专题09 平行四边形的性质和判定九种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题09 平行四边形的性质和判定九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行四边形的性质求角度 2 类型二、利用平行四边形的性质求线段 4 类型三、利用平行四边形的性质求面积 7 类型四、利用平行四边形的性质求动点问题 9 类型五、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 13 类型六、利用平行四边形的性质证明 19 类型七、利用平行四边形的判定和性质作图 23 类型八、利用平行四边形的判定和性质求解 26 类型九、利用平行四边形的判定和性质证明 29 压轴能力测评（18题） 33 解题知识必备 1. 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 3. 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 压轴题型讲练 类型一、利用平行四边形的性质求角度 例题：（23-24八年级下·吉林四平·期中）在平行四边形中，若，则 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，于，则 ． 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F，如果，那么的度数是 ． 类型二、利用平行四边形的性质求线段 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 2．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 类型三、利用平行四边形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【详解】 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．    类型四、利用平行四边形的性质求动点问题 例题：（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，对角线交于点O，动点E从点B出发，沿着运动，设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图所示，则长为（　　） A．5 B．6 C． D． 【变式训练】 1．（2024·河南·模拟预测）如图①，在平行四边形中，，动点 P从A点出发，以的速度沿着A→B→C→A 的方向移动，直到点 P 到达点 A 后才停止．已知的面积y（单位： ）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图②所示，则的长为（     ） A．15 B．16 C．17 D．18 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，中，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（    ） ①N点的运动速度是；②的长度为；③a的值为7；④当时，t的值为或9． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 类型五、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 例题：（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接，下列结论①；②；③；④；其中成立的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 类型六、利用平行四边形的性质证明 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是内一点，且． (1)写出图中与相等的角，并证明； (2)求证： (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式训练】 1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的面积. 2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．    (1)求证：平分； (2)若点E为中点，求证：； (3)若，，，求的面积． 类型七、利用平行四边形的判定和性质作图 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：    (1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分； (2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且． 【变式训练】 1．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，是它的一条对角线．分别按下列要求作，使得点在上（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)用圆规和无刻度的直尺，在图1、图2中完成作图（用两种不同的方法）； (2)仅用无刻度的直尺，在图3中完成作图． 类型八、利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 类型九、利用平行四边形的判定和性质证明 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G． (1)求证：． (2)分别连接，试判断与的关系，并证明． 2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·广西柳州·开学考试）如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在四边形中，是对角线，，添加一个条件，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．； B．； C．； D．． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（   ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 6．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 7．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，对角线，相交于点，，若，，则的长是 ． 8．（23-24七年级下·全国·期中）如图，中，，于点 E，于点 F，与交于点 H，则 ． 9．（24-25八年级上·山东威海·期末）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点，则 ． （1）在上题的条件下，若，则 ． （2）如图，在中，的平分线交线段于点，的平分线交线段于点，若，，则的长是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·湖北·单元测试）如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求证：； (2)求的面积． 12．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F．    (1)求，的度数． (2)若平行四边形的周长为36，的长为8．求的长． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为的坐标为． (1)请直接写出平行四边形的中心的坐标___ (2)求出直线的解析式． 14．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，点在边上，请仅用无刻度的直尺画图． (1)如图①，点满足，作的平分线． (2)如图②，已知点为的中点，作出边的中点． 15．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平行四边形中，为对角线，，是的中线． (1)按要求作图 ①在取一点使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． ②画出的高．（要求：仅使用无刻度的直尺画图）． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 16．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）如图，在中，D是边上任意一点，E是边中点，过点C作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，，求的长． 17．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点．的坐标分别为、，其中． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若点关于直线的对称点分别为、． 当时，若的面积为，试求的值； 当点恰好落在轴上时，试求：与的函数关系式． 18．（22-23八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当时时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 平行四边形的性质和判定九种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行四边形的性质求角度 2 类型二、利用平行四边形的性质求线段 4 类型三、利用平行四边形的性质求面积 7 类型四、利用平行四边形的性质求动点问题 9 类型五、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 13 类型六、利用平行四边形的性质证明 19 类型七、利用平行四边形的判定和性质作图 23 类型八、利用平行四边形的判定和性质求解 26 类型九、利用平行四边形的判定和性质证明 29 压轴能力测评（18题） 33 解题知识必备 1. 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 3. 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 压轴题型讲练 类型一、利用平行四边形的性质求角度 例题：（23-24八年级下·吉林四平·期中）在平行四边形中，若，则 ． 【答案】30 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键，根据平行四边形对角相等可得． 【详解】解：在平行四边形中，若，则． 故答案为：30． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，，，于，则 ． 【答案】/度 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形性质，平行四边形性质，三角形内角和定理，利用等腰三角形性质得到，进而利用平行四边形性质得到，最后结合三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 于， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是关键；设；由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，由平行四边形的性质及已知，，则有，则，再由平行线性质即可求解． 【详解】解：设； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F，如果，那么的度数是 ． 【答案】40 【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的有关计算， 由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，，由角平分线的定义可得出，即可求出 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：40． 类型二、利用平行四边形的性质求线段 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据平行四边形的性质可证、，根据等角对等边可知，根据线段的和与差可知，从而可求． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，，垂足为，若，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形性质；根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出，结合题干条件根据勾股定理解直角三角形即可得到的长，进而即可求解． 【详解】四边形是平行四边形， ，， ，， 为的中点， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 2．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 类型三、利用平行四边形的性质求面积 例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影部分的面积与的面积比值是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键． 根据轴对称的性质可得和关于点O中心对称，即可，再根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴和关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积与的面积比值是． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．    【答案】12 【分析】由平行四边形的性质得，则，得，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 类型四、利用平行四边形的性质求动点问题 例题：（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在中，对角线交于点O，动点E从点B出发，沿着运动，设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图所示，则长为（　　） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形与函数综合，涉及平行四边形的性质、勾股定理、30度直角三角形性质等知识，读懂题意，属性结合，从函数图象中得到相应线段长是解决问题的关键．根据平行四边形性质可知，结合y关于x的函数图象可知当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，，即，作，垂足为H，利用，，结合30度直角三角形性质可求出，进而在用勾股定理即可得到长． 【详解】解：在中对角线交于点O，则， ∵动点E从点B出发，沿着运动．设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图象如图所示， ∴当动点E从点B出发到达点C时，面积最大，，即， 当动点E从点B出发到达点D时，点E运动的路程为，即， 设在中，，则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：（不合题意舍去）， ∵，故， ∴，，， ∴在中，， 故选：D 【变式训练】 1．（2024·河南·模拟预测）如图①，在平行四边形中，，动点 P从A点出发，以的速度沿着A→B→C→A 的方向移动，直到点 P 到达点 A 后才停止．已知的面积y（单位： ）与点P移动的时间x（单位：）之间的函数关系如图②所示，则的长为（     ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查动点问题的函数图象，正确识别图象信息，并根据信息作出辅助线是解题的关键．的面积变化主要分三个阶段，分别为点P在上运动，在上运动，和在上运动，根据运动的变化及的面积y与点P移动的时间x之间的函数图象，可得的长，进而可得到答案． 【详解】解：如图，过B作于点F，过C作交的延长线于点G， 在平行四边形中，，则由图②可得，点P从B到C，所用时间为， 故， 当时，点P到达点B处，因为P的运动速度是，故， 此时的面积为，，可得， 在直角三角形中，， 因为四边形是平行四边形，所以，又， 所以， ∴， 所以， 则， 在中，， 故选：C． 2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，中，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动；点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（    ） ①N点的运动速度是；②的长度为；③a的值为7；④当时，t的值为或9． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点C重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点A重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】∵，点M的速度为， ∴当点M从点B到点C，用时， 当时，过点N作于点E， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴N点的运动速度是；故①正确； 由图2可知，点N从B到A用时 ∴，故②正确； ∴，故③正确； 当点M未到点C时，过点N作于点E， ∴， 解得，负值舍去； 当点N在上时，过点N作交延长线于点F， 此时, ∴ ∴， 解得， ∴当时，t的值为或9．故④正确； 故选：D． 类型五、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 例题：（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接，下列结论①；②；③；④；其中成立的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由，可判断①， 由，，得，故②正确，设，则，对，运用勾股定理即可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， 平分， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ，， ， 设，则，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，∴，故③正确； ，， 是的中点， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，是内一点，，，，连接，，，下列结论：①；②为等腰直角三角形； ③；④，其中正确的个数有 （       ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】①延长交于点，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到；②先证明，得，又有，可得，即可得到为等腰直角三角形；③过点作交延长线于点，证明，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，可得成立；④过点作于，根据勾股定理即可证明，可知结论不成立． 【详解】解：①延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故①正确； 在中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 过点作交延长线于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，则为等腰直角三角形， ∴， 由等腰直角三角形可知，， ∴， 故③正确； 由勾股定理可知，，则， 过点作于，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， 故④不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（    ） ；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由的周长等于，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断；过点于，交于，可得，即可判断；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵的周长等于， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴，故正确； 过点作于M，交与， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴，故正确； 过点作于，交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，故正确； ∴说法正确的个数有个， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理． 类型六、利用平行四边形的性质证明 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是内一点，且． (1)写出图中与相等的角，并证明； (2)求证： (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，由垂直的定义得，然后根据等式的性质可得； （2）延长交于点F．由平行四边形的性质得，求出可得，然后根据证明即可证明结论成立； （3）由可得，进而可证，然后由勾股定理得，从而可得． 【详解】（1）． 证明：四边形ABCD是平行四边形， ． ， ． ． 即． （2）如图，延长交于点F． 四边形ABCD是平行四边形， ． ． ． ， ． 在中，． ． ， ． ． ， ． （3）． 由（2）可得，， ． 在中，，由勾股定理可得， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形中，、分别平分、，交分别于点、．已知平行四边形的周长为． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，角平分线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可． （1）根据平行四边形的性质，则，，，则，根据、分别平分、，全等三角形的判定和性质，即可； （2）过点作于点，根据角平分线的性质，则；根据平行四边形的周长，则，根据，即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．    (1)求证：平分； (2)若点E为中点，求证：； (3)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)168 【分析】（1）根据得到，根据得到，即可证明，问题得证； （2）证明，即可得到，根据即可证明； （3）过点E作于M，设，则，根据勾股定理列出方程 ，解得，进而得到，即可求出． 【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵点E为中点， ， ∵，， ∴， ， ∵， ∴； （3）解：如图，过点E作于M，设，则． 根据勾股定理得 ， 解得， ， ．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 类型七、利用平行四边形的判定和性质作图 例题：（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：    (1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分； (2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、画旋转图形、格点作图题 【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． （1）根据题意，结合全等三角形的性质和平行四边形的性质，即可解答； （2）根据全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； 【变式训练】 1．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，证明如下： 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，是它的一条对角线．分别按下列要求作，使得点在上（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)用圆规和无刻度的直尺，在图1、图2中完成作图（用两种不同的方法）； (2)仅用无刻度的直尺，在图3中完成作图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、无刻度直尺作图 【分析】本题考查尺规作图和无刻度直尺作图； （1）根据平行四边形的性质和判定，确定缺少的条件，再利用尺规作图即可； （2）利用平行四边形对角线交点以及中心对称性作图即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求：      （2）如图所示，即为所求：    类型八、利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E在上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）首先根据得到，然后结合即可证明出四边形是平行四边形； （2）利用角直角三角形的性质求得的长，再利用角直角三角形的性质和勾股定理求得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ， , 又， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可知四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，，进而利用已知得出，，进而得出答案； （2）首先过点作于点，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，是边的中点， ，， 四边形是平行四边形 （2）解：过点作于点，    由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， 在中，， ， 又是边的中点， ， ， 在中，， ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键． 类型九、利用平行四边形的判定和性质证明 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． (1)求证：； (2)连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四边形为平行四边形，得到，继而得到，结合得到，证明即可． （2）根据，得到，继而得到即可证明四边形为平行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ． 【变式训练】 1．（2024·广东江门·一模）如图，，E、F分别是边上一点，且，直线分别交延长线、延长线于O、H、G． (1)求证：． (2)分别连接，试判断与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质得到，利用即可证明； （2）由（1）知，得到，根据，即可得到四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）证明：如图，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，． 2．（2024·贵州·一模）如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长； (3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解； （2）根据平行四边形的对边分别相等，结合，，即可求解； （3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ，， ，， ， 平行四边形的周长为：； （3）， ， 即， 中，， ， ， ， ． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·广西柳州·开学考试）如图，在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，注意掌握平行四边形的对角相等的性质．根据平行四边形的对角相等的性质即可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在四边形中，是对角线，，添加一个条件，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，根据题意利用平行四边形的判定定理逐一对选项分析，即可得到答案． 【详解】解：A、已知，若，即可证明四边形为平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），所以A能判定四边形为平行四边形； B、根据题意若，不能进一步得到，所以不能判定四边形为平行四边形． C、已知，若，即，，所以，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以C能判定四边形为平行四边． D、已知，若，即，所以，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以D能判定四边形为平行四边． 故选：B． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，由平行四边形的性质得出，，，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴平行四边形的周长为， 故选：B． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（   ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角、等边三角形的判定和性质 【分析】根据题意得到，即可判断①；根据平行四边形的性质即可判断②；根据等边对等角得到，，然后结合平行线的性质得到，，进而求出，然后利用三角形内角和定理求出，即可判定③；若，得到是等边三角形，然后根据等边对等角和三角形外角的性质得到，然后求出，进而得到，即可判断④； 根据题意得到点F在线段上，进而可判断⑤． 【详解】∵，点E为的中点， ∴ ∴为等腰三角形，故①正确； ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确； 若， 又∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故④正确； ∵将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F， ∴点F在线段上， ∵ ∴为直角三角形，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③④⑤． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 6．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 7．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，对角线，相交于点，，若，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题主要考查了勾股定理以及平行四边形的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键． 利用平行四边形性质及勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出即可求的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·全国·期中）如图，中，，于点 E，于点 F，与交于点 H，则 ． 【答案】/60度 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了垂线的定义，平行四边形的性质，三角形内角和定理，对顶角，找出角度之间的数量关系是解题关键．由垂直和平行线的性质，得到，进而得到，再由三角形内角和定理，得到，最后利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：， ， ∵在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 9．（24-25八年级上·山东威海·期末）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为 【答案】或或 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分情况讨论． 设第四个顶点的坐标为，根据平行四边形的性质分三种情况，然后分别列出方程组求解即可． 【详解】解：∵一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，， 设第四个顶点的坐标为 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 综上所述，第四个顶点的坐标为或或． 故答案为：或或． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点，则 ． （1）在上题的条件下，若，则 ． （2）如图，在中，的平分线交线段于点，的平分线交线段于点，若，，则的长是 ． 【答案】 2 /145度 2 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的判定是解题是关键； 由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （1）由题意可知，然后可根据角平分线的定义及平行线的性质可进行求解； （2）由题意易得，然后问题可求解 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为2； （1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 三、解答题 11．（23-24八年级下·湖北·单元测试）如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理； （1）先求出的长，继而根据勾股定理的逆定理进行证明即可得； （2）连接，根据平行四边形的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 又，， ， 为直角三角形， ； （2）解：连接，    ∵，，， 又， ∴． 12．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F．    (1)求，的度数． (2)若平行四边形的周长为36，的长为8．求的长． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质． （1）首先根据平行四边形的性质，，，可求得和的度数为，再求得，； （2）根据的周长及的长，可求出的长，由可求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出长，再根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴在和中，， ∴； 故答案为：，． （2）∵的周长为36，的长为8， ∴的长为， ∵在中，， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为的坐标为． (1)请直接写出平行四边形的中心的坐标___ (2)求出直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质、求一次函数解析式： （1）利用平行四边形的性质先求出点C的坐标，点P为点C和点A的中点，由此可解． （2）利用待定系数法求解． 【详解】（1）解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， 则有， ， 直线的解析式为． 14．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，点在边上，请仅用无刻度的直尺画图． (1)如图①，点满足，作的平分线． (2)如图②，已知点为的中点，作出边的中点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）作射线．由可得，由可得，则可得，因此射线即为的平分线． （2）连接、交于点O，过E点和O点作射线，与边的交点即为F点．根据平行四边形的性质即可得证． 本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求． （2）解：如图，点F即为所求． 15．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平行四边形中，为对角线，，是的中线． (1)按要求作图 ①在取一点使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． ②画出的高．（要求：仅使用无刻度的直尺画图）． (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作线段(尺规作图)、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）①方法一：连接交于点，连接并延长，的延长线与的交点即为点，则可得四边形是平行四边形，则F点满足条件； 方法二：作，与的交点即为点．根据“同位角相等，两直线平行”可得，则F点满足条件． ②设与的交点为O，连接交于P点，则P点为的三条中线的交点，连接并延长交于H，则为边上的中线，再由，根据等腰三角形三线合一可得是的边上的高． （2）先证是等边三角形，则可得，，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：①如图，点为所作； 方法一：以点A为圆心，长为半径画弧，弧与的交点即为点； 方法二：作，与的交点即为点． ②如图1，为所作； （2）解：，， 是等边三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质、等边三角形的性质及平行线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）如图，在中，D是边上任意一点，E是边中点，过点C作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，直角三角形的性质， （1）根据证明； （2）由全等三角形的性质得到，即可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）过点E作于H，则，根据平行四边形的性质得到，利用，求出，根据30度角的性质得到，由此得到 【详解】（1）证明：∵E是边中点， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）过点E作于H，则， ∵，四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 17．（23-24八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点．的坐标分别为、，其中． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若点关于直线的对称点分别为、． 当时，若的面积为，试求的值； 当点恰好落在轴上时，试求：与的函数关系式． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或；与的函数关系式为． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、利用平行四边形的性质求解、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（）由得，，又、，再根据坐标系的坐标特点，，从而求解； （）连接，由对称性质可知，则，再由，得出关于的方程，解出方程即可； 连接，设，由，，，通过等面积法得，，然后由勾股定理和解方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由： 由得：当时，；当时，， ∴，， ∵、， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）如图，连接， 由对称性质可知：， ∴， 由（）得：，，、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：， 解得：或； 如图，连接， ∵当点恰好落在轴上， ∴， 设，由，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， 由对称可知， 在中，由勾股定理得：， ∴，整理得：， ∴， ∴或， ∴或， 当时，舍去， ∴与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的判定，勾股定理，同角的余角相等，垂直平分线的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 18．（22-23八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当时时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）①如图2，过点D作点N，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$