精品解析：辽宁省抚顺市清原满族自治县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度上学期教学质量检测（三） 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是随机事件是（ ） A. 三角形有且只有一个外接圆 B. 方程一元二次方程 C. 直径是圆中最长的弦 D. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 3. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，是上的一点．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　） A. 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8 6. 如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 16 7. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）． A. B. C. D. 8. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（ ） A B. C. D. 10. 如图，点在双曲线上，点在直线上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①；②当时，；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是______． 12. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 13. 在一个不透明的袋中有9个只有颜色不同的球，其中4个黑球，2个白球和3个绿球．从袋中任意摸出一个球，不是绿球的概率为_____________． 14. 如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长________（结果保留）． 15. 如图，在中，为上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，连接为中点，连接并延长交的延长线于点，若．下列四个结论： ①；②的周长的周长的长；③； ④． 其中正确结论的序号为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的值，并解释它的实际意义． 18. 直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）过点C作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 19. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药和D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为 ． （2）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． 20. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 21. 如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：． （2）若的半径是，，求的长． 22. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期教学质量检测（三） 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代数学发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 三角形有且只有一个外接圆 B. 方程是一元二次方程 C. 直径是圆中最长的弦 D. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一元二次方程的定义，弦的定义，圆周角定理，随机事件的定义，可能发生也可能不发生的事件为随机事件，三角形的外接圆的圆心是垂直平分线的交点，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、三角形有且只有一个外接圆，是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故原说法是随机事件，故该选项符合题意； C、直径是圆中最长的弦是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为，再根据抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同，得到即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 可设其解析式为 抛物线与抛物线：的开口方向、形状大小完全相同 抛物线的解析式为． 故选：D． 4. 如图，是的直径，是上的一点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 5. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　） A. 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905， ∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9， 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率． 6. 如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 故选：D． 7. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 8. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如图，点按变换后得到点的坐标为，则点按变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，         ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：A． 9. 为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键． 根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 10. 如图，点在双曲线上，点在直线上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①；②当时，；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理即可求出，即可判断①错误；根据反比例函图象上的点的特征即可求出，当时，即可求出k的值，即可判断②正确；将点代入直线，即可求出m的值，即可判断③正确；再根据底乘高即可计算，继而判断④错误． 【详解】解：直线， 当时，， ， ， 四边形是菱形， ， 与关于轴对称，设交x轴于点D， ， 在中，， ，故①错误； 在双曲线上， ， 当时，，故②正确； 与关于轴对称，， ， 点在直线上， ， 解得，故③正确； ，故④错误； 综上，正确结论的序号是②③，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上的点的坐标特征、菱形的性质及勾股定理，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果， 所以取到有理数的概率为， 故答案为：． 12. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 13. 在一个不透明的袋中有9个只有颜色不同的球，其中4个黑球，2个白球和3个绿球．从袋中任意摸出一个球，不是绿球的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率，熟练掌握概率公式的应用是解题的关键．直接利用概率公式计算即可． 【详解】解：9个只有颜色不同的球，其中4个黑球、2个白球和3个绿球． 从袋中任意摸出一个球，有9种可能的情况出现，不是绿球的情况占6种， 则不是绿球的概率为． 故答案为：． 14. 如图，四边形为平行四边形，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点E，连接，，，则的长________（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，得到． 由平行四边形的性质推出，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由题意得：， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，为上一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，连接为中点，连接并延长交的延长线于点，若．下列四个结论： ①；②的周长的周长的长；③； ④． 其中正确结论的序号为___________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】取的中点G，连接．证明得，，可判断①正确；根据周长公式可判断②正确；由角平分线的性质和三角形面积公式可判断③正确；求出得点D到和的距离相等，可判断④正确；过点D作交于点H，交于点M，证明得，证明得，进而可判断③正确． 【详解】解：取的中点G，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，． 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴，，，故①正确； ∴的周长的周长 的长，故②正确； ∵，， ∴， ∴点D到和的距离相等， ∴，故④正确； 过点D作交于点H，交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程； （1）采用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先整理方程，再采用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 世界的面食之根就在山西．山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度．是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的值，并解释它的实际意义． 【答案】（1） （2），且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用：正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求反比例函数，即可作答； （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点在反比例函数上， ， 解得：， ， 且其表示的实际意义为面条的总长度为时，其横截面积为． 18. 直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）过点C作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，求图形面积，正确理解图象是解题的关键． （1）先将点A，B的坐标代入得到m，n的值，再根据待定系数法求出直线的表达式； （2）先求出点C的坐标，根据平行得到点D的纵坐标，由此求出点D的坐标，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：分别将点、点代入中， 即， 解得：， 点坐标为点坐标为， 把点坐标点坐标分别代入， 即，解得 一次函数表达式为． 【小问2详解】 解：把代入，得点坐标为， 轴， 点，点纵坐标相等； 把代入中，得， 点坐标为， ． 19. “四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药和D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为 ． （2）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题关键． （1）直接利用概率公式计算即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵有A指南针、B造纸术、C火药和D印刷术四张卡片， ∴小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种， ∴两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为． 20. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】（1）； （2）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； （3）捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题． 根据销售单价每上涨元，每天销量减少个，列出与之间的函数关系式，根据规定销售单价不低于元，且不高于元可得自变量的取值范围； 根据利润销量单件利润可以得到，利用二次函数的性质求出最大利润； 根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 整理得：， 配方得：， ，抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意可得：剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， ， 解方程， 可得：，， 又，， 要使捐款后每天剩余利润不低于元，则， 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 21. 如图，，是的切线，，为切点，连接，，过点作交于点，过点作，垂足为． （1）求证：． （2）若的半径是，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据切线的性质得，，再根据，，得，则四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得出结论； （2）设，依题意得，，证明和全等得，然后在中，由勾股定理求出，进而可得的长． 【小问1详解】 证明：，是的切线，，是的半径， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ； 【小问2详解】 解：设， 四边形是矩形，的半径是，， ，， ， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 22. 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上． （1）【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析；135 （2）；理由见解析 （3）或；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可；先求出，根据，求出； （2）根据，，证明、P、B、E四点共圆，得出，求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论； （3）分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：135． 【小问2详解】 解：；理由如下： 连接，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、P、B、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示： 根据解析（2）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 即； 当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示： 根据旋转可知，， ∵， ∴、B、P、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． （3）点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； 【小问3详解】 解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $