专题11 菱形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题11 菱形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用菱形的性质求角度 1 类型二、利用菱形的性质求长度 4 类型三、利用菱形的性质求面积 7 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 10 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 15 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 20 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 23 压轴能力测评（16题） 27 解题知识必备 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 压轴题型讲练 类型一、利用菱形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】作已知线段的垂直平分线、利用菱形的性质求角度、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ． 【答案】/27度 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系． 根据菱形的性质求出，根据互余性质得到，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、利用菱形的性质求角度、两直线平行同旁内角互补 【分析】此题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质，平行线有性质，难度一般． 利用菱形以及等边三角形的性质，设，用表示出和，利用平行线的性质得，求解得，即，进而可求的度数． 【详解】解：如图所示： 在菱形中，、分别在、上，且是等边三角形，， ，，， 设，则， 故，则， 在菱形， ，， ， ， 解得：，即， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，菱形中交于点O，于点E，连接，若，则 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上中线的性质及等腰三角形的性质；由菱形的性质知，；由得，由直角三角形斜边上中线的性质得，从而得，则可求得的度数． 【详解】解：菱形中，； ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 类型二、利用菱形的性质求长度 例题：（24-25九年级上·全国·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据菱形的性质，求出，且，根据勾股定理，即可求出菱形的边长． 【详解】解：设，的交点为， ∵四边形是菱形， ∴，且， ∴， ∴菱形的边长为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知菱形的对角线，，，于，则的长是 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了棱形的性质，棱形的面积公式等知识，由棱形的面积积公式得到，求解即可，掌握棱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．连接交于点H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点H， ∵菱形中，，， ∴，，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：2；． 类型三、利用菱形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·北京东城·期中）在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积；由菱形的性质得，，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，求出， 由即可求解；掌握菱形的性质及面积的求法是解题的关键． 【详解】解：如图，与交于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【变式训练】 1.（2024·陕西榆林·二模）已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，根据菱形的性质得到，，则，根据勾股定理求出，进而求出，根据菱形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形为菱形， ∴， ∵， 设，则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为．    故答案为： 2.（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接．若，则 (用含的代数式表示)；若，，则菱形的面积为 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中位线的性质和菱形的面积公式，连接，根据三角形的中线的性质可得；根据是的中位线，根据三角形中位线定理求的的长，然后根据菱形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，、是和的中点， ∴ ∵、是和的中点，即是的中位线， ∴ ∴菱形的面积为 故答案为：，． 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 例题：（2024·湖北武汉·二模）如图，已知E、F分别是的边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】该题主要考查了平行四边形的判定与性质和菱形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用平行四边形的性质得出，从而得出，进而求解即可． （2）利用菱形的性质以及三角形内角和定理得出，可求得，再利用直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，且， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）在菱形中，对角线相交于点，过点作于点，交于点． (1)求的度数； (2)①求证：；②若，求的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由菱形性质得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得到，再由直角三角形两锐角互余即可得到答案； （2）①由菱形性质，结合三角形全等的判定得到，再由全等性质即可得到；②过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，设，在等腰直角三角形与中应用勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ， ， ， ； （2）证明：①四边形是菱形， ， ， 又， ， ， ②过点作于点，如图所示： 四边形是菱形， 平分， 又， ， 设， ， 与均为等腰直角三角形， ，， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查菱形综合，涉及菱性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质、角平分线性质和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握几何图形的判定与性质并灵活运用是解决问题的关键． 2.（2024八年级下·全国·专题练习）在菱形和等边中，，P是的中点． (1)如图1，点G在边上时， ①判断的形状，并证明； ②请连接，若，，求的长； (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接、．试判断、有怎样的关系，并给予证明． 【答案】(1)①是直角三角形，证明见解析；② (2)，证明见解析 【分析】（1）①证明，可知：是直角三角形； ②如图2，过作于，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，得的长，根据等边三角形的定义得，根据勾股定理可得的长，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得的长； （2）延长交于点，连接，，先证明，再证得，利用在中，，所以． 【详解】（1）①如图1， 是直角三角形， 理由是：四边形是菱形，， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形； ②如图2，过作于， ，， ， ， 中，， ， ， ， 是等边三角形， ， 由勾股定理得：， 由①知：是直角三角形，且是的中点， ； （2）如图3， ，理由是： 延长交于点，连接，， ，是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质等知识点，第二问题有难度，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键． 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 例题：（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则以下结论：①；②：③；④由点，，，构成的四边形是菱形，其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，证明得到，，得到是的中位线，，进而得到，，即可判断①；由菱形的性质得，进而由得到即可判断②；由得，由得，即可得到，据此可判断③；连接，易得四边形是平行四边形，再证是等边三角形，得到，即可判定④；掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∴，， ∴是的中位线，， ∴，， ∴，故①错误； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故⑧正确； 连接，如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 四边形是菱形，故④正确； ∴正确的结论为②③④，共有个， 故选：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，菱形的对角线相交于O点，E，F分别是边上的中点，连接．若，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①四边形是平行四边形；②菱形的周长为； ③与互相垂直平分；④的面积是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据菱形的性质与判定求面积、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解决问题的关键．根据菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质进行一一判断即可． 【详解】解：①四边形是菱形， ∴ ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， 故①正确； ②，分别是，边上的中点，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 菱形的周长为． 故②正确； ③如图，连接， 四边形是菱形， ∴， 在中，为斜边上的中线， ∴， 在中，为斜边上的中线， ∴， ∴， 四边形是菱形， 与互相垂直平分， 故③正确； ④∵， ∴， ∴， ， ， 故④正确， 故选：D 2．（2023·山东济南·一模）如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质．连接，如图，先利用基本作图可判断垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再利用菱形的性质得到，，则可判断和都为等边三角形，从而可对①进行判断；利用勾股定理在中计算出，接着在中计算出，从而可对②进行判断；利用，可对③进行判断；最后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ，，， 四边形为菱形， ，， ， 和都为等边三角形， ，所以①正确； ， ，， 在中，， ，， ， ， ，所以②正确； ，， ，所以③错误； ，， 而， ，所以④正确． 故选：B． 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 例题：如图， 在平行四边形中， (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图−−复杂作图，平行四边形的性质和菱形的判定与性质．解题的关键是： （1）根据基本作图，即可作得； （2）首先根据平行四边形的性质及所作的图，可证得四边形是平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的定义，可证得，据此即可证得结论． 【详解】（1）解：如图，，即为所求， ； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴四边形是菱形． 【变式训练】 1.如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中的上找一点，连接，使得． (2)在图2中的上找一点，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由菱形的性质得到为的中点，则是的中位线，即可得出； （2）连接、交于点，连接并延长，交于点，证明，即可推出． 【详解】（1）解：如图，即为所求作；      （2）解：如图，即为所求作；      连接、交于点，连接并延长，交于点， 四边形是菱形， ，垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， 即． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，根据相关性质正确作图是解题关键． 2.如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图， (1)在图1中，过点作的平行线，与交于点． (2)在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握菱形的的性质和等边三角形的性质是解题的关键． （1）连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作； （2）连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作． 【详解】（1）解：连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作； （2）解：连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作． 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 例题：如图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，，从而利用证明，进而可得，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形是菱形，即可解答； （2）先利用角平分线的定义可得，再利用菱形的性质可得，从而可得是等边三角形，进而可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，进而可得，再利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）四边形是菱形， 理由：，平分， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）平分，， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【变式训练】 1.如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先证明四边形为平行四边形，再证明，得到，即可得到四边形是菱形； （）连接交于点，由菱形的性质可得，，，进而由得，又由菱形的周长得，由直角三角形的性质可得，利用勾股定理得，即可求出的长度； 本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的应用，平行线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即 ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴． 2.已知，四边形是菱形． (1)若，则菱形的周长______； (2)如图①，、是对角线，则与的位置关系是_______． (3)如图②，点、分别在、上，且，，，点、分别在、上，与相交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)20 (2)垂直 (3)见解析 【分析】此题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定等知识，证得四边形是平行四边形与是解题的关键． （1）根据菱形的性质即可得，即可得到结论； （2）根据菱形的性质即可得到结论； （3）由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是菱形，，可得，即可证得四边形是菱形． 【详解】（1）解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长． 故答案为：20； （2）∵四边形是菱形，、是对角线， ∴， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直； （3）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，．若菱形的面积为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接交于点O，根据菱形的面积公式求出，然后根据菱形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接交于点O    ∵菱形的面积为， ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，已知的对角线交于点O，下列条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的关键．根据得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定A选项不符合同意；根据勾股定理得出，得出，即可判断B不符合同意；根据无法判断四边形为菱形，即可判断C符合题意；根据，证明，得出，即可判断D不符合同意． 【详解】解：A．由得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意； B．∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴四边形是菱形，故该选项不符合题意； C．由不能证明是菱形，故该选项符合题意； D．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故该选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、三线合一、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的“三线合一”，掌握菱形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，，，可证，得到点是的中点，则有平分，，根据直角三角形两锐角互余，角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴平分，，即， 在中，， ∴， 故选：B ． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】由的长可求得的长，再求得的长，再利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接交于，    ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】连接，如图，先利用基本作图可判断垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再利用菱形的性质得到，，则可判断和都为等边三角形，从而可对①进行判断；利用勾股定理在中计算出，接着在中计算出，从而可对②进行判断；利用，可对③进行判断；最后根据三角形面积公式可对④进行判断．本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质． 【详解】解：连接，如图，    由作法得垂直平分， ，，， 四边形为菱形， ，， ， 和都为等边三角形， ，所以①正确； ， ，， 在中，， ，， ， ， ，所以②正确； 依题意， ∴ ，所以③正确； ，， 而， ，所以④正确． 故选：A． 二、填空题 6．（2025·湖南娄底·一模）如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是 ． 【答案】四边相等的四边形是菱形 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了作图——复杂作图及菱形的判定，解决本题的关键是掌握菱形的判定定理． 根据四条边都相等的四边形是菱形即可得四边形一定是菱形． 【详解】解∶根据作图方法可知四边形一定是菱形； 理由如下∶ 分别以点A，B为圆心，以大于的定长a为半径画弧，两弧相交于C，D， ， 四边形是菱形． 故答案为：四边相等的四边形是菱形． 7．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，两点的中点坐标，根据菱形的性质可得A、C关于原点对称，从而可得答案． 【详解】解：菱形的对角线交于坐标原点，点， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为 ． 【答案】8 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：8． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为 ． 【答案】或或 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于，由在菱形和垂直可得，得到四边形为矩形，推出，，再旋转可证明，得到，，再证明，得到，即可得到、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线，最后根据点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上分情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，在直线上，点右边取一点，使，过点作于，过点作于， ∵在菱形中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴∥，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵点、、都在直线上， ∴、、都在一条直线上，即点运动轨迹为直线， ∵点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上， ∴当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，此时在处，在处，此时； 当点的对应点恰好落在菱形的边和所在直线时，此时在处，连接，则，，可得，由可得是等腰直角三角形，即在处，此时； 当点的对应点恰好落在菱形的边所在直线时，如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，， ∴，， ∴， 解得， 综上所述，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是确定点的运动轨迹． 三、解答题 11．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用菱形的性质求角度、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是： （）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 12．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，为边上一点，连结，将沿翻折，使点的对称点落在边上，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】（1）由翻折得，，，，然后根据平行四边形的性质即可解决问题； （2）由平行四边形的性质和菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，，，的长度，即可求四边形的周长． 【详解】（1）证明：由翻折得，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， ， 由知四边形是菱形， ∴， ∵， 是等边三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ， 四边形的周长． 【点睛】本题考查了折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论； （2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到． 【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解答的关键． 14．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，为的外角的平分线，，垂足为，点为上一点，连接，交于点．    (1)在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； (2)若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)（答案不唯一），理由见解析； (2)见解析． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】添加：(答案不唯一)，根据等腰三角形的性质可证，根据平行线的性质可证，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形为矩形； 延长到，使得，连接，，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可知四边形是菱形且为菱形的一条对角线． 【详解】（1）解：添加：答案不唯一 理由：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：如下图所示，在射线上截取， 连接、， 四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等知识，解决本题的关键是熟练的掌握矩形和菱形的判定定理，依据判定定理添加条件． 15．（24-25九年级上·重庆合川·期末）四边形是菱形，，点是边上一点，连接． (1)如图1，若，菱形的边长为4，当时，求线段的长； (2)线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在边上，如图2，连接，点是中点，连接，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先求出，再由直角三角形可得，最后根据勾股定理即可解答； （2）延长到，使得，连接，先证明．再由四边形是菱形，可得，从而得出，再由旋转的性质可得，再证明，从而得出． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）证明：延长到，使得，连接．如图： ∵，点是中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 在和中， ． ∴． ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 16．（23-24九年级上·四川内江·开学考试）在中，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作． (1)如图1，求证：为菱形； (2)如图2，若，连接， ①求证：； ②判断的形状，并加以证明． (3)如图3，若，M是的中点，连结，若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②等边三角形，证明见解析 (3) 【知识点】证明四边形是菱形、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． （1）平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出，再判断出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （2）证明①四边形是平行四边形， ，，， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ，， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ； 解②：， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， （3）解：如图3中，连接，， ，四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形， ， 四边形为正方形． ， ， 为中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形． ， ， ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 菱形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用菱形的性质求角度 1 类型二、利用菱形的性质求长度 4 类型三、利用菱形的性质求面积 7 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 10 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 15 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 20 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 23 压轴能力测评（16题） 27 解题知识必备 1.菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的判定 （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2）四边相等的四边形是菱形 （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 压轴题型讲练 类型一、利用菱形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为 ． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在菱形中，E，F分别是、上的点，是等边三角形，若，则的度数是 ． 3．（23-24八年级下·山西大同·期末）如图，菱形中交于点O，于点E，连接，若，则 ． 类型二、利用菱形的性质求长度 例题：（24-25九年级上·全国·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的边长为 ． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知菱形的对角线，，，于，则的长是 ． 3．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ，的长为 ． 类型三、利用菱形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·北京东城·期中）在菱形中，若，周长是16，则菱形的面积是 ． 【变式训练】 1.（2024·陕西榆林·二模）已知在菱形中，，对角线与相交于点O，若，则该菱形的面积为 ．（结果保留根号） 2.（23-24八年级下·河北承德·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接．若，则 (用含的代数式表示)；若，，则菱形的面积为 类型四、利用菱形的性质证明和求解综合问题 例题：（2024·湖北武汉·二模）如图，已知E、F分别是的边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，求的长． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）在菱形中，对角线相交于点，过点作于点，交于点． (1)求的度数； (2)①求证：；②若，求的长． 2.（2024八年级下·全国·专题练习）在菱形和等边中，，P是的中点． (1)如图1，点G在边上时， ①判断的形状，并证明； ②请连接，若，，求的长； (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接、．试判断、有怎样的关系，并给予证明． 类型五、利用菱形的判定与性质多结论性问题 例题：（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则以下结论：①；②：③；④由点，，，构成的四边形是菱形，其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，菱形的对角线相交于O点，E，F分别是边上的中点，连接．若，，则下列结论中，正确的个数为（    ） ①四边形是平行四边形；②菱形的周长为； ③与互相垂直平分；④的面积是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·山东济南·一模）如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 类型六、利用菱形的判定与性质作图（含无刻度作图） 例题：如图， 在平行四边形中， (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：作 的平分线交于点E，在线段上截取， 使(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1) 所作的图形中， 连接， 求证∶ 四边形是菱形． 【变式训练】 1.如图，在菱形中，连接，是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．    (1)在图1中的上找一点，连接，使得． (2)在图2中的上找一点，连接，使得． 2.如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图， (1)在图1中，过点作的平行线，与交于点． (2)在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点． 类型七、利用菱形的判定与性质解决综合性问题 例题：如图，在等腰中，，平分，过点作交的延长线于，连接，过点作交的延长线于． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【变式训练】 1.如图，在中，，平分，交于点，过点作交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为，，求的长度． 2.已知，四边形是菱形． (1)若，则菱形的周长______； (2)如图①，、是对角线，则与的位置关系是_______． (3)如图②，点、分别在、上，且，，，点、分别在、上，与相交于点．求证：四边形是菱形． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，．若菱形的面积为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，已知的对角线交于点O，下列条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中摆放了一副三角板，等腰直角三角板的一条直角边在菱形边上，直角顶点为的中点，含角的直角三角板的斜边在菱形的边上．连接，若，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 5．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（2025·湖南娄底·一模）如图，分别以点、为圆心，以大于的定长为半径画弧，两弧相交于点、，则四边形是菱形的理由是 ． 7．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，菱形的对角线交于坐标原点．已知点，，则点的坐标为 ． 8．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为 ． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 10．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在菱形中，，，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在菱形的边所在的直线上时，线段的长为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 12．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，为边上一点，连结，将沿翻折，使点的对称点落在边上，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 14．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，为的外角的平分线，，垂足为，点为上一点，连接，交于点．    (1)在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由； (2)若四边形为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线．（保留作图痕迹，不写作法） 15．（24-25九年级上·重庆合川·期末）四边形是菱形，，点是边上一点，连接． (1)如图1，若，菱形的边长为4，当时，求线段的长； (2)线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在边上，如图2，连接，点是中点，连接，求证：． 16．（23-24九年级上·四川内江·开学考试）在中，的平分线交边于点E，交边的延长线于点F，以为邻边作． (1)如图1，求证：为菱形； (2)如图2，若，连接， ①求证：； ②判断的形状，并加以证明． (3)如图3，若，M是的中点，连结，若，则 ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$