19.3 课题学习 选择方案 讲义2024-2025学年人教版数学八年级下册

专题19.3 课题学习 选择方案 一、知识要点 在解决方案选择问题时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数知识。解决此类问题的基础是列出函数的解析式，关键是确定自变量的取值范围，自变量取值范围的确定往往与不等式(组)的知识相关。 （1）建立不同方案的函数关系，再通过比较函数值的大小确定最优方案； （2）建立方案的函数关系，再通过自变量的不同取值确定函数值的大小，从而选择最优方案； 方法总结：（1）根据函数图象判断方案选择问题，通过两直线的交点分成三部分比较； （2）利用一次函数解决方案选择、最优问题时，首先从实际问题中抽象出函数模型，再利用一次函数的性质，一次函数与方程、不等式的关系，一次函数的增减性来解决问题.同时，实际问题中一定要注意自变量的取值范围； 二、典例分析 例1.电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（　　） A．10元 B．15元 C．20元 D．30元 【解答】解：设A类标准缴费SA=kt+b,将（0，20），（100，30）代入得：，解得， ∴A类标准缴费SA=0.1t+20； 设B类标准SB=at,将点（100，30）代入得：30=100a,解得a=0.3，∴B类标准SB=0.3t； 当t=200时，SA=0.1×200+20=40，SB=0.3×200=60，∵60-40=20， ∴按这两类收费标准缴费的差为20元，故选：C． 例2.甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B．甲园的门票费用是60元 C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠 D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多 【解答】解：由图象可得，草莓优惠前的销售价格是150÷5=30（元/千克），故选项A正确； 甲园的门票费用是60元，故选项B正确；乙园超过5千克后，超过的部分价格是（元/千克），15÷30×100%=50%，故选项C正确； 若顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更少，故选项D错误；故选：D． 例3.某商场对顾客实行如下优惠方式：（1）一次性购买金额不超过1万元，不予优惠；（2）一次性购买金额超过1万元，超过部分9折优惠；某人第一次在该商场付款8000元，第二次又在该商场付款19000元，如果他一次性购买的话可以节省（　　） A．600元 B．800元 C．1000元 D．2700元 【解答】解：第一次购买付款8000元，可知没有得到打折优惠，第二次付款19000元，获得了打折优惠； 设如果不打折第二次应付x元，则10000+（x﹣10000）×0.9＝19000，解得：x＝20000， 故他一次性购买的话需要付款：10000+（28000﹣10000）×0.9＝26200元， 则可节省27000﹣26200＝800元．故选：B． 例4.某县园林局打算购买三角梅、水仙装点城区道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元． （1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？ （2）购买三角梅、水仙共10000盆，且购买的三角梅不少于3000盆，但不多于5000盆． ①设购买的三角梅种花a盆，总费用为W元，求W与a的关系式； ②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？ 【解题思路】（1）根据购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元，可以列出相应的二元一次方程组，解方程组即可得到三角梅、水仙的单价各为多少元； （2）①根据题意，可以写出W与m的关系式； ②根据①中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到使总花费最少的够花方案，并求出最少费用． 【解答】解：（1）设三角梅、水仙的单价分别为x元、y元， 根据题意得，解得，答：三角梅、水仙的的单价分别为4元、5元； （2）①由题意可得，W＝4a+5（10000﹣a），即W与a的关系式是W＝﹣a+50000（3000≤a≤5000）； ②∵W＝﹣a+50000，∴W随a的增大而减小，∵3000≤a≤5000，∴当a＝5000时，W取得最小值， 此时W＝45000，10000﹣a＝1000﹣5000＝5000， 答：当购买三角梅、水仙各5000盆时，总花费最少，最少费用为45000元． 例5.已知A地有蔬菜200t，B地有蔬菜300t，现决定将这些蔬菜全部调运给C，D两地，C，D两地分别需要调运蔬菜240t和260t．其中从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C地的蔬菜为x吨．设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案． 【解题思路】根据从B地运往C地的蔬菜为x吨，可以用含x的式子表示出运往各地的吨数，然后即可写出w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质和x的取值范围，即可得到总运费最小的调运方案， 【解答】解：设从B地运往C地的蔬菜为x吨，则从B地运往D地的蔬菜为（300﹣x）吨，从A地运往C地的蔬菜为（240﹣x）吨，从A地运往D地的蔬菜为（x﹣40）吨． w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200， 由题意得，，解得40≤x≤240， ∵w＝2x+9200，k＝2＞0，∴w随x的增大而增大， ∴当x＝40时，总运费w有最小值9280元，240﹣x＝200，x﹣40＝0，300﹣x＝260， 答：w与x之间的函数关系式是w＝2x+9200，总运费最小的调运方案是从A地运往C地200吨，B地运往C地40吨，B地运往D地260吨． 例6．某体育用品专卖店为了对某新品牌的羽毛球拍进行促销，推出两种优惠方案．方案一：买一支球拍赠送一打羽毛球；方案二，羽毛球x打（x≥20）供训练使用：按购买金额打九折付款，羽毛球每打售价10元，也可以两种方案混合购买．已知羽毛球拍每支售价60元，按哪种方案付款更合算．若专卖店允许以任意一种优惠方案购买． （1）写出每种优惠方案实际付款金额y（元）与 x（打）之间的函数关系式． （2）比较购买同样多的羽毛球，校羽毛球队欲购买球拍20支，请就购买球拍20支和羽毛球50打设计一种最省钱的购买方法． 【解析】解：（1）方案一：y1＝60×20+10（x﹣20）＝10x+1000； 方案二：y2＝（60×20+10x）×0.9＝9x+1080． （2）方案一：10×50+100＝1600（元）， 方案二：9×50+1080＝1530（元）， 两种方案买：20×60+（50﹣20）×10×0.9＝1470（元），∴用方案一买20支球拍，剩下的用方案二购买． 例7.某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费． （1）分别写出甲、乙两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式； （2）印制数量为多少时，两厂的费用相同？ （3）该学校选择哪家印刷厂印制《学生手册》比较合算？（直接写出结论即可） 【解析】解：（1）根据题意，得：y甲＝x+500；y乙＝2x． （2）令y甲＝y乙，则有：x+500＝2x，解得：x＝500．答：印制数量为500本时，两厂的费用相同． （3）当y甲＞y乙时，有x+500＞2x，解得：x＜500；当y甲＝y乙时，有x+500＝2x，解得：x＝500； 当y甲＜y乙时，有x+500＜2x，解得：x＞500． 综上所述：当0＜x＜500时，选乙印刷厂合算；当x＝500时，选择甲、乙两印刷厂均可；当x＞500时，选择甲印刷厂合算． 三、针对练习 1.如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，若通讯费用为62元，则B方案比A方案的通话时间多 分钟． 【解答】解：当x≥120时，设A方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系为y=kx+b, 把（120，30），（170，50）代入得：，解得， ∴y=0.4x-18，令y=62得62=0.4x-18，解得x=200，∴通讯费用为62元，A方案通话时间是200分钟； 当x≥200时，设B方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系为y=mx+n, 把（200，50），（250，70）代入得：，解得，∴y=0.4x-30， 令y=62得62=0.4x-30，解得x=230，∴通讯费用为62元，B方案通话时间是230分钟； ∴B方案比A方案的通话时间多30分钟；故答案为：30． 2．某通信公司的手机收费标准有两类．A类：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通信费按0.2元/min计．B类：没有月租费，但通话费按0.25元/min计． （1）分别写出A类、B类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式． （2）若每月平均通话时间为200min，你会选择哪类收费方式？ （3）每月通话多长时间，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？ 【解析】解：（1）A类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式为：y＝12+0.2x， B类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式为：y＝0.25x， 答：A类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式为：y＝12+0.2x，B类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式为：y＝0.25x， （2）若选择A类收费方式，把x＝200代入y＝12+0.2x得：y＝12+0.2×200＝52， 若选择B类收费方式，把x＝200代入y＝0.25x得：y＝0.25×200＝50， ∵52＞50，∴会选择B类收费方式， 答：会选择B类收费方式， （3）若所缴话费相等，12+0.2x＝0.25x，解得：x＝240， 答：每月通话240min，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等． 3.某大型商场为了提高销售人员的积极性，对原有的薪酬计算方式进行了修改，设销售人员一个月的销售量为x（件），销售人员的月收入为y（元），原有的薪酬计算方式y1元采用的是底薪+提成的方式，且y1＝k1x+b，已知每销售一件商品另外获得15元的提成修改后的薪酬计算方式为y2（元），且y2＝k2x+b，根据图象回答下列问题： （1）求y1和y2的解析式，并说明b的实际意义； （2）求两个函数图象的交点F的坐标，并说明交点F的实际意义； （3）根据函数图象请判断哪种薪酬计算方式更适合销售人员． 【解题思路】（1）根据函数图象中的数据可以求得y1和y2的函数关系式； （2）联立方程组，解方程组可得点F的坐标，根据题目条件可得F的实际意义； （3）根据（1）中的函数解析式和（2）中点F的坐标，即可解答本题． 【解答过程】解：（1）∵y1＝k1x+b的图象过点（0，3000），∴b＝3000， 又∵每销售一件商品另外获得15元的提成，∴k1＝15，∴y1＝15x+3000， ∵y2＝k2x+b的图象过点（100，3000），由图象可得b＝0，∴100k2＝3000，解得k2＝30，∴y2＝30x， ∴y1中b的实际意义为底薪为3000元，y2中b的实际意义为底薪为0元； （2），解得．∴F（200，6000）， ∴F点的实际意义是当销售200件商品时，两种薪酬计算方式所得薪酬相等为6000元；（3）结合函数图象可知，当0＜x＜200时，原有的薪酬计算方式更适合销售人员， 当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样． 当x＞200时，修改后的薪酬计算方式更适合销售人员。 4.A城有肥料400吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡镇，从A城运往C、D两乡镇肥料费为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡镇运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨，C乡镇需要肥料340吨，D乡镇需要肥料360吨．设A城运往C乡镇x吨肥料，请解答下列问题： （1）根据题意，填写下列表格： 城、乡/吨数 C D A x B （2）设总运费为W（元），求出W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求怎样调运可使总运费最少？最少为多少元？ 【解题思路】（1）根据题意，可以将表格补充完整； （2）根据题意和（1）中表格的数据，可以写出W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）根据（2）中函数关系式和一次函数的性质，可以得到怎样调运可使总运费最少，最少为多少元． 【解答过程】解：（1）根据题意，表格填写如下： 城、乡/吨数 C D A x 400﹣x B 340﹣x x﹣40 故答案为：400﹣x；340﹣x；x﹣40； （2）由题意可得，W＝20x+25（400﹣x）+15（340﹣x）+24（x﹣40）＝4x+14140， ∵340﹣x≥0且x﹣40≥0，∴40≤x≤340， 即W（元）与x（吨）的函数关系式是W＝4x+14140（40≤x≤340）； （3）∵y＝4x+14140，k＝4＞0，∴y随x的增大而增大， ∵40≤x≤340，∴当x＝40时，y取得最小值，此时y＝14300，400﹣x＝360，340﹣x＝300，x﹣40＝0， 答：从A城运往C乡40吨，运往D乡360吨；从B城运往C乡300吨，运往D乡0吨，此时总运费最少，总运费最小值是14300元． 5.草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓．若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润＝售价﹣进价），这两种盒装草莓的进价、标价如表所示： 价格/品种 A品种 B品种 进价（元/盒） 45 60 标价（元/盒） 70 90 （1）求这两个品种的草莓各购进多少盒； （2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？ 【解题思路】（1）根据某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓，按标价出售可获毛利润1500元和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出毛利润和购买A种草莓数量的函数关系式，然后根据水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒，可以得到相应的不等式，求出A种草莓数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少． 【解答过程】解：（1）设A品种的草莓购进x盒，B品种的草莓购进y盒， 由题意可得，，解得， 答：A品种的草莓购进30盒，B品种的草莓购进25盒； （2）设A品种的草莓购进a盒，则B品种的草莓购进（100﹣a）盒，毛利润为w元， 由题意可得，w＝（70﹣45）a+（90﹣60）×（100﹣a）＝﹣5a+3000， ∵k＝﹣5＜0，∴w随a的增大而减小， ∵水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒， ∴，解得20≤a≤33， ∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝﹣5×20+3000＝2900，100﹣a＝80， 答：当A品种的草莓购进20盒，B品种的草莓购进80盒时，才能使毛利润最大，最大毛利润是2900元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.3 课题学习 选择方案 一、知识要点 在解决方案选择问题时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数知识。解决此类问题的基础是列出函数的解析式，关键是确定自变量的取值范围，自变量取值范围的确定往往与不等式(组)的知识相关。 （1）建立不同方案的函数关系，再通过比较函数值的大小确定最优方案； （2）建立方案的函数关系，再通过自变量的不同取值确定函数值的大小，从而选择最优方案； 方法总结：（1）根据函数图象判断方案选择问题，通过两直线的交点分成三部分比较； （2）利用一次函数解决方案选择、最优问题时，首先从实际问题中抽象出函数模型，再利用一次函数的性质，一次函数与方程、不等式的关系，一次函数的增减性来解决问题.同时，实际问题中一定要注意自变量的取值范围； 二、典例分析 例1.电信公司手机的收费标准有A，B两类，已知每月应缴费用S（元）与通话时间t（分）之间的关系如图所示．当通话时间为200分钟时，按这两类收费标准缴费的差为（　　） A．10元 B．15元 C．20元 D．30元 例2.甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克 B．甲园的门票费用是60元 C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠 D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多 例3.某商场对顾客实行如下优惠方式：（1）一次性购买金额不超过1万元，不予优惠；（2）一次性购买金额超过1万元，超过部分9折优惠；某人第一次在该商场付款8000元，第二次又在该商场付款19000元，如果他一次性购买的话可以节省（　　） A．600元 B．800元 C．1000元 D．2700元 例4.某县园林局打算购买三角梅、水仙装点城区道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元． （1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？ （2）购买三角梅、水仙共10000盆，且购买的三角梅不少于3000盆，但不多于5000盆． ①设购买的三角梅种花a盆，总费用为W元，求W与a的关系式； ②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？ 例5.已知A地有蔬菜200t，B地有蔬菜300t，现决定将这些蔬菜全部调运给C，D两地，C，D两地分别需要调运蔬菜240t和260t．其中从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C地的蔬菜为x吨．设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案． 例6．某体育用品专卖店为了对某新品牌的羽毛球拍进行促销，推出两种优惠方案．方案一：买一支球拍赠送一打羽毛球；方案二，羽毛球x打（x≥20）供训练使用：按购买金额打九折付款，羽毛球每打售价10元，也可以两种方案混合购买．已知羽毛球拍每支售价60元，按哪种方案付款更合算．若专卖店允许以任意一种优惠方案购买． （1）写出每种优惠方案实际付款金额y（元）与 x（打）之间的函数关系式． （2）比较购买同样多的羽毛球，校羽毛球队欲购买球拍20支，请就购买球拍20支和羽毛球50打设计一种最省钱的购买方法． 例7.某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费． （1）分别写出甲、乙两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式； （2）印制数量为多少时，两厂的费用相同？ （3）该学校选择哪家印刷厂印制《学生手册》比较合算？（直接写出结论即可） 三、针对练习 1.如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，若通讯费用为62元，则B方案比A方案的通话时间多 分钟． 2．某通信公司的手机收费标准有两类．A类：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通信费按0.2元/min计．B类：没有月租费，但通话费按0.25元/min计． （1）分别写出A类、B类每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式． （2）若每月平均通话时间为200min，你会选择哪类收费方式？ （3）每月通话多长时间，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？ 3.某大型商场为了提高销售人员的积极性，对原有的薪酬计算方式进行了修改，设销售人员一个月的销售量为x（件），销售人员的月收入为y（元），原有的薪酬计算方式y1元采用的是底薪+提成的方式，且y1＝k1x+b，已知每销售一件商品另外获得15元的提成修改后的薪酬计算方式为y2（元），且y2＝k2x+b，根据图象回答下列问题： （1）求y1和y2的解析式，并说明b的实际意义； （2）求两个函数图象的交点F的坐标，并说明交点F的实际意义； （3）根据函数图象请判断哪种薪酬计算方式更适合销售人员． 4.A城有肥料400吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡镇，从A城运往C、D两乡镇肥料费为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡镇运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨，C乡镇需要肥料340吨，D乡镇需要肥料360吨．设A城运往C乡镇x吨肥料，请解答下列问题： （1）根据题意，填写下列表格： 城、乡/吨数 C D A x B （2）设总运费为W（元），求出W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求怎样调运可使总运费最少？最少为多少元？ 5.草莓是一种极具营养价值的水果，当下正是草莓的销售旺季．某水果店以2850元购进两种不同品种的盒装草莓．若按标价出售可获毛利润1500元（毛利润＝售价﹣进价），这两种盒装草莓的进价、标价如表所示： 价格/品种 A品种 B品种 进价（元/盒） 45 60 标价（元/盒） 70 90 （1）求这两个品种的草莓各购进多少盒； （2）该店计划下周购进这两种品种的草莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进草莓全部销售完毕（损耗忽略不计）．因B品种草莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2倍，且A品种不少于20盒．如何安排进货，才能使毛利润最大，最大毛利润是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$