精品解析：辽宁省沈阳市辽中区2024-2025学年上学期期末教学质量检测七年级数学试卷

辽中区2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查是（ ） A. 调查某班学生的身高情况 B. 调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 C. 调查某批汽车的抗撞击能力 D. 调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量 3. 一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从三个不同方向看到的形状图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 下列说法正确的是（ ） A. 角的度量中， B. 射线的长度为 C. 经过两点可以画并且只能画一条直线 D. 延长直线 5. 若的次数是关于x的方程的解，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 6. 下列结论正确的是（ ） A. 和是同类项 B. 不是单项式 C. 一定比大 D. 是方程解 7. 如果整个地区的观众中青少年、成年人、老年人的人数比为，要抽取容量为的样本，则成年人抽取（ ）合适 A. B. C. D. 8. 如图，是的平分线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 一次秋游活动中，有辆客车共乘坐位师生．若每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位．给出下列4个方程：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 10. 小明计划和爸爸一起自驾游，图1是某月份的日历，用图2框住5个日期，他们的和是50，图2中x是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号？这天能出行吗？（ ）（注：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，以此类推） A. 11，不能 B. 11，能 C. 10，不能 D. 10，能 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为__________度． 12. 折扇主要由扇骨和扇面两部分构成．明明家有三把相同的折扇．完全打开后刚好可以拼成一个半径为的圆形，则一把折扇完全打开所对应的扇形的圆心角为____________，面积为____________．（结果保留） 13. 如图，三棱柱每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为，用含的代数式表示三棱柱的棱上小球总数为_______________________． 14. 在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右移动3个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为_____． 15. 如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“好点”；如图2，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为，当______s时，Q为线段的“好点”． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1） （2） 17. 如图，已知平面上三点A，B，C． （1）请画出图形：①画直线；②画射线；③画线段； （2）在（1）的条件下，数一数图中共有____________条射线； （3）从点B到点C的最短路径是什么？依据是什么？ 18. 我们规定：若关于a的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，且，则为“和解方程”．请根据上述规定解答以下问题：已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求b的值． 19. 已知，． （1）化简； （2）当，，求的值： （3）若的值与y的取值无关，求的值． 20. 我们应该积极学习和关注疫情防控的知识，勤洗手，戴口罩，保持清洁及消毒的习惯．某单位计划用2680元购买A，B，C三种不同的口罩共360包，各种口罩的单价如下表． 口罩种类 A B C 价格/（元/包） 7 8 10 若该单位先用一部分资金购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同，此时正好剩余40元，求m的值． 21. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间（单位：），按劳动时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是________，组所在扇形的圆心角的大小是__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 22. 已知O是AB上的一点，从O点引出射线OC、OE、OD，其中OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠COD是直角，∠DOE＝15°，求∠AOC的度数． （2）如图2，若∠BOD＝60°，∠AOC＝3∠DOE，求∠AOC的度数． （3）将图1中的∠COD（∠COD仍是直角）绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，设∠AOE＝α，∠DOE＝β，请猜想α与β之间存在什么样的数量关系，并说明理由． 23. 背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，． 解：由【背景知识】可得，两点间的距离 线段中点表示的数为 当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 当时， 或 解得，或 当为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）求当为何值时，； 【综合运用】 （2）求当为何值时，线段的中点与表示的点重合； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽中区2024—2025学年度第一学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 （本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）． 【详解】解：A、不是整式方程，故不符合； B、是一元一次方程，故符合； C、含有两个未知数，故不符合； D、最高次数是2次，故不符合． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某班学生的身高情况 B. 调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 C. 调查某批汽车的抗撞击能力 D. 调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意； B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意； C．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意； D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从三个不同方向看到的形状图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的原则解答可得． 【详解】解：几何体分布情况如下图所示： 则小正方体的个数为2+1+1+1=5， 故选B． 【点睛】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 角的度量中， B. 射线的长度为 C. 经过两点可以画并且只能画一条直线 D. 延长直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的单位与角度制、射线与直线的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、角的度量中，，则此项说法错误，不符题意； B、射线没有长度，则此项说法错误，不符题意； C、经过两点可以画并且只能画一条直线，则此项说法正确，符合题意； D、直线无法延长，则此项说法错误，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的单位与角度制、射线与直线，熟练掌握角的单位与角度制、以及相关概念是解题关键． 5. 若的次数是关于x的方程的解，则m的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，解一元一次方程，熟练掌握单项式的次数及解一元一次方程是解题的关键．先求出的次数，即得方程的解，再把这个解代入方程求解即可． 【详解】解：的次数是3， 把代入方程，得， 解得． 故选：A． 6. 下列结论正确的是（ ） A. 和是同类项 B. 不是单项式 C. 一定比大 D. 是方程的解 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据同类项的定义，单项式的定义，相反数的定义以及一元一次方程的解的定义逐一判断即可． 【详解】A．−3ab2和b2a是同类项，故本选项符合题意； B．a是单项式，故本选项不合题意； C．当a为负数时，a＜−a，故本选项不合题意； D.3不是方程-x＋1＝4的解，方程-x＋1＝4的解为x＝-3，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，同类项以及单项式，熟记相关定义是解答本题的关键． 7. 如果整个地区的观众中青少年、成年人、老年人的人数比为，要抽取容量为的样本，则成年人抽取（ ）合适 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】青少年、成年人、老年人的人数比约为3：4：3，所以成年人的人数所占总人数的 ，则根据这个条件就可以求出成年人的人数． 【详解】解：因为样本容量为1000，某地区青少年、成年人、老年人的人数比约为3：4：3， 所以成年人的人数所占总人数的， 故成年人应抽取1000×=400， 故选：B． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 8. 如图，是的平分线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．先求出，再根据角平分线的定义，求出，最后根据角的和差即可求得答案． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ； 故选：D． 9. 一次秋游活动中，有辆客车共乘坐位师生．若每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位．给出下列4个方程：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】有x辆客车共乘坐y位师生，根据“每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位”列方程即可得到结论． 【详解】解：根据总人数列方程，应是60x+10＝62x﹣8， 根据客车数列方程，应该为：． ∴①③正确 故选：A 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程． 10. 小明计划和爸爸一起自驾游，图1是某月份的日历，用图2框住5个日期，他们的和是50，图2中x是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号？这天能出行吗？（ ）（注：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，以此类推） A. 11，不能 B. 11，能 C. 10，不能 D. 10，能 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，读懂题意，并能根据题意列出方程求出日期是解题的关键． 根据题意，得出十字框中的各数的关系，然后列出代数式求出x，再根据x的值得出日期，然后求解即可． 【详解】解：根据题意，可得十字框中的各数分别如下图示： 则 解之得：， 根据日历中的数据，11日刚好是星期四， 根据限行政策：周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7， 则周四限行尾号为4和9， 爸爸的车牌尾号是“9”，不可以出行， 故选：A． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，钟面上8点30分时，时针和分针之间相差个大格，用，即可得出答案． 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，则每一份是， ∴8点30分时，时针和分针所夹的角是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了钟面上角的计算，解题的关键是熟练掌握钟表上一个大格之间的夹角为． 12. 折扇主要由扇骨和扇面两部分构成．明明家有三把相同的折扇．完全打开后刚好可以拼成一个半径为的圆形，则一把折扇完全打开所对应的扇形的圆心角为____________，面积为____________．（结果保留） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据三把相同的折扇完全打开后刚好可以拼成一个半径为的圆形，可得一把折扇完全打开所对应的扇形的圆心角度数，根据扇形的面积公式可得一把折扇的面积，熟知扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：一把折扇完全打开所对应的扇形的圆心角为， 面积为． 故答案为：，． 13. 如图，三棱柱的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为，用含的代数式表示三棱柱的棱上小球总数为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】每条棱上有m个小球，9条棱就有9m个小球，这时，每个顶点处的小球被多计算了2次，于是可得答案． 【详解】解：因为三棱柱有9条棱， 所以9条棱上有9m个小球， 但每个顶点处的小球被多计算2次，6个顶点就被多计算2×6=12次， 所以三棱柱上小球总数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三棱柱的特征、列代数式等知识，掌握正方体的特征是解决问题的前提，考虑每个顶点处的小球被重复计算是解决问题的关键． 14. 在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右移动3个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为_____． 【答案】﹣5或﹣1 【解析】 【分析】先用含a的式子表示出点C，根据CO＝BO列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为2， C点表示的数为a+3 因为CO＝BO， 所以|a+3|＝2， 解得a＝﹣5或﹣1 故答案为：﹣5或﹣1 【点睛】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C，是解决本题的关键． 15. 如图1，点C在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“好点”；如图2，已知．动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中点P到达终点时，运动停止；设运动的时间为，当______s时，Q为线段的“好点”． 【答案】或8 【解析】 【分析】根据题意，得；分、、三种情况分析，分别列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】∵动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动 ∴点P到达终点时，用时为： ∵点P，Q同时出发，点P速度点Q速度，且当其中点P到达终点时，运动停止 ∴ 如图，Q为线段的“好点” ∵点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速运动 ∴，则 根据题意，分、、三种情况分析； 当时， ∴ ∵ ∴符合题意； 当是， ∴ ∵ ∴不符合题意； 当时， ∴ ∵ ∴符合题意 故答案为：或8． 【点睛】本题考查了一元一次方程和线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程、线段的性质，从而完成求解． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）解一元一次方程，先去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化1计算求解； （2）解一元一次方程，先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后系数化1计算求解． 【详解】解：（1） 去括号，可得： 移项，合并同类项， 系数化为，可得： （2） 去分母，可得： 去括号，可得： 移项，合并同类项，可得： 系数化为，可得： 【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握解方程步骤和计算法则正确计算是解题关键． 17. 如图，已知平面上三点A，B，C． （1）请画出图形：①画直线；②画射线；③画线段； （2）在（1）的条件下，数一数图中共有____________条射线； （3）从点B到点C的最短路径是什么？依据是什么？ 【答案】（1）见解析 （2）6 （3）线段；两点之间线段最短 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图，直线、射线、线段，线段的性质，解决本题的关键是掌握线段的性质：两点之间线段最短． （1）①根据直线的定义即可画直线；②根据射线定义即可画射线；③根据线段定义即可画线段． （2）在（1）的条件下，根据射线定义即可得图中射线条数； （3）根据两点之间线段最短即可得从点到点的最短路径． 【小问1详解】 解：如图，①直线即为所求；②射线即为所求；③线段即为所求； 【小问2详解】 解：图中射线为射线，射线，射线，射线，射线，射线， 共6条， 故答案为：6； 【小问3详解】 解：从点到点的最短路径是线段，依据是：两点之间线段最短． 故答案为：线段；两点之间线段最短． 18. 我们规定：若关于a的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：方程的解为，且，则为“和解方程”．请根据上述规定解答以下问题：已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求b的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义和一元一次方程的解以及代数式求值，根据新定义和一元一次方程解的定义得到，，据此推出，，即，，则． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴关于x的一元一次方程的解是， 又∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19. 已知，． （1）化简； （2）当，，求的值： （3）若的值与y的取值无关，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）把，整体代入（1）中计算结果中求解即可； （3）根据与y取值无关即含y的项的系数为0求出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：∵的值与y的取值无关， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． 20. 我们应该积极学习和关注疫情防控的知识，勤洗手，戴口罩，保持清洁及消毒的习惯．某单位计划用2680元购买A，B，C三种不同的口罩共360包，各种口罩的单价如下表． 口罩种类 A B C 价格/（元/包） 7 8 10 若该单位先用一部分资金购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同，此时正好剩余40元，求m的值． 【答案】300 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握每种口罩的总价和单价与数量的关系列代数 式，三种口罩的总价元列方程，是解答本题的关键． 根据m包A种口罩，B，C两种口罩各包，总价列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同． 得， 解得， 答：m的值为300． 21. 为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间（单位：），按劳动时间分为四组：组“”，组“”，组“”，组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是________，组所在扇形的圆心角的大小是__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 【答案】（1）100，；（2）见解析；（3）600人 【解析】 【分析】（1）根据统计图中D组的数据，可以求得本次抽取的人数， 并求得C组所对应的圆心角的度数； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据，得出C组及D组的人数，即可计算出该校平均每周劳动时间不少于的学生人数． 【详解】解：（1）这次调查活动共抽取10÷10%=100（人）， 组所在扇形的圆心角为360°× =108°， 故答案为：100，； （2）B组的学生有：100-15-30-10=45（人）， 补充完整的条形统计图如图所示： （3）解：（人）． ∴估计该校平均每周劳动时间不少于的学生人数大约有600人 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握统计数据的意义． 22. 已知O是AB上的一点，从O点引出射线OC、OE、OD，其中OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠COD是直角，∠DOE＝15°，求∠AOC的度数． （2）如图2，若∠BOD＝60°，∠AOC＝3∠DOE，求∠AOC的度数． （3）将图1中的∠COD（∠COD仍是直角）绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，设∠AOE＝α，∠DOE＝β，请猜想α与β之间存在什么样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）30°；（2）36°；（3）α与β之间存在的数量关系为α﹣β＝90°，理由见解析 【解析】 【分析】（1）易求∠COE＝75°，利用角平分线的定义和邻补角的定义可求结论； （2）设∠DOE＝x，利用角平分线的定义与已知条件列出方程即可求解； （3）由OE平分∠BOC可得∠COE＝∠BOE，设∠COE＝∠BOE＝x，则α＝180°﹣∠BOE＝180°﹣x，β＝90°﹣∠COE＝90°﹣x，将上面两式相减，结论可得． 【详解】解答：解：（1）∵∠COD是直角，∠DOE＝15°， ∴∠COE＝90°﹣15°＝75°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝150°． ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝30°． （2）设∠DOE＝x， ∵∠AOC＝3∠DOE， ∴∠AOC＝3x， ∵∠BOD＝60°， ∴∠BOE＝60+x， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BOE＝120+2x． ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴120+2x+3x＝180． 解得：x＝12． ∴∠AOC＝12×3＝36°． （3）α与β之间存在的数量关系为：α﹣β＝90°．理由： ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOE， 设∠COE＝∠BOE＝x， 则α＝180°﹣∠BOE＝180°﹣x①， β＝90°﹣∠COE＝90°﹣x②， ①﹣②得：α﹣β＝90°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算．利用已知条件设出恰当的未知数列出方程求解是解题的关键． 23. 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，若，则可简化为；线段的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，． 解：由【背景知识】可得，两点间的距离 线段中点表示的数为 当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为 当时， 或 解得，或 当为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）求当为何值时，； 【综合运用】 （2）求当为何值时，线段的中点与表示的点重合； 【拓展提升】 （3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】（1）或；（2）；（3）的长度为5，不会发生变化 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，两点中点计算公式，一元一次方程的应用： （1）先根据两点距离公式求出，再根据题意得到当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为，则，再由得到，解方程即可得到答案； （2）根据中点计算公式得到点C表示的数为，进而根据题意建立方程，解方程即可得到答案； （3）根据中点计算公式得到点E表示的数为，点F表示的数为，再根据两点距离计算公式可得， 【详解】解：（1）由【背景知识】可得，两点间的距离， 当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， ， 当时，， 或， 解得，或， 当为秒或秒时，． （2）∵当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， ∴中点C表示的数为， ∵线段的中点与表示的点重合， ∴， 解得； （3）当点，运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， ∵点为的中点，点为的中点， ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴， ∴的长度为5，不会发生变化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$