19.2.3 一次函数与方程、不等式 讲义 2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2.3 一次函数与方程、不等式 第一部分 一次函数与方程（组）综合 一、知识要点 1、一次函数与一元一次方程的关系 由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值y为0时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 解一元一次方程 一次函数 当时，求的值 确定直线与轴交点的横坐标 2、一次函数与二元一次方程的关系 （1）每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. （2）解二元一次方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自変量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线的交点坐标. 解二元一次方程组 求一次函数 与图象的交点坐标 两条直线与相交 二、典例分析 例1.（1）如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是_________． （2）已知直线与的交点为，则方程组的解是__________． （3）两个关于x、y的一次函数和的图象的交点坐标为，则，． 例2.根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 例3.已知一次函数y＝kx+1与yx+b的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解． 例4.直线经过原点和点，直线经过点和点． （1）求及的函数关系式，并作出图象； （2）若两直线相交于M，求点M的坐标． 例5.在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线与直线的交点为整点时，求此时k的值． 例6.如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P， （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解； （3）求出图中△APB的面积． 三、针对练习 1.已知一次函数与的图象相交于点，则_______． 2.用图象法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象，如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ） A． B． C． D． 3.中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹（方阵）表示二元一次方程组的方法，发展到现代就是用矩阵式来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）．据此，则矩阵式所对应两直线交点坐标是 ． 4.一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？ 5.如图，直线y＝﹣2x+6与直线y＝mx+n相交于点M（p，4）． （1）求p的值； （2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； （3）判断直线y＝3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由． 6.学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题： （1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？ （2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？ （3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？ 第二部分 一次函数和不等式综合 一、知识要点 解一元一次不等式 或 一次函数 求当或时 的取值范围 当时，直线上的点在轴上方时，点在轴下方 解一元一次不等式 一次函数与，求当时的取值范围 以交点为界限，直线位于直线上方的那部分 一次函数和不等式的关系：（1）把不等式的每一边都看成函数；（2）函数值比大小，图象比高低，谁高谁就比较大；（3）注意求得是x的取值范围． 二、典例分析 例1.在同一直角坐标系中画出与的图象，通过观察图象，填空： （1）当x______时，，当x______时，； （2）当x______时，，当x______时，； （3）当x______时，，当x______时，； （4）当x______时，． 例2.（1）如图1，直线与x轴的交点为，则关于x的不等式的解集是__________． （2）如图2，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为__________． （3）如图3，直线经过和两点，则满足不等式组的x的取值范围为__________． 例3.一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c（d﹣b），其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 例4.已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k的取值范围是（　　） A．﹣2≤k≤1且k≠0 B．k≤﹣2 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 例5.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A． （1）求点A的坐标； （2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围； （3）已知直线l3：y3＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，直接写出k的取值范围． 例6.已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积． （3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围． 例7.如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y＝1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x． （1）分别求出k，b，m的值； （2）求S△ACD． 例8.如图，直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），且MN=5. （1）求直线MN的解析式； （2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集； （3）若点P在x轴上，且点P到直线y＝kx+b的距离为，直接写出符合条件的点P的坐标． 三、针对练习 1.如图，已知直线与直线的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①；②；③对于直线上任意两点，，若，则；④是不等式的解集．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 2.我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2 3.一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法： ①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3； ④d﹣b＝3（a﹣c）． 其中正确的有（　　） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 4.如图，直线经过点，． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线与直线AB相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，写出关于x的不等式的解集． 5.已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4） （1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合； （2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围； 6.如图，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P（a，2）． （1）求出不等式2x≤kx+3的解集； （2）求出△OAP的面积． 7.一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）． （1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是　 ； （2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1． ①求点B的坐标； ②求a的值． 8.已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C． （1）求点C的坐标； （2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集； （3）求△ADC的面积． 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数yx的图象交于点B（a，2）． （1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式； （2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数yx的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值； （3）直接写出关于x的不等式0x＜kx+b的解集． 10.已知一次函数y1＝﹣2x﹣3与y2x+2． （1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （2）根据图象，不等式﹣2x﹣3x+2的解集为 　； （3）求两图象和y轴围成的三角形的面积． 11.在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2． （1）求点B的坐标及k的值； （2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积； （3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第一部分 一次函数与方程（组）综合 一、知识要点 1、一次函数与一元一次方程的关系 由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值y为0时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 解一元一次方程 一次函数 当时，求的值 确定直线与轴交点的横坐标 2、一次函数与二元一次方程的关系 （1）每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线. （2）解二元一次方程组，从“数”的角度看，相当于考虑当自変量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少，从“形”的角度看，相当于确定两条直线的交点坐标. 解二元一次方程组 求一次函数 与图象的交点坐标 两条直线与相交 二、典例分析 例1.（1）如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是_________． （2）已知直线与的交点为，则方程组的解是__________． （3）两个关于x、y的一次函数和的图象的交点坐标为，则，． 【解答】（1）；（2）；（3），． 例2.根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【解答】解：（1）当x＝2时，y＝0，所以方程kx+b＝0的解为x＝2； （2）当x＝1时，y＝﹣1，所以代数式k+b的值为﹣1； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1． 例3.已知一次函数y＝kx+1与yx+b的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+1与yx+b的图象相交于点（2，5）， ∴5＝2k+1，52+b，解得：k＝2，b＝6，则kx+b＝0为：2x+6＝0，解得：x＝﹣3． 例4.直线经过原点和点，直线经过点和点． （1）求及的函数关系式，并作出图象； （2）若两直线相交于M，求点M的坐标． 【解答】（1）由题意得，直线经过原点和点， ∴，解得，∴， 同理，，解得，∴． 图略，都是直线，各自找两个点即可． （2）由题意得，，解得，∴交点． 例5.在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线与直线的交点为整点时，求此时k的值． 【解答】由题意得，，解得，∴交点 ∴只需保证为整数，∴将x的值分离常数得， ∴，故． 总结：一次函数的整点问题，整点问题分离常数．注意：这道题的易错点在于直线中，k是可以取0的． 例6.如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P， （1）求出两条直线的函数关系式； （2）点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解； （3）求出图中△APB的面积． 【解答】解：（1）设直线l1的解析式是y＝kx+b，已知l1经过点（0，3），（1，0）， 可得：，解得，则函数的解析式是y＝﹣3x+3； 同理可得l2的解析式是：y＝x﹣2． （2）点P的坐标可看作是二元一次方程组的解． （3）易知：A（0，3），B（0，﹣2），P（，）；∴S△APBAB•|xP|5． 三、针对练习 1.已知一次函数与的图象相交于点，则_______． 【解答】由题意得，，∴； 2.用图象法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象，如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ） A． B． C． D． 【解答】D． 3.中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹（方阵）表示二元一次方程组的方法，发展到现代就是用矩阵式来表示二元一次方程组，而该方程组的解就是对应两直线（不平行）a1x+b1y＝c1与a2x+b2y＝c2的交点坐标P（x，y）．据此，则矩阵式所对应两直线交点坐标是 ． 【解答】解：根据题意得：，①+②，得x＝2， 把x＝2代入①，得8﹣y＝3，解得：y＝5，所以方程组的解为， ∴两直线交点坐标是（2，5），故答案为：（2，5）． 4.一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？ 【解答】解：把（0，1）和（2，3）代入y＝kx+b得：，解得：k＝1，b＝1， 即y＝x+1，当y＝4时，x+1＝4，解得：x＝3，∴方程kx+b＝4的解为x＝3． 5.如图，直线y＝﹣2x+6与直线y＝mx+n相交于点M（p，4）． （1）求p的值； （2）直接写出关于x，y的二元一次方程组的解； （3）判断直线y＝3nx+m﹣2n是否也过点M？并说明理由． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+6经过点M（p，4），∴4＝﹣2p+6，∴p＝1． （2）由图象可知方程组的解为， （3）结论：直线y＝3nx+m﹣2n经过点M，理由如下： ∵点M（1，4）在直线y＝mx+n上，∴m+n＝4， ∴当x＝1，时，y＝3nx+m﹣2n＝m+n＝4，∴直线y＝3nx+m﹣2n经过点M． 6.学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题： （1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？ （2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？ （3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？ 【解答】解：（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知为30人； （2）由图象知：当有30人以下时，y1＜y2，所以选择甲旅行社合算； （3）由图象知：当有50人参加时，y1＞y2，所以选择乙旅行社合算； 第二部分 一次函数和不等式综合 一、知识要点 解一元一次不等式 或 一次函数 求当或时 的取值范围 当时，直线上的点在轴上方时，点在轴下方 解一元一次不等式 一次函数与，求当时的取值范围 以交点为界限，直线位于直线上方的那部分 一次函数和不等式的关系：（1）把不等式的每一边都看成函数；（2）函数值比大小，图象比高低，谁高谁就比较大；（3）注意求得是x的取值范围． 二、典例分析 例1.在同一直角坐标系中画出与的图象，通过观察图象，填空： （1）当x______时，，当x______时，； （2）当x______时，，当x______时，； （3）当x______时，，当x______时，； （4）当x______时，． 【解答】（1），；（2），；（3），；（4）． 例2.（1）如图1，直线与x轴的交点为，则关于x的不等式的解集是__________． （2）如图2，已知函数和的图象交点为P，则不等式的解集为__________． （3）如图3，直线经过和两点，则满足不等式组的x的取值范围为__________． 【解答】（1）；（2）；（3）画出直线的图象恰好过点，利用图象法解得． 例3.一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4；④a﹣c（d﹣b），其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【解答】解：由图象可得，对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确； a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确； 由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d，故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4，故③正确； 4a+b＝4c+d可以得到a﹣c（d﹣b），故④正确；故选：B． 例4.已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k的取值范围是（　　） A．﹣2≤k≤1且k≠0 B．k≤﹣2 C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3，当x＜2时，y1＞y2， ∴kx+3＞x﹣3，∴kx﹣x＞﹣6，∴k﹣1＜0且2且k≠0， 当k﹣1＜0时，2时，k≥﹣2， 所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0；当k＝1时，也成立， 故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0，故选：A． 例5.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A． （1）求点A的坐标； （2）当y1＞y2时，直接写出x的取值范围； （3）已知直线l3：y3＝kx+1，当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，直接写出k的取值范围． 【解题思路】（1）由直线l：y1＝x+1与直线l2：y2＝2x﹣2交于点A，故可联立方程组：得，故A（3，4）． （2）根据函数图象，可知：当y1＞y2时，x＜3． （3）当x＜3时，对于x的每一个值，都有y3＞y2，故当x＜3，y3﹣y2＞0恒成立，得1≤k≤2． 【解答】解：（1）由题意得：解得：∴A（3，4）． （2）如图，当y1＞y2时，x＜3． （3）当x＜3，y3＞y2恒成立，则x＜3，y3﹣y2＞0恒成立． ∵y3＝kx+1，y2＝2x﹣2，∴y3﹣y2＝（kx+1）﹣（2x﹣2）＝（k﹣2）x+3． ∴若x＜3，y3﹣y2＞0恒成立，则[（k﹣2）x+3]min＞0． 当k﹣2＝0，即k＝2，[（k﹣2）x+3]min＝3＞0． 当k﹣2＞0，即k＞2，[（k﹣2）x+3]min不存在． 当k﹣2＜0，即k＜2，[（k﹣2）x+3]min＝3（k﹣2）+3≥0，故k≥1．综上：1≤k≤2． 例6.已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积． （3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围． 【解题思路】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象以及点A坐标即可求解． 【解答】解：（1）解方程组，得，所以点A坐标为（1，﹣3）； （2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）； 当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）； ∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，∴△ABC的面积6×3＝9； 例7.如图，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）；直线y＝1﹣mx分别与x轴交于点C，与直线AB交于点D，已知关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x． （1）分别求出k，b，m的值； （2）求S△ACD． 【解题思路】（1）首先利用待定系数法确定直线的解析式，然后根据关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x得到点D的横坐标为，再将x代入yx+3，得：y，将x，y代入y＝1﹣mx求得m＝1即可； （2）先确定直线与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（﹣2，0），B（0，3）， ，解得：k，b＝3， ∵关于x的不等式kx+b＞1﹣mx的解集是x，∴点D的横坐标为， 将x代入yx+3，得：y，∴D（，）， 将x，y代入y＝1﹣mx，解得：m＝1； （2）如图，过点D作DH⊥AC于H，则DH 对于y＝1﹣x，令y＝0，得：x＝1，∴点C的坐标为（1，0）， ∴S△ACD•AC•DH[1﹣（﹣2）]． 例8.如图，直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4），且MN=5. （1）求直线MN的解析式； （2）根据图象，写出不等式kx+b≥0的解集； （3）若点P在x轴上，且点P到直线y＝kx+b的距离为，直接写出符合条件的点P的坐标． 【解题思路】（1）把点M、N的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值； （2）直线y＝kx+b在x轴及其上方的部分对应的x的取值范围即为所求； （3）作△OMN的高OA．根据三角形的面积公式求出OA，则点P的坐标是（0，0）；在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y＝kx+b的距离也为． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，4）， 所以，解得：，∴直线MN的解析式为：yx+4； （2）根据图形可知，当x≤3时，y＝kx+b在x轴及其上方，即kx+b≥0， 则不等式kx+b≥0的解集为x≤3； （3）如图，作△OMN的高OA． ∵S△OMNMN•OAOM•ON，∴OA，∴点P的坐标是（0，0）； 在x轴上作O关于M的对称点为（6，0），易得（6，0）到直线y＝kx+b的距离也为， 所以点P的坐标是（0，0）或（6，0）． 三、针对练习 1.如图，已知直线与直线的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①；②；③对于直线上任意两点，，若，则；④是不等式的解集．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【解答】C． 2.我们知道，若ab＞0．则有或．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2 D．x＜﹣0.5或x＞2 【解题思路】由若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则或，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集． 【解答】解：∵若ab＞0．则有或， ∴若不等式（kx+b）（mx+n）＞0，则或． 当，由图得：，此时该不等式无解． 当，由图得：，此时不等式组的解集为﹣0.5＜x＜2．综上：﹣0.5＜x＜2．故选：B． 3.一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法： ①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3； ④d﹣b＝3（a﹣c）． 其中正确的有（　　） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 【解答】解：由图象可得：对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确； 由于a＜0，d＜0，所以函数y2＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确， 由图象可得当x＜3时，一次函数y1＝ax+b图象在y2＝cx+d的图象上方， ∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③说法不正确； ∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，∴3a+b＝3c+d ∴3a﹣3c＝d﹣b，∴d﹣b＝3（a﹣c）．故④说法正确，故选：C． 4.如图，直线经过点，． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线与直线AB相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，写出关于x的不等式的解集． 【解答】（1）∵直线经过点，，∴，解方程得， ∴直线AB的解析式为； （2）∵直线与直线AB相交于点C， ∴解方程组，得，∴点C的坐标为． （3）． 5.已知一次函数y1＝ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D；另一个一次函数y2＝bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E，且两个函数的图象交于点A（1，4） （1）当a，b为何值时，y1和y2的图象重合； （2）当0＜a＜4，且在x＜1时，则y1＞y2成立．求b的取值范围； 【解题思路】（1）把A（1，4）代入y1＝ax+b求得a+b＝4，得到b＝4﹣a，于是得到结论； （2）根据题意列不等式即可得到结论； 【解答】解：（1）∵y1＝ax+b的图象过点A（1，4），∴a+b＝4，∴b＝4﹣a， ∴y1＝ax+（4﹣a），y2＝（4﹣a）x+a， ∵y1和y2的图象重合，∴a＝4﹣a，∴a＝2，b＝2； 即当a＝2，b＝2时，y1和y2的图象重合； （2）∵a+b＝4，如图1，∴a＝4﹣b，∴y1＝（4﹣b）x+b，y2＝bx+（4﹣b）， ∵0＜a＜4，0＜4﹣b＜4且x＜1时，y1＞y2成立，∴由图象得4﹣b＜b，∴2＜b＜4； 6.如图，直线l1：y＝2x与直线l2：y＝kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P（a，2）． （1）求出不等式2x≤kx+3的解集； （2）求出△OAP的面积． 【解题思路】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征先求出a的值，然后观察函数图象，写出直线y＝kx+3在直线y＝2x上方所对应的自变量的取值范围即可； （2）先求出直线l2的解析式，再求出A点坐标，然后利用三角形面积公式求解． 【解答】解：（1）把P（a，2）代入y＝2x得2a＝2，解得a＝1，则P（1，2）， 当x≤1时，2x≤kx+3，所以不等式2x≤kx+3的解集为x≤1； （2）把P（1，2）代入y＝kx+3得k+3＝2，解得k＝﹣1， 所以直线l2的解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0）， 所以△OAP的面积2×3＝3． 7.一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）． （1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是　 ； （2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1． ①求点B的坐标； ②求a的值． 【解题思路】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式kx+b＞0的解集； （2）①由题意可以求得k、b的值，然后将x＝1代入y1＝kx+b即可求得点B的坐标； ②根据点B也在函数y2＝﹣4x+a的图象上，从而可以求得a的值． 【解答】解：（1）∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上， ∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2； （2）①∵A（0，4），C（﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b上， ∴，得，∴一次函数y1＝2x+4， ∵不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1，∴点B的横坐标是x＝1， 当x＝1时，y1＝2×1+4＝6，∴点B的坐标为（1，6）； ②∵点B（1，6），∴6＝﹣4×1+a，得a＝10，即a的值是10． 8.已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C． （1）求点C的坐标； （2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集； （3）求△ADC的面积． 【解题思路】（1）根据点A的坐标利用待定系数法可求出直线AB的解析式，联立直线AB、CD的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点C的坐标； （2）根据直线AB、CD的上下位置关系结合点C的坐标，即可得出不等式2x﹣4＞kx+5的解集； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ADC的面积． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+5经过点A（5，0），∴5k+5＝0，解得：k＝﹣1， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5． 联立直线AB、CD的解析式成方程组，，解得：，∴点C的坐标为（3，2）． （2）观察函数图象可知：当x＞3时，直线y＝2x﹣4在直线y＝﹣x+5的上方， ∴不等式2x﹣4＞kx+5的解集为x＞3． （3）当y＝2x﹣4＝0时，x＝2，∴点D的坐标为（2，0）， ∴S△ACD（xA﹣xD）•yC（5﹣2）×2＝3． 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），且与正比例函数yx的图象交于点B（a，2）． （1）求a的值及一次函数y＝kx+b的解析式； （2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，且正比例函数yx的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C，求m的值； （3）直接写出关于x的不等式0x＜kx+b的解集． 【解题思路】（1）先确定B的坐标，然后根据待定系数法求解析式； （2）先求得C的坐标，然后根据题意求得平移后的直线的解析式，把C的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得M的值； （3）找出直线yx落在y＝kx+b的下方且在x轴上方的部分对应的x的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵正比例函数yx的图象经过点B（a，2）， ∴2a，解得，a＝﹣3，∴B（﹣3，2）， ∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，4），B（﹣3，2），∴，解得， ∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x+8； （2）∵一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C，∴C（﹣4，0）， ∵正比例函数yx的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后经过点C， ∴平移后的函数的解析式为yx﹣m，∴0（﹣4）﹣m，解得m； （3）∵一次函y＝kx+b与正比例函数yx的图象交于点B（﹣3，2）， 且一次函数y＝2x+8的图象与x轴交于点C（﹣4，0）， ∴关于x的不等式0x＜kx+b的解集是﹣3＜x＜0． 10.已知一次函数y1＝﹣2x﹣3与y2x+2． （1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （2）根据图象，不等式﹣2x﹣3x+2的解集为 　； （3）求两图象和y轴围成的三角形的面积． 【解题思路】（1）先求出直线y1＝﹣2x﹣3，y2x+2与x轴和y轴的交点，再画出两函数图象即可； （2）直线y1＝﹣2x﹣3的图象落在直线y2x+2上方的部分对应的x的取值范围就是不等式﹣2x﹣3x+2的解集； （3）根据三角形的面积公式求解即可． 【解答过程】解：（1）函数y1＝﹣2x﹣3与x轴和y轴的交点分别是（﹣1.5，0）和（0，﹣3）， y2x+2与x轴和y轴的交点分别是（﹣4，0）和（0，2）， 其图象如图： （2）观察图象可知，函数y1＝﹣2x﹣3与y2x+2交于点（﹣2，1）， 当x＜﹣2时，直线y1＝﹣2x﹣3的图象落在直线y2x+2的上方，即﹣2x﹣3x+2， 所以不等式﹣2x﹣3x+2的解集为x＜﹣2；故答案为x＜﹣2； （3）∵y1＝﹣2x﹣3与y2x+2与y轴分别交于点A（0，﹣3），B（0，2），∴AB＝5， ∵y1＝﹣2x﹣3与y2x+2交于点C（﹣2，1），∴△ABC的边AB上的高为2， ∴S△ABC5×2＝5． 11.在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1与y轴交于点C，直线y＝x+k（k≠0）与y轴交于点A，与直线y＝﹣2x+1交于点B，设点B的横坐标为﹣2． （1）求点B的坐标及k的值； （2）求直线y＝﹣2x+1、直线y＝x+k与y轴所围成的△ABC的面积； （3）根据图象直接写出不等式﹣2x+1＞x+k的解集． 【解题思路】（1）对于y＝﹣2x+1，计算自变量为﹣2时的函数值可得到B点坐标，然后把B点坐标代入y＝x+k可得到k的值； （2）先确定两直线与y轴的交点A、C的坐标，然后利用三角形面积公式求解； （3）观察函数图象，写出直线y＝﹣2x+1在直线y＝x+k上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则B（﹣2，5）． 把B（﹣2，5）代入y＝x+k得﹣2+k＝5，解得k＝7； （2）当x＝0时，y＝﹣2x+1＝1，则C（0，1）； 当x＝0时，y＝x+7＝7，则A（0，7），所以AC＝7﹣1＝6，所以S△ABC6×2＝6； （3）x＜﹣2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$