导数与单调性的九大常考题型归纳讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 总览 题型梳理 【题型一：求函数的单调区间，判断单调性（不含参数）】 【题型二：分析含参数函数的单调性..................................】 【题型三：已知单调性求参数的范围问题..........................】 【题型四：利用单调性比较大小..........................................】 【题型五：利用单调性解不等式..........................................】 【题型六：利用导数的运算法则构造函数..........................】 【题型七：通过变量构造具体函数......................................】 【题型八；通过数值构造具体函数......................................】 【题型九；泰勒展开式..........................................................】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：求函数的单调区间，判断单调性（不含参数）】 知识讲解 1.确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 例题精选 1．（21-22高二下·河南南阳·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，通过即可求解. 【详解】因为，所以，令，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的单调递增区间为， 故选：C． 3．（24-25高三上·山东聊城·期中）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出，再利用导数求出单调递减区间. 【详解】函数，求导得，则， 由曲线在点处的切线方程为，得，解得， 于是，由，得，而，解得， 所以函数在内的单调递减区间是. 故选：A 相似练习 4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合的解集，即可求得函数的递增区间. 【详解】由函数，可得其定义域为， 且， 令，解得，所以函数的单调增区间为． 故选：C. 二、填空题 6．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，写出函数的单调递减区间 ． 【答案】 【分析】利用导数判断函数的单调性即可. 【详解】，， 令，即，解得或. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增. 综上可知，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 【题型二：分析含参数函数的单调性..................................】 知识讲解 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 例题精选 1．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (2)若，试讨论的单调性． 【详解】（2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数. (2)当时，求函数的单调区间. 【详解】（2）当时，，， 令，得，， 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为 当时，， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，的单调增区间为和，单调减区间为． 3．（20-21高二·全国·课后作业）求函数的单调递减区间. 【答案】答案见解析 【分析】求导后，分类讨论判定导数值为负的情况即可. 【详解】函数的定义域是，. ①当时，在上恒成立，故在上单调递减. ②当时，若，则； 若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可知，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为. 相似练习 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (2)讨论的单调性． 【详解】（2）求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，结合二次函数的性质判断导数正负，即可求得答案. 【详解】函数的定义域为. . 当时，，若，则； 若，则0，所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，若或，则， 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，若或，则； 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 6．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知函数. (2)讨论的单调性. 【详解】（2）. ①当时，由，得或. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减. 若，则，为R上的增函数. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减 ②当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递减，在上单调递增. 【题型三：已知单调性求参数的范围问题..........................】 知识讲解 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 例题精选 1．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性与导数的关系得到恒成立即可求解； 【详解】， 依题意，恒成立， 令，， 由，可得：，由，可得：， 所以在单调递减，在单调递增； 所以的最小值为， 所以，解得， 故选：B 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得在上恒成立，利用给定单调性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得单调递减，转换成导函数不可能为正数即可列不等式求解. 【详解】当时，恒成立，即当时，恒成立， 设，则单调递减， 而在上恒成立，即在上恒成立， 所以. 故选：C. 相似练习 4．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数在区间上单调，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得，令，设，，可得在上单调递减.最后讨论，两种情况可得答案. 【详解】 令，,，设， 则， ∵，∴，，∴在上单调递减， ∴． 当即时，， 此时在上单调递增，则， 又，则，即当时满足题意； 当即时，，当时，， ∴，使得．即存在使得， 且满足在上单调递增，在上单调递减， 不满足题意．综上所述满足题意的实数的取值范围是． 故答案为： 5．（23-24高二下·四川德阳·期末），，都有，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】把不等式成立，转化为函数的导数小于0在内恒成立，进而即可求解. 【详解】不妨，由题意分式转化为， 则，即，故函数单调递增， 又因为，解得， ，单调递增，所以. 故答案为： . 6．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】构造函数，求导，分离参数得到在上恒成立，再构造函数，求的最值即可求解. 【详解】不等式等价于， 令， 根据题意对任意的，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 所以当时，，即在区间单调递增， 当时，，即在区间上单调递减， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 三、解答题 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为当时，有解，即有解，求出即可得出答案. 【详解】因为，所以， 若在上存在单调递增区间， 则当时，有解，即有解， ，即， 故的取值范围是． 【题型四：利用单调性比较大小..........................................】 知识讲解 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 例题精选 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶函数的判断方法，得到为偶函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，根据条件有，再比较的大小，即可求解. 【详解】易知的定义域为，关于原点对称 又，所以为偶函数， 又， 当时，，所以当时，， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 则当时，，所以当时，，即在区间上单调递增， 因为， 又易知，，， 所以， 故选：B. 【点晴】关键点点晴：本题的关键在利用当时，，从而有当时，，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，可得，即在区间上单调递增，即可求解. 相似练习 5．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知奇函数满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明4为的一个周期，可得，再利用导数证明在上单调递增，从而可得答案. 【详解】由奇函数满足，得， 则，所以4为的一个周期， 则， 当时，，令， 则，所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，故. 故选：B. 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 【题型五：利用单调性解不等式..........................................】 知识讲解 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 例题精选 1．（河北省保定市2024-2025学年高二上学期1月期末调研考试数学试题（B卷））已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求函数的解析式，再根据导数判断函数的单调性，根据函数的单调性，解抽象不等式. 【详解】，得， 所以，，， 所以函数在单调递增， 所以，即，即， 即，且，得且. 故选：C 2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，结合基本不等式可求解函数的单调性，结合奇偶性可将问题转化为，利用三角函数的性质求解最值即可得解. 【详解】因为，则， 则在上单调递增，因为，所以是奇函数. 因为等价于， 所以，即恒成立， 所以. 故选：B. 相似练习 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】故为奇函数，， 故函数单调递增，故故解集为. 故选：B. 【题型六：利用导数的运算法则构造函数..........................】 知识讲解 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 例题精选 1．（2025高三·全国·专题练习）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数求得单调递增，得到，即可求解. 【详解】根据题意知，即，构造函数， 可得，因为，所以， 所以在上单调递增， 则，两边同乘，即． 故选:B 2．（2024·四川德阳·模拟预测）设定义域为的函数的导函数为.已知，，若在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导函数的奇偶性分析原函数的奇偶性，再构造函数，根据题意分析单调性，结合不等式有意义，分类讨论，并结合同构特点利用单调性解不等式可得. 【详解】令，由， 则，故， 由，令，则，故， 故，可知为偶函数； 令，则， 当时，由，则，即在上严格递增， 则当时，，则； 则由偶函数对称性可知，当时，. 由，则. 不等式可化为，其中且. 当时，，则， 故不等式无解； 当时，，可得，即， 由在上严格递增，可知，解得， 所以； 综上所述，不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据题意中导函数满足的不等关系及所求解不等式，构造函数，利用新函数的单调性求解抽象不等式. 3．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造一个新的函数，然后根据函数的单调性来确定不等式的解集. 【详解】设. 对求导，则. 已知，即，而恒成立，所以恒成立. 这说明函数在上单调递增. 已知，则. 不等式可变形为，即，也就是. 因为在上单调递增，所以. 不等式的解集为，. 故选：B 相似练习 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，则，则在上单调递增， 对于A，，化简得，错； 对于B，，化简得，错； 对于C，，化简得，对； 对于D，，化简得，错. 故选：C 二、多选题 5．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由构造函数，判断的单调性，结合选项和函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】构造函数，则， 因为，所以，故是增函数. 由得，， 即，故A正确； 由得，， 即，故B正确； 由得，， 即，故C错误； 由得，， 即，即，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 7．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可． 【详解】解：令 则，， 当时，， 所以当时，， ，故在上为减函数， 令， 则， 所以， 故不等式的解集为 故答案为： 【题型七：通过变量构造具体函数......................................】 知识讲解 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或者不等号两边，即可构造函数，然后利用单调性求解。 例题精选 1．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先构造函数，利用函数的单调性即可得到结果. 【详解】构造函数，定义域为， 求导得，当时，，函数单调递增； 又因为，即， 由函数的单调性得， 故选：A 2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，，因为，即可判断选项A；由，得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用单调性比较大小，即可判断选项C；由知，两边取对数即可判断选项B；由，所以，即可判断选项D. 【详解】对于A选项，当时，，因为，所以A错误； 对于C选项，，由， 得， 令，则，，由， 得，由，得，则函数在上单调递减， 在上单调递增，且时，，当时， ，如图，因为，由，得，即， 所以，选项C正确； 对于B选项，由知，则即，所以B错误； 对于D选项，因为， 所以，得，D错误. 故选：C． 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过其单调性和奇偶性即可求解； 【详解】构造函数，易知其为偶函数， ， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以在单调递减，单调递增，又其为偶函数， 所以即， 等价于，即， 故选：B 相似练习 4．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知角、满足：，，且，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，因为， 所以单调递增，所以， 因为，，所以，故， 故，，故AB错误， 因为在上单调递减， 所以，即，C错误， 又在上单调递减， 所以，即,D正确， 故选: D． 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性，然后分三种情况讨论，然后根据三角函数的单调性即可得 【详解】令，得， 若，则 所以在上单调递增， 当时，则， 所以， 又在上单调递增，所以，， 当时，， 又在上单调递增，所以，不合题意； 当时，， 所以， 又在上单调递增， 所以，所以，， 综上可得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造判断单调性，然后分类讨论，利用放缩法对变形，结合正余弦函数的单调性即可得. 二、多选题 6．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知，，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】原因变形为，进而变形为，令，求导可得函数在上单调递增，从而可得，可判断A；进而计算可得，判断B；进而得，计算可判断CD. 【详解】因为，，所以， 又因为，所以， 所以，令，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，所以，故A正确； 所以，所以，所以，故B错误； 因为，所以，故C正确； 又，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于由原式变形放缩得到，进而构造函数，通过单调性解决问题. 【题型八；通过数值构造具体函数......................................】 知识讲解 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小 例题精选 1．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可通过构造函数且，利用导数求出其单调性，即可比较得出各数的大小. 【详解】因为，所以构造函数且， 则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上可知，在与上单调递減，在上单调递增. 所以. 又因为，所以， 可得. 故选：C. 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，则有、、，结合导数计算可得其单调性，即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 又、、， 由，故. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 【详解】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 故选：B 相似练习 4．（2023·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 5．（2022·江西赣州·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数得出函数单调性可知，再由的近似值可得结论. 【详解】令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值，则，， 故． 故选：D 二、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 【答案】 【分析】由题意构造函数，求导研究其单调性，根据题目中的等式，对应函数值的大小，可得答案. 【详解】构造函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， ， ， 因为，所以，即， 而，b，，所以， 故答案为：. 【题型九；切线放缩与泰勒展开式..........................................................】 知识讲解 常用放缩：，， 放缩结论补充1：不等式， 放缩结论补充2： 对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 放缩结论补充3： 对于，令，则有，可得. 附：常用公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 例题精选 1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解． 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，通过其单调性可判断，进而可求解. 【详解】易知，， 构造函数， 求导，易知当时，，单调递增； 所以， 所以， 所以， 故选：A 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数可证，故可得，从而可得三数的大小关系. 【详解】令，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，所以， 当且仅当时取等号，则当时，， 即，所以； 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故． 综上可知． 故选：B． 相似练习 4．（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用单调性可判断的大小，构造函数，利用单调性可判断的大小，进而可得结论. 【详解】令，求导得， 令，所以，所以在上单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以，所以， 所以，所以，即， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 5．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用计算即可. 【详解】令， 则， 显然时，时， 所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以（时取得等号）， （时取得等号）， 故，即. 故选：B 6．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数求得的单调性和最小值，得到，得出；再构造函数，求得在上递增，结合，得到，即可求解. 【详解】构造函数，则， 令时，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以函数在处取最小值，所以，（且）， 可得，所以； 再构造函数，可得， 因为，可得，，所以，在上递增， 所以，可得，即，所以， 综上可得：. 故选：A. 7．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小. 【详解】令，， 当时，，，，单调递增， ，即，，即； 令， ， 令， 令，， 当时，，单调递增， ， 在上单调递减，， ，在上单调递减， ，即， 综上所述. 故选:C. 课后针对训练 一、单选题 1．（20-21高二下·重庆九龙坡·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 2．（24-25高三上·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2019·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高二上·海南·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·山东日照·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 12．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，()． (1)若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)讨论的单调性． 2024-2025年高二数学下学期期末重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B B C A B A B 题号 11 答案 D 1．D 【分析】先求得，令求解即可． 【详解】函数的定义域为， ， 令，可得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 2．D 【分析】依据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 3．C 【分析】根据式子特点，构建函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，则可得结果. 【详解】根据的形式转化可得， 从而构造函数， 则， ， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增，，即， 又， 所以，即. 故选：C. 4．B 【分析】利用导数说明函数在上的单调性，结合单调性判断即可. 【详解】因为， 所以， 所以当时，， 所以在上单调递增， 因为， 所以，即． 故选：B． 5．B 【分析】将所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项. 【详解】根据题意，若，则. 设. 所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 6．C 【分析】根据单调性将问题转化为在上恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求解单调性得最值求解. 【详解】由于在区间上单调递增，故在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即的最小值为． 故选：C． 7．A 【分析】先求导函数，再应用单调递增导函数大于等于0，再构造函数求函数最小值，列不等式求参数范围即可. 【详解】函数定义域为，， 因为函数在定义域内单调递增，所以, 所以在恒成立，所以 设， 所以单调递减；单调递增； 所以， 所以. 故选：A. 8．B 【分析】令，不等式转化为，构造函数，求导得到单调性，结合，得到，根据单调性解不等式，求出解集. 【详解】令，则， 所以不等式等价转化为不等式，即， 构造函数，则， 由题意，，所以为上的增函数， 又，所以， 所以，解得，即， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造， 若，则构造， 若，则构造， 若，则构造. 9．A 【分析】构造函数，，即可比较的大小，构造函数，即可比较的大小，即可得解. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，即， 所以， 令，则， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，即，即， 所以， 所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，即， 所以，即， 综上所述. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：构造函数，， ，是解决本题的关键. 10．B 【分析】利用指数函数的性质可得，构造函数证明即可比较大小. 【详解】令，求导得，即函数在上单调递减， 则，即，因此； 令，求导得， 函数在上单调递增，则，即，因此， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 11．D 【分析】设，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而可得最大，再根据对数的运算性质比较的大小即可. 【详解】解：因为，， 设， 则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，， 又因为， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题关键在于观察式子的共同特征，构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小，然后结合对数运算，利用作差法比较可得. 12．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得解； （2）求导后因式分解，再结合的取值讨论导数的正负即可得函数的单调性. 【详解】（1）， 由题意可得，解得； （2），， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，上单调递减； 当时，若，则， 若，则， 故在、上单调递增，上单调递减； 当时，则， 故在上单调递增； 当时，若，则， 若，则， 故在和上单调递增，上单调递减； 综上所述：若，则在上单调递增，上单调递减； 若，则在、上单调递增，上单调递减； 若，则在上单调递增； 若，则在、上单调递增，上单调递减. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳 总览 题型梳理 【题型一：求函数的单调区间，判断单调性（不含参数）】 【题型二：分析含参数函数的单调性..................................】 【题型三：已知单调性求参数的范围问题..........................】 【题型四：利用单调性比较大小..........................................】 【题型五：利用单调性解不等式..........................................】 【题型六：利用导数的运算法则构造函数..........................】 【题型七：通过变量构造具体函数......................................】 【题型八；通过数值构造具体函数......................................】 【题型九；泰勒展开式..........................................................】 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：求函数的单调区间，判断单调性（不含参数）】 知识讲解 1.确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 例题精选 1．（21-22高二下·河南南阳·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东聊城·期中）已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则函数在内的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，写出函数的单调递减区间 ． 【题型二：分析含参数函数的单调性】 知识讲解 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 例题精选 1．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (2)若，试讨论的单调性． 2．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数. (2)当时，求函数的单调区间. 3．（20-21高二·全国·课后作业）求函数的单调递减区间. 相似练习 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (2)讨论的单调性． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 6．（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知函数. (2)讨论的单调性. 【题型三：已知单调性求参数的范围问题】 知识讲解 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 例题精选 1．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数在区间上单调，且，则实数的取值范围是 ． 5．（23-24高二下·四川德阳·期末），，都有，则实数m的取值范围为 . 6．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，若对任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若在区间上存在单调递增区间”，求的取值范围． 【题型四：利用单调性比较大小】 知识讲解 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 例题精选 3．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 5．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知奇函数满足.当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【题型五：利用单调性解不等式】 知识讲解 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 例题精选 1．（河北省保定市2024-2025学年高二上学期1月期末调研考试数学试题（B卷））已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 相似练习 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型六：利用导数的运算法则构造函数..........................】 知识讲解 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 例题精选 1．（2025高三·全国·专题练习）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川德阳·模拟预测）设定义域为的函数的导函数为.已知，，若在上恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 7．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为 ． 【题型七：通过变量构造具体函数】 知识讲解 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或者不等号两边，即可构造函数，然后利用单调性求解。 例题精选 1．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 4．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知角、满足：，，且，则一定有（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知，，且，其中为自然对数的底数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型八；通过数值构造具体函数】 知识讲解 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小 例题精选 1．（24-25高三下·河北石家庄·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南长沙·期末）设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 相似练习 4．（2023·河南·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2022·江西赣州·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是 .（用“<”号连接）． 【题型九；切线放缩与泰勒展开式】 知识讲解 常用放缩：，， 放缩结论补充1：不等式， 放缩结论补充2： 对于，该不等式在R上恒成立，若令，则有 ，当时，不等式两边同乘，则有， 最后得出 放缩结论补充3： 对于，令，则有，可得. 附：常用公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 例题精选 1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 4．（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（） A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（20-21高二下·重庆九龙坡·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 2．（24-25高三上·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河北张家口·期末）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2019·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高二上·海南·期末）已知函数在区间上单调递增，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·山东日照·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 12．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，()． (1)若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)讨论的单调性． 2024-2025年高二数学下学期期末重难点题型归纳 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$