专题13 特殊的平行四边形中最值、折叠和无刻度作图问题的九种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题13 特殊的平行四边形中最值、折叠和无刻度作图问题的九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、矩形中的最值问题 2 类型二、菱形中的最值问题 7 类型三、正方形中最值问题 10 类型四、矩形中的折叠问题 15 类型五、菱形中的折叠问题 21 类型六、正方形中的折叠问题 26 类型七、矩形中的无刻度作图 31 类型八、菱形中的无刻度作图 35 类型九、正方形中的无刻度作图 38 压轴能力测评（12题） 42 解题知识必备 1.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 2.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、矩形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，点D在边上，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值等于 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，，，点在上，，点是上的动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．    2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为 ． 类型二、菱形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在菱形中，，点E为边的中点，点P在对角线上运动，且，则长的最大值为 ．    2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，连接、，则的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 类型三、正方形中最值问题 例题：（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．    【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点且，与交于点，则线段长的最小值为 ． 2．（2024·陕西商洛·一模）如图，正方形的边长为4，点E在线段上，以为边构造正方形，使点G在的延长线上，连接，取的中点H，连接．当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 类型四、矩形中的折叠问题 例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则 ．    【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 3．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 类型五、菱形中的折叠问题 例题：（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 类型六、正方形中的折叠问题 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 2.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 类型七、矩形中的无刻度作图 例题：（2024·江西吉安·三模）如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的中点． (2)在图2中作点，使得 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，E是矩形的边上的中点，现仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形． (2)在图2中，画的中点F． 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作中点G； (2)在图2的边上找点，使得． 类型八、菱形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图2，在上作点，使； 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； (2)如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 2．（2024·江西·中考真题）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图，过点作的垂线； (2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 类型九、正方形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，四边形为正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图1中，以为边，在正方形内作一个平行四边形； (2)在图2中，在上找一个点M，使． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知正方形，E为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)请在图1中完成：在边上找点F，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分； (2)请在图2中完成：在边上找点G，使得． 2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）已知，在正方形中，请仅用无刻度直尺按要求画图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E为对角线上一点，在上取一点F，使； (2)如图2，点M为边上一点，在上取一点N，使． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（   ） A． B．5 C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 4．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 6．（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 三、解答题 7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在矩形中，点在上，，试分别在如图两个图形中按要求使用无刻度的直尺画图． (1)在图1中，画出的平分线； (2)在图2中，画出的平分线． 8．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）在菱形中，点E是边的中点，试分别在下列两个图形中按要求仅使用无刻度的直尺作图．      (1)在图1中，过点E作线段，交于点F，并说明的理由； (2)在图2中，连接，在上找一点，使的值最小（不需说明理由）． 9．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图，在正方形中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图①中，画出的中点M； (2)在图②中，画出的中点N． 10．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．    (1)求证：四边形为矩形． (2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明． (3)在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点， (1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长； (2)运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由； (3)求点相应运动的路径长． 14．（23-24八年级下·广西钦州·期末）综合与实践． 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 动手操作：第一步：如图1，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为 ，展开铺平，如图2； 第二步：沿直线折叠，使点D落在处， 交于点G， 如图3； 第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图4． 解决问题： (1)线段与的数量关系是______； (2)若正方形的边长为4． ①求的长； ②求的值． 15．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．将矩形沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕所在直线与轴分别交于点． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)若点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形，且该菱形的一边为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 特殊的平行四边形中最值、折叠和无刻度作图问题的九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、矩形中的最值问题 2 类型二、菱形中的最值问题 7 类型三、正方形中最值问题 10 类型四、矩形中的折叠问题 15 类型五、菱形中的折叠问题 21 类型六、正方形中的折叠问题 26 类型七、矩形中的无刻度作图 31 类型八、菱形中的无刻度作图 35 类型九、正方形中的无刻度作图 38 压轴能力测评（12题） 42 解题知识必备 1.矩形 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 2.菱形 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.正方形 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、矩形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，点D在边上，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质，连接，证明四边形是矩形，得到，当时，线段EF的值最小，根据等积关系可求出，进而求出即可． 【详解】解答：解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得：， ∴． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，，，点在上，，点是上的动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂线段最短，首先判断出点的运动轨迹是线段，过点F作于点H，则为的最小值 【详解】解：连接交于点N，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴即， ∴点在上， 过点F作于点H， 根据题意知，点的运动轨迹是线段，由“垂线段最短”知为的最小值， ∵点是的中点， ∴， 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴的最小值为， 故答案为： 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 过点作于点，连接过点作于点，，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴， ∴， 过点作于点，连接过点作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短， ∴当时， 最小，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：的最小值为． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，且，过点作直线的垂线，垂足为，则线段长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质．由矩形的性质推出，，，，由推出，得到，由勾股定理求出，得到，又，即可得到线段长的最大值为． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段长的最大值为． 故答案为：． 类型二、菱形中的最值问题 例题：（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在菱形中，，点E为边的中点，点P在对角线上运动，且，则长的最大值为 ．    【答案】 【分析】连接、、，由已知条件得出，再利用等边三角形的性质得出，进而求出最大值即可． 【详解】解：如图，连接、、，    四边形是菱形， ，， ， ， 是等边三角形，则， 点E为边的中点， ， ，， ，由勾股定理可得：，可得， ， ，即长的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定、勾股定理，正确作出辅助线，构造等边三角形得出是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及菱形性质的运用．作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于，当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长，求得的长即可得到的最小值． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，则在上，连接，则，过作于， 当，，在同一直线上且时，的最小值等于的长， ，， ，， ， 中，， 的长为， 的最小值是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在菱形中，两条对角线，，点是对角线上一点（不与端点重合），则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点，设交于点，根据菱形的性质得，证明为等边三角形，得，继而得到，，进一步得，则当点、、三点共线且垂直时，的值最小，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，设交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当点、、三点共线且垂直时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，熟练运用菱形的性质是解题的关键． 类型三、正方形中最值问题 例题：（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，边长为3的正方形中，为边上一点，且，是对角线上的一个动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．连接、，根据正方形的性质可证出，得到，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短性质即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 边长为3的正方形， ，，， 又， ， ， ， ， 在中，， 由两点之间线段最短性质得，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，，分别是边，上的动点且，与交于点，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 根据两点之间线段最短知，、、三点共线时，线段的值最小，最小值为； 线段长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 2．（2024·陕西商洛·一模）如图，正方形的边长为4，点E在线段上，以为边构造正方形，使点G在的延长线上，连接，取的中点H，连接．当点E在边上运动（不含A，D）时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，连接与交于点O，延长到点M，使，连接，，证明点D、O、M、B在一条直线上，证明是的中位线，得到，当最小时，最小，即当时，最小，求出，证明，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接与交于点O，延长到点M，使，连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点D、O、M、B在一条直线上， ∵点E是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，最小， 即当时，最小， ∵， ∴M点与O点重合时，最小， ∵正方形的边长为4， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴点H在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形， ∴点H也在的垂直平分线上， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查正方形的性质，线段最值问题等知识点，正确作辅助线是解题关键． 过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，，根据三角形两边之查小于第三边即可得到，在中，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵关于的对称点是，是的中点， ∴是的中点，即 在中，， ∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：1． 类型四、矩形中的折叠问题 例题：（24-25七年级上·福建福州·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在点处，折痕为．为上一点，连接，若，，则 ．    【答案】 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，解答本题的关键是由折叠的性质得到． 由，求出，由邻补角的性质得到，由折叠的性质可得到． 【详解】解：，， ， ， 由折叠的性质得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 【答案】1 【知识点】根据等角对等边求边长、矩形与折叠问题 【分析】由矩形的性质可知，，由折叠可知，故，，可得，可知．本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，关键是推出特殊三角形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴由折叠的性质可知：第二幅图中，，， ∴，， 则第三幅图中，， ． 故答案为：1． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知矩形纸片，，，点在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查矩形与折叠的综合，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，直角三角形的性质，根据题意，分类讨论：当时，利用勾股定理，进行解答；当时，根据折叠的性质，可得，根据等边对等角，， 根据，，得到，再根据等角对等边，进行解答，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 由折叠可得，， ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，此时点在上； ∴设 ∴ ∴ 解得： ∴； 当时，此时点在矩形内部， ∵将沿所在的直线折叠，点的对应点为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 3．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)作图见解析，6； (2)见解析； (3)4或16． 【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、作垂线(尺规作图)、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理 解得，，由此即可求解； （3）分两种情况：如解图所示，点在线段上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边上， ∴即为所求的三角形， ∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． （2）证明：由翻折的性质得，，， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 解得，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： 如解图所示，点在线段上时， 由翻折的性质得，，，， ， , 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如解图所示，点在延长线上时， 由翻折的性质得，，， , 设，则，， ， , 在中，由勾股定理得，， 解得，即， 综上所述，的长为4或16． 类型五、菱形中的折叠问题 例题：（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边对等角、利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 【答案】/30度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∵P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，， ∴， 故答案为： 2．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或3 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或3． 故答案为：或3 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，菱形纸片的边长为，点E在边上，将纸片滑折叠，点B落在处，，垂足为F．若，则的长是 ． 【答案】2 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键；证明，过点E作于点G，再利用等腰直角三角形的性质与含30度角的直角三角形的性质进一步解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， 又由折叠有，且， ∴， 过点E作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 类型六、正方形中的折叠问题 例题：（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 【答案】或/或 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、折叠的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，注意分类讨论．分两种情况：当点落在图①的位置时，当点落在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】∵点P在射线上运动，故分两种情况； 当点落在图①的位置时， 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 当点落在图②的位置时 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，正方形的边长为3，将正方形折叠，使点D落到边上的点E处，折痕为，若，折痕的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．据折叠可得，，，根据勾股定理求出、的长．继而求出，，最后在中由面积法，根据求出． 【详解】解：设，则， ，， ， 在中，， 即， 解得：，即． ∴ 连接、， 在中，， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 2.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．    (1)当最小时，的值为 ； (2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系． 【答案】(1) (2)为，理由见解析 (3) 【分析】（1）当，，三点共线时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可得出答案； （2）过点作于点，则，证出，则可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，则，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）解：∵将沿翻折， ∴，，， ∵，即， ∴当，，三点共线时，有最小值， 此时， 如图，设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；    （2）为． 理由如下： 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴；    （3）． 理由如下： 过点作，交的延长线于点，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．    类型七、矩形中的无刻度作图 例题：（2024·江西吉安·三模）如图，在矩形中，，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的中点． (2)在图2中作点，使得 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用矩形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求． （2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， 故作直线，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即P为的中点， 则点P即为所求． （2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N， 则点N即为所求． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，E是矩形的边上的中点，现仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，画一个以点E为顶点的等腰三角形． (2)在图2中，画的中点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、无刻度直尺作图 【分析】本题考查作图——复杂作图，涉及矩形的性质、等腰三角形形的判定，三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）连接，即可； （2）连接交于点O，连接并延长交于点F，则点F满足条件． 【详解】（1）解：如图1所示，连接，， 四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， 是以点E为顶点的等腰三角形； （2）解：如图2所示，点F为所求． 连接交于点O，连接并延长交于点F， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， ， ， 点F为的中点． 2．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，正方形，矩形并排放置，．请用一把无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作中点G； (2)在图2的边上找点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】全等三角形综合问题、三角形中位线的实际应用、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理， （1）连接，再连接两个交点与交于点G，即可； （2）连接交于点O，连接并延长交于点P，即可； 【详解】（1） 点G即为所求； （2） 点P即为所求； 类型八、菱形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知四边形是菱形，为线段上一点．仅用无刻度的直尺完成下列作图： (1)如图1，在上作点，使； (2)如图2，在上作点，使； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定： （1）连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； （2）连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，连接交于F，连接并延长交于E，点E即为所求； 易证明，则，则， 易证明，则； （2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交于F，点F即为所求； 易证明，则， 易证明四边形是平行四边形，可得，则 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如下图，已知四边形为菱形，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图（1），点P为上任意一点，作直线将菱形分为面积相等的两部分； (2)如图（2），点E、F为边中点，以为边作一个矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等三角形综合问题、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． （2）连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接即可． 【详解】（1）解：如图中，连接交于点，连接延长交于，直线即为所求． 理由：是菱形， ， ， ， ， ， ， 即直线将菱形分为面积相等的两部分． （2）解：如图中，连接交于点，连接，延长交于，连接，延长交于，连接，矩形即为所求作． 理由：是菱形， ， ， ， ， ∵点E、F为边中点， 点H、G为边中点， ， ， 是矩形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2024·江西·中考真题）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） (1)如图，过点作的垂线； (2)如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质证明 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 类型九、正方形中的无刻度作图 例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，四边形为正方形，点E在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图1中，以为边，在正方形内作一个平行四边形； (2)在图2中，在上找一个点M，使． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了作图—复杂作图、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点： （1）结合正方形的性质以及平行四边形的判定，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接，则平行四边形即为所求． （2）结合正方形的性质，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点M，则点M即为所求． 熟练掌握平行四边形的判定与性质、正方形的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：如图1，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接， ∵为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形即为所求． （2）如图2，连接，相交于点O，连接并延长，交于点F，连接交于点G，连接并延长，交于点M， ∵为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则点M即为所求． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，已知正方形，E为上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)请在图1中完成：在边上找点F，使得直线将正方形的面积平均分成相等的两部分； (2)请在图2中完成：在边上找点G，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接交于O，连接并延长交于F，直线即为所求； （2）连接交于H，连接交于G，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作； （2）解：如图，点即为所作， 2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）已知，在正方形中，请仅用无刻度直尺按要求画图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，点E为对角线上一点，在上取一点F，使； (2)如图2，点M为边上一点，在上取一点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】（1）连接交于点O，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接交于点F，则点F即为所求； （2）连接AC，连接DM交AC于点O，连接BO并延长交AD于点N，则点N即为所求． 【详解】（1）如图，点F即为所求， 理由：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，点N即为所求， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，全三角形的判定与性质，正方形的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的最小值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，连接，先证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，再由三角形面积公式和勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的折叠、勾股定理等知识．在矩形中，， ，根据折叠的性质得到设，则由勾股定理得到，，列方程即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，， 根据折叠的性质得到 设，则 由勾股定理得到，， 即 解得 即的长度为， 故选：D 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，平行四边形的性质，关键是构造直角三角形先求出长，然后求出的长度，再根据折线与线段重合时，线段的长度最短解题． 【详解】解：如图，连接；过点M作，交的延长线于点E； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点M为的中点，， ∴，， ∴ ， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由翻折变换的性质得：， 当折线与线段重合时，线段的长度最短， 此时， 故选C． 二、填空题 4．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】由菱形，可得，，则，由折叠的性质可知， ，，，则，，，可得，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知， ，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，则的周长为_________． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用勾股定理，全等三角形的判定与性质． 连接，证明得出，设，则，，勾股定理求得，则，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由折叠可知，， ， ， ， ， 正方形边长是， ， 设，则， ， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，， ∴， 的周长为， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江西抚州·期末）如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接，，过点作于，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知当，K，Q共线，时，的最小值，然后求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，过点作于， 则， ∴当，K，Q共线，时，的最小值， ∵四边形是菱形， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ， 点到的距离， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键． 三、解答题 7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在矩形中，点在上，，试分别在如图两个图形中按要求使用无刻度的直尺画图． (1)在图1中，画出的平分线； (2)在图2中，画出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据等边对等角证明、根据三线合一证明、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，三线合一： （1）连接，即为的平分线； （2）连接，交于点，作射线，即可． 【详解】（1）如图，即为所求； ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：平分； （2）如图所示：即为所求， ∵， ∴平分． 8．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）在菱形中，点E是边的中点，试分别在下列两个图形中按要求仅使用无刻度的直尺作图．      (1)在图1中，过点E作线段，交于点F，并说明的理由； (2)在图2中，连接，在上找一点，使的值最小（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析，理由见解析； (2)见解析． 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用菱形的性质证明、线段问题(轴对称综合题)、无刻度直尺作图 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，利用轴对称求最短路径． （1）根据菱形的性质，可得为的中位线，从而得到，即可说明理由； （2）根据菱形的性质可知，、两点关于对称，再利用两点间线段最短，即可确定点； 灵活利用相关性质解决问题是解题关键． 【详解】（1）解：如图，连接、交于点O，连接并延长交于点F，则线段为所求．    理由如下：四边形为菱形， 点O为的中点 点E为的中点， 为的中位线， ，即； （2）解：如图，连接交于点，则点即为所求．    9．（23-24九年级上·江西九江·期中）如图，在正方形中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）    (1)在图①中，画出的中点M； (2)在图②中，画出的中点N． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明、无刻度直尺作图 【分析】本题考查无尺规作图，涉及到正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）连接，连接的交点和点E，交于点M，点M为所求； （2）作法不唯一，根据正方形的性质，由（1）得：点M为的中点，连接与交于点H，连接交与点N，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图，点M为所求；    （2）解：如图，点N即为所求，    由（1）得：点M为的中点，连接与交于点H，连接交于点N，点N即为所求； ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 10．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 【答案】(1)16 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理： （1）根据正方形的性质可得，据此可解； （2）由折叠的性质得，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：正方形中，，， ， ； （2）解： 由（1）知， 点Q为的中点， ， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为6． 11．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．    (1)求证：四边形为矩形． (2)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明． (3)在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)当满足时，四边形是一个正方形；见解析 (3)13 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线定义求出，然后根据矩形的判定得出结论； （2）要使矩形是正方形，则，即，根据直角三角形的性质可得添加条件； （3）先根据题意求出的面积，从而求出边上的高，即可确定点P的位置，再利用轴对称求最短路径的方法求出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）当满足时，四边形是一个正方形； 证明：由（1）知四边形为矩形， ∵，， ∴点D是的中点， ∴， ∴四边形是正方形； （3）解：， ∴， 设点P到的距离为h，则， 解得， ∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点C关于点P所在平行于的直线的对称点F，连接，此时的值最小为的长，    ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握相关判断定理和性质定理是解题的关键． 12．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作，交边于点，点线段上的一点． (1)若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； (2)当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值； (3)当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值． 【答案】(1)4 (2)当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值 (3)6 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解． （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，， 则， 均为等边三角形， ， 点为菱形对角线的交点， 点为的中点， 连接，， 为的中位线， ，也为的中位线， 则，， ； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则，， ， ， 为等边三角形， ， ， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于， ， ， 又， ， ， 点为中点， ，， ， ， 由勾股定理得，，， ， ， ， 当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值． （3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， 为等边三角形， ， 由对称可知：， 则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点， ，则， 过点（点），且， 可知，为等边三角形， ，，， 即，，分别为，，的中点， 此时， 作图，如下： 作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，有一张矩形纸条，，，点、分别在边、上，．现将四边形沿折叠，使点、分别落在点、上，在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点， (1)如图1，当点恰好落在边上时，求线段的长； (2)运动过程中，的面积有没有最小值，若有，求此时线段的长，若无，请说明理由； (3)求点相应运动的路径长． 【答案】(1) (2)的面积有最小值2， (3)点相应运动的路径长为 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）运用矩形性质和翻折性质得出：，再利用勾股定理即可求得答案； （2）由，可知当，即时，，取得最小值2，再利用矩形性质即可求出答案； （3）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：的面积有最小值2，此时． 如图2，， 当，即时，， 取得最小值2， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴； （3）解：如图3，当点与重合时， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴， 设， 则， 在中，则有， 解得， ∴， 如图4中，当点运动到时，的值最大， ， 如图5中，当点运动到点落在时，（即）， ∴点的运动轨迹， 运动路径． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，解题的关键是探究出点E的运动轨迹，运用勾股定理解决问题． 14．（23-24八年级下·广西钦州·期末）综合与实践． 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动． 动手操作：第一步：如图1，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为 ，展开铺平，如图2； 第二步：沿直线折叠，使点D落在处， 交于点G， 如图3； 第三步：延长交于点H，连接交于点M，如图4． 解决问题： (1)线段与的数量关系是______； (2)若正方形的边长为4． ①求的长； ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②； 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、折叠问题 【分析】（）根据正方形的性质可得，，再根据折叠性质可得，，证明即可； （）①由折叠性质可知，，，正方形的性质得，，，再由勾股定理即可求解；②连接，由折叠的性质可知，垂直平分，则，，，再证是的中位线得，最后由折叠性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质可知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①由折叠性质可知，，， 由（）知， ∵正方形的边长为， ∴，，， 在中，， 即， 解得； ②连接，如图， 由折叠的性质可知，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴，解得， ∴ ，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 15．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．将矩形沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕所在直线与轴分别交于点． (1)求线段的长； (2)求直线的解析式； (3)若点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形，且该菱形的一边为？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，满足条件的点的坐标为或或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、矩形与折叠问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）根据点的坐标，结合勾股定理即可求解； （2）根据折叠可得，设，在直角中，根据勾股定理可得点的坐标，再根据待定系数法即可求解； （3）如图所示，分类讨论，根据菱形的性质，等面积法求三角形的高的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）解：根据折叠可得，，，， 设，则，且， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴，且， 设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴； （3）解：①如图所示，四边形为菱形，即， 由（2）可得，， ∴； ②如图所示，四边形是菱形，， ∴； ③如图所示，四边形是菱形，，过点作轴于点，作轴于点， ∴是等腰三角形，四边形是矩形， ∴，， 由（2）可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，存在，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，待定系数法求解析式，勾股定理，等面积法求高的计算，折叠的性质等知识的综合运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$