专题01 导数的概念及其意义-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第二册）

专题01 导数的概念及其意义 黄慧群高中数学辅导资料 专题01 导数的概念及其意义 一、知识填空： 1．平均速度与瞬时速度：一般地，设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为．如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当无限趋近于0时，的 是v，这时v就是物体在时刻时的瞬时速度，即瞬时速度． 2．割线斜率与切线斜率：设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝. 3．导数的概念及其意义： （1）导数：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为 ），记作 或y′|x＝x0，即f′（x0）＝lim ＝lim . （2）函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的 . 也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）. 相应的切线方程为 . （3）导函数：当x＝x0时，f′（x0）是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的 . y＝f（x）的导函数有时也记作y′，即f′（x）＝y′＝lim . 自检自纠：1．极限 2．切线， 3．（1）可导，瞬时变化率， f′（x0） （2）切线的斜率，y－y0＝f′（x0）（x－x0） （3）导函数 二、专项训练： 题组一：平均变化率 1．函数，自变量x由改变到（k为常数）时，函数的改变量为（    ）． A． B． C． D． 2．函数在到之间的平均变化率为 ． 3．过曲线上两点和作割线，当时，割线AB的斜率为 . 4．函数在[0，π]上的平均变化率为 A．1 B．2 C．π D． 5．（多选）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（    ） A．可以是正数也可以是负数，但不能为0 B．函数值的改变量为 C．函数在上的平均变化率为 D．函数在上的平均变化率 6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）如图显示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 题组二：导数的概念 1．设函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．6 2．设，则（    ） A．8 B． C． D． 3．若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在处可导，若，则（    ） A．22 B．11 C．-22 D．-11 5．设，则等于（    ） A． B． C． D． 6．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题组三：导数的意义 1．，在处切线方程为（　　） A． B． C． D． 2．设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（  ） A．10 B．3 C．6 D．8 3．已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．已知某质点的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 5．在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是（    ） A． B． C．13.1 D．3.3 6．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．在（1，2）内的平均变化率为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．曲线在点处的瞬时变化率为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．物体的运动位移方程是（的单位：；的单位：），则物体在的速度是（    ） A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s 4．已知是函数的导函数，且，则（    ） A．2 B．1 C． D． 5．设f(x)是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C．-1 D．-2 6．设是可导函数，且，则（   ） A． B． C．0 D．1 7．曲线在点处的切线方程为,那么, A． B． C． D．不存在 8．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（    ） A．B．C．D． 10．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（    ） A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同 D．在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同 11．已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（    ）   A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知函数在处可导，且则＝ ． 13．若函数在区间上的平均变化率为5，则 ． 14．一物体的运动方程为，且在时的瞬时速率为1，则 ． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01 导数的概念及其意义 黄慧群高中数学辅导资料 专题01 导数的概念及其意义 一、知识填空： 1．平均速度与瞬时速度：一般地，设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为．如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当无限趋近于0时，的 是v，这时v就是物体在时刻时的瞬时速度，即瞬时速度． 2．割线斜率与切线斜率：设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝. 3．导数的概念及其意义： （1）导数：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处 ，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为 ），记作 或y′|x＝x0，即f′（x0）＝lim ＝lim . （2）函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的 . 也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）. 相应的切线方程为 . （3）导函数：当x＝x0时，f′（x0）是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的 . y＝f（x）的导函数有时也记作y′，即f′（x）＝y′＝lim . 自检自纠： 1．极限 2．切线， 3．（1）可导，瞬时变化率， f′（x0） （2）切线的斜率，y－y0＝f′（x0）（x－x0） （3）导函数 二、专项训练： 题组一：平均变化率 1．函数，自变量x由改变到（k为常数）时，函数的改变量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由变化率的关系，.故选：D． 2．函数在到之间的平均变化率为 ． 【答案】 【详解】.故答案为： 3．过曲线上两点和作割线，当时，割线AB的斜率为 . 【答案】4.1 【详解】，所以当时，AB的斜率为4.1. 4．函数在[0，π]上的平均变化率为 A．1 B．2 C．π D． 【答案】C 【详解】平均变化率为.故选：C 5．（多选）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（    ） A．可以是正数也可以是负数，但不能为0 B．函数值的改变量为 C．函数在上的平均变化率为 D．函数在上的平均变化率 【答案】ABD 【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；故选：ABD 6．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的斜率分别为，则，， ，由题中图象知，即.故选:B 7．（多选）如图显示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（    ） A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】BC 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误,B正确；在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为，，所以，故C正确，D错误．故选：BC． 题组二：导数的概念 1．设函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．6 【答案】A 【详解】因为函数在处的导数为2，所以.故选：A. 2．设，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【详解】，故选A 3．若函数可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】．故选：C. 4．已知函数在处可导，若，则（    ） A．22 B．11 C．-22 D．-11 【答案】A 【详解】因为, 又，所以.故选：A. 5．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 6．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由导数的定义可得函数在处的导数可表示为.故选：C 题组三：导数的意义 1．，在处切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，令，∴即，∴在处切线方程为，即．故选：B． 2．设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（  ） A．10 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以，即，因此曲线在点处的切线的斜率为.故选：A. 3．已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】由点处的切线方程是可得：,时，,故,,故选：B 4．已知某质点的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以当t=4时，，所以该质点在末的瞬时速度为.故选：B 5．在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是（    ） A． B． C．13.1 D．3.3 【答案】B 【详解】由，得，当时，， 所以高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度，故选：B 6．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据导数的几何意义可得：为曲线在处切线的斜率，为曲线在处切线的斜率，过点的直线的斜率为：，由函数图象可知：.故选：B. 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．在（1，2）内的平均变化率为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】当时，，当时，，故平均变化率为，故选C. 2．曲线在点处的瞬时变化率为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，有.故选：B 3．物体的运动位移方程是（的单位：；的单位：），则物体在的速度是（    ） A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s 【答案】C 【详解】由物体运动速度为位移对时间的导数，即，∴时，m/s.故选：C. 4．已知是函数的导函数，且，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，即，所以.故选：C 5．设f(x)是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C．-1 D．-2 【答案】B 【详解】由题设，.故选：B 6．设是可导函数，且，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】，所以. 故选：D 7．曲线在点处的切线方程为,那么, A． B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】根据导数的几何意义,在处的导数，即在处切线的斜率,故.故选B 8．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别表示在点处切线的斜率,又，由图可知，故选：B. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T内完成房产供应量任务S．已知房产供应量S与时间t的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的（    ） A．B．C．D． 【答案】ACD 【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.则选项B满足条件，所以在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD选项，故选：ACD. 10．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（    ） A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同 C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同 D．在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同 【答案】ACD 【详解】A：在时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确； B：两条曲线在时刻切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，错误； C：在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是，正确； D：在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，显然不相等，正确． 故选：ACD． 11．已知函数的图象如图所示，若为的导函数，则下列关系正确的是（    ）   A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于AB，由图可知，，所以，A错B对；对于CD，由图可知，，所以C错D对.故选：BD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知函数在处可导，且则＝ ． 【答案】 【详解】根据题意，，变形可得，又由函数在处可导，则.故答案为：. 13．若函数在区间上的平均变化率为5，则 ． 【答案】3 【详解】函数在区间上的平均变化率为，解得. 故答案为：3. 14．一物体的运动方程为，且在时的瞬时速率为1，则 ． 【答案】1 【详解】因为，所以，令，可得．故答案为：1 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$