专题02 排列与排列数10考点复习指南-【题海探秘】2024-2025学年高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册）

2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题02 排列与排列数10考点复习指南 知识点01：排列 （1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.知识点02：排列数与排列数公式 （1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. （2）排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， （3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示. （4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示. 考点1 排列的定义 1．（2024高二·全国月考）下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 2．（2024高二·吉林长春月考）下面问题中，是排列问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 3．（2024高二·全国月考）给出下列问题： ①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？ ②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？ ③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？ 以上问题中，属于排列问题的是 ．（写出所有满足要求的问题序号） 4．（第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列）下列问题属于排列问题的是( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④      B．①②      C．③④      D．①③④ 考点2 排列的列举问题 5．（2024高二·上海月考）写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列． 6．（2024高二·全国月考）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有 种机票． 7．（2024高二·全国月考）请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 8．（2024高二·江苏月考）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数． 考点3 排列数的计算、化简与证明 9．（2024高二·福建·期末）可表示为（　　） A． B． C． D． 10．（2024高二·江苏月考）求不等式的解集． 11．（2024高二·河北张家口月考）可表示为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二·江苏月考） . 13．（2024高二·江苏月考）解不等式： 14．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)． 15．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（2024高二·江苏月考）求证： (1)； (2)． 17．（2024高二·陕西榆林·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二·全国月考）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 考点4 全排列问题 19．（2024高三·重庆渝中月考）某记者要去武汉4个医院采访，则不同的采访顺序有（　　） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 20．（2024高二·云南曲靖·期中）若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 考点5 元素（位置）有限制条件的排列问题 21．（2024·河南开封·模拟预测）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 22．（2024·四川乐山·模拟预测）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（   ） 4 A．70 B．120 C．140 D．144 23．（2024高三·浙江·期中）今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（    ） A．18 B．24 C．32 D．64 考点6 相邻问题 24．（2024高三·重庆沙坪坝月考）教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（    ） A．216种 B．384种 C．408种 D．432种 25．（2024高三·黑龙江鸡西·期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 26．（2024·河南·模拟预测）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 27．（2024高二·贵州毕节月考）高二年级组在一次考试后，年级总分排名前6名的同学站成一排照相，若排名为第一名与第二名的同学不站两端，第三名与第四名同学要站在一起，则不同站队方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 28．（2024高二·四川宜宾·期末）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·山西临汾·模拟预测）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种 30．（2024·广东韶关·模拟预测）现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）. 考点7 不相邻问题 31．（2024·山东·模拟预测）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．36 B．72 C．81 D．144 32．（2024·贵州铜仁·模拟预测）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种． A．144 B．72 C．36 D．24 33．（2024高三·四川成都月考）寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生，位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（    ） A． B． C． D． 34．（2024·陕西安康·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 考点8 相邻（不相邻）排列综合问题 35．（2024高二·重庆荣昌·期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 36．（2024高二·山西晋中·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： (1)5位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？ (2)5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ 37．（2024高二·上海浦东新·期中）有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果： (1)A，B两人不排在一起，有几种排法？ (2)C，D两人必须排在一起，有几种排法？ (3)E不在排头，F不在排尾，有几种排法？ 38．（2024高二·全国月考）4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数． (1)男生和女生均相邻； (2)男生均相邻； (3)女生均不相邻； (4)男生与男生、女生与女生均不相邻； (5)至少有两个女生相邻． 考点9 数字排列问题 39．（2024高二·上海普陀·期末）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中能被整除的数共有 个．（用数字作答） 40．（2024高二·全国月考）用可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？ 41．（2024高二·广东肇庆·期末）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数． (1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） (2)要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 42．（2024高二·全国月考）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？ 考点10 排列的综合应用 43．（2024·全国·模拟预测）某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（    ） A．54种 B．72种 C．96种 D．120种 44．（2024高二·上海月考）分别求下列情形的方法数：（用数字作答） (1)从4名男生4名女生中选出2男2女组成一个队伍； (2)8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起； (3)8个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻． 45．（2024高二·上海月考）3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： (1)甲不在最左边，乙不在最右边； (2)男生必须排在一起； (3)男生和女生相间排列； (4)在甲､乙两人中间必须有3人. 46．（2024高二·辽宁朝阳·期末）将0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则： (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个比13123大的数？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高二下学期数学同步考点复习指南（人教A版2019选择性必修第三册） 专题02 排列与排列数10考点复习指南 知识点01：排列 （1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. （2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 知识点02：排列数与排列数公式 （1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示. （2）排列数公式 ①（连乘形式）：，， ②（阶乘形式），， （3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示. （4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示. 考点1 排列的定义 1．（2024高二·全国月考）下列问题是排列问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？ C．集合的含有三个元素的子集有多少个？ D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D 【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可. 【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题； D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D 2．（2024高二·吉林长春月考）下面问题中，是排列问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 【答案】A 【分析】根据排列与排列数的定义，逐项判定，即可求解. 【解析】根据排列及排列数的定义，可得： 对于A中，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题； 对于B中，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于C中， 从100人中选2人抽样调查，与顺序无关的问题，不是排列问题； 对于D中， 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关的问题，不是排列问题. 故选：A. 3．（2024高二·全国月考）给出下列问题： ①有10位同学，每两人互通一次电话，共通了多少次电话？ ②有10位同学，每两人互写一封信，共写了多少封信？ ③有10位同学，每两人互握一次手，共握了多少次手？ 以上问题中，属于排列问题的是 ．（写出所有满足要求的问题序号） 【答案】② 【分析】根据排列的定义判断即可 【解析】对于①，假设10位同学中含甲乙，甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，故不是排列问题； 对于②，假设10位同学中含甲乙，甲给乙写一封信，跟乙给甲写一封信，是不一样的，是有顺序区别的，故属于排列问题； 对于③，假设10位同学中含甲乙，甲与乙握一次手，也就是乙与甲握一次手，没有顺序区别，故不是排列问题， 故答案为：② 4．（第六章计数原理6.2排列与组合6.2.1排列）下列问题属于排列问题的是( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．①④      B．①②      C．③④      D．①③④ 【答案】A 【解析】①从10个人中选2人分别去种树和扫地，与顺序有关，故是排列；②从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，故不是排列；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，故不是排列；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，与顺序有关，故是排列，故选：A. 考点2 排列的列举问题 5．（2024高二·上海月考）写出从a、b、c、d四个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【答案】所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc． 【分析】 根据排列的定义一一列举出来即可. 【解析】先画出下面的树形图：    于是可知，所有的排列是ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc． 6．（2024高二·全国月考）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有 种机票． 【答案】12 【分析】列举出机票的起点和终点的所有可能情况，即可得答案. 【解析】列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有： 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京， 南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种, 故答案为：12 7．（2024高二·全国月考）请列出下列排列： (1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列； (2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）根据排列的定义将所求排列逐一列出，做到不多不漏即可. 【解析】（1）根据题意，从4个不同元素中任取3个元素的所有排列共有如下种： . （2）从7个不同元素中任取2个元素的所有排列共有如下种： . 8．（2024高二·江苏月考）从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数，能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数． 【答案】18个，答案见解析. 【分析】根据给定条件，利用树形图列出符合要求的所有三位数，再写出所有三位数作答. 【解析】画出树形图，如图：    由树形图知，符合条件的三位数共有18个， 它们是102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. 考点3 排列数的计算、化简与证明 9．（2024高二·福建·期末）可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义可得出答案． 【解析】 ， 故选：B. 10．（2024高二·江苏月考）求不等式的解集． 【答案】 【分析】 由题设可得，化简整理，结合且求解集. 【解析】 由题设，则， 所以， 又且，则且， 所以且，则解集为. 11．（2024高二·河北张家口月考）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数定义即可求得可表示为 【解析】中 总共有个数连乘， 故. 故选：A 12．（2024高二·江苏月考） . 【答案】120 【分析】应用排列数公式整理化简求值即可. 【解析】由. 故答案为： 13．（2024高二·江苏月考）解不等式： 【答案】6 【分析】 根据排列数公式及不等式可得，进而求解集即可. 【解析】 由原不等式得且， 所以，即，解得且， 所以. 14．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)348； (2)64. 【分析】（1）（2）利用排列数公式直接计算作答. 【解析】（1）. （2）. 15．（2024高二·全国月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）根据排列数的计算公式，即可直接求解； （2）根据排列数的计算公式，即可直接求解； （3）根据排列数的计算公式，即可直接求解； （4）根据排列数的计算公式，即可直接求解； 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 16．（2024高二·江苏月考）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【解析】（1）证明：. （2）证明：. 17．（2024高二·陕西榆林·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可. 【解析】因为， 所以， 所以， 所以，又，， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：D. 18．（2024高二·全国月考）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【答案】(1)n=5 (2)x=8 【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果； （2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果. 【解析】（1）因为=2， 由，解得， 由原式可得，解得或或． 又因为，所以． （2）因为<6， 由，解得且， 由原不等式可得， 化简可得，解得， 又且，所以． 考点4 全排列问题 19．（2024高三·重庆渝中月考）某记者要去武汉4个医院采访，则不同的采访顺序有（　　） A．4种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】D 【分析】根据排列计算即可. 【解析】由题意可得不同的采访顺序有=24（种）， 故选：D. 20．（2024高二·云南曲靖·期中）若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（    ） A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 【答案】B 【分析】根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案. 【解析】“word”一共有个不同的字母， 这个字母全排列有种方法， 其中正确的有种，所以错误的有种. 故选：B 考点5 元素（位置）有限制条件的排列问题 21．（2024·河南开封·模拟预测）现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（    ） A．84 B．108 C．132 D．144 【答案】B 【分析】特殊位置优先排，分类求解可得. 【解析】当甲跑第1棒时，则有种选择方法； 当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有种选择方法，乙不参加比赛则有种选择方法． 故合适的选择方法种数为种． 故选：B 22．（2024·四川乐山·模拟预测）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（   ） 4 A．70 B．120 C．140 D．144 【答案】B 【分析】根据排列的知识求得正确答案. 【解析】比小的有，共个，从中选出个排在的右边和下方，方法数有种， 比大的有，共个，从中选出个排在的左边和上方，方法数有种， 所以不同的填法种数为种. 故选：B 23．（2024高三·浙江·期中）今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（    ） A．18 B．24 C．32 D．64 【答案】A 【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案. 【解析】若安排的人中没有甲，安排方法有种， 若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排， 则安排的方法有种， 所以总的方法数有种. 故选：A 考点6 相邻问题 24．（2024高三·重庆沙坪坝月考）教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（    ） A．216种 B．384种 C．408种 D．432种 【答案】D 【分析】由数学、语文不能同时安排在下午，分为数学（连堂）或语文（连堂）安排在下午、数学、语文都安排在上午，再应用分步计数及排列组合求不同的排课方式. 【解析】由题意，数学、语文不能同时安排在下午， 若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有种， 再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有种， 此时共有种； 若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有种， 再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课， 把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有种，其余三科全排有种， 此时共有种； 若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有种， 将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有种， 再把余下的三科安排在下午作全排有种， 此时共有种； 综上，共有种. 故选：D 25．（2024高三·黑龙江鸡西·期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（    ） A．720 B．960 C．1120 D．1440 【答案】B 【分析】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解. 【解析】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素， 先排除去丙的5个元素，共有种排法， 再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法， 所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种. 故选：B. 26．（2024·河南·模拟预测）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【分析】分别计算丙站在左端时和丙不站在左端时的情况，即可得到答案. 【解析】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有种站法； 当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排， 有种站法， 所以一共有种不同的站法． 故选：C 27．（2024高二·贵州毕节月考）高二年级组在一次考试后，年级总分排名前6名的同学站成一排照相，若排名为第一名与第二名的同学不站两端，第三名与第四名同学要站在一起，则不同站队方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用捆绑，先安排第一名与第二名，然后安排其他同学，由此计算出正确答案. 【解析】第三名与第四名同学要站在一起，将人捆绑， 相当于个人，中间有个位置，安排第一名与第二名， 所以不同站队方法的种数为. 故选：D 28．（2024高二·四川宜宾·期末）某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将与捆绑，然后要求在的左边，在的右边，结合倍缩法可得结果. 【解析】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故选：C. 29．（2024·山西临汾·模拟预测）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种 【答案】C 【分析】由题意可知：D站在前排，A站在后排，分E和F站在前排或后排，利用捆绑法结合排列数、组合数运算求解. 【解析】由题意可知：D站在前排，A站在后排， 若E和F站在前排，则不同的排列方式共有； 若E和F站在后排，则不同的排列方式共有； 所以不同的排列方式共有种. 故选：C. 30．（2024·广东韶关·模拟预测）现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，则共有 种不同的排法（用具体数字作答）. 【答案】24 【分析】法一：先将捆绑，再排除以外其他人，最后插空即可； 法二：先将捆绑，进行全排列，再减去在两边的情况. 【解析】法一：将捆绑，则除以外其他四人的排序有种，又不排在两边， 所以可选的位置有两种，所以共种排法； 法二：将捆绑，若的位置任意，则五人的排序有种， 其中排在两边的情况有种， 所以不排在两边的情况有种； 故答案为：. 考点7 不相邻问题 31．（2024·山东·模拟预测）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（    ） A．36 B．72 C．81 D．144 【答案】D 【分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案. 【解析】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法， 将4名男生排到3名女生之间的4个空位上， 故共有种不同的排法， 故选：D 32．（2024·贵州铜仁·模拟预测）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种． A．144 B．72 C．36 D．24 【答案】A 【分析】利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法求解即可. 【解析】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的具体排法有种方法，故不同的站法有种. 故选：A. 33．（2024高三·四川成都月考）寒冬己至，大雪纷飞，峨眉山顶银装素裹.成实外教育集团的5位学生相约一起爬山观景.其中位女生，位男生，在到达零公里时，为了安全起见，他们排队前进，为了照顾大家安全，位男生不能相邻，且女生甲怕猴子，不能排在最后一个，则不同的排法种数共有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 种类一：一位男生在最后，先排女生，再排另一位男生；种类二：女生在最后，先排女生，注意女生甲特殊，优先排列，最后男生插空，最后分类相加. 【解析】种类一：一位男生在最后，此时有种情况， 位女生全排列有种情况， 最后将剩余一位男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况， 所以共种情况； 种类二： 男生不相邻，可先排女生，又女生甲不在最后， 所以女生甲有种排法， 其他为女生有种排法， 最后男生插入女生所形成的个空中，且不在女生最后，共种情况， 共种情况； 综上所述，共种情况， 故选：A. 34．（2024·陕西安康·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】A 【分析】插空法，先排2，3，5，8四个数，再根据已知条件，分两类情况将剩下的两个1插空即可解答. 【解析】命题意图  本题考查排列与组合的应用． 解析  先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当． 第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法； 第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1， 有3种排法．所以密码个数为． 故选：A 考点8 相邻（不相邻）排列综合问题 35．（2024高二·重庆荣昌·期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【答案】(1)720种 (2)1440种 (3)960种． 【分析】（1）根据题意，由捆绑法，即可得到结果； （2）根据题意，由插空法，即可得到结果； （3）根据题意，结合捆绑法，插空法，代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法， 再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法， 故符合条件的排法共有种； （3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法， 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种． 36．（2024高二·山西晋中·期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： (1)5位同学站成一排，甲、戊不在两端有多少种不同的排法？ (2)5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ 【答案】(1)36； (2)24； 【分析】（1）先排两端，再排中间，根据分步乘法计数原理计算即可； （2）先将甲乙捆绑与戊排列，再用插空法排列丙丁，根据分步乘法计数原理计算即可； 【解析】（1）首先排两端，从甲、戊以外的3人中选出2人站两端，有种排法； 中间3个位置全排列，有种排法， 所以共有种排法． （2）首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法， 此时，共有3个空，丙丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种排法． 37．（2024高二·上海浦东新·期中）有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果： (1)A，B两人不排在一起，有几种排法？ (2)C，D两人必须排在一起，有几种排法？ (3)E不在排头，F不在排尾，有几种排法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【分析】（1）利用插空法可以求解； （2）利用捆绑法可以求解； （3）分两种情况讨论，①若E在排尾， ②若E不在排尾，分别求出排法种数，即可求得答案. 【解析】（1）先排除A，B外的四个人，再将A，B插入到其余4人所形成的5个空中， 因此，排法种数为； （2）将C，D两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排， 因此，排法种数为； （3）E不在排头，F不在排尾，分以下两种情况讨论： ①若E在排尾，则剩下的5人全排列，故有种排法； ②若E不在排尾，则E有4个位置可选，B有4个位置可选， 将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有种排法． 综上所述，共有种不同的排法种数． 38．（2024高二·全国月考）4名男生、3名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数． (1)男生和女生均相邻； (2)男生均相邻； (3)女生均不相邻； (4)男生与男生、女生与女生均不相邻； (5)至少有两个女生相邻． 【答案】(1)288 (2)576 (3)1440 (4)144 (5)3600 【分析】（1）利用相邻问题捆绑法，即可求出结果； （2）利用相邻问题捆绑法，再把男生当成一人，与女生全排即可求出结果； （3）先排男生有种，再利用不相邻问题插空法即可求出结果； （4）先排男生有种，再把女生插入3个空格处即可求出结果； （5）分两类：一类3个女生全相邻，二类是恰有2个女生相邻，分别求出两类的站法种数，再利用分类计算原理即可求出结果. 【解析】（1）因为男生和女生均相邻，将男生和女生分别看成一个整体，再进行全排，所以共有站法种数为种； （2）因为男生均相邻，将男生看成一个整体，再和其余女生进行全排，所以共有站法种数为种； （3）因为女生均不相邻，先将男生任意排列，再将女生插空，所以共有站法种数为种； （4）因为男生与男生、女生与女生均不相邻，将男女生相间排列，所以共有站法种数为种； （5）当3个女生全相邻，共有站法种数为种， 恰有2个女生相邻，共有站法种数为种， 所以至少有两个女生相邻，共有站法种数为种. 考点9 数字排列问题 39．（2024高二·上海普陀·期末）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中能被整除的数共有 个．（用数字作答） 【答案】 【分析】分析可知，个位数只能排或，其他数位没有限制，结合分步乘法计数原理可得结果. 【解析】由题意可知，个位数只能排或，其他数位没有限制， 因此，能被整除的五位数的个数为个. 故答案为：. 40．（2024高二·全国月考）用可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？ 【答案】可以组成个无重复数字的五位数；能被5整除的五位数有个. 【分析】根据排列数的计算公式以及题目的要求求得正确答案. 【解析】用可以组成个无重复数字的五位数. 若五位数的个位为，这样的五位数有个. 若五位数的个位为，这样的五位数有个. 所以其中能被5整除的五位数有个. 41．（2024高二·广东肇庆·期末）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数． (1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） (2)要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 【答案】(1)72 (2)48 【分析】（1）先从1，3，5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解； （2）先排好3和4：可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，然后其他数字全排即可求解. 【解析】（1）从1，3，5中选一个填入个位，有种， 剩余四个位置全排列，有种， 故共有个． （2）3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，有种， 其他位置进行全排列，有种， 故共有个． 42．（2024高二·全国月考）用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？ 【答案】360 【分析】偶数的个位数只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法计数原理即得解； 【解析】偶数的个位数只能是2、4、6，有种排法，其他位上有种排法， 由分步乘法计数原理，知共有四位偶数(个). 考点10 排列的综合应用 43．（2024·全国·模拟预测）某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（    ） A．54种 B．72种 C．96种 D．120种 【答案】A 【分析】根据题意分两种情况讨论： 当是最后一名，可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次； 当不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法计数原理可得. 【解析】根据题意可知和都没有得到冠军，且不是最后一名，分两种情况： ①是最后一名，则可以为第二、三、四名，即有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次， 有种情况，此时有种名次排列情况； ②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有种. 故选A． 44．（2024高二·上海月考）分别求下列情形的方法数：（用数字作答） (1)从4名男生4名女生中选出2男2女组成一个队伍； (2)8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起； (3)8个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先从名男生中选出名，然后再从名女生中选出名，分步相乘从而即可求解； （2）先把甲乙捆绑看成一个整体，再和其他人一起排列即可求解； （3）先把其他人排列，然后将甲乙丙三人插空，即可求解. 【解析】（1）先从先从名男生中选出名，有种方法， 再从名女生中选出名，有种方法， 所以共有种方法. （2）先把甲乙捆绑看成一个整体有种方法，再和其他人一起排列有种方法， 所以8个人排成一排，其中甲乙二人必须站在一起的方法为. （3）先把其他人排列共有种方法，再把甲乙丙三人插空有， 所以个人排成一排，甲乙丙三人互相不能相邻的方法为. 45．（2024高二·上海月考）3名男生､4名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数： (1)甲不在最左边，乙不在最右边； (2)男生必须排在一起； (3)男生和女生相间排列； (4)在甲､乙两人中间必须有3人. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用位置分析法，结合排列的知识即可得解； （2）利用捆绑法即可得解； （3）利用插空法即可得解； （4）利用分步乘法计数原理，结合排列的知识即可得解. 【解析】（1）依题意，先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排有种， 但应剔除其中乙在最右边的排法数种， 则符合条件的排法共有种. （2）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法， 再与其他元素进行全排列，有种排法， 故共有种. （3）先排好男生，然后将女生插入男生所形成的四个空位，共有种. （4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有种， 将甲、乙看作一个整体，和其余2人排成一排的排法有种， 最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可， 共有种. 46．（2024高二·辽宁朝阳·期末）将0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则： (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个比13123大的数？ 【答案】(1)60； (2)82. 【分析】（1）按个位数字是0和不是0分类，结合排列应用问题求解作答. （2）根据给定条件，按最高位数字是1和比1大分类，再利用排列应用问题求解作答. 【解析】（1）当个位数字为0时，可以组成个偶数； 当个位数字不为0时，可以组成个偶数； 所以可以组成个偶数. （2）所组成的比13123大的五位数，可以分为以下2类： 第一类：形如，共有个， 第二类：形如，共有个， 所以可以组成个比13123大的数. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$