专题08 多边形的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北京版）

专题08 多边形的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、多边形内角和问题 2 类型二、多边形对角线的条数问题 4 类型三、多边形截角后的边数问题 5 类型四、多边形截角后的内角和问题 6 类型五、多边形外角和的实际应用 8 类型六、多边形内角和与外角和综合 10 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 1.多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 2.多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 3.多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 压轴题型讲练 类型一、多边形内角和问题 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式计算即可，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 【答案】18 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， ∴． 故答案为：18． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在多边形中，若，则 ． 【答案】420 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和定理，三角形内角和定理，掌握多边形的内角和定理，三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，用多边形的内角和减去与的和，进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴ ， 故答案为：420． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形共有对角线 条． 【答案】 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，设该正多边形的边数为，根据多边形的内角和定理计算出多边形的边数，然后根据边形对角线的总条数为计算即可，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的关键． 【详解】解：设该正多边形的边数为，依题意得： ， 解得：， ∴这个正多边形共有对角线（条）， 故答案为：． 类型二、多边形对角线的条数问题 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画 条． 【答案】/七 【分析】此题主要考查了多边形对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线进行计算即可，解题的关键是熟练掌握计算公式． 【详解】解：从十边形一个顶点画对角线能画（条）， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）六边形的内角和为 ，外角和为 ，它共有 条对角线． 【答案】 /720度 /360度 9 【分析】 本题主要考查了多边形内角和定理，外角和定理，多边形对角线条数问题，对于n边形，其内角和为，外角和为，对角线条数为，据此求解即可． 【详解】解；六边形的内角和为，外角和为，它有条对角线 故答案为：；；9． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 【答案】11 【分析】 本题考查了多边形的对角线的条数与边数的关系，代数式求值，根据多边形的边数与对角线的条数的关系求出a，b的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ， 故答案为：11． 类型三、多边形截角后的边数问题 例题：（23-24八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 类型四、多边形截角后的内角和问题 例题：（23-24八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）小明将一个五边形用剪刀沿直线剪去一个角，将这个五边形分成两个多边形，那么关于这两个多边形所有的内角的和与原五边形的内角和相比，下列说法中不可能的是（   ） A．减少180° B．不变 C．增加180° D．增加360° 【答案】A 【分析】按照题意画出图形逐一判断即可解题． 【详解】如图，减去一个角，变为一个三角形和一个六边形，内角和增加； 如图，减去一个角，变为一个三角形和一个五边形，内角和增加；    如图，减去一个角，变为一个三角形和一个四边形，内角和，内角和不变；    综上所述内角和不会减少180°， 故选A． 【点睛】本题考查多边形截角后的内角和问题，分情况画图讨论是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　） A．增加 B．减少 C．不变 D．不变或增加或减少 【答案】D 【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】解：四边形，截一刀后得到的新多边形可能是四边形，五边形，三角形， 新多边形的内角和将不变或增加或减少． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形．能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 类型五、多边形外角和的实际应用 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，邻补角的性质，由多边形的外角和定理可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 【详解】解：由多边形的外角和定理可得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键． 【详解】解：等边三角形的每个内角为， 正方形的每个内角为， 正五边形的每个内角为， 如图，    ∵的外角和等于， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和，任意多边形的外角和均为，延长交于点，可得据此即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵任意多边形的外角和均为， 且的和为， ∴ 即： ∴ 故选：D 类型六、多边形内角和与外角和综合 例题：（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【答案】(1) (2)，五边形外角和的度数是 【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可进行求解； （2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：五边形中，， ∵，，， ∴ ； 五边形外角和的度数是． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）． （1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案； （2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论； （3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴． （3）解：∵n边形的某一个外角的度数是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∵与这个外角不相邻的所有内角的和是， ∴， 整理得：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度．    【答案】（1），；（2）；；（3）；（4） 【分析】本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【详解】解：（1）∵是三角形的外角， ∴， ∵是三角形的外角， ∴． 故答案为：，． （2）∵，， ∴， 故答案为：；． （3）∵，， ∴； （4）如图，连接并延长，    根据三角形外角性质可得： ， 同理可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东惠州·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式计算即可，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：这个正多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了正多边形的内角与外角问题，掌握多边形内角与外角的关系成为解题的关键． 由正八边形的外角和为，再根据正八边形的每一个外角都相等求出一个外角，然后根据同一个顶点上的内角和外角互补列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴正八边形的每一个外角为， ∴正八边形的每一个内角为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·天津滨海新·期末）如图，点A是半径为5的上任意一点，以点A为圆心，为半径画弧，交于点B，以点B为圆心，为半径画弧交于点C，同上述作图方法逆时针作出点D，E，F，依次连接，则这个多边形的内角和度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和“一个多边形的内角和等于，其中为多边形的边数，，且为整数”，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式求解即可得． 【详解】解：由六边形的内角和得：这个多边形的内角和度数为， 故选：A． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了《多边形》后，我们有了过多边形（边数大于3）的一个顶点作对角线的学习经验．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 【答案】A 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据题意，得到从一个多边形的一个顶点出发的对角线条数为边数，即可得出答案，得到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意，过一个顶点，四边形有条对角线； 五边形有条对角线； 六边形有条对角线； ……按此规律， 过十二边形一个顶点的对角线有条对角线， 故选：A． 5．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了正多边形的定义，全等三角形的判定与性质等知识．连接，，，，根据全等三角形的判定与性质可得，则当E、P、M三点共线，且时，的值最小，过点E作于H，交于，分别求出和的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵正五边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当E、P、M三点共线，且时，的值最小， 过点E作于H，交于， 同理可求， ∴， 即当的值最小时，． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·山东济南·期末）从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解，牢记公式是解题的关键． 根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解． 【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n， ∴， 解得． 故答案为：8． 7．（24-25八年级上·重庆丰都·期末）如图，在正五边形中，连接两条对角线，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】本题考查正多边形的内角和，等边对等角，先求出正五边形的一个内角的度数，再根据等边对等角，求出和的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为： 8．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，由正方形、正五边形、正六边形组合而成的图形中，，则 度． 【答案】22 【知识点】三角形内角和定理的应用、正多边形的内角问题 【分析】此题考查了正多边形的内角及三角形的内角和，利用正多边形求出每一个内角，然后通过角度和差即可求解，解题的关键是熟练掌握正多边形及其应用． 【详解】解：如图所示， 正方形的每个内角为：， 正五边形的每个内角为：， 正六边形的每个内角为：， 根据图形可知：，，， 得：， ∵，， ∴， 故答案为：． 9．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 【答案】180 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，边形的对角线条数为，据此列式求解即可． 【详解】解：条， ∴20个正六边形的对角线的总条数是180， 故答案为：180． 三、解答题 11．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知一个多边形的边数为． (1)若，则这个多边形的内角和为 ； (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键． （）根据多边形的内角和公式求解即可； （）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，则这个多边形的内角和为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 这个多边形的边数为． 12．（17-18八年级上·内蒙古赤峰·期末）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）1，1，1，1，2；（2）5，9；（3）；（4）35 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）如图，经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线． 通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线． 故答案为∶1，1，1，1，2； （2）如图，运用（1）的分析方法，可得：图2共有 5条对角线；图3共有 9条对角线； 故答案为：5，9； （3）由（1），（2）可知，对于n边形，共有条对角线； 故答案为：； （4）当时，， ∴十边形有35对角线． 故答案为：35． 13．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 … 正多边形每个内角的度数 … (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 【答案】(1)，，； (2)正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形； (3)正方形和正八边形，图见解析，符合条件的图形只有一种，理由见解析． 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】（）利用求解即可； （）根据正多边形的内角能构成角即可； （）设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解即可； 本题考查了正多边形的内角问题，平面镶嵌，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，，； （2）解：如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形； （3）解：正方形和正八边形（如下图所示）， 理由：设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解， 即的正整数解，只有一组， ∴符合条件的图形只有一种． 14．（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 【探究发现】 (1)如图①，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图②，在四边形中，分别平分和，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【类比迁移】 (3)若将（2）中的四边形改为六边形，如图③，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析 (3)．理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形及其内角和以及角平分线，掌握多边形及其内角和是关键． （1）根据角平分线以及三角形内角和即可求解； （2）根据角平分线以及四边形内角和，类比第一问的方法即可求解； （3）根据角平分线以及六边形内角和，类比第二问的方法即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： 、分别平分和， ， ， ， ， ， 即； （2）解：．理由如下： 、分别平分和， ， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 六边形的内角和为：， 、分别平分和， ， ， ， ， ， ， 即． 15．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）根据下列各图求值： (1)如图1，求； (2)如图2，求； (3)如图3，求； (4)如图4，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查三角形的内角和、三角形外角的性质，多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． （1）连接，利用三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形外角的性质表示出，再根据三角形外角和为即可解答； （3）根据三角形外角的性质表示出，再根据四边形外角和为即可解答； （4）连接，由三角形内角和定理得到，即可得到为五边形的内角和，利用多边形内角和公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴； （4）解：如图，连接， ∵，， ∴ ∴ ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 多边形的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、多边形内角和问题 2 类型二、多边形对角线的条数问题 4 类型三、多边形截角后的边数问题 5 类型四、多边形截角后的内角和问题 6 类型五、多边形外角和的实际应用 8 类型六、多边形内角和与外角和综合 10 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 1.多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 2.多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 3.多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 压轴题型讲练 类型一、多边形内角和问题 例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在多边形中，若，则 ． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形共有对角线 条． 类型二、多边形对角线的条数问题 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画 条． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）六边形的内角和为 ，外角和为 ，它共有 条对角线． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 类型三、多边形截角后的边数问题 例题：（23-24八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 类型四、多边形截角后的内角和问题 例题：（23-24八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）小明将一个五边形用剪刀沿直线剪去一个角，将这个五边形分成两个多边形，那么关于这两个多边形所有的内角的和与原五边形的内角和相比，下列说法中不可能的是（   ） A．减少180° B．不变 C．增加180° D．增加360° 2．（23-24八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　） A．增加 B．减少 C．不变 D．不变或增加或减少 类型五、多边形外角和的实际应用 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 类型六、多边形内角和与外角和综合 例题：（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度．    压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东惠州·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川广安·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·天津滨海新·期末）如图，点A是半径为5的上任意一点，以点A为圆心，为半径画弧，交于点B，以点B为圆心，为半径画弧交于点C，同上述作图方法逆时针作出点D，E，F，依次连接，则这个多边形的内角和度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）学习了《多边形》后，我们有了过多边形（边数大于3）的一个顶点作对角线的学习经验．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．9条 B．10条 C．11条 D．12条 5．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，正五边形中，点是边的中点，的延长线交于点，点是上一个动点，点是上一个动点，当的值最小时，（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·山东济南·期末）从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，这个多边形的边数是 ． 7．（24-25八年级上·重庆丰都·期末）如图，在正五边形中，连接两条对角线，，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，由正方形、正五边形、正六边形组合而成的图形中，，则 度． 9．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）在化学中，有一种由60个碳原子构成的分子，它的结构像足球那样，由12个正五边形和20个正六边形组成，碳原子就处在这些多边形的顶点处．20个正六边形的对角线的总条数是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知一个多边形的边数为． (1)若，则这个多边形的内角和为 ； (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 12．（17-18八年级上·内蒙古赤峰·期末）探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，经过点A可以作________条对角线；同样，经过点B可以作________条对角线；经过点C可以作________条对角线；经过点D可以作________条对角线．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法，可得：图②共有条________对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于n边形，共有________条对角线（用含n的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 13．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 … 正多边形每个内角的度数 … (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 14．（24-25八年级上·广东韶关·期中）小亮学习了“多边形及其内角和”后，对几何学习产生了浓厚的兴趣，三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 【探究发现】 (1)如图①，在中，、分别平分和，试探究与的数量关系．并说明理由． 【拓展延伸】 (2)如图②，在四边形中，分别平分和，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【类比迁移】 (3)若将（2）中的四边形改为六边形，如图③，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 15．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）根据下列各图求值： (1)如图1，求； (2)如图2，求； (3)如图3，求； (4)如图4，求． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$