专题12 平面直角坐标系中的平移规律探究（压轴题常考题型专项提升）2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题12 平面直角坐标系中的平移规律探究 （压轴题常考题型专项提升） 【知识考点 平面直角坐标系】 【题型梳理】 【题型1】 平行坐标轴运动的规律 【题型2】 折线或曲线运动的规律 【题型3】 呈回字形运动的规律 【题型4】 翻折运动的规律 【题型5】 坐标变换的规律 【题型6】 图形变换的规律 【题型1】 平行坐标轴运动的规律 1.（2023-2024七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 2.（2024-2025七年级·重庆江北·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3.（2024-2025七年级·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动个单位长度，依次得到根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4.（2024-2025七年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位长度至点，紧接着第次向左跳动个单位长度至点，第次向上跳动个单位长度至点，第次向右跳动个单位长度至点，第次又向上跳动个单位长度至点，第次向左跳动个单位长度至点……照此规律，点第次跳动至点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（2023-2024七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【题型2】 折线或曲线运动的规律 6.（2024-2025七年级·重庆铜梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点……，按这样的运动规律．点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7.（2024-2025七年级·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2023-2024七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 9.（2024-2025七年级·山东德州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，组成一条平滑的曲线．若点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则经过秒时，点的坐标是(   ) A． B． C． D． 10.（2024-2025七年级·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，．曲线、、叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、的圆心依次是点、、、循环，则点的坐标是 ． 【题型3】 呈回字形运动的规律 11.（2024-2025七年级·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（2023-2024七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，⋯，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 13.（2024-2025七年级·辽宁大连·期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，，则顶点的坐标为 ． 14.（2024-2025七年级·河南驻马店·阶段练习）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，各正方形的边长依次为2，，顶点的坐标分别为，，则顶点的坐标是 ． 15．（2023-2024七年级下·广西南宁·期中）如图，正方形，，，…，（每个正方形的顶点从第三象限开始，按顺时针方向，依次记为；；；…）正方形的中心均在坐标原点处，各边均与轴或轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点的坐标为 ． 【题型4】 翻折运动的规律 16.（2024-2025七年级·湖南长沙·期末）如图，正方形的顶点，规定把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 17.（2024-2025七年级·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 18.（2024-2025七年级·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，，则点的坐标为______． 19.（2024-2025七年级·广东惠州·期中）如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为 ． 20.（2023-2024七年级·辽宁盘锦·期中）如图将边长为1的正方形OAPB沿着x轴正方向连续翻转2022次，P点依次落在点、、、……、的位置，那么点的坐标为 ． 【题型5】 坐标变换的规律 21.（2024-2025七年级·安徽六安·期末）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，（为大于的整数），如这组数为，则，，…当这组数为时，（   ） A． B． C． D． 22.（2024-2025七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： ①f（a，b）＝（﹣b，﹣a），如f（1，3）＝（﹣3，﹣1）； ②g（a，b）＝（b，a），如g（1，3）＝（3，1）； ③h（a，b）＝（﹣a，b），如h（1，3）＝（﹣1，3）． 且规定了运算顺序是“由内到外”，例如按照以上规定有：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（﹣2，3），那么f（g（h（5，﹣3）））＝ ． 23.（2024-2025七年级·湖北省直·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 24.（2024-2025七年级·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，若规定以下两种变换： ①．如； ②，如． 按照以上变换有：，那么 ． 25.（2024-2025七年级·黑龙江绥化·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，若规定以下两种变换： ①．②， 例如按照以上变换有：；． 如果有数a、b，使得，则 ． 【题型6】 图形变换的规律 26.（2023-2024七年级下·山东济宁·期中）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第次碰到球桌边时，小球的位置是 ． 27．（2023-2024七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，…，按照这样的规律运动下去，则三角形的面积是 ． 28.（2023-2024七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 29.（2023-2024七年级·广东梅州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将变换成△；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△变换成△，则的坐标为 ，的坐标为 ． (2)按以上规律将进行次变换得到△，则的坐标为 ，的坐标为 ； (3)△的面积为 ． 30.（2024-2025七年级·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：； (1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． (2)若按第（1）题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 平面直角坐标系中的平移规律探究 （压轴题常考题型专项提升） 【知识考点 平面直角坐标系】 【题型梳理】 【题型1】 平行坐标轴运动的规律 【题型2】 折线或曲线运动的规律 【题型3】 呈回字形运动的规律 【题型4】 翻折运动的规律 【题型5】 坐标变换的规律 【题型6】 图形变换的规律 【题型1】 平行坐标轴运动的规律 1.（2023-2024七年级下·云南大理·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，沿着循环爬行，其中点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标规律探索，根据蚂蚁的运动规律找出“蚂蚁每运动12个单位长度是一圈”是解题的关键．先求出的长，再用2024除以上述长度，利用余数来确定蚂蚁的位置. 【解答】解：点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 则，余数为8， 故可判断蚂蚁爬了168个循环后，停在了点， 故选：C． 2.（2024-2025七年级·重庆江北·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是平面直角坐标系中点的规律性问题，求出一些点的坐标并发现规律是解决此类问题的关键. 首先根据分析可求出点和点每秒相遇一次，再求出每次相遇点的坐标，可发现次一循环，从而可求出的坐标. 【解答】解：由题意可知即长方形的周长为, 分析可知，每一次相遇后出发到再相遇点和点所运动的路程和为， 设点与点每次相遇所需时间为秒， 则解得： 即每秒相遇一次， 则根据运动方式可求出 ……… 可以发现相遇点的坐标次一循环， 则的坐标与坐标一样， 即 故选:A. 3.（2024-2025七年级·江西新余·期末）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动个单位长度，依次得到根据这个规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键． 先根据图中点的排列，找出规律，再计算求解． 【解答】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，个点为一个周期，一周期横坐标增加， ∴， ∴所以点的横坐标为， 则点的纵坐标与的纵坐标是相同的， 由图易知，点的纵坐标为，即点的纵坐标为， 点的坐标为， 故选：． 4.（2024-2025七年级·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，点．点第次向上跳动个单位长度至点，紧接着第次向左跳动个单位长度至点，第次向上跳动个单位长度至点，第次向右跳动个单位长度至点，第次又向上跳动个单位长度至点，第次向左跳动个单位长度至点……照此规律，点第次跳动至点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标的规律探索，解题的关键是准确找出点的坐标变化规律．设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化确定变化的规律，结合，即可求解． 【解答】解：设第次跳动至点， 观察发现：，，，，，，，，，，..． ∴，，，，（为自然数）， ∵， ∴， 即． 故选：C． 5．（2023-2024七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【解答】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 【题型2】 折线或曲线运动的规律 6.（2024-2025七年级·重庆铜梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点……，按这样的运动规律．点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，每5个点循环一次，由，可知与具有相同的特征，由，，，可推导一般性规律为，由，可求，则，求解作答即可． 【解答】解：由题意知，每5个点循环一次， ∵， ∴与具有相同的特征， ∵，，， ∴可推导一般性规律为， ∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 7.（2024-2025七年级·湖北武汉·期末）如图，长方形是由边长为1的小正方形组成的3×6的网格，动点P从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2024次碰到长方形的边时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型中点的坐标．根据点的碰撞可得出：，，，，，，，…，根据点的坐标的变化可得出点的坐标6次一循环，再结合即可得出结论． 【解答】解：如图， 根据题意得：，，，，，，，…， ∴点的坐标6次一循环． ∵， ∴当点P第2024次碰到矩形的边时，点P的坐标为． 故选：C． 8．（2023-2024七年级下·北京·期末）如图，点，点，点，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．根据题意得： ，，，，……，由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律，即可求解． 【解答】解：根据题意得： ，，，，……， 由此发现：脚标为偶数的点的坐标的规律为， ∵， ∴点的坐标为． 故答案为：． 9.（2024-2025七年级·山东德州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，组成一条平滑的曲线．若点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则经过秒时，点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点的规律变化，求出移动次纵坐标完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【解答】解：半径为个单位长度的半圆的弧长为 ， 点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点每秒走个半圆， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， 当点从原点出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为秒时，点的坐标为， ， 点的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以、、、为一个周期依次循环， ， 的坐标是， 故选：D． 10.（2024-2025七年级·广东惠州·期中）如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，．曲线、、叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、的圆心依次是点、、、循环，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解．先分别求出的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是，从中找出规律，依规律计算即可． 【解答】解：从图中可以看出的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是； 由题意可知，， 点的坐标是的坐标循环后的点． 依次循环则的纵坐标是，，，，横坐标是可以用为自然数）表示． 当时， ． 的坐标是； 故答案为：． 【题型3】 呈回字形运动的规律 11.（2024-2025七年级·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为，结合即可． 【解答】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形， ，，．．． ∴在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为， ∵， ∴点的坐标为． 故选：A． 12．（2023-2024七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，⋯，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点，，，的坐标，再归纳类推出一般规律即可得． 【解答】解：由题意得：，即， ，即， ，即， ，即， 观察可知，当n为奇数时，在第三象限；当n为偶数时，在第一象限； 点的坐标为，其中横纵坐标的， 点的坐标为，其中横纵坐标的， 点的坐标为，其中横纵坐标的， 以此类推得：点的横纵坐标为，即坐标为，其中n为奇数， ∴点的横纵坐标为为，即坐标为． 故选：B 13.（2024-2025七年级·辽宁大连·期中）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图象可知，每三个点一组，根据，得出是第34个正方形中的第一个点，根据，，，……得出第n个正方形中点，最后把代入求出结果即可． 【解答】解：由图象可知，每三个点一组， ∵， ∴是第34个正方形中的第一个点， ∵，，，…… ∴第n个正方形中点， 当时，， ∴． 故答案为：． 14.（2024-2025七年级·河南驻马店·阶段练习）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，各正方形的边长依次为2，，顶点的坐标分别为，，则顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的规律探索，能根据已知找出规律是解题的关键． 根据题意发现规律：从开始，每4个点在同一个正方形的顶点上，按“一、二、三、四”象限的顺序排序，且点的坐标绝对值都等于所在正方形的序数，故计算，知道是第506个正方形的顶点，且在第四象限，据此得出的坐标即可． 【解答】解：根据题意发现规律：从开始，每4个点在同一个正方形的顶点上，按“一、二、三、四”象限的顺序排序，且点的坐标绝对值都等于所在正方形的序数， ∵， ∴顶点是第506个正方形的顶点，且在第四象限， ∴顶点的坐标：横坐标是506，纵坐标是， ∴． 故答案为：． 15．（2023-2024七年级下·广西南宁·期中）如图，正方形，，，…，（每个正方形的顶点从第三象限开始，按顺时针方向，依次记为；；；…）正方形的中心均在坐标原点处，各边均与轴或轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，则顶点的坐标为 ． 【答案】． 【分析】观察图形，由第四象限点的坐标的变化可得出“点的坐标为（为非负整数）”，再结合，即可求出点的坐标． 【解答】解：观察图形可知： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …… 点的坐标为（为非负整数）， 点的坐标为（为非负整数）， 点的坐标为（为非负整数）， 点的坐标为（为非负整数）， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【题型4】 翻折运动的规律 16.（2024-2025七年级·湖南长沙·期末）如图，正方形的顶点，规定把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了对称与平移的性质，属于规律性题目，首先由正方形的顶点，，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点C的对应点的坐标，即可得规律，进而求解． 【解答】∵正方形的顶点， ∴ 根据题意得：第1次变换后的点C的对应点的坐标为 第2次变换后的点C的对应点的坐标为 第3次变换后的点C的对应点的坐标为 …… 第n次变换后的点C的对应点的坐标为，当n为奇数时为；当n为偶数时为 ∴连续经过2024次变换后，正方形的顶点的坐标为 故选：C． 17.（2024-2025七年级·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2023次滚动后顶点的坐标． 【解答】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 第5次滚动点的坐标为， …， 每滚动4次一个循环， ，，，， ， ， 即， 故选：B． 18.（2024-2025七年级·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】见解析 【解答】解：， 所以点； 继续旋转得， ； … 发现规律： ． 所以点的坐标为． 故答案为：． 19.（2024-2025七年级·广东惠州·期中）如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现每翻滚四次，点的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现是解题的关键． 根据所给运动方式，依次求出点A的对应点坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：根据所给翻滚方式可知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； …， 由此可见，每翻滚四次，点的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现， 又因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 20.（2023-2024七年级·辽宁盘锦·期中）如图将边长为1的正方形OAPB沿着x轴正方向连续翻转2022次，P点依次落在点、、、……、的位置，那么点的坐标为 ． 【答案】． 【分析】根据翻转的特点，依次得出、、、、、，寻找出规律即可求解． 【解答】∵正方形的边长为1， ∴P点的坐标为(-1，1)， 根据连续翻转的特点可知，经过第一次翻转后，以后每翻转一次，p点的横坐标加1，而纵坐标则在1和0之间循环变化， 即结合图形可得： 第1次翻折后：； 第2次翻折后：； 第3次翻折后：； 第4次翻折后：； 第5次翻折后：； 第6次翻折后：； ．．． 依次类推，可知翻转n次时，P点的横坐标为n， 当n为偶数时，p点的纵坐标为0， 当n为奇数时，p点的纵坐标为1， 即可得第2022次翻折后：； 故答案为：． 【题型5】 坐标变换的规律 21.（2024-2025七年级·安徽六安·期末）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：，（为大于的整数），如这组数为，则，，…当这组数为时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义点的坐标，根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键． 【解答】解：当这组数为时， ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 22.（2024-2025七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： ①f（a，b）＝（﹣b，﹣a），如f（1，3）＝（﹣3，﹣1）； ②g（a，b）＝（b，a），如g（1，3）＝（3，1）； ③h（a，b）＝（﹣a，b），如h（1，3）＝（﹣1，3）． 且规定了运算顺序是“由内到外”，例如按照以上规定有：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（﹣2，3），那么f（g（h（5，﹣3）））＝ ． 【答案】（5，3） 【分析】根据题意找到运算法则f、g、h，然后运用相应的运算法则解答． 【解答】解：由题意知，f（g（h（5，﹣3）））＝f（g（﹣5，﹣3））＝f（﹣3，﹣5）＝（5，3）． 故答案是：（5，3）． 【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，关于x轴、y轴对称的点的坐标．解题的关键是弄清楚f、g、h所对应的运算法则． 23.（2024-2025七年级·湖北省直·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，，这样依次得到点，，，，，．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查点的坐标规律，理解伴随点的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．根据伴随点的定义依次求出各点的坐标，每4个点为一个循环组依次循环，用2024除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【解答】解：点的坐标为，根据伴随点的定义得， ，，，， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， 对于，为正整数，有，，，， ，即当时，有 点的坐标为为． 故答案为：． 24.（2024-2025七年级·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，若规定以下两种变换： ①．如； ②，如． 按照以上变换有：，那么 ． 【答案】（-7，6） 【分析】先根据题意求出，即可求出． 【解答】解：由题意得， ∴， 故答案为：（-7，6）． 【点评】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意是解题的关键． 25.（2024-2025七年级·黑龙江绥化·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，若规定以下两种变换： ①．②， 例如按照以上变换有：；． 如果有数a、b，使得，则 ． 【答案】 【分析】先根据，推出，进而求出，据此求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为： 【点评】本题主要考查了新定义，解决的关键是理解相关定义，难点是确定运算顺序． 【题型6】 图形变换的规律 26.（2023-2024七年级下·山东济宁·期中）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第次碰到球桌边时，小球的位置是 ． 【答案】． 【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第次碰到球桌边时小球的位置． 【解答】解：由图可得，点第一次碰撞后的位置的坐标为， 第二次碰撞后的位置的坐标为， 第三次碰撞后的位置的坐标为， 第四次碰撞后的位置的坐标为， 第五次碰撞后的位置的坐标为， 第六次碰撞后的位置的坐标为，， ∴小球位置每6次为一个周期依次循环， ， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 故答案为：． 27．（2023-2024七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，…，按照这样的规律运动下去，则三角形的面积是 ． 【答案】1012． 【分析】根据图形可得，当点A的下标为奇数时，该点在x轴上，再依次计算出，，的面积，总结出一般规律，即可求解． 【解答】解：根据题意可得： ，，，……， ∵， ∴， ， ， ， …… ， 当时，解得：， ∴， 故答案为：1012． 28.（2023-2024七年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形，变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形变换成，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)若按（1）题找到的规律，将三角形进行次变换，得到三角形，则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律，进而得出答案； （2）结合（1）中发现规律得出一般公式即可． 【解答】（1）解：，，； 点横坐标为，纵坐标依次为：2，，， 的纵坐标为：， ， ，，， 点横坐标为0，纵坐标依次为：，，， 的纵坐标为：， ， 点的坐标为，点的坐标为； （2）（2）由（1）得出：，， 点的坐标是，的坐标是． 【点评】此题考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A、B点横纵坐标变化规律是解题关键． 29.（2023-2024七年级·广东梅州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将变换成△；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△变换成△，则的坐标为 ，的坐标为 ． (2)按以上规律将进行次变换得到△，则的坐标为 ，的坐标为 ； (3)△的面积为 ． 【答案】(1)， (2)，，， (3) 【分析】（1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【解答】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 故答案为：，． （2）由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：，． 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：，； 故答案为：，，，； （3）的坐标为：，，的坐标为：，， △的面积为． 【点评】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． 30.（2024-2025七年级·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：； (1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． (2)若按第（1）题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律． （1）根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标即可； （2）根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点B的坐标的长度每变化一次横坐标就变为上一次的2倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0，然后写出即可． 【解答】（1）解：根据图形变换的规律： ∵； ∴点的坐标为； ∵； ∴点的坐标为 ； （2）解：由图形变换的规律可得： 点坐标为：； 点的坐标为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$