湖北省沙市中学2024-2025学年高一下学期2月月考数学试题

2024—2025学年度下学期2024级 二月月考数学试卷 命题人：吴家欣 审题人：肖小权 考试时间：2025年2月28日 一、单选题 1．已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 2．已知，若，，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，现有一块半径为的半圆形草坪，圆心记为是圆的一条直径，现计划在草坪内修建一条步道和在弧上（不与重合），则步道长的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 5．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，给出下列四个说法： ①； ②； ③在区间上单调递增； ④的图象关于点中心对称． 其中正确说法的序号是（    ） A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 8．已知，则m，n的关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若是关于的方程的两根，且，，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为 C．的最大值为25 D．的最小值为8 10．关于函数，下列命题中为真命题的是（    ） A．函数的周期为π B．直线是的一条对称轴 C．点是的图案的一个对称中心 D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象 11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数图象向右平移个单位可得函数的图象 D．若方程在上有两个不等实数根，，则． 三、填空题 12．若函数的图象经过点，且在区间上单调，则的取值范围为 . 13．已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则 ． 14．已知，均为锐角，且满足，，则值为 ． 四、解答题 15．（1）计算：； （2）已知，且，求的值． 16．已知函数. （1）求函数的单调递减区间和最小正周期； （2）若当时，不等式有解，求实数的取值范围. 17．某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗去污，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比．已知（，为常数），且． （1）写出的值，并求的表达式； （2）若用总量为4个单位量的洗涤溶液对该污渍漂洗两次，如何分配两次洗涤溶液的用量，使得去污效果最好？去污效果最好的这种方案是否比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”方案的去污效果更好？说明理由． 18．已知函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值. 19．已知函数的定义域为，若，满足成立，则称函数是“任意漂移函数”；若，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”. （1）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值； （2）若函数是定义在的“任意漂移函数”，且，，解关于的不等式； （3）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围. 高一年级二月月考数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D D D B D ABD ACD 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 2．B 【分析】解不等式求出命题、，再根据充分不必要条件定义判断可得答案. 【详解】由得，解得，则， 由得，则， 所以若成立，则成立， 但成立，但不一定成立， 则是的充分不必要条件. 故选：B. 3．B 【分析】作出辅助线，设，，表达出，，化简求出，结合，得到最大值. 【详解】取的中点，连接， 则⊥，⊥， 因为，所以，， 因为，所以， 因为， 所以， 故，故⊥， 设，，则，， 故，， 故 ， 因为，所以，， 故当，即时，取得最大值，最大值为30， 故步道长的最大值为30m      故选：B 4．D 【分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解. 【详解】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 5．D 【分析】将分别与进行比较即可得到结果. 【详解】 因为为第二象限角，所以， ， 所以. 故选：D. 6．D 【分析】根据图象的平移变化求解析式即可. 【详解】向右平移个单位长度得到， 然后所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 所以. 故选：D. 7．B 【解析】根据函数的周期性可以确定①对，②错；由，可去绝对值函数化为，可判断③对．由取特值，可确定④错． 【详解】，所以函数的周期不为， ，周期为； 所以=，①对，②错； 当时，，，所以在上单调递增，③对．，所以④错． 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数性质的判定，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型. 8．D 【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解. 【详解】依题意，，， 则， 即，即. 故选：D 9．ABD 【分析】根据题意可得，可判断A，利用基本不等式判断BCD. 【详解】对于A，因为关于的方程有两个正根， 所以解得.故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时取等号，即的最大值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立， 但，所以等号不能成立，故C不正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，又因为，解得，时，等号成立. 故正确， 故选：ABD 10．ACD 【分析】利用辅助角公式先化简函数式，再结合三角函数的图象与性质即可. 【详解】由， 显然的周期为，所以A正确； 当时，，显然， 由三角函数的图象与性质可知B错误，C正确； 将的图象向左平移个单位长度， 可得到的图象，故D正确. 故选：ACD 11．AB 【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项． 【详解】由图可知，，所以，于是A正确，所以， 则，将点代入得：， 所以，，又，所以，所以， 对于B，因为，为最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，将函数图象向右平移个单位， 可得函数，故C错误； 对于D，由条件结合图象可知，于是，所以，故D错误． 故选：AB． 12． 【分析】根据正弦函数过的点坐标可求出，再由单调性得出不等式即可解出. 【详解】由题可知，且，解得， 又的图象在上单调，且，可得，解得， 故的取值范围为. 故答案为： 13． 【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算即得. 【详解】因函数为奇函数，， 函数关于x＝1对称，则有， 则有，变形可得， 则有，即4是函数的一个周期， 则， 又由当时，，则， 则． 故答案为：． 14．/90° 【分析】根据二倍角公式可得，，两式相除化简得，结合，均为锐角可得结果. 【详解】∵，∴ ， ∵，∴ ， 、两式相除得：， ∴，即， ∵，均为锐角，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 15．（1）；（2）5 【分析】（1）由指数、对数的运算即可求解； （2）由诱导公式得到，再结合商的关系，弦化切即可求解； 【详解】（1）原式． （2）， 所以． 16．(1)，； (2). 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦函数的性质可得出函数的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数的最小正周期； （2）根据题意可知小于等于的最大值，结合正弦函数的定义域求出最大值，即可知的取值范围. 【详解】（1） . 所以函数的最小正周期. 由，解得. 所以函数的单调递减区间为. （2）由题意可知，即. 因为，所以. 故当，即时，取得最大值，且最大值为. 所以，实数的取值范围为. 17．(1)， (2)“漂洗两次，每次用2个单位量洗涤溶液”的方案比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好，理由见解析 【分析】（1）根据题意即可得出，再根据即可求得的表达式； （2）计算出总量为4个单位量的洗涤溶分两次漂洗后残留的最少污渍量，和用4个单位量的洗涤溶液一次性漂洗后的残留污渍量进行比较，即可得出结论. 【详解】（1）依题意，．所以． 又因为，所以，解得． 所以． （2）设第一、二次漂洗分别使用，个单位量的洗涤溶液，其中，，，且． 假设原污渍量为，． 因为，所以第一次漂洗后，残留的污渍量为． 因为， 所以经过二次漂洗后，残留的污渍量为． ． 因为，，所以，所以． 当且仅当时，上式等号成立． 所以的取值范围是． 因为函数在单调递减，在单调递增， 且，，， 所以当时，即时， 取得最大值，最大值为81． 此时残留的污渍量最少，其值为． 所以，用总量为4个单位量的洗涤溶液，对该污渍漂洗两次，当两次漂洗使用的洗涤溶液都为2个单位量时，去污效果最好． 因为，所以，用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次，残留的污渍量为． 因为， 所以“漂洗两次，每次用2个单位量洗涤溶液”的方案比“用4个单位量的洗涤溶液漂洗一次”的方案去污效果更好. 18．(1) (2)2 【分析】（1）根据偶函数性质计算可得，满足题意即可得解析式； （2）将问题转化为方程有且只有一个大于0的解，再由基本不等式可得结果. 【详解】（1）由为偶函数，有， 即， ，解得； 经检验，时，满足，符合题意； 因此函数的解析式为. （2）由题意知有且只有一个实数解, 有且只有一个实数解； 令，则关于的方程有且只有一个大于0的解， 即关于的方程有且只有一个大于0的解 则函数的图象与直线有且只有一个横坐标大于0的公共点 由函数的图象得，此公共点为， 可得. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由漂移函数的定义列出方程求解即可； （2）先确定在是单调递增函数，再通过赋值令，，得到，由单调性即可求解； （3）由新定义得到，化简得在有解，再构造函数，通过，，讨论即可； 【详解】（1）函数是“存在漂移函数”， 则在有解， 即，化简得， 令，则，即，解得 （2），设，则，得 ， 即， 所以在是单调递增函数 令，得，解得 不等式可转化为， 从而 解得或， 所以不等式的解是 （3）由函数为“存在漂移函数” 则满足， 即 化简得，整理得 即在有解 令 ①当时，在无解，不合题意； ②当时，对称轴，与轴的交点为在轴的上半轴， 因此在无解，不合题意； ③当时，对称轴，需， 解得，又，则 综上所述：实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：第三问由函数为“存在漂移函数”得到在有解，构造函数，转换成二次函数的零点存在问题. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$