19.2.2 一次函数 讲义 2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2.2 一次函数 一、知识要点 1、一次函数的定义：一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数．当时，即为，所以正比例函数是特殊的一次函数． 2、一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移）． 3、一次函数图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点，与x轴交于点． 4、一次函数的性质： 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 一、三、四 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 二、三、四 5、一次函数的解析式 （1）待定系数法：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 （2）方法：因为两点确定一条直线，所以有两个已知的点，带入解析式中，通过解关于k、b的二元一次方程组确定k与b的值，就可以求出解析式．步骤：一设二代三解． （3）点斜式，斜率，让学生理解这种方法，并熟练使用，提升解题速率． 二、典例分析 例1.在下列函数中：①y＝﹣8x；②；③；④y＝﹣8x2+5；⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2.若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0 例3.当__________时，函数是一次函数． 例4.（1）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． （2）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　） A． B． C． D. （3）已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图像大致是（ ） （4）下列图像中，不可能是关于x的一次函数的图像的是（　　） （5）直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（　　） A． B．C．D． （6）如图，一次函数和正比例函数在同一坐标系的大致图像是（　 ） 例5.已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 例6.（1）已知一次函数为，其与x轴的交点坐标为__________，与y轴的交点坐标为__________． （2）已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 （3）如果直线经过一、三、四象限，那么直线经过第________象限；直线经过第__________象限． （4）如果一次函数不经过第一象限，那么ab______0． （5）一次函数不经过第一象限，则k的取值范围是__________． 例7.（1）若点，点是直线（k为常数）上的点，则m、n的大小关系是（　　）． A． B． C． D．无法确定 （2）在函数的图像上有、、三个点，则、、从小到大排列为___________． （3）三个一次函数、、在同一直角坐标系中的图象如图所示，分别为直线、、，则、、的大小关系是__________． 例8.已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设s＝a﹣2b，则s的取值范围是（　　） A． B．﹣3＜s≤3 C．﹣6＜s D． 例9.一次函数，当时，对应的y值为，求一次函数的解析式． 例10.如图，直线y＝kx+6与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标（8，0），点A的坐标为（6，0）．点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）． （1）求k的值； （2）在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式． （3）若△OPA的面积为，求此时点P的坐标． 例11.如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点． （1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围； （2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标． 三、针对练习 1.下列语句中，y与x是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系 （2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系； （4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系． A．1 B．4 C．3 D．2 2.函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3.函数y＝|x﹣2|的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4.如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ） 5.函数①和②在同一坐标系中的图象可能是（ ） 6.如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（　　） A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 7.如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是 ． 8.当______时，函数是一次函数． 9.如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn，如果△OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2021= ． 10.已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝（2﹣m）x+3图象上两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则m的取值范围为 ． 11.求下列一次函数解析式： （1）已知一次函数的图象经过和两点．则解析式为__________． （2）已知一次函数的图象经过和两点．则解析式为__________． （3）已知一次函数的图象经过和两点，则解析式为__________． （4）已知一次函数的图象经过和两点，则解析式为__________． 12.已知y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数． （1）求k的值； （2）求x＝3时，y的值； （3）当y＝0时，x的值． 13.已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时y的值是﹣1，当x＝﹣1时y的值是5． （1）求此一次函数的解析式； （2）若点P（m，n）是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2，求n的最大值． 14.已知一次函数，当时，对应的y值为．求kb的值． 15.已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（﹣2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）． （1）求这两个函数的解析式． （2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象． （3）求出△POQ的面积． 16.已知一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣2）．求 （1）当m，n为何值时，y值随x的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方？ （2）当m，n为何值时，此一次函数也是正比例函数？ （3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，设此一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，并求出△AOB的面积（O为坐标原点） 17.如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是，求点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2.2 一次函数 一、知识要点 1、一次函数的定义：一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数．当时，即为，所以正比例函数是特殊的一次函数． 2、一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移）． 3、一次函数图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点，与x轴交于点． 4、一次函数的性质： 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性） 一、二、三 从左向右 上升 y随x的增大而增大， y随x的减小而减小 一、三、四 一、二、四 从左向右 下降 y随x的增大而减小， y随x的减小而增大 二、三、四 5、一次函数的解析式 （1）待定系数法：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 （2）方法：因为两点确定一条直线，所以有两个已知的点，带入解析式中，通过解关于k、b的二元一次方程组确定k与b的值，就可以求出解析式．步骤：一设二代三解． （3）点斜式，斜率，让学生理解这种方法，并熟练使用，提升解题速率． 二、典例分析 例1.在下列函数中：①y＝﹣8x；②；③；④y＝﹣8x2+5；⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， y＝﹣8x，yx+1，y＝﹣0.5x﹣1符合一次函数解析式形式，∴一次函数有①②⑤，故选：C． 例2.若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2或0 【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数， ∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，解得：k＝0．故选：A． 例3.当__________时，函数是一次函数． 【解答】由定义可知：或，∴或． 例4.（1）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定）， ∴﹣a＞0，﹣c＜0，∴函数y＝﹣cx﹣a的图象经过二、一、四象限．故选：B． （2）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　） A． B． C． D. 【解答】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确； B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误； C、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误； D、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＜0，∴直线y2＝bx+a经过二、三、四象限，故D错误．故选：A． （3）已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图像大致是（ ） 【解答】B； （4）下列图像中，不可能是关于x的一次函数的图像的是（　　） 【解答】D； （5）直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（　　） A． B．C．D． 【解答】解：由题意知2k＜0，即k＜0，则k﹣2＜0，1﹣k＞0， ∴y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象经过第一，二，四象限，故选：A． （6）如图，一次函数和正比例函数在同一坐标系的大致图像是（　 ） 【解答】B． 例5.已知y﹣3与x+5成正比例，且当x＝﹣2时，y＜0，则y关于x的函数图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【解答】解：∵y﹣3与x+5成正比例，∴设y﹣3＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3． 当x＝﹣2时，y＜0，即﹣2k+5k+3＜0，整理得3k+3＜0，解得：k＜﹣1． ∵k＜﹣1，∴5k+3＜﹣2，∴y＝kx+5k+3的图象经过第二、三、四象限．故选：D． 例6.（1）已知一次函数为，其与x轴的交点坐标为__________，与y轴的交点坐标为__________． （2）已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）． A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 （3）如果直线经过一、三、四象限，那么直线经过第________象限；直线经过第__________象限． （4）如果一次函数不经过第一象限，那么ab______0． （5）一次函数不经过第一象限，则k的取值范围是__________． 【解答】（1），；（2）B（k和b同号）；（3）一、二、三，二、四； （4）．此题有两种情况：①，；②，； （5）由题意得，∴. 例7.（1）若点，点是直线（k为常数）上的点，则m、n的大小关系是（　　）． A． B． C． D．无法确定 （2）在函数的图像上有、、三个点，则、、从小到大排列为___________． （3）三个一次函数、、在同一直角坐标系中的图象如图所示，分别为直线、、，则、、的大小关系是__________． 【解答】（1）A； （2）； （3）． 例8.已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限，设s＝a﹣2b，则s的取值范围是（　　） A． B．﹣3＜s≤3 C．﹣6＜s D． 【解答】解：∵过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限， ∴a＞0，b≥0，将（2，3）代入直线y＝ax+b，3＝2a+b，b＝3﹣2a ∴，解得， s＝a﹣2b＝a﹣2×（3﹣2a）＝5a﹣6，a＝0时，s＝﹣6，a，s，故﹣6＜s．故选：C． 例9.一次函数，当时，对应的y值为，求一次函数的解析式． 【解答】①若，所以当时，；当时，； 则，解得，，； ②若，所以当时，；当时，； 则，解得，，． 例10.如图，直线y＝kx+6与x轴y轴分别相交于点E，F．点E的坐标（8，0），点A的坐标为（6，0）．点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点（点P不与点E，F重合）． （1）求k的值； （2）在点P运动的过程中，求出△OPA的面积S与x的函数关系式． （3）若△OPA的面积为，求此时点P的坐标． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+6与x轴交于点E，且点E的坐标（8，0）， ∴8k+6＝0，解得k，∴yx+6； （2）过点P作PD⊥OA于点D， ∵点P（x，y）是第一象限内的直线上的一个动点，∴PDx+6． ∵点A的坐标为（6，0），∴S6×（x+6）x+18； （3）∵△OPA的面积为，∴x+18，解得x， 将x代入yx+6得y，∴P（，）． 例11.如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点． （1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围； （2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标． 【解答】解（1）∵A（8，0），∴OA＝8， SOA•|yP|8×（﹣x+10）＝﹣4x+40，（0＜x＜10）． （2）当S＝10时，则﹣4x+40＝10，解得x，当x时，y10， ∴当△OPA的面积为10时，点P的坐标为（，）． 三、针对练习 1.下列语句中，y与x是一次函数关系的有（　　）个 （1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系 （2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系； （3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系； （4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系． A．1 B．4 C．3 D．2 【解答】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系，是一次函数； 圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数； 一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系，是一次函数； 某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数， 所以共3个一次函数，故选：C． 2.函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由函数y＝ax+b﹣2的图象可得：a＜0，b﹣2＝0，∴a＜0，b＝2＞0， 所以函数y＝﹣ax﹣b的大致图象经过第一、四、三象限，故选：C． 3.函数y＝|x﹣2|的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵y＝|x﹣2|≥0．∴选项A、D错误． 又∵函数图象经过点（2，0），∴选项B错误，选项C正确．故选：C． 4.如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ） 【解答】B； 5.函数①和②在同一坐标系中的图象可能是（ ） 【解答】D． 6.如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（　　） A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d 【解答】解：由图象可得：a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，且a＞b，c＞d，故选：B． 7.如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是 ． 【解答】解：∵y＝kx+x+k是一次函数，∴k+1≠0．故答案为：k≠﹣1． 8.当______时，函数是一次函数． 【解析】由且，得； 9.如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点A1，A2，A3，…，An；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，…，ln分别交于点B1，B2，B3，…，Bn，如果△OA1B1的面积记的作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2021= ． 【解答】解：由题意得：An（n，n），Bn（n，3n），∴AnBn＝3n﹣n＝2n，同理：An﹣1Bn﹣1＝2（n﹣1）， ∴，∴S2021＝2×2021﹣1＝4041，故答案为4041。 10.已知A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y＝（2﹣m）x+3图象上两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则m的取值范围为 ． 【解答】解：（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，即：或， 也就是，y随x的增大而减小，因此，2﹣m＜0，解得，m＞2，故答案为：m＞2． 11.求下列一次函数解析式： （1）已知一次函数的图象经过和两点．则解析式为__________． （2）已知一次函数的图象经过和两点．则解析式为__________． （3）已知一次函数的图象经过和两点，则解析式为__________． （4）已知一次函数的图象经过和两点，则解析式为__________． 【解答】（1）法一：设一次函数为，将点代入，，解得：，所以 ． 法二：，设一次函数为， 将任意一个点代入，可得，则解析式为：． （2）． （3）． （4）． 12.已知y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数． （1）求k的值； （2）求x＝3时，y的值； （3）当y＝0时，x的值． 【解答】解：（1）由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0，解得：k＝﹣1； （2）当x＝3时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9； （3）当y＝0时，0＝﹣2x﹣3，解得：x． 13.已知一次函数y＝kx+b，当x＝2时y的值是﹣1，当x＝﹣1时y的值是5． （1）求此一次函数的解析式； （2）若点P（m，n）是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2，求n的最大值． 【解答】解：（1）依题意得：，解得：， 所以一次函数的解析式是y＝﹣2x+3； （2）∵由（1）可得，y＝﹣2x+3，∴k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小， 又∵点P （m，n ） 是此函数图象上的一点，﹣3≤m≤2， ∴把m＝﹣3代入得出n的最大值是﹣2×（﹣3）+3＝9，即n的最大值是9． 14.已知一次函数，当时，对应的y值为．求kb的值． 【解析】由题意可得：将k分为两种情况： ①若，则当时，；当时，，则，解得，，； ②若，则当时，；当时，，则，解得，，； 综上所述，kb的值为14或． 15.已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P（﹣2，2），且一次函数的图象与y轴相交于点Q（0，4）． （1）求这两个函数的解析式． （2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象． （3）求出△POQ的面积． 【解答】解：设正比例函数解析式为y＝mx，一次函数解析式为y＝nx+4， 将（﹣2，2）代入可得2＝﹣2m，2＝﹣2n+4，解得：m＝﹣1，n＝1，∴函数解析式为：y＝﹣x；y＝x+4． （2）根据过点（﹣2.2）及（0，4）可画出一次函数图象，根据（0，0）及（﹣2，2）可画出正比例函数图象． （3）面积|OQ|•|P横坐标|2×4＝4． 16.已知一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣2）．求 （1）当m，n为何值时，y值随x的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方？ （2）当m，n为何值时，此一次函数也是正比例函数？ （3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，设此一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，并求出△AOB的面积（O为坐标原点） 【解题思路】（1）根据一次函数的性质结合一次函数单调递减，即可得出关于m、n的一元一次不等式，解不等式即可得出m、n的取值范围； （2）由此一次函数也是正比例函数，可得出关于m、n的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）代入m、n的值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A、B的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【解答过程】解：（1）∵y值随x的增大而减小，且与y轴交点在x轴下方， ∴6+3m＜0，解得m＜﹣2，n﹣2＜0，解得n＜2； （2）∵此一次函数也是正比例函数，∴n﹣2＝0且6+3m≠0，解得n＝2且m≠﹣2； （3）当m＝﹣1，n＝﹣2时，一次函数的解析式为y＝3x﹣4， 当x＝0时，y＝﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）； 当y＝0时，x，∴点A的坐标为（，0）．∴S△AOBOA•OB4． 17.如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是，求点P的坐标． 【解题思路】（1）把x＝0，y＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点OA、OB的值，然后根据三角形面积公式求得即可； （2）由B、A的坐标易求：OB＝3，OA．然后由三角形面积公式得到S△ABPAP•OB，则AP＝3，由此可以求得m的值 【解答过程】解：（1）由x＝0得：y＝3，即：B（0，3）． 由y＝0得：2x+3＝0，解得：x，即：A（，0），∴OA，OB＝3， ∴△AOB的面积：3； （2）由B（0，3）、A（，0）得：OB＝3，OA， ∵S△ABPAP•OB，∴AP，解得：AP＝3． ∴P点坐标为（1.5，0）或（﹣4.5，0）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$