19.2.1 正比例函数 讲义 2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2.1 正比例函数 一、知识要点 1、正比例函数的定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，叫正比例函数，k叫比例系数． 2、正比例函数的图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线. 3、正比例函数的图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点，与x轴交于点． 4、正比例函数的性质： 示意图（草图） 图象位置 变化趋势 性质（增减性） 经过原点和 第一、三象限 从左向右 上升 y随x的增大而增大 y随x的减小而减小 经过原点和 第二、四象限 从左向右 下降 y随x的增大而减小 y随x的减小而增大 二、典例分析 例1.下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S随半径r的变化而变化 B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的周长C随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 例2.下列各函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B．y=2x2 C．y=x-1 D． 例3.如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 例4.y﹣2与x成正比例，且x＝1时，y＝6，则y与x的关系式是（　　） A．y＝4x B．y＝6x C．y＝4x﹣2 D．y＝4x+2 例5.下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限（ ） A． B． C．（为常数） D． 例6.若x,y是变量，且是正比例函数，则k值为 ． 例7.若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m= ． 例8.已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值． 例9.若y＝y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9，当x＝3时y的值． 例10.已知y-2与3x-4成正比例函数关系，且当x=2时，y=3． （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）若点P（a,-3）在这个函数的图象上，求a的值； （3）若y的取值范围为-1≤y≤1，求x的取值范围． 三、针对练习 1.正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（　　）​ A. B. C. D. 2.正比例函数y=-2x的图象经过（　　） A．第三、一象限 B．第二、四象限 C．第二、一象限 D．第三、四象限 3.如图，在平面直角坐标系中有两条直线：，,对点作如下操作．第1步，作点A1关于的对称点A2；第2步，作A2关于的对称点A3；第3步，再作A3关于的对称点A4；第4步，再作A4关于的对称点A5…以此类推，问：点A6的坐标为（　　） A. B. C. D. 4.若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则m的值是（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．3 5.正比例函数y=ax的图象经过第一、三象限，则直线y=（-a-1）x经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 6.已知正比例函数y=kx,当x每增加1时，y减少2，则k的值为（　　） A. B. C.2 D.-2 7.在y=k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y=k1x和y=k2x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 8.已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为 ． 9.已知函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a= ． 10.若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则m的取值范围是__________． 11.已知（x1，x2）（x2，y2）在函数y=-6x的图象上，如果x1＜x2，那么y1 y2（填“＞”或“=”或“＜”）． 12. 在正比例函数y=kx（k≠0）中，当时，，那么k= ． 13.探究活动：探究函数y=|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整． （1）下表见y与x的几组对应值． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 3 m 1 0 1 2 3 … 直接写出m的值是 ． （2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（-2．m），然后画出该函数的图象． （3）观察图象，写出函数y=|x|的一条性质： ． 14.已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 15.已知y关于x的函数y=（2m+6）x+m-3，且该函数是正比例函数． （1）求m的值； （2）若点（a,y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2.1 正比例函数 一、知识要点 1、正比例函数的定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，叫正比例函数，k叫比例系数． 2、正比例函数的图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线. 3、正比例函数的图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点，与x轴交于点． 4、正比例函数的性质： 示意图（草图） 图象位置 变化趋势 性质（增减性） 经过原点和 第一、三象限 从左向右 上升 y随x的增大而增大 y随x的减小而减小 经过原点和 第二、四象限 从左向右 下降 y随x的增大而减小 y随x的减小而增大 二、典例分析 例1.下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S随半径r的变化而变化 B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的周长C随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 【解答】解：A．S与r2成正比，故选项A不符合题意；B．y=5-x不是正比例函数关系，故选项B不符合题意；C．是正比例函数关系，故选项C符合题意；D．Q=50-ks（k为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项D不符合题意；故选：C． 例2.下列各函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A． B．y=2x2 C．y=x-1 D． 【解答】解：A、，是正比例函数，故A符合题意；B、y=2x2，是二次函数，故B不符合题意；C、y=x-1，是一次函数但不是正比例函数，故C不符合题意；D、，是反比例函数，故D不符合题意；故选：A． 例3.如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．则b＞c＞a，即a＜c＜b．故选：D． 例4.y﹣2与x成正比例，且x＝1时，y＝6，则y与x的关系式是（　　） A．y＝4x B．y＝6x C．y＝4x﹣2 D．y＝4x+2 【解答】D； 例5.下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限（ ） A． B． C．（为常数） D． 【解答】D； 例6.若x,y是变量，且是正比例函数，则k值为 ． 【解答】解：∵根据正比例函数的定义，可得：k-2≠0，|k-1|=1，∴k=0． 例7.若y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，则常数m= ． 【解答】解：∵y＝（m+2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数， ∴m+2≠0，m2﹣4＝0，解得：m＝2．故答案为：2． 例8.已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值． 【解答】解：（1）根据题意：设y﹣1＝k（x+2）， 把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2），解得：k＝2． 则y与x函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5； （2）把点（m﹣1，m+1）代入y＝2x+5得：m+1＝2（m﹣1）+5， 解得m＝﹣2． 例9.若y＝y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9，当x＝3时y的值． 【解答】解：设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），∴y＝ax+k（x﹣3）． 由当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9可得，，解得：， ∴y与x之间的关系式为：y＝﹣x﹣2（x﹣3），即y＝﹣3x+6； ∴当x＝3时，y＝﹣3×3+6＝﹣3． 例10.已知y-2与3x-4成正比例函数关系，且当x=2时，y=3． （1）写出y与x之间的函数解析式； （2）若点P（a,-3）在这个函数的图象上，求a的值； （3）若y的取值范围为-1≤y≤1，求x的取值范围． 【解答】解：（1）设y-2=k（3x-4），将x=2、y=3代入，得：2k=1，解得k=， ∴y-2=（3x-4），即y=x； （2）将点P（a,-3）代入y=x,得：a=-3，解得：a=-2； （3）当y=-1时，x=-1，解得：x=，当y=1时，x=1，解得：x=，故≤x≤． 三、针对练习 1.正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（　　）​ A. B. C. D. 【解答】解：由图象知，函数值y随x的增大而增大，∴k＞0，∴k的值可能是，故选：A． 2.正比例函数y=-2x的图象经过（　　） A．第三、一象限 B．第二、四象限 C．第二、一象限 D．第三、四象限 【解答】解：由题意得k=-2＜0，∴图象经过第二、四象限．故选：B． 3.如图，在平面直角坐标系中有两条直线：，,对点作如下操作．第1步，作点A1关于的对称点A2；第2步，作A2关于的对称点A3；第3步，再作A3关于的对称点A4；第4步，再作A4关于的对称点A5…以此类推，问：点A6的坐标为（　　） A. B. C. D. 【解答】解：∵点,，,∴OA1=2， ∴点关于的对称点（0，2），关于的对称点（-2，0），关于的对称点, 同理：,,故选：A． 4.若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则m的值是（　　） A．2 B．-2 C．±2 D．3 【解答】解：∵函数是正比例函数，∴m2-3=1，解得m=±2， ∵图象经过第一、三象限，∴m+1＞0，∴m＞-1，∴m=2．故选：A． 5.正比例函数y=ax的图象经过第一、三象限，则直线y=（-a-1）x经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【解答】解：∵正比例函数y=ax的图象经过一、三象限，∴a＞0，∴-a-1＜0， ∴直线y=（-a-1）x经过第二、四象限，故选：C． 6.已知正比例函数y=kx,当x每增加1时，y减少2，则k的值为（　　） A. B. C.2 D.-2 【解答】解：∵正比例函数y=kx,当x每增加1时，y减少2，∴y-2=k（x+1），即y-2=kx+k, ∴k=-2．故选：D． 7.在y=k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y=k1x和y=k2x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在y=k1x中，y随x的增大而减小，∴k1＜0，∴函数y=k1x图象在二、四象限， ∵k1k2＜0，∴k2＞0，∴函数y=k2x的图象在一、三象限，故选：B． 8.已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为 ． 【解答】解：由题意，得25﹣m＝0，解得m＝25， 该函数的表达式为y＝25x，故答案为：y＝25x． 9.已知函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数，则a= ． 【解答】解：∵函数y＝2x2a+b+a+2b是正比例函数， ∴2a+b＝1，a+2b＝0，解得a，故答案为． 10.若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则m的取值范围是__________． 【解析】； 11.已知（x1，x2）（x2，y2）在函数y=-6x的图象上，如果x1＜x2，那么y1 y2（填“＞”或“=”或“＜”）． 【解答】解：函数y=-6x,k=-6＜0，y随x的增大而减小，∵x1＜x2，∴y1＞y2．故答案为：＞． 12. 在正比例函数y=kx（k≠0）中，当时，，那么k= ． 【解答】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）中，当时，， ∴，解得k=2．故答案为：2． 13.探究活动：探究函数y=|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整． （1）下表见y与x的几组对应值． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 3 m 1 0 1 2 3 … 直接写出m的值是 ． （2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（-2．m），然后画出该函数的图象． （3）观察图象，写出函数y=|x|的一条性质： ． 【解答】解：（1）当x=-2时，y=|-2|=2，∴m=2，故答案为：2． （2）如图： （3）由图象可知，图象关于y轴对称．故答案为：图象关于y轴对称． 14.已知，且y是关于x的正比例函数． （1）求y与x的函数关系式； （2）若x≤2，求函数y的最小值． 【解答】解：（1）∵，且y是关于x的正比例函数， ∴k2-3=1，k≠2，∴k=-2，∴y=-4x, （2）∵y=-4x中k=-4＜0，y随x的增大而减小，且x≤2， ∴当x=2时，函数有最小值，最小值为y=-8． 15.已知y关于x的函数y=（2m+6）x+m-3，且该函数是正比例函数． （1）求m的值； （2）若点（a,y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，请直接写出y1，y2的大小关系． 【解答】解：（1）∵函数y=（2m+6）x+m-3是正比例函数，∴，解得：m=3，∴m的值为3； （2）∵m=3，∴k=2m+6=2×3+6=12＞0，∴y随x的增大而增大， 又∵点（a,y1），（a+1，y2）在该函数的图象上，且a＜a+1，∴y1＜y2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$