专题12 正方形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题12 正方形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据正方形的性质求角度 1 类型二、根据正方形的性质求线段长 4 类型三、求正方形重叠部分面积 8 类型四、根据正方形的性质证明 12 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 16 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 21 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 26 压轴能力测评（16题） 32 解题知识必备 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、根据正方形的性质求角度 例题：（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于F，则为 ．    【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F，连接并延长，与的延长线交于点P，则 ． 2．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为 ． 3．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）将正方形沿着，翻折，点A，C的对应点分别是点，． （1）如图1，若与重合，则 ； （2）如图2，若与重叠部分的角度，则 ． 类型二、根据正方形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·重庆綦江·期末）如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到△，连接，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上且，，则点C的坐标是 ． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形的对角线交于点是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为 ． 类型三、求正方形重叠部分面积 例题：（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点为正方形对角线的中点，将以点为直角顶点的直角绕点旋转（的边始终在正方形外），若正方形边长为2，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为 ． 【变式训练】 1.（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 2.（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 类型四、根据正方形的性质证明 例题：（23-24八年级下·北京西城·期中）点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 2.（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例题：（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 2.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 例题：（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 2．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 3．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教村母题变式）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）一个正方形，它的对角线长10，那么这个正方形的面积是 ． 7．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为 ． 9．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，正方形的对角线相交于点O，点E是上任意一点，于G，于F，若，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，过点A作的平分线交于点F，连接，若，，则的长为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 12．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）在正方形中，为的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹； (1)在图中将绕点逆时针旋转； (2)在图中在正方形内作以为顶点的正方形． 13．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 14．（24-25九年级上·河南郑州·期中）【特例分析】 （1）如图1，中，，点，分别为，的中点，，相交于点，，分别为，的中点，连接，，，，请判断：四边形的形状为_______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点为上方平面内一点，为一般三角形，（1）中的结论是否变化？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下， ①当_______时，四边形为矩形 ②在①的条件下，当_______时，四边形为正方形； ③当_______时，四边形为菱形． 15．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知正方形，E为对角线AC上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接和的数量关系是______； 【模型应用】 （2）如图2，F是延长线上一点，交于点G．证明； 【模型迁移】 （3）如图3，F是延长线上一点，交于点G，．写出和的数量关系，并说明理由． 16．（24-25九年级上·广西钦州·期中）我校一数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图1方式摆放，点B，C，E在同一条直线上，点G在上．    (1)操作发现：如图2，将正方形绕点C逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与有何数量关系？与有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究：如图3，将正方形绕点C顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 正方形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据正方形的性质求角度 1 类型二、根据正方形的性质求线段长 4 类型三、求正方形重叠部分面积 8 类型四、根据正方形的性质证明 12 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 16 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 21 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 26 压轴能力测评（16题） 32 解题知识必备 1.正方形的概念、性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 2.正方形的判定 （1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2）有一组邻边相等的矩形是正方形 （3）有一个角是直角的菱形是正方形 压轴题型讲练 类型一、根据正方形的性质求角度 例题：（23-24八年级下·北京·阶段练习）如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于F，则为 ．    【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质 【分析】由正方形、等边三角形可得，，，，则，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形，等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F，连接并延长，与的延长线交于点P，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据正方形的性质求角度、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，正方形的性质，根据作图的步骤推知是的角平分线，是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由作图可知为的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，正方形的对角线，交于点O，P为边上一点，且，则的度数为 ． 【答案】/22.5度 【知识点】等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形是正方形，可得，，再根据，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）将正方形沿着，翻折，点A，C的对应点分别是点，． （1）如图1，若与重合，则 ； （2）如图2，若与重叠部分的角度，则 ． 【答案】 /度 /度 【知识点】折叠问题、根据正方形的性质求角度 【分析】本题主要考查折叠的性质和正方形性质， （1）由折叠的性质得，，，，则； （2）由折叠的性质得，，，，得，则． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由折叠的性质得，，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 则． 故答案为：． 类型二、根据正方形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·重庆綦江·期末）如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到△，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据正方形的性质可得，，由勾股定理求得，再由旋转的性质可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：正方形中，， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 绕点顺时针旋转，得到， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点D在y轴上且，，则点C的坐标是 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，根据题意，作出辅助线是解题关键． 作轴于点M，轴于点N，只要证明，即可推出，由，，推出，进而得出即可得出点坐标，同理证明，，即可得出C点坐标． 【详解】解：如图， ， 作轴于点M，轴于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 同理可证，， ∴点C的坐标为 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，正方形的对角线交于点是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握正方形的性质，证明，，将四边形的面积转换为等腰直角的面积是解题的关键．根据正方形的性质及，可证，得到，由此将将四边形的面积转换为等腰直角的面积，可求值，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形的面积是，即， ∴， ∴，且， ∴， 在等腰直角中，， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形性质，菱形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，过点作交延长线于，则，由四边形是正方形，得，，，由勾股定理可得，又四边形为菱形，则，，从而证明是等腰直角三角形，设，则，，然后由勾股定理得，即，然后解出方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∵在中，， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故答案为：． 类型三、求正方形重叠部分面积 例题：（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，点为正方形对角线的中点，将以点为直角顶点的直角绕点旋转（的边始终在正方形外），若正方形边长为2，则在旋转过程中与正方形重叠部分的面积为 ． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是连接构造全等三角形． 如图，连接，由点是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积相等，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：如图，连接， 点是的中点，四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为2， ， ， ， 重叠部分四边形的面积为1． 故答案为：1． 【变式训练】 1.（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 2.（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以点为顶点的正方形的两边，分别交正方形的两边，于点，，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定；由四边形是正方形，四边形是正方形，可证明，即得，而，可知，故． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 类型四、根据正方形的性质证明 例题：（23-24八年级下·北京西城·期中）点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交射线于点． ①求的度数； ②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)；，理由见解析． 【分析】（）由四边形是正方形,得，再利用等角的余角相等证明即可； （）连接，证明，再根据等边对等角和四边形的内角和求出，可得结论； 过点作于点，证明，推出，再证明 ，，可得结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形, ∴，即， ∵，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵，关于对称， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ，理由： 过点作于点，    ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，关于对称， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同角的等角相等等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【变式训练】 1.（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接． (1)求证：． (2)延长交于F，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得出，根据即可证出结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2.（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)15 (2)①；②，见解析 【分析】（1）利用正方形性质得到，利用等边三角形性质得到，进而得到，利用对称的性质得到，再利用计算求解，即可解题； （2）①利用正方形性质得到，，利用对称的性质得到，，进而得到，设，分别利用等腰三角形性质得到，，再根据计算求解，即可解题； ②过点作交于点，连接，理由直角三角形性质和正方形性质证明，进而得到，再理由勾股定理求解，即可解题， 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， 点C关于直线的对称点为F， ， ， 故答案为：． （2）解：①四边形是正方形， ，， 点C关于直线的对称点为F， ，， ， 设， ， ， ； ②解：数量关系为：， 理由如下： 过点作交于点，连接， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，等边三角形性质，对称的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． 类型五、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图） 例题：（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形中，点、分别是边和上的点，且满足． (1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边和上分别作出点G和点H，（保留作图痕迹，不写做法作法）； (2)判断：四边形的形状是 ． 【答案】(1)见解析 (2)正方形 【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可； （2）证明，推出，得到四边形是菱形，再证明，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示：； ； （2）解：四边形是正方形， ∵正方形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∵正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键． 【变式训练】 1.（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点在正方形的边上． (1)请用尺规作图法，在上分别取点使得且平分正方形的面积．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，作线段的垂线，全等三角形的性质与判定． （1）平分正方形的面积，会经过正方形的中心，过点作的垂线即可； （2）过点作于点，过点作，设交于点，证明，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图所示，过点作于点，过点作，设交于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴即 在中， ∴ ∴ 2.（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上，，连接． (1)求证：； (2)如图，当点E为边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，即有； （2）设、交于点T，连接、，二者交于点P，连接，连接，并延长交于点G，连接，并延长交的延长线于点O，连接，问题得解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 在正方形中，有，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）如图， 矩形即为所求． 证明：根据点E为边中点，，可得，进而可证明，则有，，即点T为、的中点； 根据正方形的性质可得点P为、的中点； 即有：，，结合点P为、的中点，可得点G为、的中点，即可证明四边形是平行四边形，结合，则平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键． 类型六、正方形的性质与判定的多结论问题 例题：（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，的中点，连接，交于点M，连接，，与交于点N，下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】先由正方形的性质得到，，再由线段中点的定义推出，，据此可证明四边形是平行四边形，即可判断②；证明，得到，进而证明，即，即可判断①；根据直角三角形的性质可得，据此可判断⑤；根据，即可判断③；证明垂直平分，得到，进而证明，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点，，分别为边，，上的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故①正确； ∵点G为的中点， ∴，故⑤正确； ∵， ∴，故③错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质与判定,直角三角形的性质．熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．本题的综合性较强，是中考常考题型． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是的高，分别以为一边， 向外作正方形和（正方形各边相等，各角相等），连接和，与的延长线交于点，下列结论正确的个数是（　　） ①； ②；③；④是的中线． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质和“”可证明，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设相交于点，相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理可得，即可判断②；过点作的延长线于，过点作于，根据余角的性质即可判断③；利用“”即可证明，可得，同理可证，从而得到，再证明，可得，从而可判断④． 【详解】解：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设相交于点，相交于点，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 过点作的延长线于，过点作于，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∴，同理可得， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中线，故④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形中，为边上任意一点，连接，于点，交于点，小星根据题意得到如下结论： ①； ②； ③与四边形面积相等； ④若点是的中点，则点是的中点． 其中，结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】由正方形的性质得，，而，则，即可证明，得，，可判断①正确，②正确，由，得，可判断③正确；设，则，求得，所以，由，求得，则，所以点不是的中点，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点， ， ， 在和中， ， ， ，，， 故①②正确； ， ， 故③正确； 设， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 点不是的中点， 故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、中点定义及三角形面积等知识，证明是解题的关键． 类型七、正方形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理证明线段平方关系、证明四边形是正方形 【分析】（1）过点作于点，于点，根据正方形的性质有，接着证，得出，最后根据四边形是矩形，问题得证 （2）连接，先证，得出，在中，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：如答图，过点作于点，于点， 则． 是正方形对角线上的点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）证明：如答图，连接， 由题意，知， 由（1）知，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）【问题解决】 如图，在矩形中，点分别在边上，，于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）31 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明可得，进而得，即可求解； （）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长，进而可得到答案； 本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：是等腰三角形． 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：延长到点，使，连接，作， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴． 2．（2025·山东临沂·一模）【问题情境】 如图 1 ，在矩形中，E 是边 上的一点，过点 D 作 ，过点 D 作， 过点 A 作 ，且． 【基础探究】 （1）判断图 1 中四边形的形状，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图 2 ，当 E 在 延长线上时，其他条件不变，请写出，， 之间的数量关系， 并证明； 【拓展迁移】 （3）如图 3 ，在（2）的条件下，连接 ， ，当 E 在延长线上的位置发生改变时，判 断的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】（1）四边形 是正方形，见解析；（2），见解析；（3），不发生变化，见解析 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）， ，， 证明 ，，可得，可得矩形是正方形． （2）证明四边形是矩形，结合 ， 可得四边形是正方形 ，可得，进一步可得结论； （3）过点B作于点P ，在上截取，连接，证明，可得，，，证明，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形 ， 理由： ∵四边形是矩形， ∴ ， 又∵， ，， ∴ ， ∴ ， ∴ 即， 又∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴矩形是正方形． （2）， 理由： ， ， ， ∴四边形是矩形， 由（1）得 ， ∴ ，， ∴四边形是正方形 ， ∴， ∴； （3），理由如下： 过点B作于点P ，在上截取，连接， ∴，， ∵四边形是正方形，四边形为正方形， ∴，，， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】A 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论． 【详解】解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意； B、正方形和矩形的对角都互补，故B选项不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意； D、正方形和矩形的对角线都相等，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 【答案】D 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 3．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的应用、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查二次根式的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．判断出两个正方形的边长，可得结论． 【详解】解：两个正方形的面积分别为和， 两个正方形的边长分别为，． 阴影部分的面积 故选∶A． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）（教村母题变式）如图，边长为6的正方形的中心与正方形的顶点E重合，且与边分别相交于点，图中阴影部分的面积记为，两条线段的长度之和记为，将正方形绕点逆时针转动适当角度，则有（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的对角线，相交于点E，得到，，，，证明，得到，,继而得到，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】如答图，连接． 边长为6的正方形的中心与正方形的顶点重合， 即点是正方形的中心， ， ． 又， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，边长为2的等边的顶点E、F分别在和上，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、二次根式的计算，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．利用正方形和等边三角形的性质证明，得到，得到可判断①；利用得到，利用平角的定义可判断②；连接交于点，则，由，得到垂直平分，利用勾股定理求出和的长，得到正方形的边长为，求出的长可判断③；最后利用三角形的面积公式可判断④和⑤，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，， 等边， ，， ， ， ， ，故①正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， ，故②正确； 连接交于点，则， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ，故③错误； ， ，故④正确； ，， ，故⑤正确； 其中正确的有①②④⑤，正确的个数为4． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）一个正方形，它的对角线长10，那么这个正方形的面积是 ． 【答案】50 【知识点】根据正方形的性质求面积 【分析】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的面积是对角线积的一半成为解题的关键． 根据正方形的面积等于对角线积的一半列式计算即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 故答案为：50． 7．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，的平分线交于点，，．若四边形是正方形，则与应满足的数量关系为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质是解决问题的关键，先证明是等腰直角三角形得，再证明和全等得则，由此可得出与应满足的数量关系． 【详解】解∶∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴； 在和中， ． ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为∶． 9．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图所示，正方形的对角线相交于点O，点E是上任意一点，于G，于F，若，则的值为 ． 【答案】/10厘米 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角的判定与性质．根据正方形的性质，证明是等腰直角三角形，再证明是矩形，由即可求解． 【详解】解：∵是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵， ∴是矩形． ∴． ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在正方形中，E为边上一点，连接，过点A作的平分线交于点F，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌它们的性质定理是解题的关键； 过点F作交于点M，连接，根据根据正方形的性质和勾股定理求出，然后利用角平分线的性质证，得，再利用勾股定理得出，在中利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：过点F作交于点M，连接， ， ∴ ∵是正方形， ∴， ∵，， ∴， ， 平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 在和 ， ∴， 即， ∴， 在中 ． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质求出，，然后证明即可得； （2）过点O作于点H，连接，由正方形的边长为8且E为的中点可得，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于点H，连接，    ∵正方形的边长为8， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 12．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）在正方形中，为的中点．用无刻度直尺作图，保留作图痕迹； (1)在图中将绕点逆时针旋转； (2)在图中在正方形内作以为顶点的正方形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】正方形性质理解、画旋转图形 【分析】（）连接相交于点，连接并延长交于，可得点为的中点，连接交的延长线于点，连接，易证明，得到，进而可证明，即得，得到，故得为绕点逆时针旋转得到； （）连接交于点，连接与相交于点，连接并延长交于点，连接，得到四边形，由正方形的对称性可得，进而可得，即可证明，得到，进而可得，即可得四边形为正方形； 本题考查了作旋转变换的图形，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 13．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，再根据正方形的判定，即可证得答案； （2）连接，先证明，可证明，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：过点E作于点M，于点N， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：连接， 四边形和都是正方形， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 14．（24-25九年级上·河南郑州·期中）【特例分析】 （1）如图1，中，，点，分别为，的中点，，相交于点，，分别为，的中点，连接，，，，请判断：四边形的形状为_______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点为上方平面内一点，为一般三角形，（1）中的结论是否变化？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下， ①当_______时，四边形为矩形 ②在①的条件下，当_______时，四边形为正方形； ③当_______时，四边形为菱形． 【答案】（1）平行四边形，（2）不变，理由见解析，（3）①；②；③ 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，三角形中位线定理，熟练掌握四边形的判定和性质是解题的关键； （1）根据三角形中位线定理，平行四边形的判定即可求解； （2）根据三角形中位线定理即可得出结论； （3）根据四边形的判定即可求解； 【详解】（1）解：点，分别为，的中点， ， ， ，分别为，的中点， ，， ，， 四边形的形状为平行四边形； （2）若点为上方平面内一点，为一般三角形， 根据三角形中位线定理，可得，， 故四边形的形状为平行四边形； 结论不变； （3）①四边形为平行四边形， 对角线相等的平行四边形是矩形； 当时，此时四边形为矩形； ②根据对角线互相垂直的矩形是正方形， 可得当，四边形为正方形； ③根据邻边相等的平行四边形是菱形， 当时，四边形为菱形． 15．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知正方形，E为对角线AC上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接和的数量关系是______； 【模型应用】 （2）如图2，F是延长线上一点，交于点G．证明； 【模型迁移】 （3）如图3，F是延长线上一点，交于点G，．写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见详解（3），理由见详解 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论； （2）根据四边形是正方形，以及，得出，因为，进行角的等量代换，即可证明出； （3）先判断出，由（1）知，，由（2）知，，即可判断出结论． 【详解】（1）证明：是正方形的对角线， ，， ， ， ； 故答案为： （2）解：，理由： 四边形是正方形， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：， ， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16．（24-25九年级上·广西钦州·期中）我校一数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图1方式摆放，点B，C，E在同一条直线上，点G在上．    (1)操作发现：如图2，将正方形绕点C逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与有何数量关系？与有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究：如图3，将正方形绕点C顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，，理由见解析 【知识点】正方形性质理解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形，是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$