精品解析：广东省揭阳市揭西县2024-2025学年八年级上学期期末数学试题

2024-2025学年度第一学期教学质量监测八年级数学科试卷 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分120分． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 如图，直线相交于点E，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列条件中，不能判断是直角三角形是（ ） A. B. C. D. 6. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50，底面边长为40，则这圈彩带的长度至少为（　　） A. 50 B. 120 C. 130 D. 150 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点到x轴距离是______． 12. 若点，都在函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 13. 已知a是64的立方根，是a的平方根，则的算术平方根为___________． 14. 如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_____． 15. 如图，点E，F分别在，上，，垂足为O，．若，，则点F到直线的距离为__________． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 17. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建两种光伏车棚，已知修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元．求修建每个种，种光伏车棚分别需投资多少万元？ 18. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点和点在小正方形的顶点上． （1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为，B点坐标为； （2）在第二象限的格点上找一点C，使为等腰三角形，画出三角形，并写出点C的坐标． （3）画出关于y轴对称的三角形． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 20. 阳光中学开展“认领一片菜地活动”，王老师为了考察黄瓜生长情况，他随机抽查了部分黄瓜藤上的黄瓜根数．用得到的数据绘制了如下不完整的统计图． 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图．图l中的的值为______； （2）分别求出抽取的黄瓜根数的众数和中位数； （3）求这个品种的黄瓜平均每株结多少根？（结果取整数） 21. 如图，在中，，．点是的中点，点是线段上的动点，过点作交于点．连结，若． （1）求证：； （2）求的长． 五、解答题（三）（共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 23. 在直角坐标系中等边三角形的位置如图所示，等边三角形的边长为2． （1）求点A的坐标； （2）直线过点A，与x轴交于点C，求该直线的表达式； （3）在x轴上是否存在点Q，使得三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期教学质量监测八年级数学科试卷 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分120分． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数“无限不循环小数是无理数”、立方根，熟记无理数的定义是解题关键．根据立方根、无理数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是有理数，则此项不符合题意； B、，是有理数，则此项不符合题意； C、是无理数，则此项符合题意； D、是有理数，则此项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，直线相交于点E，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对顶角，平行线的性质．由对顶角相等得，由“两直线平行，同旁内角互补”得，即可求解． 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， ， 故选B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，分母有理化，二次根式的加法计算，理解运算法则是解答关键． 利用分母有理化来判定A，利用同类根式的定义来判定B，利用二次根式的除法来计算求解C，利用二次根式的乘法来计算求解D． 【详解】解：A．，此项计算错误，故此项不符合题意； B． 与不是同类根式，不能进行加法计算，故此项不符合题意； C．，此项计算错误，故此项不符合题意； D．，此项计算正确，故此项符合题意． 故选：D． 4. 如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，方差的计算公式，熟练运用方差的计算公式是解题的关键．根据方差的定义及方差的计算公式解答即可． 【详解】解：∵甲同学的射击成绩为， ∴甲同学的射击成绩平均数为， ∴甲同学的方差为， ∵乙同学的射击成绩为， ∴乙同学的射击成绩平均数为， ∴乙同学的射击成绩方差为， ∴， ∴， 故选． 5. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据用勾股定理的逆定理判断A、B，，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D． 【详解】解：A.∵，设AB=3k，则BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=25k2=AC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； B.∵，设AB=k，则BC=2k，AC=k，∴AB2+AC2=4k2=BC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； C.∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴直角三角形，故此选项不符合题意； D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 6. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，熟练掌握无理数估算大小的方法是解题关键．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在3和4之间． 故选：A． 7. 一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系确定、，再去对照正比例函数的图象与的关系，逐项判断即可． 详解】解：A、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项A不符合题意； B、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项B不符合题意； C、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项C不符合题意； D、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象不满足这一关系，故选项D符合题意； 故选：D． 8. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有人，辆车，由“每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 故选：C． 9. 如图，是的角平分线，B、C、E共线，则、、之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，先设，利用外角可得，，再进一步可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴设， ∴，， ∴， ∴， 故选C 10. 某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点缠绕一圈彩带．已知此灯笼的高为50，底面边长为40，则这圈彩带的长度至少为（　　） A. 50 B. 120 C. 130 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】将三棱柱沿展开，得到直角边分别是底面周长，棱柱高，勾股定理计算即可． 本题考查了三棱柱的展开，勾股定理，熟练掌握三棱柱的展开，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图， 则（cm）， 答：这圈金属丝的长度至少为130． 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到x轴距离是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点的坐标．解题的关键是明确点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，横坐标的绝对值是点到y轴的距离． 12. 若点，都在函数的图象上，则_____（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据一次项系数判断函数的增减性求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 13. 已知a是64的立方根，是a的平方根，则的算术平方根为___________． 【答案】3或1 【解析】 【分析】根据立方根的定义得到a值，再根据平方根的定义得到b值，求出，从而可得结果． 【详解】解：∵a是64的立方根， ∴a=4， ∵是a的平方根， ∴=±2， ∴b=或， ∴=9或1， ∴的算术平方根为3或1， 故答案为：3或1． 【点睛】本题考查了立方根，平方根和算术平方根，解题的关键是掌握各自的定义与求法． 14. 如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．先把代入直线即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数解析式组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】∵直线经过点， ， ， 又直线和直线交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为： 15. 如图，点E，F分别在，上，，垂足为O，．若，，则点F到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，再证明，利用勾股定理求出，最后运用面积法可求出点到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设点到直线的距离为，且，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，勾股定理，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程组的求解． （1）根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：方程组整理得 ， ①②得： 解得：， 将代入①得：， 方程组的解为：． 17. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建两种光伏车棚，已知修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元，修建个种光伏车棚和个种光伏车棚共需投资万元．求修建每个种，种光伏车棚分别需投资多少万元？ 【答案】修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元， 由题意得，， 解得， 答：修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元． 18. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点和点在小正方形的顶点上． （1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为，B点坐标为； （2）在第二象限的格点上找一点C，使为等腰三角形，画出三角形，并写出点C的坐标． （3）画出关于y轴对称的三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标确定原点，再建立坐标系即可； （2）根据等腰三角形的定义找到点C，可满足，可得点C坐标； （3）找到各点关于y轴的对称点，依次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 如图，即为所求； 其中； 【小问3详解】 如图，即为所求． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义，画轴对称图形，解题的关键是掌握等腰三角形的定义和轴对称图形的画法． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 如图，在中，平分交边于点E，在边上取点F，连结，使． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义和平行线的性质与判定， （1）根据平分得到，再由等量代换推出， 根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， 平分， ， ． 20. 阳光中学开展“认领一片菜地活动”，王老师为了考察黄瓜的生长情况，他随机抽查了部分黄瓜藤上的黄瓜根数．用得到的数据绘制了如下不完整的统计图． 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图．图l中的的值为______； （2）分别求出抽取的黄瓜根数的众数和中位数； （3）求这个品种的黄瓜平均每株结多少根？（结果取整数） 【答案】（1），图形见解析 （2）众数是，中位数是 （3）这个新品种黄瓜平均每株结根黄瓜 【解析】 【分析】（1）根据数据，补全条形图即可；先根据长根黄瓜的株数求出总数，再用长根黄瓜的株数除以总数，求出的值； （2）根据众数和中位数的定义，求解即可； （3）利用加权平均数的计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（株）， ， ， 故答案为：； 长根黄瓜的株数为（株），长根黄瓜的株数为（株）， 条形统计图如下： 【小问2详解】 出现的次数最多， 众数是； 将数据排序后，位于中间的两位数据均为， 中位数是； 【小问3详解】 （根） 这个新品种黄瓜平均每株结根黄瓜． 【点睛】本题主要考查条形统计图与扇形统计图及平均数、众数、中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．特别注意加权平均数的计算方法． 21. 如图，在中，，．点是的中点，点是线段上的动点，过点作交于点．连结，若． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4.5 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质； （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 小问1详解】 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，，点是中点， ，， ， ， ， ， ， 又在中，， ， 解得：． 五、解答题（三）（共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 【答案】（1） （2），，自西向东方向更拥堵 （3），在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）由（1）得，，，当时，算出，． 根据可变车道为自东向西方向，得出自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，即可求出，，即可判断； （3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，．当时，，则，解得，分为当时，，和当时，，求解即可； 【小问1详解】 解：设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 由（1）得，，， 当时，，， 可变车道为自东向西方向， 自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2， ，， ， 自西向东方向更拥堵． 【小问3详解】 在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，， 当时，， ，解得， 经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向． 23. 在直角坐标系中等边三角形的位置如图所示，等边三角形的边长为2． （1）求点A的坐标； （2）直线过点A，与x轴交于点C，求该直线的表达式； （3）在x轴上是否存在点Q，使得三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据等边三角形得出，根据勾股定理求出，即可求解； （2）将点代入直线求解即可； （3）设点，表示出，分为当时和当时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵是边长为2的等边三角形， ， ， ； 【小问2详解】 解：将点代入直线得：， 解得：， 故； 【小问3详解】 解：存在，理由： 设点， 由点、、的坐标得，， 当时，即， 解得：（舍去）或，即点； 当时，则， 解得：， 则点或， 综上，点或或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式求解、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是能根据图形求出点A的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$