则∠CBE=90 ,∴∠BEC+∠BCE=90 . ∵∠BEC=∠BAC,∠BCD=∠BAC,∴∠BCD+∠BCE=90 .∴EC⊥CD. ∵CE 是⊙O的直径,∴CD是⊙O的切线. 15.解:(1)证明:如图1,连接OC,过O作OH⊥BF于点 H, ∵⊙O与BE 相切于点C,∴∠BCO=∠BHO=90 . ∵BA平分∠EBF,∴∠CBO=∠HBO. 在 BCO与 BHO中,∴ BCO≌ BHO(AAS). ∴OH=OC.∴BF与⊙O相切; (2)如图2,连接OC, ∵以 AO 为半径的⊙O 与BE 切于点C, ∴∠BCD+∠OCD=90 . ∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90 .∴∠ACO+∠OCD=90 . ∴∠ACO=∠BCD. ∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO.∴∠CAO=∠BCD. ∵∠CBA=∠CBD,∴ BCD∽ BAC, ∴AD=AB-BD=10. ∵ BCD∽ BAC, ∴设AC=2x,CD=x. 故AC的长为4 学科网(北京)股份有限公司 $$