七年级数学月考卷（湘教版2024，七年级下册第1章）-学易金卷：2024-2025学年初中下学期第一次月考

1 2024-2025 学年七年级下学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 2 分，共 12 分） 13._________________ 14．___________________ 15. __________________ 16．__________________ 17.___________________ 18．__________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6 分） 20. （6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10 分） 22.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10 分） 24.（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （10 分） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年七年级下学期第一次月考卷 数 学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2024）七年级下册第1章 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．一个三角形的一边长是，这条边上的高是2x，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．若的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2． 6．边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 7．已知，则的值是（　　） A．16 B．4 C． D．8 8．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，你认为这个二项整式应是（　　） A． B． C． D． 9．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 11．算式的结果定（   ） A． B． C． D． 12．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共12分） 13．若，，则 ． 14．若，，则代数式的值是 ． 15．一个长方体的游泳池长为，宽为，高为，则这个游泳池的容积为 ． 16．计算： ． 17．已知：，则 ． 18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： (1)； (2)． 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（10分）规定 (1)求2※3的值； (2)若，求x的值． 22．（10分）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)求正确的计算结果． 23．（10分）如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道．    (1)剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)当，时，剩余草坪的面积是多少平方米？ 24．（10分）若的计算结果中不含x项和项． (1)求p、q的值； (2)求代数式的值 25．（10分）因为，所以．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当多项式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_____时，多项式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的多项式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的多项式能被整除，试求的值． 26．（10分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下学期第一次月考卷 数 学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版（2024）七年级下册第1章 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．一个三角形的一边长是，这条边上的高是2x，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．若的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2． 6．边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 7．已知，则的值是（　　） A．16 B．4 C． D．8 8．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，你认为这个二项整式应是（　　） A． B． C． D． 9．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 11．算式的结果定（   ） A． B． C． D． 12．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共12分） 13．若，，则 ． 14．若，，则代数式的值是 ． 15．一个长方体的游泳池长为，宽为，高为，则这个游泳池的容积为 ． 16．计算： ． 17．已知：，则 ． 18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： (1)； (2)． 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 21．（10分）规定 (1)求2※3的值； (2)若，求x的值． 22．（10分）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)求正确的计算结果． 23．（10分）如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道．    (1)剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)当，时，剩余草坪的面积是多少平方米？ 24．（10分）若的计算结果中不含x项和项． (1)求p、q的值； (2)求代数式的值 25．（10分）因为，所以．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当多项式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_____时，多项式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的多项式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的多项式能被整除，试求的值． 26．（10分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2024-2025学年七年级下学期第一次月考卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题2分，共12分） 13._________________ 14．___________________ 15. __________________ 16．__________________ 17.___________________ 18．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 20. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下学期第一次月考卷 数 学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024七年级下册第1章：整式的乘法 5．难度系数：0.7。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选A． 2．下列运算结果等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、原式，故此选项符合题意； 故选D． 3．下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、中只有相同的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误； B、只有互为相反数的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误； C、能用平方差公式计算，故本选项正确； D、中不存在相同的项与互为相反数的项，，故本选项错误． 故选C． 4．一个三角形的一边长是，这条边上的高是2x，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，得， 即这个三角形的面积为． 故选C． 5．若的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2． 【答案】A 【解析】=x2+(m-1)x-m， ∵计算结果不含x项， ∴m-1=0，解得m=1． 故选A 6．边长分别为和的两个正方形按如图所示的位置摆放，则图中的阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】阴影部分的面积是： ， ， ， 故选A． 7．已知，则的值是（　　） A．16 B．4 C． D．8 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∴ ． 故选A． 8．小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，你认为这个二项整式应是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴染黑的部分为． ∴这个二项整式应是． 故选C． 9．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ，， ∴， 故选D． 10．已知，，，则下列给出，，之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四个选项中只有A选项的关系式错误，符合题意； 故选A． 11．算式的结果定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】原式 ， 故选C． 12．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】设正方形 A，B 的边长分别为，则图甲中阴影部分面积为： ， 图乙中阴影部分面积为： ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共12分） 13．若，，则 ． 【答案】28 【解析】∵，， ∴， 故答案为： ． 14．若，，则代数式的值是 ． 【答案】 【解析】∵，，， ∴； 故答案为：． 15．一个长方体的游泳池长为，宽为，高为，则这个游泳池的容积为 ． 【答案】 【解析】游泳池的容积为 ． 则这个游泳池的容积是． 故答案为： 16．计算： ． 【答案】 【解析】原式 故答案为：． 17．已知：，则 ． 【答案】10 【解析】， ∴， 故答案为：10． 18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算： ． 【答案】 【解析】∵， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算： (1)； (2)． 【解析】（1）解：；（3分） （2）解： ．（6分） 20．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【解析】 ，（3分） 把，代入， 即. （6分） 21．（10分）规定 (1)求2※3的值； (2)若，求x的值． 【解析】（1）， 即值为32；（5分） （2） ∴， ∴．（10分） 22．（10分）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)求正确的计算结果． 【解析】（1）解：根据题意， ．（5分） （2）解： ．（10分） 23．（10分）如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道．    (1)剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)当，时，剩余草坪的面积是多少平方米？ 【解析】（1）解：由题意可得： ；（5分） （2）当，时， （平方米）， 答：剩余草坪的面积是平方米．（10分） 24．（10分）若的计算结果中不含x项和项． (1)求p、q的值； (2)求代数式的值 【解析】（1）解： ， ∵计算结果中不含x项和项， ∴， ∴；（5分） （2）由（1）知：， ∴ ， ．（10分） 25．（10分）因为，所以．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当多项式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_____时，多项式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的多项式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的多项式能被整除，试求的值． 【解析】（1）∵， ∴当或时，， 即：当或时，， 故答案为：2或－1；（2分） （2）根据题意可知：是多项式M的一个因式， 故答案为：多项式M能被整除；（4分） （3）根据题意可知：当时，， 即：当时，， 则， 解得， 答：k的值为3．（10分） 26．（10分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【解析】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （3分） （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除；（6分） （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ．（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C C A A A C D A 11 12 C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13． 14．-4 15． 16． 17．10 18． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 【解析】（1）解：；（3分） （2）解： ．（6分） 20．（6分） 【解析】 ，（3分） 把，代入， 即. （6分） 21．（10分） 【解析】（1）， 即值为32；（5分） （2） ∴， ∴．（10分） 22．（10分） 【解析】（1）解：根据题意， ．（5分） （2）解： ．（10分） 23．（10分） 【解析】（1）解：由题意可得： ；（5分） （2）当，时， （平方米）， 答：剩余草坪的面积是平方米．（10分） 24．（10分） 【解析】（1）解： ， ∵计算结果中不含x项和项， ∴， ∴；（5分） （2）由（1）知：， ∴ ， ．（10分） 25．（10分）因为，所以．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当多项式的值为．阅读上述材料回答问题： （1）由可知，当_____时，多项式的值为； （2）一般地，如果一个关于字母的多项式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____； （3）已知关于的多项式能被整除，试求的值． 【解析】（1）∵， ∴当或时，， 即：当或时，， 故答案为：2或－1；（2分） （2）根据题意可知：是多项式M的一个因式， 故答案为：多项式M能被整除；（4分） （3）根据题意可知：当时，， 即：当时，， 则， 解得， 答：k的值为3．（10分） 26．（10分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【解析】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （3分） （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除；（6分） （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ．（10分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$