9.1 用坐标描述平面内点的位置-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

9.1 用坐标描述平面内点的位置 一、平面直角坐标系的概念 平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。水平的数轴被称为x轴或横轴，其正方向通常设定为向右；竖直的数轴被称为y轴或纵轴，其正方向设定为向上；两坐标轴的交点被定义为原点。坐标平面被两条坐标轴划分为四个部分，称为象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 二、点的坐标 在平面直角坐标系中，任意一点P的坐标由其横坐标和纵坐标组成，记作(x,y)。其中，x是点P到y轴的距离（有正负之分，向右为正，向左为负），y是点P到x轴的距离（有正负之分，向上为正，向下为负）。平面直角坐标系内的每一个点都与一个唯一的有序数对相对应，反之亦然。 三、各象限点的坐标特征 第一象限：点的横坐标和纵坐标均为正数。 第二象限：点的横坐标为负数，纵坐标为正数。 第三象限：点的横坐标和纵坐标均为负数。 第四象限：点的横坐标为正数，纵坐标为负数。 四、特殊位置的点的坐标特征 1.两坐标轴夹角平分线上的点：位于第一、三象限角平分线上的点，其横坐标和纵坐标数值相等；位于第二、四象限角平分线上的点，其横坐标和纵坐标互为相反数。 2.平行于x轴、y轴的直线上的点：平行于x轴的直线上的点，其纵坐标保持一致；平行于y轴的直线上的点，其横坐标保持一致。 五、用坐标描述简单几何图形 在平面直角坐标系中，可以通过确定几何图形各个顶点的坐标来描述几何图形的位置。例如，可以描出四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D的坐标，并顺次连接，从而得到四边形ABCD。 巩固课内例1:在平面直角坐标系中描点 1．如图，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A．（4，﹣1） B．（﹣1，﹣4） C．（2，3） D．（﹣2，2） 【答案】D 【分析】先判断出小手盖住的点在第二象限，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：由图可知，小手盖住的点在第二象限， （4，﹣1），（﹣1，﹣4），（2，3），（﹣2，2）中只有（﹣2，2）在第二象限． 故选D． 【点睛】此题重点考查学生对平面直角坐标系的象限的理解，掌握平面直角坐标系每个象限的特点是解题的关键. 2．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，则描错的点的个数是 ．    【答案】1 【分析】本题主要考查了在坐标系中描点，根据坐标系中点的位置，结合点的坐标进行求解即可． 【详解】解：由题意得，四个点中只有点P描点错误，因为图中点P所描的点的坐标为， 故答案为：1． 3．四边形各个顶点的坐标分别为． (1)如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； (2)求这个四边形的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据坐标画出图形即可； （）过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点，利用计算即可； 本题考查了坐标与图形，四边形的面积，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交于点， 由图可知，， ． 巩固课内例2:在平面直角坐标系中画出几何图形 1．如图所示，正方形的边长为4，顶点A的坐标是，平行于x轴，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质、正方形的性质，解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系．根据正方形的边长为4，点A的坐标为，平行于x轴，可以得到点B的坐标，根据点B的坐标可以得到点C的坐标． 【详解】解： ∵点A的坐标为，平行于x轴， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：1， ∴点B的坐标为， 由题意，轴，， ∴点C的横坐标为：3，纵坐标为：， ∴点C的坐标为． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形综合，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握在平面直角坐标系中求图形的面积是解题的关键． 先求出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可：根据即可得解． 【详解】解：，，， ， ， 故答案为：． 3．知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查坐标与图形，掌握数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）先得出，再根据，进行求解即可； （2）设，根据列出方程，整理得，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P为x轴上的一点， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴或． 类型一、写出平面中的点的坐标 1．如图，平面直角坐标系中有一只蚂蚁从图示位置爬到A点，则A点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角坐标系，根据直角坐标系直接写出点A的坐标即可． 【详解】解：根据直角坐标系可得出A点的坐标是， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线l上的一点，则点Q的坐标可能是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，掌握平行于轴的直线上的点纵坐标相同是解题关键．由题意可知点的纵坐标为5，即可得到答案． 【详解】解：由坐标系可知，点的纵坐标为5， 即点Q的坐标可能是， 故答案为：（答案不唯一）． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点坐标为，点的坐标为．    (1)请在网格图中建立并画出平面直角坐标系，并写出点坐标为______； (2)求的面积； (3)点在线段上（点不与，重合），横坐标为，为整数，，直接写出点的坐标． 【答案】(1) 图见解析，的坐标为 (2)10 (3)或 【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，坐标与图形，三角形面积，解题的关键在于能够准确建立合适的平面直角坐标系． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据点坐标为，点的坐标为，的坐标为，即可得到结论； （3）先根据题意求出的值，可得到横坐标，根据点在线段上，可得到纵坐标． 【详解】（1）解：∵点坐标为， ∴平面直角坐标系如图所示：    由图可知：点的坐标为． （2）解：∵每个小正方形的边长为1，点坐标为，点的坐标为，的坐标为， ∴，边上的高为， ∴． （3）解：∵点坐标为，点的坐标为，点在线段上， ∴点的纵坐标为， ∵点横坐标为，为整数，， ∴的值为1或2，即点横坐标为1或2， ∴点横坐标为或． 类型二、判断点所在的象限 1．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据第一象限的点的坐标特征为，第二象限的点的坐标特征为，第三象限的点的坐标特征为，第四象限的点的坐标特征为，判断即可得解，熟练掌握各象限点的坐标特征是关键． 【详解】解：点所在的象限是第四象限． 故选：D． 2．已知，则点在第 象限。 【答案】二 【分析】本题考查点所在的象限、平方和算术平方根的非负性，解决本题的关键是熟练性质及点所在象限的特征．根据平方和算术平方根的非负性求出a、b的值，再判断P所在的象限． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴点P在第二象限． 故答案为：二． 3．已知点在轴的负半轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，正确掌握坐标轴上点的坐标特点是解题关键．根据x轴负半轴上点的坐标特点（横坐标小于0，纵坐标）可得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：点在轴的负半轴上， ，， 解得：， 故， 即点P的坐标为：． 类型三、象棋问题 1．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，解决问题的关键是确定原点的位置． 先根据“将”的位置确定原点的坐标，建立平面直角坐标系，从而可以确定“炮”的位置． 【详解】解：∵“将”位于点， ∴将点向右平移1个单位，向上平移2个单位，与原点重合，如图： ∴“炮”位于点， 故选：A． 2．中国象棋具有悠久的历史，战国时期就有关于象棋的记载．上图是经典残局“七星聚会”的一部分，如果“车”的位置表示为，“马”的位置表示为，那么“炮”的位置应表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，根据“车”的位置表示为，“马”的位置表示为，建立平面直角坐标系，进而得出“炮”的位置，正确得出原点的位置是解题关键． 【详解】∵“车”的位置表示为，“马”的位置表示为， ∴建立平面直角坐标系，如图所示， ∴“炮”的位置应表示为， 故答案为：． 3．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图．是中国象棋棋盘的一部分，若“帅”位于点，“炮”位于点上．    (1)请根据题目中所提供的信息，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出“兵”所在位置上点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根据点的位置求点的坐标，解题的关键是找到点所对应的横坐标和纵坐标，再写出点的坐标． （1）根据“帅”位于点，往左平移1个单位，往上平移1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系即可； （2）根据纵坐标在上用加法，横坐标在左用减法，即可求出“兵”的坐标， 【详解】（1）如图所示：可建立如下坐标系，    （2）解： “兵”在“炮”的上面一行，“炮”位于点上， “兵“的纵坐标是2， “兵”在“帅”的左面第二格上，“帅”位于点， “兵”的横坐标是， “兵”的坐标是， 类型一、点到坐标轴的距离 1．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查象限内点的坐标特征，熟知点的象限符号及点到坐标轴的距离定义是解答的关键．根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断点P坐标． 【详解】解：点P在第二象限， 点P横坐标为负，纵坐标为正， 点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2， 则点P的坐标为， 故选：D． 2．在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握：点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值．再结合第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数即可得出结论． 【详解】解：∵点位于第四象限，且点到轴和轴的距离分别为，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 3．已知点在第四象限，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点到轴的距离为3； (2)点的坐标为，且直线与轴平行． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标特征，熟练掌握点到坐标轴的距离和平行于轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据点到轴的距离为3，且点在第四象限，得出，即可求解； （2）根据平行于轴的直线上的点的坐标特征，得出点和点的横坐标相同，得出，即可求解． 【详解】（1）解：点在第四象限， ， 又点到轴的距离为3， ， 解得：， ， 点的坐标为． （2）解：直线与轴平行， 点和点的横坐标相同， 又，， ， 解得：， ， 点的坐标为． 类型二、已知点所在的象限求参 1．已知点在x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了在轴上的点的坐标特点，根据在轴上的点纵坐标为0求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．已知点的坐标为，且在第四象限内．若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标，根据点到两坐标轴的距离相等，且在第四象限内列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，且在第四象限内 ∴ ∴ 把代入得：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第一象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 【答案】(1) (2)点A的坐标为 【分析】本题考查了点的坐标特点，点到坐标轴的距离． （1）由题意列方程，解之可得答案； （2）根据点A到两坐标轴的距离和为9，列方程解得即可． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点A在第一象限，且到两坐标轴的距离和为9， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 类型三、坐标系中描点 1．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（　　）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】直接利用已知网格结合三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，可得出原点位置． 【详解】如图所示：    原点可能是D点． 故选D． 【点睛】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确建立坐标系是解题关键． 2．如图，在“笑脸”的“嘴巴”上找一格点，这一格点的坐标可以为 （写出一点即可）．    【答案】答案不唯一 【分析】本题考查了点的坐标，根据点的坐标的定义解答即可． 【详解】解：如图，在“笑脸”的“嘴巴”上找一格点，这一格点的坐标可以为，，，，等． 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 【答案】画图见解析，这个四边形的面积为 【分析】本题考查了坐标与图形，先描点，然后连线，分别过作轴交于点，通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，先描点，，，，然后连线， ∴四边形即为所求， 分别过作轴交于点， ∴ ． 类型一、建立平面直角坐标系求解 1．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据题意建立平面直角坐标系，得出答案即可，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴建立平面直角坐标系如图， ∴点的坐标为， 故选：C． 2．2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点 的坐标为，点 的坐标为，则点 的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． 根据点的坐标建立平面直角坐标系，再根据坐标系的特点写出点的坐标即可求解． 【详解】解：点 的坐标为，点 的坐标为，建立平面直角坐标系如图所示， ∴点 的坐标为， 故答案为： ． 3．如图，已知长方形的边长，，建立适当的平面直角坐标系，求点A，B，C，D的坐标． 【答案】，，，（答案不唯一）． 【分析】本题考查了坐标与图形，以点B为坐标原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，然后写出点A，B，C，D的坐标即可． 【详解】解：如图（答案不唯一）， ∵长方形的边长，， ∴，， ∴，，，． 类型二、坐标系中的三角形 1．三角形中，点和点的位置如图所示，点的位置正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有序数对表示位置，根据点和点的位置得出的位置为，即可求解． 【详解】解：，在同一条竖直的直线上， ，的横坐标相同，即的横坐标为， ，在同一条水平的直线上， ，的纵坐标相同，即的纵坐标为， 的位置为， 故选：A 2．如图，在的方格纸中建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为，在第一象限的格点上找到点C，使三角形的面积为6，则这样的点C共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的是直角坐标系中求面积的相关问题，解题的关键是求出三角形的高；根据三角形面积先求出三角形的高，进而根据题意得出答案． 【详解】解：∵三角形的底边，面积为6， ∴三角形的高为， ∴符合条件的点C如答图所示，共有4个， 故答案为：4． 3．如下图，在平面直角坐标系中，已知三点．若a，b，c满足关系式：． (1)求a，b，c的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使三角形的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在．点P的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）由（1），得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）存在． ∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 类型三、坐标系中的四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题为规律题，考查了平面直角坐标系点的特征，坐标点之间的距离，合理找出运动规律是解题的关键． 根据运动的方式求出运动路线的长度，找出规律即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴从点出发回到点所需要的线长为：， ∴， ∴绕四边形圈之后余个单位，即向一个单位， ∴细线的另一端所在位置的点的坐标是， 故答案为：． 2．如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标与图形的变换-平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．根据平移的性质得出四边形是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形的面积求得的长，即可求得C的坐标． 【详解】解：∵把线段沿轴向右平移得到， ∴四边形是平行四边形， ∴，A和C的纵坐标相同， ∵四边形的面积为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或． 【分析】此题考查了坐标与图形，算术平方根和平方的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据算术平方根和平方的非负性求出，，然后根据平方根的性质求出； （2）首先求出点M到x轴的距离为，然后根据结合三角形面积公式代入求解即可； （3）首先求出三角形的面积，然后分两种情况讨论：当点M在第四象限时和当点M在第一象限时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵a，b是同一个数的两个不相等的平方根 ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M在第四象限，点M的坐标为 ∴点M到x轴的距离为 ∴； （3）解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴三角形的面积 当点M在第四象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴； 当点M在第一象限时， ∵S等于三角形的面积 ∴ ∴ ∴ 综上所述，点M的坐标为或． 1．在平面直角坐标系中，点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，,， ∴点在第二象限． 故选：B． 2．若轴上的点到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标特征，在轴上的点的纵坐标为． 根据坐标轴上的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：轴上的点到轴的距离为5， 点的横坐标为或，纵坐标为， 点的坐标为或， 故选：C ． 3．如图，等边三角形的顶点，甲和乙皆同时由A出发，在三角形的边上做环绕运动，甲以1单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，乙以2单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则甲、乙运动过程中第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标、一元一次方程的应用，根据点的坐标和列一元一次方程即可求得结论，解决本题的关键是动点的运动规律． 【详解】解：等边的顶点，， ， 设甲、乙经过秒第一次相遇． 根据题意，得 ， 解得， 所以甲乙经过2秒第一次相遇， 此时相遇点是， 同理：第二次相遇点的坐标是， 第三次相遇点的坐标是， 第四次相遇点又回到点． ， 甲、乙第2025次相遇地点的坐标是点A， 故选：A． 4．方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立直角坐标系，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标规律是解答本题的关键．根据以点为原点重新建立直角坐标系，点的横坐标与纵坐标分别为点的横坐标与纵坐标的相反数解答． 【详解】解：以为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为， 那么若以点为原点建立平面直角坐标系，则点在点左3个单位，下4个单位处， 故点坐标为． 故答案为： 5．已知点，，且直线轴，则，两点间的距离为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了两点间的距离公式以及两条直线相交或平行问题，由直线轴结合点A、B的坐标，即可求出a值，从而可得出点A的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长度即可． 【详解】解：∵直线轴，，， ∴， 解得：， ∴点，点， ∴线段． 即，两点间的距离为7． 故答案为：7． 6．如图，点P从点出发，沿箭头所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹．已知反射线、入射线与水平线的夹角相等，则当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，动点的反弹与光的反射入射是一个道理，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，按照此规律解答即可． 【详解】解：如图所示： 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点， ∵， ∴当点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第3次反弹， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 7．如图，写出坐标系中各点的坐标．    【答案】，，，，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系； 根据平面直角坐标系和各点的位置可直接写出坐标． 【详解】解：由图得：，，，，，． 8．已知在平面直角坐标系中，点，，若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中点关于轴对称的坐标特征：横坐标互为相反数、纵坐标相等，由特征列方程求解即可得到答案，熟记平面直角坐标系中点关于轴对称的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点，，且点与点关于轴对称， ，， 解得，， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接，，，．    (1)写出点的坐标； (2)当三角形的面积是三角形的面积的倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系，一元一次方程的知识，解题的关键是掌握平移的性质，根据题意，列出方程，进行解答，即可． （1）根据平移的性质，得到线段平移的位置，即可； （2）过点作于点；过点作于点，根据平行公理，则，可得，分类讨论：当在线段上，若点在线段延长线上，进行计算，即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴线段向上平移个单位，向右平移个单位，且， ∴点． （2）解：过点作于点；过点作于点， ∵点在轴正半轴上， ∴设， 当三角形的面积是三角形的面积的倍时， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， 当在线段上， ∴， 解得； ∴； 若点在线段延长线上， ∴， 解得， ∴， 综上，点的坐标为或．    10．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中，满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； (3)在（）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）利用绝对值、偶次方的非负性即可求解； （）过点作轴于点，根据，，则，，故，然后利用即可求解； （）分当点在轴正半轴上时和当点在轴负半轴上时两种情况分析即可； 本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的面积，坐标与图形的性质等知识点，掌握知识点的应用及分类讨论和数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于点， 由（）得，，， ∴，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， 故点有两种情况： 当点在轴正半轴上时， 设点， 则， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当点在轴负半轴上时， 设点， ∵， ∴点在直线下方， ∴， ∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1 用坐标描述平面内点的位置 一、平面直角坐标系的概念 平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。水平的数轴被称为x轴或横轴，其正方向通常设定为向右；竖直的数轴被称为y轴或纵轴，其正方向设定为向上；两坐标轴的交点被定义为原点。坐标平面被两条坐标轴划分为四个部分，称为象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 二、点的坐标 在平面直角坐标系中，任意一点P的坐标由其横坐标和纵坐标组成，记作(x,y)。其中，x是点P到y轴的距离（有正负之分，向右为正，向左为负），y是点P到x轴的距离（有正负之分，向上为正，向下为负）。平面直角坐标系内的每一个点都与一个唯一的有序数对相对应，反之亦然。 三、各象限点的坐标特征 第一象限：点的横坐标和纵坐标均为正数。 第二象限：点的横坐标为负数，纵坐标为正数。 第三象限：点的横坐标和纵坐标均为负数。 第四象限：点的横坐标为正数，纵坐标为负数。 四、特殊位置的点的坐标特征 1.两坐标轴夹角平分线上的点：位于第一、三象限角平分线上的点，其横坐标和纵坐标数值相等；位于第二、四象限角平分线上的点，其横坐标和纵坐标互为相反数。 2.平行于x轴、y轴的直线上的点：平行于x轴的直线上的点，其纵坐标保持一致；平行于y轴的直线上的点，其横坐标保持一致。 五、用坐标描述简单几何图形 在平面直角坐标系中，可以通过确定几何图形各个顶点的坐标来描述几何图形的位置。例如，可以描出四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D的坐标，并顺次连接，从而得到四边形ABCD。 巩固课内例1:在平面直角坐标系中描点 1．如图，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A．（4，﹣1） B．（﹣1，﹣4） C．（2，3） D．（﹣2，2） 2．如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：，则描错的点的个数是 ．    3．四边形各个顶点的坐标分别为． (1)如下图，在平面直角坐标系中画出四边形； (2)求这个四边形的面积． 巩固课内例2:在平面直角坐标系中画出几何图形 1．如图所示，正方形的边长为4，顶点A的坐标是，平行于x轴，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，，，则三角形的面积为 ． 3．知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 类型一、写出平面中的点的坐标 1．如图，平面直角坐标系中有一只蚂蚁从图示位置爬到A点，则A点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，Q是直线l上的一点，则点Q的坐标可能是 ．（写出一个即可） 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点坐标为，点的坐标为．    (1)请在网格图中建立并画出平面直角坐标系，并写出点坐标为______； (2)求的面积； (3)点在线段上（点不与，重合），横坐标为，为整数，，直接写出点的坐标． 类型二、判断点所在的象限 1．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，则点在第 象限。 3．已知点在轴的负半轴上，求点的坐标． 类型三、象棋问题 1．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点（   ） A． B． C． D． 2．中国象棋具有悠久的历史，战国时期就有关于象棋的记载．上图是经典残局“七星聚会”的一部分，如果“车”的位置表示为，“马”的位置表示为，那么“炮”的位置应表示为 ． 3．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图．是中国象棋棋盘的一部分，若“帅”位于点，“炮”位于点上．    (1)请根据题目中所提供的信息，在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出“兵”所在位置上点的坐标． 类型一、点到坐标轴的距离 1．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是 ． 3．已知点在第四象限，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点到轴的距离为3； (2)点的坐标为，且直线与轴平行． 类型二、已知点所在的象限求参 1．已知点在x轴上，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知点的坐标为，且在第四象限内．若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为 ． 3．已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第一象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 类型三、坐标系中描点 1．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是（　　）    A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，在“笑脸”的“嘴巴”上找一格点，这一格点的坐标可以为 （写出一点即可）．    3．已知四边形的四个顶点分别是，，，．在直角坐标系中画出这个四边形，并求这个四边形的面积． 类型一、建立平面直角坐标系求解 1．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．2025年第九届亚洲冬季运动会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，若建立适当的平面直角坐标系，点 的坐标为，点 的坐标为，则点 的坐标为 ． 3．如图，已知长方形的边长，，建立适当的平面直角坐标系，求点A，B，C，D的坐标． 类型二、坐标系中的三角形 1．三角形中，点和点的位置如图所示，点的位置正确的是（     ）    A． B． C． D． 2．如图，在的方格纸中建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为，在第一象限的格点上找到点C，使三角形的面积为6，则这样的点C共有 个． 3．如下图，在平面直角坐标系中，已知三点．若a，b，c满足关系式：． (1)求a，b，c的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使三角形的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、坐标系中的四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ． 2．如图，点的坐标为，点在轴上，把线段沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在坐标轴上，其中 b，c满足，a，b是同一个数的两个不相等的平方根．点M的坐标为，且点M不在坐标轴上，以点O，A，C，M为顶点的四边形面积为S． (1)求a，b，c的值； (2)若点M在第四象限，用含m的式子表示S； (3)是否存在点M，使得S等于三角形的面积，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1．在平面直角坐标系中，点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．若轴上的点到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，等边三角形的顶点，甲和乙皆同时由A出发，在三角形的边上做环绕运动，甲以1单位长度/秒的速度沿顺时针方向运动，乙以2单位长度/秒的速度沿逆时针方向运动，则甲、乙运动过程中第2025次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为原点建立直角坐标系，则点的坐标是 ． 5．已知点，，且直线轴，则，两点间的距离为 ． 6．如图，点P从点出发，沿箭头所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹．已知反射线、入射线与水平线的夹角相等，则当点P第2025次碰到长方形的边时，点P的坐标为 ． 7．如图，写出坐标系中各点的坐标．    8．已知在平面直角坐标系中，点，，若点与点关于轴对称，求的值． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接，，，．    (1)写出点的坐标； (2)当三角形的面积是三角形的面积的倍时，求点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中，满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示三角形的面积； (3)在（）的条件下，当时，在轴上有一点，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$