专题03 组合与组合数8考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题03 组合与组合数8考点复习指南 知识点01：组合 （1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. （2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. （3）组合与排列的异同 相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”. 不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 知识点02：组合数与组合数公式 （1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. （2）组合数公式 或：（，）. 规定： 知识点03：组合数的性质 （1）性质1： （2）性质2： 考点1 组合的概念 1．（2024高二·全国月考）判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ (3)从7本不同的书中取出5本给某同学； (4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？ (5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？ 2．（2024高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 考点2 组合数的计算、化简与证明 3．（2024高三·全国月考）求的值. 4．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（2024高二·江苏月考）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（2024高二·江苏宿迁·期中）（    ） A．74 B．98 C．124 D．148 7．（2024高二·新疆乌鲁木齐·期中）（1）计算：； （2）证明：. 8．（2024高二·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 9．（2024高二·上海月考）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 10．（2024高二·全国月考）证明下列各等式． (1)＝； (2). 考点3 组合数方程与不等式 11．（2024高二·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 12．（2024高二·山西朔州·期中）若，则等于 A． B． C． D． 13．（2024高二·江苏月考）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 考点4 组合数的性质及其应用 14．（2024高二·全国月考）若整数满足，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或3 15．（2024高二·陕西西安月考）已知，则的值为（    ） A．3 B．3或4 C．4 D．4或5 16．（2024高二·福建三明月考）(1)化简求值：； (2)解方程：； 考点5 简单的组合问题 17．（2024高三·河南驻马店·期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 18．（2024高二·上海·期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有 个. 19．（2024·河北保定·模拟预测）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为 ． 考点6 与几何图形有关的组合问题 20．（2024高二·辽宁沈阳月考）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（   ） A．18 B．24 C．30 D．32 21．（2024高二·云南楚雄·期中）如图，小华从图中处出发，先到达处，再前往处，则小华从处到处可以选择的最短路径有（    ）    A．25条 B．48条 C．150条 D．512条 22．（2024高二·江西抚州月考）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（    ） A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 考点7 分组、分配问题 23．（2024·四川雅安·模拟预测）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（    ） A．420 B．460 C．480 D．520 24．（2024高二·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 25．（2024高二·河南郑州·期中）已知从左到右有5个空格. (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？ (2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 26．（2024高二·安徽安庆·期中）6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目. (1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？ (2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？ (3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？ 27．（2024高二·全国月考）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数． (1)四个小球不同，每个盒子各放一个； (2)四个小球相同，每个盒子各放一个； (3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着； (4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着． 28．（2024·河南郑州·模拟预测）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数字作答） 29．（2024高二·江苏宿迁·期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 30．（2024高二·湖北月考）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 31．（2024·河北邢台·模拟预测）在第19届杭州亚运会期间，某项目有四个不间的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志愿者，则甲志愿者被分到服务站的不同分法的种数为（    ） A．80 B．120 C．160 D．60 32．（2024·广西南宁·模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（    ） A．15 B．30 C．25 D．16 33．（2024高二·江西月考）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 34．（2024高三·山西忻州月考）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（    ） A．54种 B．45种 C．36种 D．18种 考点8 排列组合的综合问题 35．（2024高二·江苏徐州·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数 (1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？ (2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？ (3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？ 36．（2024高二·江苏泰州·期末）某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？ (1)男选手甲必须参加，且第4位出场； (2)男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻； (3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题03 组合与组合数8考点复习指南 知识点01：组合 （1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. （2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. （3）组合与排列的异同 相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”. 不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 知识点02：组合数与组合数公式 （1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. （2）组合数公式 或：（，）. 规定： 知识点03：组合数的性质 （1）性质1： （2）性质2： 考点1 组合的概念 1．（2024高二·全国月考）判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？ (3)从7本不同的书中取出5本给某同学； (4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？ (5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题 (3)组合问题 (4)排列问题 (5)组合问题 【分析】根据题目需不需要考虑顺序来判断是组合问题还是排列问题 【解析】（1）因为集合的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题． （2）因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题． （3）因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题． （4）因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个人去做，所以它是排列问题． （5）因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题． 2．（2024高二·新疆乌鲁木齐·期中）下列四个问题属于组合问题的是（    ） A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作 B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数 C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式 D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长 【答案】C 【分析】根据组合的定义逐项判断可得出合适的选项. 【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作， 将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数， 选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位， 与顺序有关，这个问题为排列问题； 对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出， 与顺序无关，这个问题为组合问题； 对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长， 将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 故选：C. 考点2 组合数的计算、化简与证明 3．（2024高三·全国月考）求的值. 【答案】0 【分析】根据组合数计算公式求解. 【解析】 4．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10； (2)35； (3)252. 【分析】利用组合数公式即求. 【解析】（1）； （2）； （3）. 5．（2024高二·江苏月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1225 (2)161700 (3)20 【分析】根据组合的性质，对每一小问逐一运算即可. 【解析】（1） （2） （3） 6．（2024高二·江苏宿迁·期中）（    ） A．74 B．98 C．124 D．148 【答案】C 【分析】根据排列数与组合数公式，计算即可． 【解析】． 故选：C． 7．（2024高二·新疆乌鲁木齐·期中）（1）计算：； （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用排列数公式可求得所求代数式的值； （2）利用组合数公式可证得结论成立. 【解析】（1）； （2）证明：， ， 因此，. 8．（2024高二·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)70 (2)253 【分析】（1）运用组合公式进行计算； （2）运用组合公式进行计算. 【解析】（1）； （2）． 9．（2024高二·上海月考）已知m是自然数，n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】代入阶乘公式，化简证明. 【解析】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 10．（2024高二·全国月考）证明下列各等式． (1)＝； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用组合数的阶乘公式对右边化简即可得到证明； （2）利用组合数的性质公式和，对右边化简即可得到证明. 【解析】（1）由，知右边 所以，左边右边，故原式成立． （2）由组合数的性质，知左边 所以，左边右边，故原式成立． 考点3 组合数方程与不等式 11．（2024高二·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解. 【解析】因为，则或，解得或， 若，可得，符合题意； 若，可得，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 12．（2024高二·山西朔州·期中）若，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：由和组合数公式得,化简得,解之得. 考点：组合数计算. 13．（2024高二·江苏月考）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【解析】∵， ∴ 即解得. ∵， ∴. ∴的取值集合为. 故选：A. 考点4 组合数的性质及其应用 14．（2024高二·全国月考）若整数满足，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或3 【答案】C 【分析】利用组合数的运算性质求解即可 【解析】由题可知或， 整理得或， 解得或或或． 又， 所以只有和满足条件， 故的值为1或． 故选：C 15．（2024高二·陕西西安月考）已知，则的值为（    ） A．3 B．3或4 C．4 D．4或5 【答案】B 【分析】由组合公式可得或,解方程即可得答案. 【解析】解：因为， 所以或， 解得：或. 故选：B. 16．（2024高二·福建三明月考）(1)化简求值：； (2)解方程：； 【答案】(1)329；(2). 【分析】(1)根据组合数的性质，在算式前面加上一项即可逐步计算； (2)由排列数和组合数的公式展开即可计算. 【解析】(1) ； (2)由组合数和排列数可知， 原方程可化为， 则，即为，即， 解得或(舍). 方程的根为. 考点5 简单的组合问题 17．（2024高三·河南驻马店·期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可. 【解析】当首位为2时，这样的五位数有个； 当首位为1时，这样的五位数有个. 综上，这样的五位数共有个. 故选：C. 18．（2024高二·上海·期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有 个. 【答案】18 【分析】分两种情况讨论：两个氧原子相同、两个氧原子不同，分别计算出两种情况下二氧化碳分子的个数，利用分类加法计数原理可得结果. 【解析】分以下两种情况讨论： 若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种； 若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种. 由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种. 故答案为：18 19．（2024·河北保定·模拟预测）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为 ． 【答案】96 【分析】利用分步加法和分类乘法原理，先安排4名同学的2名选择数学竞赛，在安排剩下的2名同学到其他竞赛课程中即可. 【解析】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程， 则有：种情况， 剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有： ①2名同学选择1个学科竞赛则有：种情况， ②2名同学各选择1个学科竞赛则有种情况， 所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为： 种情况， 故答案为：96. 考点6 与几何图形有关的组合问题 20．（2024高二·辽宁沈阳月考）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（   ） A．18 B．24 C．30 D．32 【答案】C 【分析】从到共有条最短路径，从到共有条路径，根据乘法原理得到答案. 【解析】从到共有条最短路径，从到共有条路径， 故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为. 故选：C 21．（2024高二·云南楚雄·期中）如图，小华从图中处出发，先到达处，再前往处，则小华从处到处可以选择的最短路径有（    ）    A．25条 B．48条 C．150条 D．512条 【答案】C 【分析】利用组合、分步乘法计数原理可得答案. 【解析】从处到处的最短路径有条，从处到处的最短路径有条，则小华从处到处可以选择的最短路径有条． 故选：C. 22．（2024高二·江西抚州月考）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（    ） A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理以及组合数的计算求得正确答案. 【解析】由题可知，不同的路线有种． 故选：B. 考点7 分组、分配问题 23．（2024·四川雅安·模拟预测）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（    ） A．420 B．460 C．480 D．520 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得. 【解析】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法， 4个学校所选研学基地都不相同有种方法， 所以不相同的选择种数有（种）. 故选：C 24．（2024高二·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【解析】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 25．（2024高二·河南郑州·期中）已知从左到右有5个空格. (1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？ (2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 【答案】(1)96 (2)16800 【分析】（1）由题意可知先将数字0排好，再将其余4个数字全排列，根据分步乘法计数原理即可求得结果； （2）先将7个不同的小球分成5组，再按照分组分配问题进行计算即可. 【解析】（1）根据题意，分2步进行分析： ①第三个格子不能填0，则0有4种选法； ②将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有种情况， 则一共有种不同的填法； （2）根据题意，分2步进行分析： ①、将7个小球分成5组，有2种分法： 若分成2－2－1－1－1的5组，有种分法， 若分成3－1－1－1－1的5组，有种分组方法， 则有（）种分组方法， ②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有种情况， 则一共有种放法. 26．（2024高二·安徽安庆·期中）6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目. (1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？ (2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？ (3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？ 【答案】(1)144 (2)1560 (3)252 【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种； （2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果； （3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案. 【解析】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列， 所以共有. （2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种； 再分到4个项目，即可得共有； （3）先考虑全部，则共有种排列方式， 其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种； 甲参加项目同时乙参加项目共有种， 根据题意减去不满足题意的情况共有种. 27．（2024高二·全国月考）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数． (1)四个小球不同，每个盒子各放一个； (2)四个小球相同，每个盒子各放一个； (3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着； (4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着． 【答案】(1)24 (2)1 (3)144 (4)12 【分析】（1）全排列问题，利用全排列公式进行求解； （2）四个小球相同，每个盒子各放一个，只有1种情况； （3）先把四个小球分组3组，注意部分平均分组，要除以平均组数的全排列，选出空盒，再进行全排列，计算出结果； （4）先将小球分组，再选出空盒，选出放入2个小球的盒子，从而得到答案. 【解析】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种； （2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种； （3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球， 先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况， 再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有种选择， 综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有种； （4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球， 先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1， 选出一个空盒，有种情况， 将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有种情况， 综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有种选择. 28．（2024·河南郑州·模拟预测）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【分析】首先计算出所有的选派方式，再挑选出不合题意选派方式，即可计算出结果. 【解析】根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有种， 其中甲、乙都不参与的选派方式共有种， 其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有种， 所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种. 故答案为： 29．（2024高二·江苏宿迁·期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 【答案】(1)25 (2)72 【分析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类； （2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性． 【解析】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为， ②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为， 所以共有选法种数为20+5=25； （2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：， 第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：， 第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ， 所以共有不同的分配方案数为：． 30．（2024高二·湖北月考）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法? （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法? （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果； （2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果； （4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果. 【解析】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、， 然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种； （2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知， 将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种； （3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种； （4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可， 所以，不同的放法种数为种. 31．（2024·河北邢台·模拟预测）在第19届杭州亚运会期间，某项目有四个不间的服务站，现需要将包含甲在内的5名志愿者分配到这四个不同的服务站，每个服务站至少一名志愿者，则甲志愿者被分到服务站的不同分法的种数为（    ） A．80 B．120 C．160 D．60 【答案】D 【分析】根据已知条件可知，肯定有一个服务站安排两个人，该问题分为两类，一类是服务站安排两人，一类是服务站只安排1人，运用分类加法及分步乘法计数原理求解即可. 【解析】当服务站安排两人时，除甲外的其余4人每人去一个服务站，不同的安排方法有种， 当服务站只安排有1人（甲）时，其余4人分成3组（211）再安排到剩余的3个服务站，不同的安排方法有， 所以不同的安排方法有种. 故选：D. 32．（2024·广西南宁·模拟预测）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加.主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（    ） A．15 B．30 C．25 D．16 【答案】B 【分析】当两组人数分别为1和4时，2和3时两种情况，结合排列组合知识求出答案. 【解析】5名志愿者分为两组， 当两组人数分别为1和4时，此时有种情况， 当两组人数分别为2和3时，此时有种情况， 综上，不同的安排方案总数为. 故选：B 33．（2024高二·江西月考）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】先按要求将五个人分为三组，要求将教师夫妇放在一组，确定分组方法种数，然后将所分的三组分配给三所不同的学校，利用分步乘法原理可求得结果. 【解析】先将五个人分为三组， 每组的人数分别为、、或、、， 若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组， 则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种； 若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇， 只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种. 接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校， 因此，不同的安排方案种数为种. 故选：C. 34．（2024高三·山西忻州月考）2023年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021年5月，杭州A公司便响应号召，在全公司范围内组织亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3名党员和3名团员共6人脱颖而出.在彩排环节，需从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（    ） A．54种 B．45种 C．36种 D．18种 【答案】A 【分析】 根据全部情况中去掉不符合条件的情况即可结合排列组合求解. 【解析】从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆一共有种选派方法， 若游泳馆没有党员，篮球馆有党员，则有种， 同理游泳馆有党员，篮球馆没有党员，则有种， 故从这6人中选派2人去游泳馆，2人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有， 故选：A 考点8 排列组合的综合问题 35．（2024高二·江苏徐州·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数 (1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？ (2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？ (3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？ 【答案】(1)60 (2)42 (3)60 【分析】（1）根据当末位是0和末位是2或4，结合分类计数原理，即可求解； （2）分万位是4、万位为3千位为2,4和万位为3千位为1，结合分类计数原理，即可求解； （3）先排0,1,3，根据0排在三个数的第一位和0不排在三个数的第一位，结合分类计数原理，即可求解. 【解析】（1）解：根据题意，当末位是0共有个，当末位是2或4共有个, 所以共有偶数为个. （2）解：由题意，万位是4共有个，万位为3千位为2或4共有个， 万位为3千位为1共有个， 所以大于31000的数共有个. （3）解：先排0,1,3,第一种：0排在三个数的第一位，共有个； 第二种0不排在三个数的第一位，共有个 所以数字2和4不相邻的数共有个. 36．（2024高二·江苏泰州·期末）某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？ (1)男选手甲必须参加，且第4位出场； (2)男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻； (3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加. 【答案】(1)144 (2)144 (3)1008 【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【解析】（1）完成该件事情可分两步进行： 第一步，选出选手，有种方法； 第二步，排好出场顺序，有种方法， 所以，共有种不同的安排方法. （2）完成该件事情可分两步进行： 第一步，选出选手，有种方法； 第二步，排好出场顺序，有种方法， 所以，共有种不同的安排方法. （3）完成该件事情可分两步进行： 第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为； “无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为； “有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为； 第二步，排好出场顺序，有种排法， 所以，共有种不同的安排方法. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$