专题03 切线问题-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第二册）

专题03 切线问题 黄慧群高中数学辅导资料 专题03 切线问题 一、知识填空： 1．基本初等函数的导数: （1） ，C为常数；（2） ，为常数； （3） ； （4） ． （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； 2． 导数的运算法则：已知，为可导函数，且. （1） ；（2） ，特别地， . （3） . 3．复合函数：一般地，设是关于的函数，是关于的函数，则 是关于的函数，称为函数和的复合函数． 4．复合函数的求导法则: 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 自检自纠：1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 2．（1）（2）,,（3） 3． 4． 二、专题训练： 题组一：知切点求斜率及切线方程 1．已知函数在处的切线方程为，则（     ） A．0 B． C． D． 2．已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 4．已知直线l与函数的图象在点处的切线平行，则直线l的斜率为（    ） A．0 B． C．2 D．1 5．已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（    ）. A． B． C． D． 6．函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 7．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 8．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 9．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 12．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 13．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 14．已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 15．若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（    ） A．3 B．2 C． D． 16．若直线与曲线相切于点，则下列说法错误的是（      ） A． B． C． D． 题组二：过某点的切线方程问题 1．已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象在点处的切线经过点，则（    ） A．1 B． C．e D． 3．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 4．过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 6．经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（   ） A． B． C． D．3 8．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 题组三：公切线问题 1．曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 2．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 5．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 6．直线与函数和的图象都相切，则（   ） A．2 B． C． D． 7．直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 8．若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．0或8 D．8 题组四：切线的综合应用 1．设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 2．设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 3．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线与轴交于点，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．已知函数存在对称中心，则在对称中心处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 6．设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10.已知，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 11．实数满足：，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．8 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．曲线在点处切线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 2．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 3．函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．2 4．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A．2 B．3 C．4 D． 5．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．曲线在处的切线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 7．设为可导函数，，则在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 8．函数存在与斜率为的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 11．过点作曲线（其中为自然对数的底数）的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 9．过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 11．过点作曲线（其中为自然对数的底数）的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 三、填空题 12．函数的图象在处的切线方程是，则 ． 13．曲线的一条切线的斜率为3，则该切线的方程为 ． 14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是 . 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$专题03 切线问题 黄慧群高中数学辅导资料 专题03 切线问题 一、知识填空： 1．基本初等函数的导数: （1） ，C为常数；（2） ，为常数； （3） ； （4） ． （5） ；（6） ； （7） ；（8） ； 2． 导数的运算法则：已知，为可导函数，且. （1） ；（2） ，特别地， . （3） . 3．复合函数：一般地，设是关于的函数，是关于的函数，则 是关于的函数，称为函数和的复合函数． 4．复合函数的求导法则: 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 自检自纠：1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 2．（1）（2）,,（3） 3． 4． 二、专题训练： 题组一：知切点求斜率及切线方程 1．已知函数在处的切线方程为，则（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在处的切线方程为，此时直线方程的斜率为， 所以.故选：B. 2．已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以， 所以曲线在点处切线的斜率为.故选：B. 3．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴函数的图象在点处的切线的斜率． 设函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则，∴．故选：D. 4．已知直线l与函数的图象在点处的切线平行，则直线l的斜率为（    ） A．0 B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】由函数，则，可得，所以直线l的斜率为1．故选：D. 5．已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，求导得，则切线的斜率为，因此过与垂直的直线斜率为1，方程为.故选：A 6．函数在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，故切线方程为，即.故选：B 7．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，求导得，则，因此曲线在点处的切线为，即.故选：D 8．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由求导得，则，而，所以所求切线方程为.故选：A 9．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，当时，，故曲线在处的切线方程为，即.故选：D. 10．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，所以该曲线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为，即．故选：C. 11．已知函数，则曲线在处的切线的斜率为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】∵，∴， ∴，即在处的切线的斜率为1.故选：C. 12．已知，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，∴．又，∴所求切线方程为，即．故选:C． 13．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知,所以，，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：B. 14．已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】，则，则，曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得.故选：C 15．若曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由，得，当时，，由，得， 曲线在点处的切线与在点处的切线平行，则，得.故选：A. 16．若直线与曲线相切于点，则下列说法错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，则，所以，解得，故ABC对，D错.故选：D. 题组二：过某点的切线方程问题 1．已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设切点坐标为，由，得，则过切点的切线方程为，把点代入切线方程得，，即，又，所以，则，则切点坐标为.故选：A 2．函数的图象在点处的切线经过点，则（    ） A．1 B． C．e D． 【答案】A 【详解】，故，故函数在点处的切线方程为， 由在这条直线上，则，解得．故选：A. 3．过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，设切点为，则切线斜率， 即切线方程为，又切线过点，则， 整理可得，解得或或，则切线斜率为或或， 故选：D． 4．过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，设切点为，则，所以，切线方程为，又过点，所以，整理得，所以，切线方程为，则.故选：C 5．若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】设切点为，由，所以，得，所以切线方程为，即．因为切线过点，所以，解得或，所以过点作曲线的切线可以作2条.故选：C 6．经过点所作曲线的切线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为.将代入，得.因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点所作曲线的切线有3条.故选：C. 7．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】因为，所以，设切点坐标为，所以，所以切线方程为，由切线方程过点，则，即，依题意得：关于的方程有两个不同的解，即关于的一元二次方程有两个不同的解，所以.故选：D. 8．已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，设过点的直线与曲线切于点，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，整理得，因为过点的切线有两条，所以方程有两不同实根，因此，解得或，即实数a的取值范围是.故选：B 9．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，由，求导得，则切线方程为：，而切线过点，于是，又，则，依题意，方程有且仅有两个不等实根，则，解得或，所以符合题意.故选：D 题组三：公切线问题 1．曲线与的公切线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，设切点坐标为，切线斜率为，可得切线方程为，即；因为，则，设切点坐标为，切线斜率为，可得切线方程为，即；由题意可得：，解得，所以公切线的斜率为.故选：A. 2．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由，得．设直线与曲线切于点，与曲线切于点，则，又，由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1，即的方程为．故选：B. 3．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，由，得.设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，故.又，解得，所以直线过点，斜率为1，即直线的方程为.故选：A 4．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的导数，令，则，所以曲线在处的切线方程为 ，即的导数，设直线与曲线切于点，则曲线在点处的切线方程为，即，所以解得．故选：D 5．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法1：由得，当时，，所以曲线在点处的切线方程为：，即.由，得，所以，解得，故选：D. 6．直线与函数和的图象都相切，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线与函数的切点为，则.设直线与函数的切点为，则.由；由，；由.由，所以.故选：D 解法2：由得，当时，，所以曲线在点处的切线方程为：，即.因为，所以，令，得，所以与曲线的切点为，由切点在切线得，解得，故选：D. 7．直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】对于，设切点为，求导得，则在该点处的斜率为，则切线方程为：，即，对于，设切点为，求导得，则在该点处的斜率为，则切线方程为：，即，因为是公切线，所以，即，所以，即， 所以，即或，解得或，当时，此时，，所以，当时，此时，，所以， 所以或，故选：C. 8．若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为由得在点处的切线斜率为，如果两条曲线存在公共切线，那么．又由斜率公式可得，由此得到，则有解，所以直线与函数的图象有交点即可．当直线与函数的图象相切时，设切点为，则，且，得，即有切点，此时，故实数a的取值范围是．故选：D． 9．已知曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点，则实数a的值是（    ） A． B．0 C．0或8 D．8 【答案】D 【详解】函数，求导得，则，因此曲线在点处的切线方程为，即，当时，曲线与直线平行，无公共点，则，曲线是对称轴为的抛物线，因此直线与曲线有且仅有一个公共点，当且仅当只有一个解，即有相等实根，于是，则.故选：D. 题组四：切线的综合应用 1．设函数满足，则曲线在处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题可得，曲线在处的切线斜率为， 令，则原式．故选：B. 2．设，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【详解】因为=，所以，则曲线在点处的切线斜率为， 故选：A 3．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，．解得，，在处的切线斜率为．又，函数在处的切线方程为，即．故选：C． 4．设曲线与轴的交点为，曲线在点处的切线与轴交于点，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】易知处切线的斜率为， 则，令，则，故点的横坐标为．故选：D. 5．已知函数存在对称中心，则在对称中心处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递增，当时，，单调递减，可得在处有极大值，在处有极小值，所以的取得极值的点的坐标为和，若函数存在对称中心，则点和的中点即为对称中心，所以对称中心坐标为，可得在中心处的切线的斜率为：，，所以在处的切线方程是，即.故选：D. 6．设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，因为是奇函数，只需偶数次幂的项系数为0即可，所以， 所以，，所以，即切点为，且，所以切线方程为，即，故选：B. 7．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，，所以在处切线的方程为，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故选：A 8．已知点是曲线上的一动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立得，则，所以直线与曲线不相交，因此当曲线在点处的切线与直线平行时，点到该直线的距离最小.因为，直线的斜率，所以，解得，则，所以到直线的距离最小，最小值为.故选：C 9．若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与直线平行的直线l的方程为，∴当直线l与曲线相切，且点Q为切点时，两点间的距离最小，设切点，所以，点直线l的方程为，两点间距离的最小值为平行线和间的距离，两点间距离的最小值为．故选：B 10.已知，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【详解】由，得，令，得，则，即， 所以，当且仅当时取等号.故选：D． 11．实数满足：，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．8 【答案】D 【详解】由，得，又，的最小值转化为 上的点与上的点的距离的平方的最小值，由，得，与平行的直线的斜率为1，，解得或（舍），可得切点为，切点到直线的距离的平方，即为的最小值，的最小值为．故选：D 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．曲线在点处切线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以曲线在点处切线的斜率为1，故选：A 2．若曲线在处的切线与直线平行，则a=（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 【答案】A 【详解】，于是切线的斜率，切线与直线平行，， ，时，，切点是，切线的斜率，故切线方程是：，即和直线重合，故，故选：A． 3．函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ） A．1 B．3 C．6 D．2 【答案】C 【详解】，则，则在点处的切线的斜率为，，则，则在点处的切线的斜率为，函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则，即，故选：C. 4．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【详解】由于函数的图象在点处的切线方程是，故，，故，故选：A. 5．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，函数定义域为，可得，此时，所以曲线在点处的切线方程为，即.故选：B. 6．曲线在处的切线方程为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【详解】的导数为，可得在处的切线斜率为，由切线方程为，可得，解得．故选：． 7．设为可导函数，，则在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由已知得，函数在点处的切线的斜率为．故选：C. 8．函数存在与斜率为的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数的定义域，且，因为函数存在斜率为的切线，即有解，即在有解，因为，可得，则，可得， 所以，即实数的取值范围是.故选：C. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】.当点是切点时，此时切线的斜率为：，所以切线方程为：；当点是不切点时，设切点为，即，此时切线的斜率为：， 所以切线方程为：，把点代入得：，，解得：，或舍去，所以切线方程为：，故选：BC 10．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设切点为，由，得，则过切点的切线方程为：，把代入，得，即， 令，则，则当时，，当时，，的增区间为与，减区间为，做出草图如下，因为过点且与曲线相切的直线有两条，则或，则或，故选：AC. 11．过点作曲线（其中为自然对数的底数）的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，则切线方程为，点代入得，可得，即方程有两个解，则由，可得或．故选：BCD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 9．过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】.当点是切点时，此时切线的斜率为：，所以切线方程为：；当点是不切点时，设切点为，即，此时切线的斜率为：， 所以切线方程为：，把点代入得：，，解得：，或舍去，所以切线方程为：，故选：BC 10．已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有两条，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】设切点为，由，得，则过切点的切线方程为：，把代入，得，即， 令，则，则当时，，当时，，的增区间为与，减区间为，做出草图如下，因为过点且与曲线相切的直线有两条，则或，则或，故选：AC. 11．过点作曲线（其中为自然对数的底数）的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，则切线方程为，点代入得，可得，即方程有两个解，则由，可得或．故选：BCD． 三、填空题 12．函数的图象在处的切线方程是，则 ． 【答案】1 【详解】∵在点处的切线方程为，∴，，∴．故答案为：1. 13．曲线的一条切线的斜率为3，则该切线的方程为 ． 【答案】 【详解】设切线的切点坐标为，，所以切点坐标为，所求的切线方程为.故答案为：. 14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是 . 【答案】或 【详解】由题设，令切线方程为，而，若切点为，则且，所以，故有两个不相等的实根，则，可得或.故答案为：或 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$