微专题 平面向量的运算方式-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 微专题——平面向量的运算方式 题型一：几何运算 在进行向量的线性运算时，借助图形找到共起点就相加或相减，首尾相连就相加； 在找向量夹角时，一定要确保两向量共起点; 在图形中进行向量运算时，根据定义及法则进行运算. 【例1】（多选）对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【变式1-1】化简 . 【变式1-2】在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】正六边形ABCDEF的边长为1，则 . 题型二： 基底转化 在进行向量运算时，发现算不下去的时候，可以考虑基底化再运算； 在三角形中，一般取任意两边作为基底；在平行四边形中，一般取两邻边作为基底. 【例3】在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（    ） A． B． C． D． 【例4】中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2-1】在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则 . 【变式2-2】是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 【变式2-3】已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型三：坐标运算 如果图形中有建系条件时，可以考虑向量坐标化，再进行运算. 【例5】已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 【例6】如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知是边长为的正三角形，点满足， ，则的最大值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式3-2】已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 1．已知，，为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．在中，为的中点，为的中点，过点作一直线分别与边相交于两点，设，则的最小值为 ． 4．我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为 ． 5．在中，是直线上一点且，则（    ） A．-2 B． C． D．0 6．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    7．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 8．已知是内一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为 .    2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 微专题——平面向量的运算方式 题型一：几何运算 在进行向量的线性运算时，借助图形找到共起点就相加或相减，首尾相连就相加； 在找向量夹角时，一定要确保两向量共起点; 在图形中进行向量运算时，根据定义及法则进行运算. 【例1】（多选）对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABD. 【例2】（多选）如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】，A正确; 因为点在以为直径的半圆上，所以，所以，B正确； ，C错误； 过点作交于点，过点作交于点，易得为的中点， 因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确． 故选：ABD 【变式1-1】化简 . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 【变式1-2】在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 【变式1-3】正六边形ABCDEF的边长为1，则 . 【答案】 【详解】正六边形如下图所示，，，且， 所以， 则. 故答案为： 题型二： 基底转化 在进行向量运算时，发现算不下去的时候，可以考虑基底化再运算； 在三角形中，一般取任意两边作为基底；在平行四边形中，一般取两邻边作为基底. 【例3】在艺术、建筑设计中，把短对角线与长对角线的长度之比为的菱形称为“白银菱形”.如图，在白银菱形ABCD中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设O是AC与BD的交点，则， 则 ， 所以 故选：C 【例4】中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意可得 ， ，， 因为，所以， 即， 故，于是. 故选：C. 【变式2-1】在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则 . 【答案】12 【详解】在中，因为D是边BC的中点， 所以， 又，所以，所以. 又因为，所以， 所以 . 故答案为：12. 【变式2-2】是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 【变式2-3】已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】如图： 因为， 所以. 取中点，则， 因为，所以设，， 则，， 所以， 当时，为最大值. 此时为最大值. 故选：D 题型三：坐标运算 如果图形中有建系条件时，可以考虑向量坐标化，再进行运算. 【例5】已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    由图可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设每个小正方形的边长为1， ， 所以， 因为，即， 所以， 所以. 故选：A. 【例6】如图，半径为的扇形的圆心角为120°，点在上，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得，故以为坐标原点，OC，OA所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，. 因为， 所以， 即则所以. 故选：A 【变式3-1】已知是边长为的正三角形，点满足， ，则的最大值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意得点，，在以为圆心、为半径的圆上，取的中点， 以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设，| 由，故 ， 则，， 则，当且仅当时等号成立. 故选 ：A. 【变式3-2】已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，则，即， 以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，， 由点P，Q是线段AB上的动点，设， 于是， 因此，当且仅当时取等号， 而，则当，即时，， 又，当且仅当或时取等号， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式3-3】已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 【答案】/ 【详解】 如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以， 故答案为：. 1．已知，，为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，任意两个向量的夹角均为， 由平行四边形法则可知，， 所以. 故选：B. 2．如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C. 3．在中，为的中点，为的中点，过点作一直线分别与边相交于两点，设，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】首先，我们作出符合题意的图形， 因为为的中点，所以， 由向量加法法则得， ， 设，则， ， 因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 因为不共线，所以， 解得，故， 即，，化简得， 而， 故， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 故，即， 故的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是利用平面向量的线性运算得到，然后对目标式化简后再利用基本不等式得到所要求的最值即可． 4．我国古代数学家赵爽大约在公元222年为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．类比“赵爽弦图”，可构造图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间的小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】如图所示： 连接FB，在中，，即， 所以，在中，， 所以， 在中，，则， 因为， 所以，则，所以， 故答案为： 5．在中，是直线上一点且，则（    ） A．-2 B． C． D．0 【答案】B 【详解】由，，得，由共线， 得，解得，则，， 所以. 故选：B 6．如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则 .    【答案】8 【详解】 ， ， 故答案为： 7．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【详解】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 8．已知是内一点，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设D为BC的中点， 则 ， 则， 所以是的重心，所以． 故选：A. 9．（多选）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 10．如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为 .    【答案】 【详解】以O为原点建立平面直角坐标系，如图：    由题意三角形是边长为2的正三角形，则， 设，则，所以， 所以， 因为，所以，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数（不等式）范围问题解决即可. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$