第11章 反比例函数（中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第11章 反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数的定义求参 【解惑】已知反比例函数，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ． 3．已知是反比例函数，则的值是 ． 类型二、反比例函数增减性求参 【解惑】若反比例函数的图象在每一象限内，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 2．反比例函数的图象上，当时，随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 3．已知在反比例函数的图象的每个分支上，y的值随着x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 类型三、反比例函数对称性求参 【解惑】若点在反比例函数的图象上，则代数式ab－5的值为（    ） A．－3 B．0 C．2 D．－5 【融会贯通】 1．函数的图象如图所示，若点，是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（    ） A．， B．， C．若，则 D．若，则 2．已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则它们的另一个交点的坐标是 ． 3．已知正比例函数与反比例函数交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则的值为 ． 类型四、已知K求面积 【解惑】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【融会贯通】 1．如图，双曲线经过的对角线交点，已知边在轴上，且于点，则的面积是（    ） A． B． C．3 D．6 2．如图，已知反比例函数经过的斜边的中点D，且与直角边相交于点C，点B在x轴上．若点A的坐标为，则的面积为 ． 3．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ． 类型五、已知面积求k 【解惑】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为（   ） A． B．6 C． D．3 【融会贯通】 1．如图，以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，轴，轴，双曲线经过点D，若正方形的面积为12，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与交于点，与交于点，若，且四边形的面积为，则的值为 ．    3．如图，正方形的顶点在第二象限的图象上，点分别在轴，轴负半轴上，点在第一象限直线的图象上，若．则的值为 ． 类型六、反比例函数中的新定义运算 【解惑】定义新运算：例：，．则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．定义新运算：a※b＝，例如：4※5＝，4※（﹣5）＝．那么函数y＝2※x（x≠0）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．定义一个新的运算：则运算的最小值为 ． 3．如图，已知点，在反比例函数的图像上，规定横、纵坐标都是整数的点为整点，则直线与反比例函数图像围成的封闭图形内部（不包括边界）有 个整点． 类型七、一次函数与反比例函数的关系式 【解惑】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为1．若在直线上存在一点（点不与点重合），使得，结合图象直接写出点的横坐标的取值范围． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 3．如图，一次函数（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点B的坐标． (3)求的面积． 类型八、一次函数与反比例函数的不等式 【解惑】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【融会贯通】 1．如图，平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，与双曲线交于点和点． (1)求，和的值； (2)直接写出时的取值范围； (3)如果平行四边形的对角线交双曲线于点，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数关系式： (2)直接写出关于的不等式的解集______； (3)连接、，则的面积为______． 3．如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为，，．    (1)求反比例函数解析式； (2)若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 类型九、一次函数与反比例函数的面积 【解惑】已知、是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 2．函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 3．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积． 类型十、反比例函数的应用——物理相关 【解惑】数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的某种气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的值． 【融会贯通】 1．在物理中，压强（）、压力（）、受力面积（）满足公式． (1)下面的函数图像，正确的有__________．（填写序号） 当为定值时，与的函数关系； 当为定值时，与的函数关系； 当为定值时，与的函数关系． (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． 一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ 若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 2．某科研小组进行野外考察、利用铺垫木板的方式通过一片湿地，根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示． 湿地地面所受压强 400 600 800 1200 1500 受力面积 1.5 1 0.75 0.5 a (1)根据数据，当人和木板对湿地地面的压力一定时，求湿地地面所受压强与受力面积之间的函数表达式及a的值． (2)若木板的长、宽分别为，，该湿地地面能承受的最大压强为，请你判断站在这块木是否安全？并说明理由． 3．阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 【一览众山小】 1．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．在反比例函数的图象上有三点，若则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，且的面积为9，则（   ） A． B．9 C．18 D． 4．若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是 （用“”号连接）． 5．如图，在中，轴于点，，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点分别在函数和的图象上，轴，点是轴上一点，线段与轴的正半轴交于点，若的面积为，，则的值为 ． 7．已知与成反比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，的值是多少？ 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)求k的值； (2)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 9．元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为；设小汽车匀速行驶的速度为，行驶的时间为． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若小汽车匀速行驶的速度为，则从乙地返回甲地需要几小时？ 10．综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数的定义求参 【解惑】已知反比例函数，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：C． 【融会贯通】 1．若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义和解一元一次方程，形如的函数，叫反比例函数．根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵为关于的反比例函数， ∴， 解得， 故选C． 2．若y关于x的函数是反比例函数，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】根据反比例函数，列出等式，不等式解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，绝对值的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数，且函数是反比例函数， ∴，且， ∴，且或， ∴， 故答案为：3． 3．已知是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据反比例函数的定义求参数的值，根据反比例反函数的定义，得到，且，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得：； 故答案为：． 类型二、反比例函数增减性求参 【解惑】若反比例函数的图象在每一象限内，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据函数的增减性得出关于m的不等式，再解不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，的值随值的增大而减小， ∴，解得：． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先将原函数看成由平移得到，然后运用反比例函数增减性的性质可得，且，解之即可． 【详解】解：可以看成是由平移得到， 当时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质得，，且， 或． 故选：C． 2．反比例函数的图象上，当时，随x的增大而增大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可，关键是掌握对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：当时，随的增大而增大， ， 解得：， 故答案为：． 3．已知在反比例函数的图象的每个分支上，y的值随着x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，图象在每一个象限内，y随着x的增大而减小；当时，图象在每一个象限内，y随着x的增大而增大．据此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一支上，y的值随着x的增大而减小， ∴． 故答案为：． 类型三、反比例函数对称性求参 【解惑】若点在反比例函数的图象上，则代数式ab－5的值为（    ） A．－3 B．0 C．2 D．－5 【答案】A 【分析】由点在反比例函数的图象上，可知，代入进行求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数图象上对应点与对应函数的关系，关键在于本题不必单独求得a，b值，直接求得进行整体代入． 【融会贯通】 1．函数的图象如图所示，若点，是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（    ） A．， B．， C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由函数的自变量的取值范围可判断A，由可得函数值的取值范围可判断B，由函数图象及函数图象关于y轴对称，可判断C，由函数的增减性可判断D，从而可得答案． 【详解】解：∵的自变量的取值范围是 ∴，，故A不符合题意； ∵ ∴ 则，，故B不符合题意； ∵函数图象关于y轴对称， 当，则，故C不符合题意； 由函数图象可得： 在y轴的左边，当，则， 在y轴的右边，当，则 故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是函数的图象与性质，熟练的利用函数的解析式与函数的图象解决问题是解本题的关键． 2．已知直线与双曲线的一个交点的坐标为，则它们的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点的坐标为，且两图象的交点关于原点对称， ∴它们的另一个交点的坐标是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 3．已知正比例函数与反比例函数交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其横纵坐标互为相反数，得出答案． 【详解】正比例函数与反比例函数交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点 ∴根据图象和性质可知， 其交点A(x1，y1)与B(x2， y2 )关于原点对称， ∴x1十x2=0，y1十y2=0， ∴=0， 故答案为：0 【点睛】本题考查一次函数、 反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提． 类型四、已知K求面积 【解惑】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，则的面积是（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 连接，首先求出，，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∴，， ∵轴， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，双曲线经过的对角线交点，已知边在轴上，且于点，则的面积是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，首先得到，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵点D为的对角线交点，双曲线经过点D，， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴的面积是． 故选C． 2．如图，已知反比例函数经过的斜边的中点D，且与直角边相交于点C，点B在x轴上．若点A的坐标为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义、求反比例函数的解析式，由题意可得，从而可得反比例函数的解析式为，由反比例函数的的几何意义得出，再求出的面积，结合的面积为计算即可得解． 【详解】解：∵点为的中点，点A的坐标为， ∴， 将代入反比例函数解析式可得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 3．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．过点A作轴于E，过点B作轴于F，设与y轴交于G，，，再根据平行四边形与矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于E，过点B作轴于F，记与轴的交点为，    ∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∵轴，轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数和的图像上， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10． 类型五、已知面积求k 【解惑】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点，连接．若的面积为3，则的值为（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：由题意， 设A点坐标为，即，， ∵的面积为3， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，轴，轴，双曲线经过点D，若正方形的面积为12，则k的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了反比例的图象和性质、正方形的性质等知识．根据正方形的性质得到四边形的面积为，根据反比例函数的图象和性质即可得到k的值． 【详解】解：如图， ∵以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，正方形的面积为12， ∴四边形的面积为， ∵双曲线经过点D， ∴， 故选：A 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与交于点，与交于点，若，且四边形的面积为，则的值为 ．    【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，连接，设，则，，由此得到，，由得到，，，再根据，且，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，边分别在轴、轴的正半轴上， ∴， 如图所示，连接，设，    ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得，， 故答案为：6 ． 3．如图，正方形的顶点在第二象限的图象上，点分别在轴，轴负半轴上，点在第一象限直线的图象上，若．则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、，先证明四边形是正方形，进而证明，得到，从而推出，求出，同理可证，，得到，，确定点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，于点，交轴于点，令、与坐标轴的交点分别为、， ， 四边形是矩形， 点在第一象限直线的图象上， ， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证，， ，， ， ， 点的坐标为， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用． 类型六、反比例函数中的新定义运算 【解惑】定义新运算：例：，．则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数关系式，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案． 【详解】解：由题意得：， 当x＞0时，反比例函数y=在第一象限， 当x＜0时，反比例函数y=-在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此B选项符合． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线． 【融会贯通】 1．定义新运算：a※b＝，例如：4※5＝，4※（﹣5）＝．那么函数y＝2※x（x≠0）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干中新运算定义求出y=2※x的解析式，进而求解． 【详解】解：由题意得y＝2※x＝， 故选：D． 【点睛】本题考查函数图象，解题关键是理解题意，掌握求新运算的方法，根据函数y= 2※x的解析式求解． 2．定义一个新的运算：则运算的最小值为 ． 【答案】-2 【分析】分x≤2和x＞2两种情况分别求得关于x的函数关系式，然后再求得最小值即可． 【详解】解：当x≤2时，x⊕2=-2x+2， k=-2＜0，函数值随x的增大而减小， 此时当x=2时有最小值-2； 当x＞2时，x⊕2=， 综上，最小值为-2． 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数的性质等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 3．如图，已知点，在反比例函数的图像上，规定横、纵坐标都是整数的点为整点，则直线与反比例函数图像围成的封闭图形内部（不包括边界）有 个整点． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数的与反比例函数交点问题，求一次函数的解析式，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，，再运用待定系数法求一次函数的解析式，结合整点的定义进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵已知点，在反比例函数的图像上， ∴， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵规定横、纵坐标都是整数的点为整点， ∴当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； ∴当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； ∴当时，则，， ∵， ∴是满足条件的整点； ∴当时，则，， 此时不存在满足条件的整点， 故答案为：3． 类型七、一次函数与反比例函数的关系式 【解惑】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当时，求点的坐标： (3)在（）的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)。 【分析】（1）由待定系数法求一次函数与反比例函数的表达式即可； （2）求出点A的坐标，根据四边形与三角形的面积比求出点坐标，得直线的解析式，再与反比例函数解析式联立即可得点坐标； （3）设，根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 将点代入， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：对于，当时，， ∴点坐标为， 联立与得， ， 解得或（舍去）， 经检验是的解， 当时，， ∴点坐标为， ∵，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∵点在第一象限， ∴． （3）解：∵点在直线上， ∴设， ∵是以为斜边的直角三角形，， ∴， 即， 整理得：， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，梯形与三角形面积计算，勾股定理，解一元二次方程等知识点．解题关键是根据面积关系求出点坐标及掌握利用勾股定理列出方程． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为1．若在直线上存在一点（点不与点重合），使得，结合图象直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，解决本题的关键就是利用两点间距离公式求出相等的时候的临界值，然后进步确定的取值范围． （1）把代入到反比例函数关系式中求出m，得到点坐标，把点坐标代入到中求出b的值即可； （2）以为圆心，以的长为半径画弧，与l交于点，求出的横坐标即可，注意：点P不与点A重合． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点 ∴                  ∴， ∵直线经过点 ∴，； （2）解：由（1）可得直线表达式为： ∵点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为1， ∴， ∴点B的坐标为：， 由（1）知：， ∴， 以为圆心，以的长为半径画弧，与l交于点，如图： 设，由题意可知： ， 当时，即 解得：， 即：的横坐标为1，的横坐标为9， ∵满足的是， ∴， ∵点P不与点A重合， ∴， 综上所述：P的横坐标的取值范围：且． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 【答案】(1)一次函数和反比例函数的解析式分别是， (2)的面积是 (3)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【分析】（1）利用待定系数法计算解析式即可． （2）设直线与y轴的交点为C，利用直线解析式计算，结合计算即可． （3）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，反比例函数解析式为， ∵设一次函数与反比例函数的图像相交于 ，两点， ∴， 解得， 故；． （2）解：设直线与y轴的交点为C， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵，，且， 故或． 3．如图，一次函数（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点B的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个解析式，求出点的坐标即可； （3）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：两函数图象相交于点， ， 解得， 反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）联立， 解得，（舍去），， ∴点B的坐标为． （3）当时，，， ； 类型八、一次函数与反比例函数的不等式 【解惑】如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式； (2)直接写出 的x取值范围 (3)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为：． (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）根据函数图象的交点和图象的位置关系进行解答即可； （3）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴由图象可知， 的x取值范围是 故答案为： （3）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 【融会贯通】 1．如图，平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，与双曲线交于点和点． (1)求，和的值； (2)直接写出时的取值范围； (3)如果平行四边形的对角线交双曲线于点，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查反比例函数和几何图形的结合，涉及待定系数法求解析式、数形结合求自变量的范围和联立求解交点， 根据题意求得，即可得，将点和点代入求得和； 根据题意得，结合图像可知满足条件得或； 由（1）得，可得点，结合点点得点，即可求得直线的解析式为，联立反比例函数即可求得点P． 【详解】（1）解：∵双曲线过点和点， ∴， ∴，解得， ∵过点和点， ∴，解得， 则，，； （2）解：∵， ∴， ∴或； （3）解：由（1）得，令，解得， ∴点， ∵点， ∴点， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或（舍去） ∴点． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数关系式： (2)直接写出关于的不等式的解集______； (3)连接、，则的面积为______． 【答案】(1) (2)或 (3)6 【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入反比例函数关系式，可得答案； （2）根据图象的位置，即反比例函数图象在直线上方时自变量的取值，可得答案； （3）先求出直线的关系式，进而得出点C的坐标，可知，再根据可得答案． 【详解】（1）∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）将不等式整理为， 当或时，． 所以不等式的解集是或． 故答案为：或； （3）当时，， ∴点． 设直线的关系式为，将点A，B代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点， ∴， 则． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式，求一次函数关系式，求三角形的面积，观察图象求不等式的解集，理解由观察图象的位置确定函数值的大小是解题的关键． 3．如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为，，．    (1)求反比例函数解析式； (2)若经过两点的直线关系式为，请直接写出不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由与的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值； （2）由图象直接可得； （3）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得，再计算，然后利用进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意知， 将点A坐标代入（）中，得：， ， 双曲线的解析式为（）； （2）由图象可知，点D横坐标为4，则关于x的不等式的解集是或； （3）点坐标为，轴， 点坐标为； ，， 而， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，反比例函数k的几何意义，熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则图形的面积是解题关键． 类型九、一次函数与反比例函数的面积 【解惑】已知、是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求此反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与几何综合，求出一次函数和反比例函数解析式是关键． （1）把A的坐标代入反比例函数解析式求得m的值，从而求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入求得n的值，再利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）求得与x轴的交点C，然后根据三角形的面积公式求解； 【详解】（1）解：把代入得，则， 则反比例函数的解析式是， 把代入，得， 则的坐标是． 根据题意得：，解得：， 则一次函数的解析式是． （2）解：设与轴的交点是， 则的坐标是．则， 则，， 则． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)16 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方（包含交点）所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）先求解一次函数与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得，， 解得：， 点的坐标为：， 反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把点代入直线得，， 解得， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． （3）解：连接，如图所示， ∵直线与轴相交于点， 当时， ∴ ∴ ∴． 2．函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 【答案】(1)，当时，随t的增大而减小 (2)不发生变化，理由见解析 (3)发生变化，， 【分析】（1）由于和的横坐标都是，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出它们的坐标，然后利用它们的纵坐标之差即可表示出的长度，然后根据反比例函数的性质讨论增减性； （2）根据三角形面积公式易得，于是可判断的面积不发生变化 （3）当时，易得，，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图，则点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，易得点坐标为；然后根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着根据勾股定理计算出，从而可得到的周长的最小值． 【详解】（1）解：把代入得，则； 把代入得，则， ∴，当时，RQ随t的增大而减小． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： ∵， ∴的面积不发生变化． （3）解：的周长发生变化．当时，，，则． 作点R关于y轴的对称点M，连接，与y轴的交点即为所求点P．如图， 则M点的坐标为．设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为，当时，． ∴点P的坐标为． ∵， ∴． ∴此时的周长最小． 在中，∵，， ∴． ∴． ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征和性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形的面积；运用两点之间线段最短解决三角形周长的最小值问题． 3．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)点在轴负半轴上，连接，过点作，交的图像于点，且，连接．求四边形的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、求一次函数和反比例函数解析式、平行四边形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质、数形结合是解题的关键． （1）把代入求解，得出反比例函数的表达式，求出，把、代入求解，得出一次函数的表达即可； （2）连接，交轴于点，根据一次函数的表达式，求出，得出，根据，，证明四边形是平行四边形，得出，根据点在轴负半轴上，结合图形与坐标，，，得出点的纵坐标，的边上的高，的边上的高，求出点的纵坐标，代入求出，求出点的横坐标，得出，根据求出，根据计算，得出，根据四边形的面积，计算求出面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点， ∴把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∴把代入得：， 解得：， ∴， 把、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图，连接，交轴于点， ∵一次函数的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点在轴负半轴上，由（1）得：，， ∴点的纵坐标，的边上的高，的边上的高， ∴点的纵坐标， ∵点在反比例函数上， ∴当时，， 解得：， ∴， ∴点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 类型十、反比例函数的应用——物理相关 【解惑】数学是基础学科，物理研究也离不开数学知识的支撑．密闭容器内有一定质量的某种气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知是的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的体积． 【详解】（1）解：设关于V的函数解析式为， 当时，， ， 解得：， 关于V的函数解析式为：； （2）由（1）知，， 当时，， 解得， 当时，的值为， 答：关于的函数解析式为； 当时，的值为． 【融会贯通】 1．在物理中，压强（）、压力（）、受力面积（）满足公式． (1)下面的函数图像，正确的有__________．（填写序号） 当为定值时，与的函数关系； 当为定值时，与的函数关系； 当为定值时，与的函数关系． (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． 一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ 若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解；把，代入计算即可求解； 本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． 【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； 当为定值时，，是的正比例函数，故错误； 当为定值时，是的正比例函数，故正确； ∴正确的有， 故答案为：； （2）解：把，代入得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 2．某科研小组进行野外考察、利用铺垫木板的方式通过一片湿地，根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示． 湿地地面所受压强 400 600 800 1200 1500 受力面积 1.5 1 0.75 0.5 a (1)根据数据，当人和木板对湿地地面的压力一定时，求湿地地面所受压强与受力面积之间的函数表达式及a的值． (2)若木板的长、宽分别为，，该湿地地面能承受的最大压强为，请你判断站在这块木是否安全？并说明理由． 【答案】(1)， (2)安全，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式． （1）用待定系数法可得函数关系式即可； （2）算出S，即可求出P，比较可得答案． 【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变， 故压强P是受力面积S的反比例函数， 设，将代入， 解得 ， ∴， 当时，， 解得，即； （2）解：， ∴， ∵， ∴站在这块木是安全的． 3．阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 【答案】(1) (2)反比例； (3)音调“”对应吸管的长度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）根据表中数据，可与的乘积接近的定值，从而可得答案． （2）根据散点图判断，根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，故系数保留整数时，即可得到． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即，将代入， 可得吸管的长度． 【详解】（1）根据表中数据，可发现吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，而第三组相差太多，故第三组数据错误． （2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系， 由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值， 故在反比例函数中（系数保留整数）， 故与的函数关系式为， 故答案为：反比例、． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即， 将代入， 可得吸管的长度， 答：音调“”对应吸管的长度． 【一览众山小】 1．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键． 分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：当时，，图象不经过，故A不符合题意； 当时，，图象一定经过，故B符合题意； 当时，，图象不经过，故C不符合题意； 当时，，图象不经过，故D不符合题意； 故选：B． 2．在反比例函数的图象上有三点，若则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出函数的图象所在的象限及增减性，再由判断出各点所在的象限，进而可得出结论．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第四象限，点在第二象限， ∴， 故选：A． 3．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，且的面积为9，则（   ） A． B．9 C．18 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，由轴，则，故，然后根据比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 故选：A． 4．若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是 （用“”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据，得反比例函数分布在第一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，，同号，据此即可解答． 【详解】解：∵中，， ∴反比例函数图象分布在第一，三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，，同号， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 5．如图，在中，轴于点，，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是含的直角三角形特征、勾股定理、求反比例函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式． 先由含的直角三角形特征、勾股定理求出点坐标，再由该坐标用待定系数法求反比例函数解析式即可得到的值． 【详解】解：轴于点，，， ， ， 即， 点在反比例函数上， ． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，点分别在函数和的图象上，轴，点是轴上一点，线段与轴的正半轴交于点，若的面积为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义以及三角形面积的计算方法是解题的关键． 设与轴交于点，过点、点分别作轴，轴，垂足分别为，反比例函数系数的几何意义可知，， ，由的面积为，，从而求出，则有，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点，过点、点分别作轴，轴，垂足分别为， ∵点、点分别在函数和的图象上， ∴反比例函数系数的几何意义可知，， ， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．已知与成反比例，且当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，已知自变量的值，求函数值，正确求得解析式是解决本题的关键． （1）首先设，再把 ，代入，即可求得k，即可求得与的函数关系式； （2）把代入解析式，即可求得对应的的值． 【详解】（1）解：设， 因为当时，， 所以有， 解得 ， 所以． （2）解：当 时， ． 8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)求k的值； (2)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点Q的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）设点Q的坐标为，则，根据，得出，解关于t的方程即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， ， ， ， ； （2）解：设点Q的坐标为，则， ， ， ， ， 解得：负值舍去，，， 点Q的坐标为或或． 9．元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为；设小汽车匀速行驶的速度为，行驶的时间为． (1)求v关于t的函数表达式； (2)若小汽车匀速行驶的速度为，则从乙地返回甲地需要几小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题的关键是根据时间、速度和路程的关系求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）把代入（1）中的函数关系式中求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 所以v与t的关系式为：； （2）解：当时，． 答：小汽车速度为时，从乙地到甲地需要． 10．综合与实践 【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1： 表1 长度（） 振动频率（） 【探索发现】 （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）； （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式． 表2  C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 【实际应用】 （3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到） 【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为 【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； 故答案为：高． （2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线． 根据表格可知 ∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为． 函数图象，如图所示 （3）由题可得，低音区的音频率为 代入 ∴ 答：低音区的对应吸管长度为 6 学科网（北京）股份有限公司 $$