专题04 二项式定理与二项式系数的性质8考点复习指南-【题海探秘】2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题04 二项式定理与二项式系数的性质 8考点复习指南 知识点01：知识链接 （1） （2） 知识点02：二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. （4）二项式定理的三种常见变形 ① ② ③ 知识点03：二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点04：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 考点1 求二项展开式 1．（2024高二·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·上海月考）求的二项展开式． 3．（2024高二·吉林通化·期中）二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2024高二·辽宁朝阳·期中）化简（    ） A． B． C． D． 考点2 求展开式的特定项或特定项的系数 5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 6．（2024·贵州·模拟预测）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．8 B．28 C．56 D．70 7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）的展开式中的常数项是（    ） A． B． C．250 D．240 8．（2024·四川南充·模拟预测）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 9．（2024高二·山东济宁·期中）的展开式中的系数是（    ） A．126 B．125 C．96 D．83 10．（2024高二·江苏月考）在的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)含的项的系数. 11．（2024高二·全国月考）已知二项式，求展开式中的： (1)第6项； (2)第3项的系数； (3)含的项； (4)常数项． 考点3 多项式积的展开式中的特定项问题 12．（2024·全国·模拟预测）已知的展开式中的常数项为240，则 ． 13．（2024高三·山东滨州·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 14．（2024·山东泰安·模拟预测）在的展开式中，含的项的系数是 . 15．（2024高二·辽宁本溪·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．7 C．77 D． 16．（2024高三·吉林白城月考）的展开式中含的项的系数为 . 考点4 三项展开式的系数问题 17．（2024高三·安徽月考）展开式中，项的系数为 . 18．（2024高三·重庆沙坪坝月考）的展开式中项的系数为 ． 19．（2024高二·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 20．（2024高三·河北唐山月考）的展开式中的常数项为（ ） A． B．50 C． D．61 考点5 用赋值法求系数和问题 21．（2024高二·湖北十堰·期末）已知，则（    ） A．1 B．0 C． D． 22．（2024高二·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 23．（2024·山东济南·模拟预测）若，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 24．（2024高三·湖南长沙月考）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·山东）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（    ） A．0 B． C． D．32 26．（2024高二·云南昆明·期中）已知，则（    ） A．31 B．32 C．15 D．16 考点6 求展开式中系数最大(小)的项 27．（2024高二·江苏镇江·期中）已知的展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 28．（2024高三·重庆渝中月考）的展开式中系数最小项为第 项． 29．（2024高二·江苏月考）在的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项. (3)求系数最大的项. 30．（2024·四川绵阳·模拟预测）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 31．（2024高二·陕西宝鸡·期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 32．（2024高三·全国月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 34．（2024·上海浦东新·模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为 . 考点7 利用二项式定理证明整除问题或求余数 35．（2024高三·河北廊坊·期末）设，且，若能被7整除，则（    ） A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 36．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若能被7整除，则x，n的一组值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 37．（2024高二·江苏淮安·期中）若，则被12整除的余数为（    ） A．0 B．3 C．5 D．8 38．（2024高三·山东月考）设，则除以9所得的余数为 ． 39．（2024高二·辽宁锦州·期末）设,且,若能被整除,则 . 40．（2024高二·全国月考）（1）用二项式定理证明能被14整除； （2）除以100的余数． 考点8 杨辉三角问题 41．（山东学情2023-2024学年高二学期3月联考数学试题A）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） 杨辉三角 A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 42．（2024高二·全国月考）在杨辉三角中，除每行的两端数字外，每个数字都等于它左上角和右上角两个数字之和，杨辉三角开头几行如图所示. (1)利用杨辉三角展开 (2)在杨辉三角中，哪一行会出现相邻的三个数字的比是？ 43．（2024高二·安徽芜湖·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题04 二项式定理与二项式系数的性质 8考点复习指南 知识点01：知识链接 （1） （2） 知识点02：二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. （4）二项式定理的三种常见变形 ① ② ③ 知识点03：二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点04：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 考点1 求二项展开式 1．（2024高二·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解. 【解析】二项式， . 故选：B 2．（2024高二·上海月考）求的二项展开式． 【答案】 【分析】 根据二项式定理直接展开作答. 【解析】由二项式定理，得 ， 所以的二项展开式是． 3．（2024高二·吉林通化·期中）二项式的展开式中共有（    ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由二项展开式的性质可得答案. 【解析】二项式的展开式的项数为， 本题，所以. 故选：C. 4．（2024高二·辽宁朝阳·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用二项式定理化简. 【解析】 ． 故选：B 考点2 求展开式的特定项或特定项的系数 5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【解析】展开式的通项公式为， 所以, 故选：B 6．（2024·贵州·模拟预测）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A．8 B．28 C．56 D．70 【答案】B 【分析】先写出展开式的通项公式，然后令求得的值并代入计算可求结果. 【解析】展开式的通项公式， 当时，即时，有， 所以含的项的系数为， 故选：B. 7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）的展开式中的常数项是（    ） A． B． C．250 D．240 【答案】D 【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，即可求得答案. 【解析】由题意得二项式的通项公式为 ， 令，则常数项为， 故选：D 8．（2024·四川南充·模拟预测）二项式的展开式中常数项为（    ） A． B．60 C．210 D． 【答案】B 【分析】直接利用二项式定理展开式的通项求解即可. 【解析】展开式的通项为， 所以， 常数项为， 故选：B. 9．（2024高二·山东济宁·期中）的展开式中的系数是（    ） A．126 B．125 C．96 D．83 【答案】B 【分析】运用二项式定理求解. 【解析】由题意原式中的系数； 故选：B. 10．（2024高二·江苏月考）在的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)含的项的系数. 【答案】(1)35 (2)280 【分析】（1）先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解； （2）先写出通项公式，找到含有的项，然后可得系数. 【解析】（1）由二项式定理可知，在展开式中， 第项为. 所以第4项的二项式系数为. （2）由二项式定理可知，在展开式中， 第项为. 当时，展开式中含的项的系数为. 【点睛】易错点点睛：要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“某一项的系数”这两个概念： ①二项式系数是组合数 (r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中“某一项的系数”不一定相等； ②第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号. 11．（2024高二·全国月考）已知二项式，求展开式中的： (1)第6项； (2)第3项的系数； (3)含的项； (4)常数项． 【答案】(1)； (2)9； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）根据二项式写出其展开式通项，进而求对应项或系数即可. 【解析】（1）通项公式. . （2）因为，所以第3项的系数为9； （3）由知：，所以； （4）由知：，所以，即常数项为． 考点3 多项式积的展开式中的特定项问题 12．（2024·全国·模拟预测）已知的展开式中的常数项为240，则 ． 【答案】3 【分析】利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出值. 【解析】的展开式的通项， 令得，令，无解， 所以的展开式中的常数项为，所以. 故答案为：3 13．（2024高三·山东滨州·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【解析】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： 14．（2024·山东泰安·模拟预测）在的展开式中，含的项的系数是 . 【答案】6 【分析】分别求出和展开式的通项公式，根据的组合形式分别求解即可. 【解析】的展开式的通项公式为， 的展开式的通项公式为， 所以展开式中，含的项为： ， 所以含的项的系数为6． 故答案为：6. 15．（2024高二·辽宁本溪·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．7 C．77 D． 【答案】B 【分析】先求出的展开式通项公式，再结合两个二项式相乘特点求出r，即可求得答案. 【解析】的展开式通项为， 故的展开式中的系数为， 故选：B. 16．（2024高三·吉林白城月考）的展开式中含的项的系数为 . 【答案】960 【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解. 【解析】的展开式的通项为，故令， 可得的展开式中含的项的系数为：. 故答案为：960. 考点4 三项展开式的系数问题 17．（2024高三·安徽月考）展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】 由二项式定理求解． 【解析】，∵的指数是3，∴得到， ∵的指数是2，得到，∴项的系数为. 故答案为： 18．（2024高三·重庆沙坪坝月考）的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【分析】根据多项式相乘展开方法求解. 【解析】的展开式中，构成项只能是一个、一个、3个相乘， 故此项为． 故答案为：. 19．（2024高二·辽宁沈阳·期末）展开式中，的系数为（　　） A． B．320 C． D．240 【答案】A 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【解析】因为， 所以通项公式为：， 令，所以， 设二项式的通项公式为：， 令，所以， 因此项的系数为：， 故选：A. 20．（2024高三·河北唐山月考）的展开式中的常数项为（ ） A． B．50 C． D．61 【答案】A 【分析】因为多项式表示5个因式的乘积，所以从5个因式中选2个，2个，选1个-1；或者选1个，选1个，选3个-1；或者选5个-1，由此即可求解． 【解析】， 展开式中的项都是右边5个括号各取一项相乘得到的， 当5个括号中选2个，2个， 1个-1，所得常数为； 当5个括号中选1个， 1个， 3个-1，所得常数为； 当5个括号中选5个-1，所得常数为， ∴展开式中的常数项为． 故选：A． 考点5 用赋值法求系数和问题 21．（2024高二·湖北十堰·期末）已知，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法，先令，求出，再令，求出，从而可求得结果. 【解析】令，得. 令，得， 所以. 故选：B 22．（2024高二·辽宁·期末），则（    ） A．31 B．1023 C．1024 D．32 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项，可得的，结合赋值法，即可求解. 【解析】由二项式的展开式的通项为， 所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数， 令，可得， 令，可得， 所以 . 故选：B. 23．（2024·山东济南·模拟预测）若，则的值为（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】利用赋值法可得：令可得；令可得：，即可得出结果. 【解析】因为， 令可得； 令可得：； 故. 故选：A 24．（2024高三·湖南长沙月考）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，奇次项系数和与偶数项系数和. 【解析】由， 对于A中，令，可得，所以A错误； 对于B中，，由二项展开式的通项得，所以B错误； 对于C中，与的系数之和相等， 令即，所以C正确； 对于D中，令，则， 令，则， 解得，， 可得，所以D错误. 故选：C. 25．（2024·山东）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（    ） A．0 B． C． D．32 【答案】D 【分析】根据的二项展开式系数之和为求解即可 【解析】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为 故选：D 26．（2024高二·云南昆明·期中）已知，则（    ） A．31 B．32 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据二项式定理的逆用即可得到，进而可求n=5，根据二项式系数即可求解. 【解析】逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以． 故选:A 考点6 求展开式中系数最大(小)的项 27．（2024高二·江苏镇江·期中）已知的展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用二项式系数的性质求解即可； （2）由（1）求出，根据展开式中间项的二项式系数最大，即可知道二项式系数最大的项为，即可求解. 【解析】（1）由题意的展开式的二项式系数和为64， 即，解得； （2）因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为， 即. 28．（2024高三·重庆渝中月考）的展开式中系数最小项为第 项． 【答案】6 【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项 【解析】的展开式的通项公式为，其中系数与二项式系数只有符号差异， 又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小. 故答案为：. 29．（2024高二·江苏月考）在的展开式中， (1)系数的绝对值最大的项是第几项？ (2)求二项式系数最大的项. (3)求系数最大的项. 【答案】(1)第6项和第7项； (2)； (3). 【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，结合已知列出不等式并求解即得. （2）利用二项式系数的性质求解即得. （3）利用（1）的结论，按正负比较即得. 【解析】（1）的展开式的通项为， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即，解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. （2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，. （3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正， 所以系数最大的项为第7项. 30．（2024·四川绵阳·模拟预测）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据二项式系数的性质知中间一项第4项二项式系数最大即可得解 【解析】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得. 故选：C 31．（2024高二·陕西宝鸡·期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【分析】根据二项展开式可知，计算出，即可知二项式系数最大为，即为第6项. 【解析】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和， 即，由二项式系数性质可得； 因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项. 故选：C 32．（2024高三·全国月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【解析】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 33．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 【答案】 【分析】设系数最大的项为，则可得，直接求解即可. 【解析】设系数最大的项为， 则，解得， 因为且为整数， 所以，此时最大的项为. 故答案为： 34．（2024·上海浦东新·模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【分析】 设第项的系数最大，列不等式求，再由通项求解即可. 【解析】设展开式的第项的系数最大， 则，解得， 所以系数最大的项为第或第项， 所以系数最大的项为： ， . 故答案为： 考点7 利用二项式定理证明整除问题或求余数 35．（2024高三·河北廊坊·期末）设，且，若能被7整除，则（    ） A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 【答案】C 【分析】，由二项式定理将其展开，因为能被7整除，故能被7整除，结合的范围，即可得出答案. 【解析】， 因为能被7整除， 且能被7整除， 故能被7整除， 又，所以. 故选：C. 36．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若能被7整除，则x，n的一组值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用二项式定理得展开式，对选项一一判断即可得出答案. 【解析】， 当，时，能被7整除； 当，时，不能被7整除； 当，时，不能被7整除； 当，时，不能被7整除． 故选：A． 37．（2024高二·江苏淮安·期中）若，则被12整除的余数为（    ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】分别赋值以及，可推得.然后将展开，即可得出，观察即可得出答案. 【解析】令，由已知可得，. 令，由已知可得，. 两式作差可得，， 所以，. 因为 ， 所以，， 显然可以被12整除， 所以，余数为3. 故选：B. 38．（2024高三·山东月考）设，则除以9所得的余数为 ． 【答案】8 【分析】根据已知条件将a写为，即，展开后观察式子即可得到结果. 【解析】因为， 所以，， 所以除以9所得的余数为8． 故答案为：8 39．（2024高二·辽宁锦州·期末）设,且,若能被整除,则 . 【答案】1 【分析】由,利用二项展开式可知只需能被整除整除即可,由的范围即可得到结果. 【解析】, 要使能被整除, 则能被整除, 又,, ,解得. 故答案为:. 40．（2024高二·全国月考）（1）用二项式定理证明能被14整除； （2）除以100的余数． 【答案】（1）证明见解析；（2）除以100的余数为81． 【分析】（1）把通过整理，化简为的倍数，进而证明题设成立 （2）整理，变为，进而利用二项展开式的性质进行证明即可 【解析】（1） ． 因为上式是14的倍数，能被14整除， 所以能被14整除． （2）方法一：， 前面各项均能被100整除，只有末项不能被100整除，于是问题转化为求除以100的余数． 因为 ， 所以除以100的余数为81． 方法二：由， 得前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，因为，所以除以100的余数为81． 考点8 杨辉三角问题 41．（山东学情2023-2024学年高二学期3月联考数学试题A）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） 杨辉三角 A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【答案】D 【分析】A、B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项，由及即可判断；D选项，由及即可判断. 【解析】A选项，第10行，10是偶数，所以在时取得最大值，也就是在第10行中第6个数最大，故选项A错误； B选项，第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误； C选项，由可得，故选项C错误； D选项，，故选项D正确. 故选：D. 42．（2024高二·全国月考）在杨辉三角中，除每行的两端数字外，每个数字都等于它左上角和右上角两个数字之和，杨辉三角开头几行如图所示. (1)利用杨辉三角展开 (2)在杨辉三角中，哪一行会出现相邻的三个数字的比是？ 【答案】(1) (2)第62行会出现相邻的三个数字的比是 【分析】（1）根据题意得，再令，即可得答案； （2）设在第n行出现的三个相邻的数的比是，并设这三个数分别是，，，进而根据比值关系解方程即可得答案. 【解析】（1）解：根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它左上角和右上角两个数字的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1， 所以. 令，，得. （2）解：设在第n行出现的三个相邻的数的比是，并设这三个数分别是，，，则有 所以 所以即所以 即在第62行会出现相邻的三个数字的比是. 43．（2024高二·安徽芜湖·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》､《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.    杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题. 性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数； 性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即； 性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即； 性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：； 请回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数. 【答案】(1)256 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由杨辉三角的第八行结合组合数的性质求解即可； （2）由组合数公式证明即可； （3）由二项式定理结合组合数性质求解即可. 【解析】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 （2） ， （3）的展开式中，求含项的系数为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$