9.2 坐标方法的简单应用-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

9.2 坐标方法的简单应用 一、用坐标表示地理位置 1.建立平面直角坐标系：选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向。根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度。在坐标平面内画出地点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 2.注意事项：建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法。例如，可以借助于图形的某边所在直线为坐标轴等。建立平面直角坐标系的方法不唯一，所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标也不同。另外，应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定。 二、用坐标表示平移 1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）或（x-a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）或（x，y-b）。 2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。 3.平移规律：在坐标系内，左右平移的点的坐标规律是“右加左减”；上下平移的点的坐标规律是“上加下减”。平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。 巩固课内例1:坐标系中的方向问题 1．如图，货船A 与港口B 相距40海里，港口B 相对货船A 的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，港口相对货船的位置可描述为南偏西方向，相距海里处， 故选：． 2．如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警．请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置： ． 【答案】南偏西方向，距离为 【分析】本题主要考查了坐标确定地理位置，正确理解方向角的定义是解题的关键．直接根据题意得出的长以及的度数，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， 故答案为：南偏西方向，距离为； 3．如图，一个小正方形的对角线长．表示横向的数为3，纵向的数为8的点． (1)请描出以下四个点 ①点西偏北方向处的点； ②点东偏北方向处的点； ③点东偏南方向处的点； ④点东偏北方向处的点． (2)顺次连接（1）中四个点得到四边形．请直接写出四边形的面积占整个图形面积的________． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了数对与位置，熟练掌握数对表示位置的方法是解题的关键； （1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，分别在网格图中描出、，，点，根据地图上的方向，上北下南，左西右东，及每个对角线为，即可用数对标出各点的位置即可． （2）根据（1）中描绘的点，求出围成的四边形图形的面积，然后求出整个图形的总面积，即可得四边形的面积占整个图形面积的值， 【详解】（1）如图所示，①点A即为所求；②点B即为所求；③点C即为所求；④点D即为所求； （2）如图所示， ∵B点到的长度由图可得为3， ∴四边形的面积， ∵整个图形的面积是 ∴四边形的面积占整个图形面积的． 巩固课内例2:坐标系中的平移问题 1．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得，则A点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查点平移的规律：左减右加，上加下减，根据点坐标的平移的规律解答即可． 【详解】解：∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得， ∴A点坐标为，即， 故选：D． 2．将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，求出的值，即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．如图，将平行四边形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，写出平移后平行四边形的四个顶点的坐标． 【答案】，，， 【分析】此题考查了坐标与图形变化－平移，直接利用平移中点的变化规律求解即可，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：∵将平行四边形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴平移后平行四边形的四个顶点的坐标为：，，，． 巩固课内例3:写出平移方式后求点的坐标 1．把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 根据在平面直角坐标系中坐标与图形变化-平移的规律进行判断． 【详解】解：点平移到点， 表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位． 故选：B． 2．如果点A，B的坐标分别为,，那么将点A向 平移 个单位得到点B． 【答案】 上 7 【分析】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握坐标平移的规律是解题的关键．根据左减右加横坐标，上加下减纵坐标进行求解即可． 【详解】∵，得横坐标相同， ∴将点A向上平移7个单位得到点B， 故答案为：上，7． 3．在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示． (1)如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形； (2)如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形． 【答案】(1)原来图案向右平移4个单位得到新图案，作图见解析 (2)原来图案向下平移3个单位得到新图案，作图见解析 【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，点的横坐标坐标右加左减，纵坐标上加下减． （1）将原来，，，四个点的横坐标都加上4，得到，，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得 （2）将，，，四个点的纵坐标都减 ，得到，，，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得． 【详解】（1）解：如图所示，所得的图案是由原来的图案向右平移4个单位得到的； （2）如图所示：所得的图案是由原来的图案向下平移3个单位得到的． 类型一、用坐标表示位置 1．如图，若一号暗堡的坐标为，四号暗堡的坐标为，指挥部的坐标为，则指挥部可能在（   ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 【答案】B 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 【详解】解：∵一号暗堡的坐标为，四号暗堡的坐标为，指挥部的坐标为， ∴则如图所示： 即指挥部的位置大约是B处． 故选：B． 2．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点B的坐标为． 故答案为： 3．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)请在图中画出该学校平面示意图所在的平面直角坐标系； (2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，请标出办公楼和教学楼的位置； (3)写出食堂，图书馆的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)食堂，图书馆的坐标分别为 【分析】（1）根据旗杆的位置和实验室的位置可确定轴和轴的位置，即可画出坐标系； （2）根据办公楼与教学楼的坐标可标出位置； （3）根据坐标系可直接读出食堂、图书馆的坐标． 本题考查了平面直角坐标系，点的坐标表示方法，坐标确定位置，画出正确的平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，该学校平面示意图所在的平面直角坐标系如图所示． （2）解：依题意，办公楼和教学楼的位置如图所示． （3）解：依题意，食堂，图书馆的坐标分别为． 类型二、用方向角和距离确定位置 1．在平面内，下列说法不能确定物体位置的是（   ） A．北偏东 B．A区6号 C．东经，北纬 D．南大街16号 【答案】A 【分析】本题考查了坐标，方位角与距离表示地理位置，掌握地理位置的表示方法是解题的关键． 根据坐标，方位角及距离表示地理位置的方法即可求解． 【详解】解：A、北偏东，不能确定物体位置，符合题意； B、A区6号，能确定物体位置，不符合题意； C、东经，北纬，能确定物体位置，不符合题意； D、南大街16号，能确定物体位置，不符合题意； 故选：A ． 2．如图，货船与港口相距20海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，20海里）来描述，则港口相对货船的位置用有序数对描述为 ． 【答案】（北偏东海里） 【分析】本题考查坐标确定位置，以点为中心点，来描述点的方向及距离即可，掌握用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西是解题的关键． 【详解】解：由题意知港口相对货船的位置用有序数对描述为（北偏东海里）． 故答案为：（北偏东海里）． 3．如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米． (1)飞机A在机场______偏______方向，距离是______千米； (2)飞机B在机场______偏南______方向，距离是______千米； (3)飞机C在机场南偏东，距离是50千米，请在平面上标出C的位置． 【答案】(1)北，东，30 (2)西，，40 (3)见解析 【分析】此题考查了用方位角和距离表示位置． （1）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （2）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （3）根据飞机的位置在图上标出点C的位置即可． 【详解】（1）解：飞机A在机场北偏东方向，距离是30千米， 故答案为：北，东，30 （2）飞机B在机场西偏南方向，距离是40千米． 故答案为：西，，40 （3）如图，点C即为所求． 类型三、根据方位描述确定物体的位置 1．小明向大家介绍自己家的位置，下列表达最准确的是（   ） A．在学校的左边 B．在学校的西边 C．在学校西偏北处 D．在学校西偏北方向上，距学校 【答案】D 【分析】本题考查位置的确定，解题的关键是掌握判断一个物体的方位，应包含参照物、方向、距离．根据方位的定义依次判断即可． 【详解】解：A、缺少距离，不准确，不符合题意； B、缺少距离，不准确，不符合题意； C、缺少距离，不准确，不符合题意； D、条件齐全，符合题意． 故选：D． 2．如图，一艘船B遇险后向相距50海里的救生船A报警．请用方向和距离描述遇险船B相对于救生船A的位置 ． 【答案】北偏东15°，50海里 【分析】根据方位角的概念，可得答案． 【详解】解：由图知，遇险船B在救生船A的北偏东15°，50海里的位置， 故答案为：北偏东15°，50海里． 【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离． 3．下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 【答案】(1)东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、 (2)豆豆不会迟到 【分析】本题考查了依据地图上的方向辨别方法，依据方向和距离判定物体位置的方法，读懂地图是解答关键． （1）根据地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”来求解； （2）先计算出豆豆用的时间，再计算出豆豆往返后再到学校的路程，然后用豆豆每分钟骑行米所走的路程进行比较求解． 【详解】（1）解：根据地图描述豆豆从家到学校的路线：先向正东行驶米到游乐园，再向东偏北（北偏东）方向行驶米到图书馆，最后向西偏北（北偏西）方向行驶 米到学校 故答案为：东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、． （2）解：根据题意得 （分钟） 豆豆的路程： ． 答：豆豆不会迟到. 类型一、已知图形的平移求点的坐标 1．已知的一个顶点A的坐标为，将沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，点A恰好落在原点上，则平移前点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了坐标与平移，根据平移规则表示出平移后的坐标，结合平移后点A恰好落在原点上列方程求解即可． 【详解】解：∵将沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度， ∴平移后坐标为， ∵平移后点A恰好落在原点上， ∴，， 解得，， ∴平移前点A的坐标是， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌蚪平移以后得到的，左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是，则右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的特点，解题的关键是根据题意得出左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案．先根据左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是，得出左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案，再求出右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标即可． 【详解】解：因为题图中y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌蚪平移以后得到的，且左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是， ∴左图案向右平移9个单位，向上平移3个单位到右图案， ∴右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标是，即． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出，并直接写出的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是（____，____）． 【答案】(1)图见详解， (2) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的规律解决问题即可． 本题考查作图平移变换，点的坐标，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图所示： ∴； （2）解：∵把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点为内的一点， ∴点的坐标是， 故答案为：，． 类型二、判断平移的方式 1．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移与坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点、的坐标确定出平移方式，再根据平移方式结合图形解答即可． 【详解】解：点的对应点， 平移规律为向右平移个单位，再向上平移个单位， 向右平移个单位，再向上平移个单位，得到对应点C的坐标为即． 故选：D． 2．如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的知识、有理数的乘方、代数式求值，解决本题的关键是根据点、的横坐标与纵坐标的变化得到线段平移的方向和距离，根据平移的方向和距离得到、的值．点的纵坐标由变为，可知线段向上平移了个单位长度，所以可得，点的横坐标由变为，线段向右平移了个单位长度，所以可得，把和代入计算即可． 【详解】解：将线段平移至的位置， 点的纵坐标由变为， 线段向上平移了个单位长度， ， 点的横坐标由变为， 线段向右平移了个单位长度， ， ． 故答案为： ． 3．如图，将三角形平移后，三角形内任意一点的对应点为． (1)将三角形平移后，顶点，，的对应点分别为，，，在图中画出三角形； (2)若三角形外有一点经过同样的平移后得到点，则点坐标______． (3)在图中先确定线段的中点，再在边上确定一点，点不与点重合，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移，画平移图形，无刻度直尺作图． （1）先根据三角形内任意一点的对应点为判断平移的方式，再画图即可； （2）根据平移的方式求解即可； （3）取格点E，F，连接交于点P；取格点D，连接交格线于点N，与格线交于点M，连接交于点Q，则． 【详解】（1）解：∵三角形内任意一点的对应点为 ∴三角形先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得三角形． 如图，三角形即为所求， （2）解：∵三角形外有一点经过同样的平移后得到点， ∴先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得点， ∴． 故答案为：； （3）解：如图，点P和点Q即为所求， 类型三、求出平移后的线段及点的坐标 1．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平移的性质、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．点对应点C的坐标为，知道平移的轨迹为向右平移4个单位，点对应点，知道平移轨迹是向下平移3个单位，根据平移规律得出a、b的值，即可作答． 【详解】解：∵点对应点C的坐标为，点对应点， ∴线段向右平移4个单位，向下平移3个单位得到线段， ∴，， ∴， 故答案为：1． 3．在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把三角形平移后，三角形内任意点对应点为． (1)在图中，画出平移后的图形； (2)在三角形平移到三角形的过程中，线段扫过的面积为______； (3)在图中，用无刻度的直尺作图：在轴正半轴上找一点，使的面积为；（保留作图痕迹） 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】本题考查图形平移，熟知图形不变性的性质是解题的关键． （1）根据点平移之后的坐标，确定平移的方向和距离，作图即可求解； （2）根据题意，求平行四边形和的面积即可求解； （3）根据题意，可知将向右平移个单位长度，与轴交于，点即为所求； 【详解】（1）根据三角形内任意点对应点为可知， 的对应点为，的对应点为，的对应点为，根据坐标做出； （2）线段扫过的面积为； （3）将向右平移个单位长度，与轴交于， 如图所示： 此时三角形面积为， 类型一、平移后的三角形 1．如图，三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，先由求出的长，根据平移的性质得出，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形， ∴， ∴角形的面积为∶． 故选A． 2．如图，三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，将三角形同样向左平移3个单位长度得到三角形．若点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查平移的性质，y轴上点的坐标特点，熟练掌握平移的性质是解题的关键：根据平移的性质得到，求出m的值即可得到点的对应点的坐标． 【详解】解：∵三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上， ∴， 得， ∴点的坐标是，则点的对应点的坐标是， 故答案为． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点落在边长为1的正方形网格的格点上，点的坐标为，将三角形在水平方向上平移后得到三角形，且． (1)求三角形平移的距离； (2)将三角形向下平移4个单位长度，得到三角形，画出三角形和三角形，并求线段平移至的过程中扫过的面积． 【答案】(1)5 (2)见解析，14 【分析】本题考查了平移作图，写出坐标系中点的坐标，确定平移距离，利用网格求面积，准确确定平移方式为解题关键． （1）先确定出点A的坐标，再求平移距离即可； （2）由平移方式作图，再利用网格求面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得． 点的坐标为， 平移的距离为； （2）三角形和三角形如答图所示． 设线段平移至的过程中扫过的面积为， 则． 类型二、平移后的四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在网格点上，将四边形平移使得点与点重合，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．首先由点平移至点，可得先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，再根据平移方法可得平移后的坐标． 【详解】解：由点平移至点，可得先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的坐标是，即， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想是解本题的关键．分交线段和交两种情况，利用面积之差求出和，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵点,， ， 将向下平移5个单位得线段，得矩形， ， ， ， 如图1，当交线段于E，且将四边形分成面积为两部分时，连接，延长交y轴于点M， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图2，当交于点E，将四边形分成面积为两部分时， 连接，延长交y轴于点G， 则， ， 连接，则， ∵将四边形的面积分成两部分， ， ， ， 过P点作交的延长线于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点P坐标为或， 故答案为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，将四边形先向右平移7个单位长度，再向下平移3个单位长度得到四边形，点A、B、C、D的对应点分别为点、、、． (1)画出四边形，并写出点、的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析，点的坐标为，点的坐标为． (2) 【分析】本题考查了作图——平移变换，根据平移方式求坐标，割补法求面积，掌握平移的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据平移方式画出图形，再写出对应点坐标即可； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：四边形如图所示． 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：四边形的面积为 ． 类型三、坐标中的规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，……．按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，由题意可得出第次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移个单位长度，再向下或向上平移个单位长度，且每四次坐标变换为一循环，结合即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，……． ∴第次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移个单位长度，再向下或向上平移个单位长度，且每四次坐标变换为一循环， ∵， ∴点的坐标为， 故选：A． 2．如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 【答案】 【分析】本题考查了数字的规律探究，用坐标表示位置，根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意可推导一般性规律为：第行，最后一个数是，将代入求解即可； （2）根据规律估算出所在的行，然后再根据上一行最后一位即可得出的位置． 【详解】（1）解：由题意知，第1行，最后一个数是； 第2行，最后一个数是； 第3行，最后一个数是； 第4行，最后一个数是； … ∴ 可推导一般性规律为：第行，最后一个数是， ∴第8行的最后一个数是， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时，最后一个数是； 当时，最后一个数是； ∵， ∴位于第行， ∵第行第一个数字为， ∴为第行第5个数字， ∴的位置是， 故答案为：． 3．已知点在平面直角坐标系上，规定：点先向右平移个单位长度后，再沿轴翻折得到点为第1次变换；点沿轴翻折得到点为第2次变换；点先向右平移1个单位长度后，再沿x轴翻折得到点为第3次变换；…依此规律进行下去． （1）点的坐标为 ． （2）点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的变换，根据题目给出的规律，把相应点的坐标分别写出，找到几个为一组循环，即可求得． 【详解】解：， ：点先向右平移个单位长度后，再沿轴翻折后为 ：点沿轴翻折后为 ：点先向右平移1个单位长度后，再沿x轴翻折后为 ：点沿轴翻折后为 ：点先向右平移1个单位长度后，再沿x轴翻折后为回到了， ∴4次翻折为一个循环， ∵， ∴即为循环过回后，第次循环的第次翻折， ∴ 故答案为：，． 1．下列描述中，能确定具体位置的是（   ） A．祖庙附近 B．教室第2排 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键． 根据坐标确定需要两个数据，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、祖庙附近，不能确定具体位置，故本选项错误； B、教室第排，不能确定具体位置，本选项错误； C、北偏东，不能确定具体位置，故本选项错误。； D、东经，北纬，能确定具体位置，故本选项正确； 故选： D． 2．已知四边形中，点的坐标为，平移四边形，使点的对应点的坐标为，则实现平移的方法可以是（   ） A．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】C 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化，直接利用平移的性质得出平移规律得出答案，正确掌握平移规律是解题关键． 【详解】解：点的坐标为，平移四边形，使点的对应点的坐标为， 实现平移的方法可以是先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度， 故选：C． 3．如图，在直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．先判断在第三象限，根据第三象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】由题意： 由题意可知，点M每运动4次则回到原来的象限， ， ∴在第三象限， 是第三象限内的点， 观察可得，的坐标为，即． 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，得到的点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，得到的点坐标是，即， 故答案为：． 5．太原地铁号线共设有个站点，连接了多个交通枢纽和商圈，为市民出行带来极大便利．如图将太原轨道交通线路图放入平面直角坐标系中，若“西客站”所在位置的坐标为，“郝家沟站”所在位置的坐标为，则“太原南站”所在位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据题意建立平面直角坐标系即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如下： 由平面直角坐标系可得，“太原南站”所在位置的坐标为， 故答案为：． 6．某班共有50名学生，在校广播操比赛中排成方阵，先把每名学生都进行编号，号码为1至50号，然后把各自的位置固定下来．如图，在平面直角坐标系中，每个编号都对应着一个坐标，例如1号的对应点是，3号的对应点是，16号的对应点是，那么编号是50号的学生的位置对应的坐标是 ．全校学生如果排成这样一个大方阵，编号是2025号的学生的位置对应的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，找到所有奇数的平方数所在位置是解题的关键．观察图的结构，发现所有奇数的平方数都在第四象限的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：， 故的坐标为， 故的坐标为； ， 故编号是2025号的学生的位置对应的坐标是． 故答案为：；． 7．白银水川湿地公园是一处集自然风光和休闲娱乐于一体的国家4A级旅游景区．如图，这是湿地公园的部分简图，在图中建立平面直角坐标系，使曲桥的坐标为，南北主题广场的坐标为． (1)画出平面直角坐标系； (2)分别写出其他各地的坐标．（除曲桥和南北主题广场） 【答案】(1)见详解 (2)人工湖：，垂钓地：，景观长廊：，莲花池： 【分析】本题考查了建立平面直角坐标系，坐标，会根据已知坐标建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）由曲桥的坐标为，南北主题广场的坐标为确定平面直角坐标系，即可求解； （2）写出坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：由上图得： 人工湖：， 垂钓地：， 景观长廊：， 莲花池：． 8．某公园有7个景区．如下图所示的是某些景区的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），点的坐标是，点位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)若点的坐标为，点的坐标为，请在坐标系中描出点； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点相对于点的位置． 【答案】(1)图形见解析， (2)如图所示 (3)点位于点的正南方向，距离点的位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）根据和的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据的坐标为，点的坐标为，在坐标系中标注的位置； （3）根据坐标系位置和单位长度即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，； （2）解：点位置如图所示； （3）解：点位于点的正南方向，距离点的位置． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，其中，满足． (1)求，两点的坐标； (2)将线段平移到，点的对应点为第三象限中的点．若三角形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，平移的规律，解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用非负数的性质，结合条件得：，，解出、的值即可； （2）根据列出关于的方程，解方程求得的值，据此求解得出点的坐标，由平移的规律可得点的坐标． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 两点的坐标分别为，； （2）解：如图，， 故由题意得：， 解得：， 点的坐标为，由点平移到点可知，横坐标向左移个单位长度，纵坐标向下移个单位长度， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2 坐标方法的简单应用 一、用坐标表示地理位置 1.建立平面直角坐标系：选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向。根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度。在坐标平面内画出地点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 2.注意事项：建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法。例如，可以借助于图形的某边所在直线为坐标轴等。建立平面直角坐标系的方法不唯一，所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标也不同。另外，应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定。 二、用坐标表示平移 1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）或（x-a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）或（x，y-b）。 2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。 3.平移规律：在坐标系内，左右平移的点的坐标规律是“右加左减”；上下平移的点的坐标规律是“上加下减”。平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。 巩固课内例1:坐标系中的方向问题 1．如图，货船A 与港口B 相距40海里，港口B 相对货船A 的位置可描述为（   ） A．南偏西方向，相距40海里处 B．北偏西方向，相距40海里处 C．北偏东方向，相距40海里处 D．北偏东方向，相距40海里处 2．如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警．请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置： ． 3．如图，一个小正方形的对角线长．表示横向的数为3，纵向的数为8的点． (1)请描出以下四个点 ①点西偏北方向处的点； ②点东偏北方向处的点； ③点东偏南方向处的点； ④点东偏北方向处的点． (2)顺次连接（1）中四个点得到四边形．请直接写出四边形的面积占整个图形面积的________． 巩固课内例2:坐标系中的平移问题 1．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得，则A点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 3．如图，将平行四边形先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，写出平移后平行四边形的四个顶点的坐标． 巩固课内例3:写出平移方式后求点的坐标 1．把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 2．如果点A，B的坐标分别为,，那么将点A向 平移 个单位得到点B． 3．在平面直角坐标系中，将，，，四个点用线段连接成一个图案，如图所示． (1)如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上4，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形； (2)如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去3，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？写出文字说明，并在图上画出图形． 类型一、用坐标表示位置 1．如图，若一号暗堡的坐标为，四号暗堡的坐标为，指挥部的坐标为，则指挥部可能在（   ） A．A处 B．B处 C．C处 D．D处 2．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 3．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)请在图中画出该学校平面示意图所在的平面直角坐标系； (2)办公楼的位置是，教学楼的位置是，请标出办公楼和教学楼的位置； (3)写出食堂，图书馆的坐标． 类型二、用方向角和距离确定位置 1．在平面内，下列说法不能确定物体位置的是（   ） A．北偏东 B．A区6号 C．东经，北纬 D．南大街16号 2．如图，货船与港口相距20海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，20海里）来描述，则港口相对货船的位置用有序数对描述为 ． 3．如图是一个飞机场的雷达屏幕，每两个相邻圆之间的距离是10千米． (1)飞机A在机场______偏______方向，距离是______千米； (2)飞机B在机场______偏南______方向，距离是______千米； (3)飞机C在机场南偏东，距离是50千米，请在平面上标出C的位置． 类型三、根据方位描述确定物体的位置 1．小明向大家介绍自己家的位置，下列表达最准确的是（   ） A．在学校的左边 B．在学校的西边 C．在学校西偏北处 D．在学校西偏北方向上，距学校 2．如图，一艘船B遇险后向相距50海里的救生船A报警．请用方向和距离描述遇险船B相对于救生船A的位置 ． 3．下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 类型一、已知图形的平移求点的坐标 1．已知的一个顶点A的坐标为，将沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度后，点A恰好落在原点上，则平移前点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，y轴右边的小蝌蚪是由左边的小蝌蚪平移以后得到的，左图案中小蝌蚪左、右眼睛的坐标分别为，，右图案中小蝌蚪左眼睛的坐标是，则右图案中小蝌蚪右眼睛的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，若把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出，并直接写出的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是（____，____）． 类型二、判断平移的方式 1．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 3．如图，将三角形平移后，三角形内任意一点的对应点为． (1)将三角形平移后，顶点，，的对应点分别为，，，在图中画出三角形； (2)若三角形外有一点经过同样的平移后得到点，则点坐标______． (3)在图中先确定线段的中点，再在边上确定一点，点不与点重合，连接，使． 类型三、求出平移后的线段及点的坐标 1．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点A与点C对应，若点，点，则 ． 3．在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示，把三角形平移后，三角形内任意点对应点为． (1)在图中，画出平移后的图形； (2)在三角形平移到三角形的过程中，线段扫过的面积为______； (3)在图中，用无刻度的直尺作图：在轴正半轴上找一点，使的面积为；（保留作图痕迹） 类型一、平移后的三角形 1．如图，三角形沿着x轴向右平移3个单位长度得到三角形，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，将三角形同样向左平移3个单位长度得到三角形．若点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点落在边长为1的正方形网格的格点上，点的坐标为，将三角形在水平方向上平移后得到三角形，且． (1)求三角形平移的距离； (2)将三角形向下平移4个单位长度，得到三角形，画出三角形和三角形，并求线段平移至的过程中扫过的面积． 类型二、平移后的四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在网格点上，将四边形平移使得点与点重合，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点,，连接，将向下平移5个单位得线段，其中点A的对应点为点C，连接．当将四边形的面积分成两部分时，那么点P的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，将四边形先向右平移7个单位长度，再向下平移3个单位长度得到四边形，点A、B、C、D的对应点分别为点、、、． (1)画出四边形，并写出点、的坐标； (2)求四边形的面积． 类型三、坐标中的规律问题 1．如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，……．按此规律，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ； （2）若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则158的位置是 3．已知点在平面直角坐标系上，规定：点先向右平移个单位长度后，再沿轴翻折得到点为第1次变换；点沿轴翻折得到点为第2次变换；点先向右平移1个单位长度后，再沿x轴翻折得到点为第3次变换；…依此规律进行下去． （1）点的坐标为 ． （2）点的坐标为 ． 1．下列描述中，能确定具体位置的是（   ） A．祖庙附近 B．教室第2排 C．北偏东 D．东经，北纬 2．已知四边形中，点的坐标为，平移四边形，使点的对应点的坐标为，则实现平移的方法可以是（   ） A．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 3．如图，在直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，得到的点坐标是 ． 5．太原地铁号线共设有个站点，连接了多个交通枢纽和商圈，为市民出行带来极大便利．如图将太原轨道交通线路图放入平面直角坐标系中，若“西客站”所在位置的坐标为，“郝家沟站”所在位置的坐标为，则“太原南站”所在位置的坐标为 ． 6．某班共有50名学生，在校广播操比赛中排成方阵，先把每名学生都进行编号，号码为1至50号，然后把各自的位置固定下来．如图，在平面直角坐标系中，每个编号都对应着一个坐标，例如1号的对应点是，3号的对应点是，16号的对应点是，那么编号是50号的学生的位置对应的坐标是 ．全校学生如果排成这样一个大方阵，编号是2025号的学生的位置对应的坐标是 ． 7．白银水川湿地公园是一处集自然风光和休闲娱乐于一体的国家4A级旅游景区．如图，这是湿地公园的部分简图，在图中建立平面直角坐标系，使曲桥的坐标为，南北主题广场的坐标为． (1)画出平面直角坐标系； (2)分别写出其他各地的坐标．（除曲桥和南北主题广场） 8．某公园有7个景区．如下图所示的是某些景区的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），点的坐标是，点位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)若点的坐标为，点的坐标为，请在坐标系中描出点； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点相对于点的位置． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，其中，满足． (1)求，两点的坐标； (2)将线段平移到，点的对应点为第三象限中的点．若三角形的面积为，求点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 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