专题05 条件概率与全概率公式6考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题05 条件概率与全概率公式6考点复习指南 知识点01：条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率. ②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的. ③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率. ④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率. （2）特别说明： ①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替； ②在条件概率的表示中，“”之后的部分表示条件； ③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率； ④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条件”，一般地，. 知识点02：乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 知识点03：条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 ①； ②如果和是两个互斥事件，则； ③设和互为对立事件，则． ④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：. 知识点04：事件的相互独立性 （1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . （3）易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 考点1 条件概率的求法 1．（2024高二·广西桂林月考）袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·江西月考）先后两次抛一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次抛出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于3”，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024高二·宁夏银川月考）质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二·全国·单元测试）芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（    ） A． B． C． D． 5．（2024·福建漳州·模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国月考）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·重庆黔江月考）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则 . 8．（2024高三·内蒙古呼和浩特·期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高二·广东肇庆·期中）已知，，，求（   ） A． B． C． D．1 11．（2024高二·上海月考）一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是 . 考点2 乘法公式的应用 12．（2024高三·全国月考）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二·全国月考）某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率． 14．（2024高二·河南南阳·期末）已知，，则 . 考点3 条件概率的性质及应用 15．（2024高二·江西·期中）已知随机事件，，若，，，则 . 16．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 A，B对立 C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 17．（2024·云南昆明·模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二·全国月考）已知，，则下列式子成立的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 19．（2024高三·贵州月考）在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（    ） A． B． C． D． 考点4 全概率公式及其应用 20．（2024高三·河南月考）2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 21．（2024高二·福建泉州·期末）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则=（   ） A． B． C． D． 考点5 贝叶斯公式及应用 22．（2024高三·云南曲靖月考）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 23．（2024高三·江苏常州月考）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（    ） A． B． C． D． 24．（2024高二·江苏苏州·期中）某工厂有三个车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产该通讯器材的优等品率为，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的，，． (1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？ (2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第个车间生产的概率． 25．（2024高二·吉林长春月考）某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·江苏宿迁·模拟预测）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（    ） A．0.2 B．0.05 C． D． 28．（2024高三·云南月考）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 29．（2024高二·宁夏银川月考）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4. (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. 考点6 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 30．（2024高二·全国月考）计算机中心有三台打字机，，，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用，，打字的概率分别为多少. 31．（2024高三·山东菏泽月考）学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，. 32．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为． (1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300，小果的单果平均重量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均重量、方差； (2)现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问这个“大果”是真的大果的概率． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题05 条件概率与全概率公式6考点复习指南 知识点01：条件概率 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． ①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率. ②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的. ③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率. ④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率. （2）特别说明： ①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替； ②在条件概率的表示中，“”之后的部分表示条件； ③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率； ④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条件”，一般地，. 知识点02：乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 知识点03：条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则 ①； ②如果和是两个互斥事件，则； ③设和互为对立事件，则． ④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：. 知识点04：事件的相互独立性 （1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立. （2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, . （3）易混淆“相互独立”和“事件互斥” 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥. 考点1 条件概率的求法 1．（2024高二·广西桂林月考）袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【解析】设事件表示第1次摸到红球，事件表示第2次摸到蓝球， 则，， 所以. 故选：C 2．（2024高二·江西月考）先后两次抛一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次抛出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于3”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型及条件概率公式计算即可. 【解析】由题意可知，所以. 故选:B. 3．（2024高二·宁夏银川月考）质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【解析】不超过的自然数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组. 所以，， 所以. 故选：D 4．（2024高二·全国·单元测试）芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，，利用条件概率公式求出答案. 【解析】两人均有4种选择，故共有16个基本事件， 其中两人至少有一人选择丙景点分两种情况，一是均选择丙景点， 二是一人选择丙景点，另一人选择其他景点，故A事件共有个基本事件， 而事件包含个基本事件， 故，， 所以. 故选：D 5．（2024·福建漳州·模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概型、条件概率计算公式即可得解. 【解析】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有（种）， 事件发生的情况共有（种），事件和事件同时发生的情况共有6种， 所以. 故选：B. 6．（2024高三·全国月考）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：设出事件，求出事件包含的基本事件数，根据条件概率公式进行求解； 解法二：根据题意得到在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，从而求出相应的概率. 【解析】解法一：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B， 则，， 所以. 解法二：盒中共有10个球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球， 从中任取一球，取到黑球的概率为． 故选：D 7．（2024高三·重庆黔江月考）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【解析】事件“取出的两个球颜色不同”，包括一个黄球一个蓝球， 一个黄球一个绿球以及一个蓝球一个绿球，三种情况， 则, 事件“取出一个蓝球，一个绿球”， 则， 所以. 故答案为： 8．（2024高三·内蒙古呼和浩特·期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意代入条件概率公式计算即可得出结果. 【解析】根据题意可得 利用条件概率公式可得. 故选：B 9．（2024·全国·模拟预测）连续抛掷一枚质地均匀的骰子3次，观察向上的点数．在第1次出现奇数的条件下，3次出现的点数之积为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【解析】设第一次出现奇数为事件，3次出现的点数之积为偶数为事件， 则，， 所以. 故选：C. 10．（2024高二·广东肇庆·期中）已知，，，求（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】直接利用条件概率公式计算. 【解析】由题可得. 故选：C. 11．（2024高二·上海月考）一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是 . 【答案】 【分析】由题知第一次取出的是黑球，设出事件，求出相应概率，带入条件概率公式即可求得第二次才取出红球的概率. 【解析】由题意知第一次取出的是黑球，设为事件， 第二次取出红球设为事件， 则，则， 所以第二次才取出红球的概率是. 故答案为： 考点2 乘法公式的应用 12．（2024高三·全国月考）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式进行求解. 【解析】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B. 由题意，知，，所以， 所以两次都取到红球的概率为. 故选：C. 13．（2024高二·全国月考）某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率． 【答案】72%. 【分析】根据条件概率公式，进行变形应用，即可求得答案. 【解析】记A：合格品,记B：一等品，由于,则， 由题意，， 故， 即一等品率为72%. 14．（2024高二·河南南阳·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】求出的值，利用条件概率公式可求得的值. 【解析】因为，则， 所以，. 故答案为：. 考点3 条件概率的性质及应用 15．（2024高二·江西·期中）已知随机事件，，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果. 【解析】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 故答案为:. 16．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 A，B对立 C．若A，B独立，则 D．若A，B互斥，则 【答案】C 【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案； 【解析】对A，，故A错误； 对B，若A，B对立，则，反之不成立，故B错误； 对C，根据独立事件定义，故C正确； 对D，若A，B互斥，则，故D错误； 故选：C 17．（2024·云南昆明·模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案. 【解析】由题意，，由，是互斥事件知，， 所以， 故选：A． 18．（2024高二·全国月考）已知，，则下列式子成立的是（    ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及概率性质辨析 【解析】①若则，故，故①错误； ②因为所以所以②正确； ③若或则故③错误； ④若或则故④错误. 故选：B 19．（2024高三·贵州月考）在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式即可求解. 【解析】设事件A为“该球员投球得分”，事件B为“该球员投中3分球得分”， 由全概率公式：， 故选：C 考点4 全概率公式及其应用 20．（2024高三·河南月考）2023贺岁档电影精彩纷呈，小明期待去影院观看．小明家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为．若小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，根据条件概率公式得到，结合全概率公式求出答案. 【解析】设小明第一天去甲影院为事件A，第二天去甲影院为事件B，小明第一天去乙影院为事件C，第二天去乙影院为事件D. 故， 由可得， 故， 则小明第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为. 故选：D 21．（2024高二·福建泉州·期末）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件和分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用事件表示从乙袋中取出的球是红球，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全概率公式可得. 【解析】易知， ， 所以 . 故选：A 考点5 贝叶斯公式及应用 22．（2024高三·云南曲靖月考）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可. 【解析】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B， 则本题所求． 故选：A． 23．（2024高三·江苏常州月考）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的性质及变式可求得，由已知可求得，根据贝叶斯公式可求得答案． 【解析】解：因为，所以， 因为，所以， 所以由全概率公式可得， 因为， 所以． 所以． 故选：A 24．（2024高二·江苏苏州·期中）某工厂有三个车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产该通讯器材的优等品率为，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的，，． (1)现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？ (2)如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第个车间生产的概率． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解； （2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解. 【解析】（1）设事件分别表示取出的通讯器材是第个车间生产的，表示“取到的是优等品”. 易知两两互斥，根据全概率公式， 可得 ． 所以从仓库中任取一个该通讯器材，取到优等品的概率是． （2） 如果取到的通讯器材是优等品，它是第1个车间生产的概率为； 如果取到的通讯器材是优等品，，它是第2个车间生产的概率为； . 如果取到的通讯器材是优等品，，它是第3个车间生产的概率为. 25．（2024高二·吉林长春月考）某学校高中部有自由、青华两个校区，数学教研组每周选择其中一个校区开例会，第一周例会选择青华校区的概率是，如果第一周例会选择自由校区，那么第二周去自由校区的概率为；如果第一周去青华校区，那么第二周去自由校区的概率为；已知数学教研组第二周去自由校区开会，则第一周去自由校区开会的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解. 【解析】依题意，设第一周去自由校区开会为事件，第二周去自由校区开会为事件， 则，， 所以， 则. 故选：A. 26．（2024·江苏宿迁·模拟预测）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【解析】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 27．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（    ） A．0.2 B．0.05 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可. 【解析】根据题意可得：； ； 由全概率公式可得： ； 故. 故选：D. 28．（2024高三·云南月考）某次考试共有8道单选题，某学生掌握了其中5道题，2道题有思路，1道题完全没有思路．掌握了的题目他可以选择唯一正确的答案，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为．已知这个学生随机选一道题作答且做对了，则该题为有思路的题目的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式和条件概率公式，即可求解. 【解析】设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题； 设事件表示答对该题，则， 设事件表示答对某个题， 则， 设事件表示将有思路的题目做对，则， 故选：B 29．（2024高二·宁夏银川月考）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4. (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； (2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. 【答案】(1)0.485； (2). 【分析】（1）由全概率公式求解可得； （2）利用（1）中结论，由条件概率公式计算即可 【解析】（1）记事件B：“小明获胜”，记事件：“小明与第类棋手相遇”， 由题可得，，，， ，，. 由全概率公式可知： . （2）由条件概率公式可得. 即小明获胜，对手为一类棋手的概率为. 考点6 全概率公式和贝叶斯公式的综合应用 30．（2024高二·全国月考）计算机中心有三台打字机，，，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用，，打字的概率分别为多少. 【答案】0.24；0.6；0.16 【分析】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件，“该打字员用A打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，则根据全概率公式与贝叶斯公式求解即可 【解析】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件， “该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件， “该打字员用打字”为事件， 则根据全概率公式有 ， 根据贝叶斯公式，可得该打字员使用A，，打字的概率分别为： ， ， . 31．（2024高三·山东菏泽月考）学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知结合全概率公式即可求解； （2）由已知结合全概率公式及等比数列的定义即可求出的通项公式，分类讨论即可证明. 【解析】（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； （2）设“第天选择米饭套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即，所以， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列； 可得， 当为大于的奇数时，； 当为正偶数时，， 综上所述：当时，. 32．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）某果园产苹果，其中一堆苹果中大果与小果的比例为． (1)若选择分层抽样，抽出100个苹果，其中大果的单果平均重量为240克，方差为300，小果的单果平均重量为190克，方差为320，试估计果园苹果的单果平均重量、方差； (2)现用一台分选机进行筛选，已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为，经过分选机筛选后，现从筛选出来的“大果”里随机抽取一个，问这个“大果”是真的大果的概率． 【答案】(1)果园苹果的单果平均重量为、方差为； (2) 【分析】（1）根据各层均值、方差与总体均值、方差的关系式可求果园苹果的单果平均重量、方差； （2）根据全概率公式可求“大果”是真的大果的概率. 【解析】（1）个苹果中，大果的个数为，小果的个数为， 设大果的单果平均重量为，方差为，小果的单果平均重量为，方差为， 则，，，， 则100个苹果的平均重量为， 100个苹果的方差为： . 故估计果园苹果的单果平均重量为、方差为； （2）记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果， 记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，则“大果是真大果”为， 则，，，， 由全概率公式可得： ， ， 因此，. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$