专题11 平面直角坐标系中的面积问题（压轴题常考题型专项提升）2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题11 平面直角坐标系中的面积问题 （压轴题常考题型专项提升） 【知识考点 平面直角坐标系】 【题型梳理】 【题型1】 两边在坐标轴上的三角形的面积 【题型2】 一边在坐标轴上的图形的面积 【题型3】 各边都不在坐标轴上的图形的面积 【题型4】 平行于坐标轴的图形的面积 【题型5】 由面积之间的关系求点的坐标 【题型6】 新定义下的面积问题 【题型7】 与面积有关的存在性探究 【题型1】 两边在坐标轴上的三角形的面积 1.（2024-2025七年级·广东清远·期末）已知A(0，4)，点B在x轴上，AB与坐标轴围成的三角形面积为2，则点B的坐标为(   ) A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1) 【答案】B 【分析】根据点A、B的坐标可找出OA、OB的长度，再根据三角形的面积公式即可求出。 【解答】∵三角形的面积=×4×|OB|=2， ∴|OB|=1， ∴B（1，0）或（-1，0）． 故选：B. 【点评】此题主要考查了平面图形与坐标的关系，利用三角形的面积求出OB的长是关键，特别是要明确注意：在x轴上到原点的距离为一个定值的点有两个. 2.（2024-2025七年级·吉林长春·期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（ ） A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4 【答案】D 【分析】根据点A、B的坐标可找出OA、OB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】∵A（a，0），B（0，10）， ∴OA=|a|，OB=10， ∴S△AOB=OA•OB=•10|a|=20， 解得：a=±4． 故选D． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积公式列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键． 3.（2024-2025七年级·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，的面积是10，则点C的坐标是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形．设点C的坐标是，则，根据，即可求解． 【解答】解：设点C的坐标是，则， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴在x轴上，且， ∵的面积是10，， ∴， ∴， ∴点C的坐标是或． 故选：C 4.（2024-2025七年级·江苏南通·阶段练习）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个． 根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意取正负数都符合题意． 【解答】解：直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10，， 那么， 解得：， 所以或． 故选：B． 5.（2024-2025七年级上·安徽安庆·期末）平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即. （1）求点的勾股值； （2）若点在第一象限且满足，求满足条件的所有点与坐标轴围成的图形的面积. 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）由勾股值的定义即可求解； （2）设B点的坐标为（x，y），由「B」=3，得到方程|x|+|y|=3，得到，于是得到所有点B围成的图形是边长为3的三角形，则面积可求． 【解答】解：（1）； （2）设，由知，， 又在第一象限，，，得， 即 ， 故所有点组成的图形与坐标轴交点坐标分别为：，， 故其面积为：. 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键． 【题型2】 一边在坐标轴上的图形的面积 6.（2024-2025七年级·海南·期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（   ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据点的坐标，求得，根据进行计算即可求解． 【解答】解： ，，， ，， 则 故选A 【点评】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 7.（2024-2025七年级·安徽亳州·阶段练习）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据三角形的面积求出的长，再分点在点的左边与右边两种情况讨论求解． 【解答】解：点， ， 解得， 若点在点的左边，则， 此时，点的坐标为， 若点在点的右边，则， 此时，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或， 故选：D． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 8.（2024-2025七年级·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（   ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 【答案】C 【分析】根据，即可求解． 【解答】解：如图所示，，，， ∵图上一个单位长度表示10米， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 9.（2024-2025七年级·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 【答案】 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解题的关键是将四边形的面积转换成三角形面积． 连接，根据即可求解； 【解答】连接， ， ， ， 故答案为：． 10.（2024-2025七年级·湖北十堰·期中）如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作轴，与轴交于点，用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出的面积，再求出的值，进而可得的值，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． 【解答】解：如图，作轴，与轴交于点， 由题意可得， ， ， ∴， ∵， ∴， 当时，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 当时，即， 解得， ∴点的坐标为， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 【题型3】 各边都不在坐标轴上的图形的面积 11.（2024-2025七年级·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（   ） A．12 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】过点A作轴于D，利用，求出，和进而进行求解即可． 【解答】过点A作轴于D，如图所示： 由题意可得，，， ，， ∴， ∴， ， 即， 故选：D． 【点评】本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键． 12.（2024-2025七年级·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（   ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【解答】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 13.（2024-2025七年级·重庆长寿·期末）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积为，请写出所有满足条件的点的坐标 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点在轴上和点在轴正半轴上和点在轴负半轴上上三种情况，利用三角形的面积公式求出或的长度，即可求解． 【解答】解：若点在轴上，则， 解得， 所以，点的坐标为或，即或， 若点在轴正半轴上，则， 解得， 所以，点的坐标为， 若点在轴负半轴上，则， 解得， 所以，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 14.（2024-2025七年级·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，有点，点． （1）当A，B两点关于直线对称时，求的面积； （2）当线段轴，且时，求的值． 【答案】（1）3；（2）0或6 【分析】（1）根据A，B两点关于直线对称求出a、b的值，再画出图象求出的面积； （2）根据轴得到A、B两点横坐标相等，由得到，求出a、b的值，得到的值． 【解答】解：（1）∵A，B两点关于直线对称， ∴，解得， ∴， 则，， 如图所示， ； （2）∵轴， ∴， ∵， ∴，解得或， ∴或． 【点评】本题考查点坐标的求解，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点坐标的对称关系，三角形的面积求解方法． 15.（2024-2025七年级·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为． (1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）； (2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形，则点，，的坐标分别是（______），（______），（______）； (3)计算三角形的面积． 【答案】(1)， (2)，， (3)5 【分析】本题考查了坐标与图形、平移等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据直角坐标系中三点的位置即可求解； （2）根据平移方向和距离即可求解； （3）利用“割补法”即可求解； 【解答】（1）解：根据直角坐标系中三点的位置可得：，， 故答案为：，； （2）解：∵将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴，，， 即：，，， 故答案为：，，； （3）解：三角形的面积． 【题型4】 平行于坐标轴的图形的面积 16.（2024-2025七年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 【答案】B 【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到轴，，高为，利用面积公式直接计算可得． 【解答】解：∵四边形是平行四边形，， ∴轴，，高为， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 17.（2024-2025七年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点构成的的面积是 ． 【答案】4 【分析】根据得轴，轴，继而得到直角三角形，计算面积即可，本题考查了点的坐标特征与坐标轴的关系，熟练掌握判定坐标与坐标轴的关系是解题的关键． 【解答】∵ ∴轴，轴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：4． 18.（2024-2025七年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，根据，，，，得出，，，，利用割补法求出四边形的面积即可． 【解答】解：延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G， ∵，，，， ∴轴，轴， ∴，， ∴，， ， ， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：． 19.（2024-2025七年级·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，且，． (1)直接写出点，，的坐标； (2)若动点从原点O出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)4 (3)， 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了线段长的求法，点的坐标的确定，三角形四边形面积的计算，解本题的关键是面积的计算． （1）根据线段的长和线段的特点确定出点的坐标； （2）先求出，从而得到 ，求出，即可得到答案； （3）根据四边形的面积求出的面积是32，最后求出点Q的坐标． 【解答】（1）解：∵点A、C在x轴上，． ∴， ∵C在y轴上，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， 设运动时间t秒， ∴，        ∴， ∴； （3）解：设， ∵， ∴   ∴ ， ，       ∴，． 20．（2023-2024七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】(1)，3；， (2)秒 (3)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质求解； （2）设秒后轴，构建方程求解； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【解答】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，， 故答案为：，3；，； （2）设秒后轴，则有， 解得，时，轴； （3）①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ． ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ． 综上所述，与的关系为：或或． 【点评】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【题型5】 由面积之间的关系求点的坐标 21.（2024-2025七年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，，是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程并求解即可． 【解答】解：如下图，当AB将图案分成面积相等的两部分时， 则有， 即，解得． 故选：A． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关键． 22.（2024-2025七年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点，则有，，然后根据与的面积关系可进行求解． 【解答】解：设点，则有，， ∵的面积是的面积的3倍， ∴ 解得：或， ∴点或； 故答案为或． 23.（2024-2025七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点坐标是，先分别求出三角形和三角形的面积，再根据三角形和三角形的面积相等建立方程，解方程即可得答案． 【解答】解：如图，由题意，设点坐标是， ∵，， ， ∴，，三角形的边上的高为1， ∴三角形的面积为，三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴， 解得或， 则点坐标是或， 故答案为：或． 24.（2024-2025七年级·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，，，若的面积为面积的2倍，则的值为 【答案】12或 【分析】由点的横坐标相等，得出轴，，点到的距离为，根据的面积为面积的2倍，建立方程，解方程即可求解． 【解答】解：∵、、的坐标分别为， ∴轴，， 点到的距离为 ∵若的面积为面积的2倍， ∴ 即 解得或 故答案为：或． 【点评】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解题的关键． 25.（2024-2025七年级·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，点C是第一象限内一点且轴，将线段经过一定的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接，，点P为y轴上一动点，当时，点P的坐标为 ．（注：表示的面积） 【答案】或． 【分析】根据三角形的面积求出，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可求解． 【解答】解：如图，过点D作于点E，在y轴取点P，连接， ∵轴，将线段经过一定的平移得到线段，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴点， ∵将线段进行适当的平移得到线段，， ∴， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性质是解题的关键． 【题型6】 新定义下的面积问题 26.（2024-2025七年级·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，铅垂高：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，，，，则“水平底”，“铅垂高”，矩面积．若，、，、，三点的矩面积为，则的值为( ) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意可以求得的值，然后再对进行讨论，即可求得的值． 【解答】由题意可得， “水平底”， 当时，， 则， 解得，， 故点的坐标为，； 当时，， 故此种情况不符合题意； 当时，， 则， 解得， 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 27.（2024-2025七年级·福建厦门·期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”，现有以下结论： 第一象限内有无数个“吉祥点”； 第三象限内不存在“吉祥点”； 已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； 已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”三角形的面积记为，则．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可． 【解答】由横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”， 则第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法正确； ∵第三象限的横、纵坐标都为负数， ∴第三象限内不存在“吉样点”，故说法正确； ∵，， ∴轴， ∵点是“吉祥点”且在坐标轴上， ∴点或， 则到直线的距离为或，故说法错误； ∵，， ∴轴，， ∵点是第一象限内的“吉祥点”， ∴设，则有：， 根据题意可知：， 则：，故说法正确； 综上可知，说法正确； 故选． 【点评】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 28.（2024-2025七年级·北京·期中）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（   ） ①双扭线围成的面积小于6； ②双扭线内部（包含边界）包含个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）； ③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3； ④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点，则满足三角形的面积等于3的P点有4个． A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，①根据、双扭线围成的面积即可判断；②由图即可判断；③两点与原点距离最大，即可判断；④设的高为，可得即可判断； 【解答】解：如图所示： ， 由对称性可知：双扭线围成的面积，故①错误； 由图可知：双扭线内部包含4个整数点，边界上有7个整数点，共11个，故②正确； 由图可知：两点与原点距离最大，为3，故③正确； 设的高为， ∵ ∴ 由图可知：点均满足题意，故④正确； 故选：C 29.（2024-2025七年级·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义两点的“分解距离”为：若，则为P，Q的“分解距离”，即；若，则为P，Q的“分解距离”，即．定义两点的“和距离”为：与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，则________，________ (2)若点在第一象限，且，求点B的坐标； (3)若点（，），且，写出三个符合条件的点C的坐标，并判断这些点是否在一条直线上，若在一条直线上，请直接写出这条直线与坐标轴围成的面积；若不在，请说明理由． 【答案】(1)2；3 (2)或； (3)，，；符合条件的点C在一条直线上；这条直线与坐标轴围成的面积为 【分析】本题主要考查坐标系下两点间的距离．理解并掌握和的定义，是解题的关键． （1）根据和的定义，进行计算即可； （2）分或两种情况讨论求解即可； （3）①根据，，，得出，说明符合条件的点C在一条直线上，求出与坐标轴围成的三角形的面积即可． 【解答】（1）解：∵， ∴； ； 故答案为：2；3． （2）解：∵， ∴或， ∵B点在第一象限， ∴或， ∴或， 即点B的坐标为或； （3）解：∵， 又∵，， ∴， 当时，，即此时， 当时，，即此时， 当时，，即此时， ∵符合条件的点C的横纵坐标符合，即， ∴符合条件的点C在一条直线上，如图所示： 这条直线与坐标轴围成的面积为． 30．（2022-2023七年级下·福建厦门·期末）若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； （2）在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点，，的对应点分别是点，，．已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且． ①若点是“横和点”，且三角形的面积为2，求的值； ②若点的坐标是，点恰好落在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】（1）根据“横和点”的定义进行求解即可； （2）①先根据“横和点”的定义推出，，再根据点坐标的平移规律得到三角形向右平移m个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形，进而推出，再由三角形的面积为2，列出方程求解即可； ②先求出，再根据点坐标平移规律推出，进而求出点F的坐标为，由此根据“横和点”的定义判断即可． 【解答】（1）解：（1）点是“横和点”，理由如下： ∵， ∴点是“横和点”； （2）解：①∵点是“横和点”， ∴，即 又∵点是“横和点”， ∴，即， ∵将三角形平移得到三角形，点D与点B的纵坐标相同，点E与点A的横坐标相同， ∴三角形向右平移m个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形， ∴，即， ∵三角形的面积为2， ∴， ∴ ∴， 解得（负值舍去）； ②点F是否为“横和点”，理由如下： ∵点E落在x轴上， ∴， ∵将三角形平移得到三角形， ∴，即， ∴， ∵点的坐标是， ∴点F的坐标为，即， ∵， ∴点F是“横和点”． 【题型7】 与面积有关的存在性探究 31．（2023-2024七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2)存在点满足，点的坐标为或 (3)点在运动过程中，或． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解； （2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解； （3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解． 【解答】（1）解：已知点，点，将线段平移至， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴； （2）解：存在，理由如下， 设点，则，且，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， 当时，， 解得，，则； 当时，， 解得，，则； 综上所述，存在点满足，点的坐标为或； （3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合）， 第一种情况，当点在上时，如图所示，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，点在运动过程中，或． 32.（2024-2025七年级·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系内，为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点的坐标是 ； (2)如图2，过点作轴于点，在轴上有一动点，求三角形的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点，使得三角形的面积为22，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)点P的坐标为或． 【分析】本题考查了点的平移，在平面直角坐标系中动点产生三角形的面积； （1）由点的平移即可求解； （2）由即可求解； （3）分情况讨论：当在的上方时，将补成直角梯形；当在的下方时，将补成直角梯形，根据割补法求解． 【解答】（1）解：由平移得：即； （2）解：∵，，动点在轴上， ； （3）解：当在的上方时， 如图，将补成直角梯形， 设点P的坐标为，则点E的坐标为，点F的坐标为， 当，则， 此时点P的坐标为， 当在的下方时， 如图，将补成直角梯形， 设点P的坐标为，则点M的坐标为，点M的坐标为， 当，则， 此时点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或． 33.（2024-2025七年级·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了平移、坐标与图形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握平移的性质． （1）直接根据变化情况，写出两点坐标即可； （2）根据平行四边形的面积公式求解即可； （3）根据的面积是的面积的2倍求出的长，进而可求出点F的坐标． 【解答】（1）∵，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D， ∴，； 故答案为：，； （2） ； （3）存在， ∵，， ∴， ∵的面积是的面积的2倍 ∴ ∴ ∴． ∵， ∴点F的坐标为或． 34.（2023-2024七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； ； (2)点在上运动时，，点P在上运动时， (3)存在，或. 【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标； （2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答； （3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可． 【解答】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发5秒时，运动的距离为10个单位长度， 此时点在上，且， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时， ， 点的坐标为， 点的坐标为； （3）解：四边形的面积为， ， 当点在上运动时，边上的高为4， 即， 解得， 点的坐标为或， 35.（2023-2024七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点，其坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，几何图形的面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点，点的坐标可得平移规律，再根据平移规律即可求解； （2）根据点可得平移规律，连接，根据可求点的平移，再求出点的坐标； （3）根据题意，先计算出，再根据题意，分类讨论：①当P在x轴上方时；②当在轴下方时；根据几何图形面积的计算即可求解． 【解答】（1）解：已知点的坐标为，点的坐标为，平移后点的对应点为，若点的坐标为， 平移后的对应点， 设，， ，， 即：点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴，， 点平移后的对应点； （2）解：点在轴上，点在第二象限，，， ∴点向左平移个单位， ∴点向左平移个单位，横坐标为：，即点的横坐标为， ∵对应点在第二象限， ∴设点向上平移了个单位， 线段向左平移个单位，再向上平移个单位，符合题意， ，， ∴，， 如图所示，连接， ∴， ∴， ， ， ，； （3）解：由（2）得， ∵，， ∴， ①当P在x轴上方时，如图1， ， ， ∴； ②当在轴下方时，如图2， ， ， ∴， 存在点，其坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 平面直角坐标系中的面积问题 （压轴题常考题型专项提升） 【知识考点 平面直角坐标系】 【题型梳理】 【题型1】 两边在坐标轴上的三角形的面积 【题型2】 一边在坐标轴上的图形的面积 【题型3】 各边都不在坐标轴上的图形的面积 【题型4】 平行于坐标轴的图形的面积 【题型5】 由面积之间的关系求点的坐标 【题型6】 新定义下的面积问题 【题型7】 与面积有关的存在性探究 【题型1】 两边在坐标轴上的三角形的面积 1.（2024-2025七年级·广东清远·期末）已知A(0，4)，点B在x轴上，AB与坐标轴围成的三角形面积为2，则点B的坐标为(   ) A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1) 2.（2024-2025七年级·吉林长春·期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（ ） A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4 3.（2024-2025七年级·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，的面积是10，则点C的坐标是（   ） A． B． C．或 D． 4.（2024-2025七年级·江苏南通·阶段练习）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 5.（2024-2025七年级上·安徽安庆·期末）平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即. （1）求点的勾股值； （2）若点在第一象限且满足，求满足条件的所有点与坐标轴围成的图形的面积. 【题型2】 一边在坐标轴上的图形的面积 6.（2024-2025七年级·海南·期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（   ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 7.（2024-2025七年级·安徽亳州·阶段练习）已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 8.（2024-2025七年级·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（   ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 9.（2024-2025七年级·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，，则四边形的面积是 10.（2024-2025七年级·湖北十堰·期中）如图，、、、，点在轴上，直线将四边形的面积分成两部分，则的长为 ． 【题型3】 各边都不在坐标轴上的图形的面积 11.（2024-2025七年级·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（   ） A．12 B． C．13 D． 12.（2024-2025七年级·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（   ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 13.（2024-2025七年级·重庆长寿·期末）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积为，请写出所有满足条件的点的坐标 ． 14.（2024-2025七年级·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，有点，点． （1）当A，B两点关于直线对称时，求的面积； （2）当线段轴，且时，求的值． 15.（2024-2025七年级·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为． (1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）； (2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形，则点，，的坐标分别是（______），（______），（______）； (3)计算三角形的面积． 【题型4】 平行于坐标轴的图形的面积 16.（2024-2025七年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 17.（2024-2025七年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点构成的的面积是 ． 18.（2024-2025七年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 19.（2024-2025七年级·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，且，． (1)直接写出点，，的坐标； (2)若动点从原点O出发沿轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线把四边形分成面积相等的两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，连接，使的面积与四边形的面积相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2023-2024七年级下·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出坐标：点C（ ），点D（ ）． (2)M，N分别是线段，上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【题型5】 由面积之间的关系求点的坐标 21.（2024-2025七年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，，是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（   ） A．1 B． C． D． 22.（2024-2025七年级·江西南昌·期中）已知点，，点在轴上，且的面积是的面积的3倍，那么点的坐标可以为 ． 23.（2024-2025七年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，， ，点P在y轴上，设三角形和三角形的面积相等，那么点P坐标是 ． 24.（2024-2025七年级·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，，，若的面积为面积的2倍，则的值为 25.（2024-2025七年级·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，，，点C是第一象限内一点且轴，将线段经过一定的平移得到线段，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接，，点P为y轴上一动点，当时，点P的坐标为 ．（注：表示的面积） 【题型6】 新定义下的面积问题 26.（2024-2025七年级·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，铅垂高：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，，，，则“水平底”，“铅垂高”，矩面积．若，、，、，三点的矩面积为，则的值为( ) A．或 B．或 C．或 D．或 27.（2024-2025七年级·福建厦门·期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”，现有以下结论： 第一象限内有无数个“吉祥点”； 第三象限内不存在“吉祥点”； 已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； 已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”三角形的面积记为，则．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 28.（2024-2025七年级·北京·期中）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（   ） ①双扭线围成的面积小于6； ②双扭线内部（包含边界）包含个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）； ③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3； ④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点，则满足三角形的面积等于3的P点有4个． A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 29.（2024-2025七年级·黑龙江牡丹江·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义两点的“分解距离”为：若，则为P，Q的“分解距离”，即；若，则为P，Q的“分解距离”，即．定义两点的“和距离”为：与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，则________，________ (2)若点在第一象限，且，求点B的坐标； (3)若点（，），且，写出三个符合条件的点C的坐标，并判断这些点是否在一条直线上，若在一条直线上，请直接写出这条直线与坐标轴围成的面积；若不在，请说明理由． 30．（2022-2023七年级下·福建厦门·期末）若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； （2）在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点，，的对应点分别是点，，．已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且． ①若点是“横和点”，且三角形的面积为2，求的值； ②若点的坐标是，点恰好落在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 【题型7】 与面积有关的存在性探究 31．（2023-2024七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 32.（2024-2025七年级·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系内，为坐标原点，线段两端点在坐标轴上，点，点，将向右平移4个单位长度至的位置． (1)点的坐标是 ； (2)如图2，过点作轴于点，在轴上有一动点，求三角形的面积； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，是否存在点，使得三角形的面积为22，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33.（2024-2025七年级·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上两点，，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B两点的对应点C，D，连接． (1)直接写出点C，D的坐标． (2)若平移后得到的四边形为平行四边形，求出四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点F，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 34.（2023-2024七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒. (1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______； (2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由. 35.（2023-2024七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)如图1所示，平移线段到线段，使点的对应点为，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为______； (2)平移线段到线段，使点在轴的正半轴上，点在第二象限内，连接，如图2所示，若的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使与的面积之比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$