专题10 矩形的性质和判定七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题10 矩形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用矩形的性质求角度 1 类型二、利用矩形的性质求线段长 4 类型三、利用矩形的性质求面积 8 类型四、斜边的中线等于斜边的一半 11 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 13 类型六、利用矩形的性质与判定作图 17 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 20 压轴能力测评（16题） 24 解题知识必备 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 压轴题型讲练 类型一、利用矩形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形中，是边上一点，是的平分线，，则 ． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质求角度、角平分线的有关计算、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了矩形的性质．根据矩形的性质求得，，再求得，利用角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则 ． 【答案】/22度 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．利用基本作图得到由垂直平分，所以，则利用互余可计算出，设与相交于点，如图，根据矩形的性质得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ∵， ， 设与相交于点，如图， 四边形为矩形， ， ∴， ． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是 ． 【答案】/20度 【知识点】利用矩形的性质求角度、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点是的中点，的度数为 ，的度数为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用矩形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 由矩形的性质可得，可得，然后根据三角形外角的性质即可求得；再根据三角形中位线的性质可得,根据平行线的性质即可求得,最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． 类型二、利用矩形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且，，AE、CD相交于点O，连接DE．若，，则AB的长度为 ． 【答案】12 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．根据平行四边形的性质先证明四边形是矩形，再由，，得出是等边三角形，得到，进而求得长． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 由 ∴四边形是平行四边形 ∴平行四边形是矩形， ∴是等边三角形 故答案为：12 【变式训练】 1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线分别与，，交于点，，，若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】如图，连接，由作图可知垂直平分线段，由垂直平分线的性质，矩形的性质勾股定理可得，再证，得到，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知垂直平分线段， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，尺规作垂直平分线及其性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质的综合．掌握垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）在长方形中，点是边上一动点，，，当为等腰三角形时， ． 【答案】或或 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 分，，三种情况讨论，利用勾股定理以及全等三角形的判定和性质求解即可. 【详解】解：矩形中，，， ，，， ①当时， 在中，，， ， ； ②当时， 在和中， ，， ， ； ③当时， 在中，，， 的值为或或 故答案为：或或 类型三、利用矩形的性质求面积 例题：（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积 【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据矩形的性质得出，，推出，然后证明，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 【答案】28 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由条件推出矩形的面积的面积，证明． 由矩形的性质推出矩形的面积的面积，证明，得到，进而得到求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，． 在和中 ∴ (AAS)， ∴， ∴， ∴． 故答案为：28． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是 ． 【答案】64 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、根据矩形的性质求面积 【分析】此题考查整式混合运算的实际应用，设小正方形的边长为，得到矩形的长为，宽为．列得，将代入即可求． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为，宽为． 由图1、图2可得， 整理得． ，， ， ， 矩形的面积为， 故答案为64． 类型四、斜边的中线等于斜边的一半 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，是边上中线，E是上一点，且．若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识．由等腰三角形的性质得到，，是直角三角形，由得到，则，得到，根据直角三角形斜边中线性质得到． 【详解】解：∵，，是边上中线， ∴，， ∴是直角三角形， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 【答案】2 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴． 故答案为2． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，是的高，，是，的中点，若，，则四边形的周长为 ． 【答案】22 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，进而求出四边形的周长． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴四边形的周长， 故答案为：22． 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 例题：（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用矩形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、根据等边对等角证明 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，证明可得，可证②；证明，推出，，可证③，④． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，， ， 故②正确； ，， ， 在和中，， ， ，， ， 故③，④正确； 现有条件不能证明，故①错误， 综上可知，正确的有②，③，④，共3个， 故选C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，是矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交于点，连接，下列结论：    ①；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、根据菱形的性质与判定求面积、根据矩形的性质求线段长 【分析】先证明，可得①正确；根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，可得②正确；再证明四边形是菱形，可得，从而得到③错误；根据平分，可得，从而得到，可得到④正确． 【详解】解：∵是矩形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，故③错误； ∵四边形是菱形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④正确． ∴正确结论的个数是3个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·天津·期末）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处，有以下结论：①；②；③；④；其中，正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了折叠和矩形的性质．勾股定理，先由折叠性质得，，，，，进行角的等量代换即可判定①，结合勾股定理列式计算分别得出，即可判定③，结合三角形面积公式列式分析，即可判断②，在中，，解得，分别得出，的值，再代入化简，即可作答． 【详解】解：沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上， 将沿折叠，点恰落在线段上的点处， ，，，，， ， ∴①正确； 在中，， ， 设，则，，， 在中， ， ， 解得， ， ， 则 ∴③不正确； ，， ． ∴②正确． 设，在中，， 解得， ，， ， 故④正确， 故选：B 类型六、利用矩形的性质与判定作图 例题：（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在矩形中，是矩形的对角线． (1)求作：线段，使得点E在边上，点F在边上，且垂直平分（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的作图和性质、勾股定理等知识． （1）作的垂直平分线分别交、于点E,F．则线段即为所求； （2）根据垂直平分线性质得到，设，则，利用勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求． （2）由（1）得垂直平分， ， 设，则， 在矩形中， 在中，， 即， 解得， 【变式训练】 1．（2024·浙江金华·三模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格． (1)求线段的长． (2)在图1中，仅用无刻度的直尺，画出一个格点P，使，且点P在网格的内部． (3)在图2中，仅用无刻度的直尺，画出一个点Q，使，保留作图痕迹并简要说明作法． 【答案】(1)线段的长为5 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、矩形性质理解 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，矩形的性质、作图-复杂作图．熟练掌握相关定理，能结合网格分析是解题关键． （1）结合网格与勾股定理分析即可求出； （2）结合网格与勾股定理分析即可； （3）结合网格与勾股定理证明是等腰直角三角形，再利用矩形的性质得出的中点，连接即可 【详解】（1）由题意可知，， 线段的长为5． （2） （3） 由 （2）可知， 由图可知，，， ， ， 又 ， ， 是等腰直角三角形． 连接交于点，根据矩形的性质可得： 在矩形中，点是对角线的中点， 连接，则是等腰直角三角形的角平分线， 则． 2．（23-24八年级下·江苏常州·期中）仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹 (1)在图1中，矩形中，点E在上，，画出的平分线； (2)在图2中，矩形中，点E在上，，画出的平分线EF； (3)在图3中，过点G作直线将平行四边形的面积平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、利用矩形的性质求角度 【分析】（1）如图：连接，由得到，由得，则，即可确定平分； （2）如图：连接相交于O点，连接，利用矩形性质得到，则，根据等腰三角形的性质可判断平分； （3）如图：连接相交于O点，过O、G作直线交与H，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图：连接，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图：直线即为所求． 【点睛】本题主要考查了、平行四边形的性质、矩形的性质等知识点，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键． 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判定，利用勾股定理列方程是解题的关键； （1）先证四边形是平行四边形，再结合对角线相等证明即可； （2）根据勾股定理，可得， ，即可得到方程，再求解即可． 【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据已知条件得出，进而得到，再结合平行四边形的性质，得出，即可证明结论； （2）根据矩形的性质，易证是等边三角形，进而得到，，再证明四边形是平行四边形，从而推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是斜边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，先证明，可得，再结合角的和差运算可得答案. 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：矩形的两条对角线相交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，是上的一点，且，连接，则的长为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解决此题的关键．根据矩形的性质，推出，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 4．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，，为的中点，连接交的延长线于点，为上一点，当时，的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明得到，再根据等角对等边证得，然后根据勾股定理求解AP即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 5．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、，若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质证明 【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质与判定即可判断①，根据全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定和矩形的性质可判断②③，根据含角的直角三角形，勾股定理和全等三角形的性质与判定可判断④，从而解题． 【详解】解：矩形中，为中点，   ， ， 是等边三角形， ， ， 垂直平分， 故正确； 为等边三角形，，四边形为矩形， ，， ， ， 与不全等； 故错误； 四边形为矩形， ，，，， ，， ， ， ， ，， ， 为等边三角形，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， 正确； 所以其中正确结论的个数为个； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、矩形性质理解 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形的性质推出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算即可．解题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 7．（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴, 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 8．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、坐标与旋转规律问题 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同是解题的关键．根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点坐标可解决问题． 【详解】解：， 每旋转八次，点的坐标重复出现． 余4， 第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同． 连接和， 四边形是矩形， 和互相平分， ，， ，， 点的坐标为． 又， 第4秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称， 此时点的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点的坐标为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查角平分线的性质，矩形的性质，二次根式的乘法运算，勾股定理的应用，根据过作，结合角平分线得到，再求解，再利用面积公式求解即可得到答案； 【详解】解：过作， 由作图可得， 平分， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，则， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或或 【知识点】化为最简二次根式、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取中点，连接，如图所示， 在中，，， ， 为等边三角形， ， ， . ， 当点在上时，，此时为直角三角形，如图所示， ， . 当点在的延长线上时，如图所示，，此时为直角三角形， . 当点在的延长线上时，如图所示， ， 四边形为矩形. ，此时为直角三角形， ， 综上，的长为或或， 故答案为：或或. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题 11．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质得，，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∴， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形，， ， ，， ， 是直角三角形，， 的面积， ， 由（1）得：四边形是矩形， ，， ． 12．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在矩形中，E，F分别是、上的点，，连接、，与对角线交于，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质证明 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明，即可证明； （2）如图：连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由全等三角形的性质可得，再结合矩形的性质可得，然后根据等边对等角的性质可得；在中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到，再由三角形外角的性质证明，则，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图：连接． ，， ， 在中，． ， ． 四边形是矩形， ， ． ，即，， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键． 13．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，在中，，是的一条角平分线，是的外角的平分线，于点，连接，交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)线段与有怎样的关系？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形 【分析】（1）由在中，，是的一条角平分线，可得，，又由为的外角的平分线，可得，又由，即可证得：四边形为矩形； （2）由四边形为矩形，可得，又由是边的中线，即可得是的中位线，则可得，． 【详解】（1）四边形为矩形， 理由：∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中， ∵，平分， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为矩形； （2），， 理由： 四边形是矩形， ， 点为中点， ，平分， ， 点为中点， 是的中位线， ∴，． 【点睛】本题考查三角形角平分线定义，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形角平分线定义，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线是解答此题的关键． 14．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理和勾股定理， （1）根据题意得．由三角形中位线定理得是的中位线，则，那么，四边形是平行四边形，结合垂直得，即四边形是矩形． （2）由（1）可知则，．在中求得，则，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又点分别是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：由（1）可知 ∵ ∴， ． ． 在中，， ， ， 四边形的面积是． 15．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，， (1)求证：四边形为矩形； (2)E 是 边的中点，F 为边上一点，延长、交于点 G． ①若F为的中点， ，求的长； ②若 求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先利用已知条件得出四边形为平行四边形，再得出，即可得出四边形为矩形． （2）①由矩形的性质得出，，再由线段中点的定义得出，进而证明，由全等三角形的性质可得出，，最后再得出，根据等角对等边即可得出答案． ②由①知可得出，设，根据勾股定理得代入数值求出x的值，进而可求出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 又∵， ∴． ∴四边形为矩形． （2）①∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵E是边的中点， ∴． 在和中， ∴ ∴， ∵，F为的中点， ∴，． ∴． ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． ②由①知， ∴， ∴， 设， 根据勾股定理得： 即 【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，等角对等边，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 16．（22-23九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线、交于点，点的坐标为． (1)E点的坐标是 ； (2)直线过点，交于点，交于点； ①把矩形沿直线对折，使点落在点处，求的长； ②若直线绕点旋转，连接，线段上是否存在点，使得平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或． 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据矩形的性质可知，点为的中点，由中点坐标公式可直接得出结论； （2）①由折叠可知，垂直平分，连接，则，设，在中，由勾股定理建立方程即可得出的值； ②若平分，得为等腰三角形，则，过点作于点，在中，利用勾股定理建立方程即可得出的长度． 【详解】（1）解：在矩形中，点为对角线的交点， 点为的中点， ， ； 故答案为：； （2）解：由折叠可知，垂直平分，连接，则， 设，则，， 在中，， 由勾股定理可知，， ， 解得， ； ②如图，连接， 平分， ， ， ， ， 为等腰三角形， ； 点是的中点， ， ， ，， ， ， 设，则，， 如图，过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中，， 由勾股定理可知，， ， 解得或， 即或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查矩形的性质与判定，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等相关知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 矩形的性质和判定七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用矩形的性质求角度 1 类型二、利用矩形的性质求线段长 4 类型三、利用矩形的性质求面积 8 类型四、斜边的中线等于斜边的一半 11 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 13 类型六、利用矩形的性质与判定作图 17 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 20 压轴能力测评（16题） 24 解题知识必备 1.矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.矩形的判定 （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）三个角是直角的四边形是矩形 （3）对角线相等的平行四边形是矩形 压轴题型讲练 类型一、利用矩形的性质求角度 例题：（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形中，是边上一点，是的平分线，，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则 ． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是 ． 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点是的中点，的度数为 ，的度数为 ． 类型二、利用矩形的性质求线段长 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且，，AE、CD相交于点O，连接DE．若，，则AB的长度为 ． 【变式训练】 1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线分别与，，交于点，，，若，，则 ． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级上·山东烟台·期中）在长方形中，点是边上一动点，，，当为等腰三角形时， ． 类型三、利用矩形的性质求面积 例题：（24-25八年级上·江西·开学考试）如图，过长方形（即，）对角线的交点，且分别交、于点、点，如果长方形的面积是，那么阴影部分的面积是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按照图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是 ． 类型四、斜边的中线等于斜边的一半 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，是边上中线，E是上一点，且．若，则的长为 ． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，是的高，，是，的中点，若，，则四边形的周长为 ． 类型五、根据矩形的性质与判定解决多结论问题 例题：（23-24八年级下·山西长治·期末）如图，点F是矩形的边上一点，连结，作于点E，且满足，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，是矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交于点，连接，下列结论：    ①；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级下·天津·期末）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处，有以下结论：①；②；③；④；其中，正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 类型六、利用矩形的性质与判定作图 例题：（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在矩形中，是矩形的对角线． (1)求作：线段，使得点E在边上，点F在边上，且垂直平分（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【变式训练】 1．（2024·浙江金华·三模）如图是由边长为1的小正方形组成的网格． (1)求线段的长． (2)在图1中，仅用无刻度的直尺，画出一个格点P，使，且点P在网格的内部． (3)在图2中，仅用无刻度的直尺，画出一个点Q，使，保留作图痕迹并简要说明作法． 2．（23-24八年级下·江苏常州·期中）仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹 (1)在图1中，矩形中，点E在上，，画出的平分线； (2)在图2中，矩形中，点E在上，，画出的平分线EF； (3)在图3中，过点G作直线将平行四边形的面积平分． 类型七、矩形的性质与判定的综合问题 例题：（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 2．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是斜边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形中，是上的一点，且，连接，则的长为（    ） A．6 B． C．4 D． 4．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，，为的中点，连接交的延长线于点，为上一点，当时，的长为（    ） A．4 B． C． D．5 5．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、，若，，则下列结论：①垂直平分；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为 ． 7．（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点的坐标为 ． 9．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，，，则的面积是 ． 10．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若求的长． 12．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在矩形中，E，F分别是、上的点，，连接、，与对角线交于，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 13．（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）如图，在中，，是的一条角平分线，是的外角的平分线，于点，连接，交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)线段与有怎样的关系？说明理由． 14．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点分别是的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 15．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，， (1)求证：四边形为矩形； (2)E 是 边的中点，F 为边上一点，延长、交于点 G． ①若F为的中点， ，求的长； ②若 求的长． 16．（22-23九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线、交于点，点的坐标为． (1)E点的坐标是 ； (2)直线过点，交于点，交于点； ①把矩形沿直线对折，使点落在点处，求的长； ②若直线绕点旋转，连接，线段上是否存在点，使得平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$