19.1.1 变量与函数 讲义 2024-2025学年 人教版数学八年级下册

19.1.1函数与变量 一、知识要点 1、常量与变量的概念：在一些变化过程中，有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量；在一些变化过程中，有一种量，可以取不同数值的量，叫做变量． 2、函数的概念：在某一变化过程中，有两个量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，此时称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量． 例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量． 3、数学上表示函数关系的方法通常有三种： （1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，． （2）列表法：通过列表表示函数的方法． （3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 4、关于函数的关系式（解析式）的理解： （1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式． （2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如中x是自变量，y是x的函数． （3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示y是x的函数，若写成就表示x是y的函数． （4）求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式． 二、典例分析 例1.判断下列式子中，y是否是x的函数． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 例2.求下列函数中自变量的取值范围． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例3.“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的周长C与半径r的关系式为C=2πr,则其中的自变量是（　　） A．半径r B．周长C C．2 D．π 例4.如图（单位cm），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为y cm,则y与x满足的关系式是（　　） A．y=2x+1 B．y=x+4 C．y=x+2 D．y=x+3 例5.某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（x＞4），则应付款y与商品件数x的关系式为（　　） A．y=24x B．y=24x+2 C．y=24x+20 D．y=24x+22 例6.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是1，若输入x的值是7，则输出y的值是（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 例7.（1）下图分别给出了变量与之间的对应关系，是的函数的图象是（ ） （2）下面的曲线不表示y是x的函数的是（ ）． （3）如图，在等边中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的 函数关系的图象是（　　） 例8.（1）三角形的周长是y cm，三边长分别为4cm，6cm，x cm，则以x为自变量表示y的函数关系式为__________，自变量x的取值范围是__________． （2）矩形周长为30，则面积y与一条边长x之间的函数关系式为__________ ． （3）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12立方米，按每立方米2元收费；若超过12立方米，则超过部分每立方米按4元收费，某户居民五月份交水费y（元）与用水量x（立方米）（）之间的关系式为__________，若该月交水费元，则这个月的实际用水__________立方米． 例9.一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米（0＜x＜10），则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是__________． 例10.在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是_______ ___，因变量是_______ ___． （2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为__________cm；不挂重物时，弹簧的长度为__________cm. （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 三、针对练习 1.某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：y=0.3x+6（0≤x≤5），则下列说法错误的是（　　） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当y=7.2时，x=4.5 D．当x=1时，y=6.3 2.如图，在长方形ABCD中，AB=5cm,BC=7cm,点P是边BC上的动点（不与点C重合），点Q是边AD上任意一点．点P从点B向点C以3cm/s的速度运动．则△QPC的面积S（cm2）与点P的运动时间x（s）间的表达式为（　　） A． B． C. D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 3.一个圆形零件的面积S与半径r的函数关系式为S=πr2，下面关于常量和变量的表述正确的是（　　） A．常量是1，变量是S B．常量是π，变量是S C．常量是1，变量是S，π D．常量是π，变量是S，r 4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，p随V的变化情况如表所示，那么在这个温度下，可以反映p与V之间关系的式子是（　　） V（单位：立方米） … 64 48 38.4 32 24 … p（单位：千帕） … 1.5 2 2.5 3 4 … A．p=96V B．p=48V C．pV=96 D．pV=48 5.下列各图中，是函数图象的是（　　） 6.下列图形中的曲线不表示y是的函数的是（ ）． 7.若定义f（x）＝3x﹣2，如f（﹣2）＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8．下列说法中：①当f（x）＝1时，x＝1；②对于正数x，f（x）＞f（﹣x）均成立；③f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0；④当且仅当a＝2时，f（a﹣x）＝a﹣f（x）．其中正确的是　 　．（填序号） 8.“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地面的高度上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小深对某地某一时距离地面的高度h与温度t测量得到的表格．写出t随h变化的关系式　 　． 距离地面高度（km） 0 1 2 3 4 … 温度（℃） 20 14 8 2 -4 … 9.如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为　 ． 10.判断下列式子中y是否是x的函数，若是，请指出自变量x的取值范围． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 11.一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化 （1）在上述变化过程中，自变量是　 　；因变量是　 　． （2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程x（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量y（升） 　 　　 40 　 　　 24 （3）试写出y与x的关系式　 　． （4）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.1.1函数与变量 一、知识要点 1、常量与变量的概念：在一些变化过程中，有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量；在一些变化过程中，有一种量，可以取不同数值的量，叫做变量． 2、函数的概念：在某一变化过程中，有两个量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，此时称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量． 例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量． 3、数学上表示函数关系的方法通常有三种： （1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，． （2）列表法：通过列表表示函数的方法． （3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 4、关于函数的关系式（解析式）的理解： （1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式． （2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如中x是自变量，y是x的函数． （3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示y是x的函数，若写成就表示x是y的函数． （4）求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式． 二、典例分析 例1.判断下列式子中，y是否是x的函数． （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【解答】（1）（2）（3）（4）（6）（8）中，y是x的函数；（5）（7）中，y不是x的函数． 例2.求下列函数中自变量的取值范围． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解答】（1）x为任意实数；（2）；（3），且；（4）； （5）由，解得； （6）由，解得，且． 例3.“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的周长C与半径r的关系式为C=2πr,则其中的自变量是（　　） A．半径r B．周长C C．2 D．π 【解答】解：∵在C=2πr中，周长C随着半径r的变化而变化， ∴半径r是自变量，周长C是因变量，2和π分别为常数，∴A符合题意，BCD不符合题意．故选：A． 例4.如图（单位cm），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x个，盘子摞在一起的厚度为y cm,则y与x满足的关系式是（　　） A．y=2x+1 B．y=x+4 C．y=x+2 D．y=x+3 【解答】解：设解析式为y=kx+b,由题意得：,解得：，故选：C． 例5.某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（x＞4），则应付款y与商品件数x的关系式为（　　） A．y=24x B．y=24x+2 C．y=24x+20 D．y=24x+22 【解答】解：由题意得：打8折优惠的钱数为（30x-100）元， ∴应付款y与商品件数x的关系式为：y=100+0.8（30x-100），y=100+24x-80，y=24x+20，故选：C． 例6.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是1，若输入x的值是7，则输出y的值是（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【解答】解：若输入x的值是2，则输出y的值是1，∴1=-2×2+b,解得b=5， ∴当x=7时，，故选：B． 例7.（1）下图分别给出了变量与之间的对应关系，是的函数的图象是（ ） （2）下面的曲线不表示y是x的函数的是（ ）． （3）如图，在等边中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的 函数关系的图象是（　　） 【解答】（1）C，对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一对一的关系即可判断；（2）B；（3）B． 例8.（1）三角形的周长是y cm，三边长分别为4cm，6cm，x cm，则以x为自变量表示y的函数关系式为__________，自变量x的取值范围是__________． （2）矩形周长为30，则面积y与一条边长x之间的函数关系式为__________ ． （3）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12立方米，按每立方米2元收费；若超过12立方米，则超过部分每立方米按4元收费，某户居民五月份交水费y（元）与用水量x（立方米）（）之间的关系式为__________，若该月交水费元，则这个月的实际用水__________立方米． 【解答】（1），；（2），；（3），16． 例9.一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米（0＜x＜10），则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是__________． 【解答】解：y=102-（10-x）2=-x2+20x,∴y关于x的函数解析式是y=-x2+20x.故答案为：y=-x2+20x. 例10.在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28 （1）本题反映的是弹簧的长度y与所挂物体的质量x这两个变量之间的关系，其中自变量是_______ ___，因变量是_______ ___． （2）当所悬挂重物为3kg时，弹簧的长度为__________cm；不挂重物时，弹簧的长度为__________cm. （3）请直接写出弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式，并计算若弹簧的长度为36cm时，所挂重物的质量是多少kg？（在弹簧的允许范围内） 【解答】解：（1）上述表格反映了弹簧的长度ycm与所挂物体的质量xkg这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg是自变量，弹簧的长度ycm是因变量． （2）设弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）的关系式为y=kx+b, 将x=0，y=18；x=1，y=20代入得：k=2，b=18，∴y=2x+18． 当x=3时，y=24；当x=0时，y=18． 所以，当所挂重物为3kg时，弹簧有24cm长；不挂重物时，弹簧有18cm长． （3）把y=36代入y=2x+18，得出：x=9，所以，弹簧的长度为36cm时，此时所挂重物的质量是9kg. 故答案为：所挂物体的质量xkg；弹簧的长度ycm；24；18 三、针对练习 1.某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：y=0.3x+6（0≤x≤5），则下列说法错误的是（　　） A．时间是自变量，水位高度是因变量 B．y是变量，它的值与x有关 C．当y=7.2时，x=4.5 D．当x=1时，y=6.3 【解答】解：∵在此问题中时间是自变量，水位高度是因变量，∴选项A不符合题意； ∵y是因变量，它的值与x有关，∴选项，B不符合题意； ∵当y=7.2时，x=4，∴选项C符合题意； ∵当x=1时，y=0.3×1+6=0.3+6=6.3，∴选项D不符合题意，故选：C． 2.如图，在长方形ABCD中，AB=5cm,BC=7cm,点P是边BC上的动点（不与点C重合），点Q是边AD上任意一点．点P从点B向点C以3cm/s的速度运动．则△QPC的面积S（cm2）与点P的运动时间x（s）间的表达式为（　　） A． B． C. D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【解答】解：由题意，BP=3x cm, ∴PC=BC-BP=（7-3x）cm,∴S=AB•PC= ,故选：C． 3.一个圆形零件的面积S与半径r的函数关系式为S=πr2，下面关于常量和变量的表述正确的是（　　） A．常量是1，变量是S B．常量是π，变量是S C．常量是1，变量是S，π D．常量是π，变量是S，r 【解答】解：在S=πr2中，S和r是变量，π是常量，故D符合题意，故选：D． 4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，p随V的变化情况如表所示，那么在这个温度下，可以反映p与V之间关系的式子是（　　） V（单位：立方米） … 64 48 38.4 32 24 … p（单位：千帕） … 1.5 2 2.5 3 4 … A．p=96V B．p=48V C．pV=96 D．pV=48 【解答】解：由题意可知，64×1.5=96，48×2=96，38.4×2.5=96，32×3=96，24×4=96，⋯， 由此可得，p与V之间关系的式子是PV=96．故选：C． 5.下列各图中，是函数图象的是（　　） 【解答】D，y有唯一值与x对应． 6.下列图形中的曲线不表示y是的函数的是（ ）． 【解答】C． 7.若定义f（x）＝3x﹣2，如f（﹣2）＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8．下列说法中：①当f（x）＝1时，x＝1；②对于正数x，f（x）＞f（﹣x）均成立；③f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0；④当且仅当a＝2时，f（a﹣x）＝a﹣f（x）．其中正确的是　 　．（填序号） 【解答】解：∵f（x）＝1，∴3x﹣2＝1，∴x＝1，故①正确， f（x）﹣f（﹣x）＝3x﹣2﹣（﹣3x﹣2）＝6x，∵x＞0，∴f（x）＞f（﹣x），故②正确， f（x﹣1）+f（1﹣x）＝3（x﹣1）﹣2+3（1﹣x）﹣2＝﹣4，故③错误， ∵f（a﹣x）＝3（a﹣x）﹣2＝3a﹣3x﹣2，a﹣f（x）＝a﹣（3x﹣2）， ∵a＝2，∴f（a﹣x）＝a﹣f（x）．故答案为①②④． 8.“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，是说因为气温随地面的高度上升而降低这一特点，才造成了山上、山下的桃花花期早迟不一这种地理现象．下面是小深对某地某一时距离地面的高度h与温度t测量得到的表格．写出t随h变化的关系式　 　． 距离地面高度（km） 0 1 2 3 4 … 温度（℃） 20 14 8 2 -4 … 【解答】解：由表格可知，距离地面高度增加1km,温度降低6℃，∴t随h变化的关系式为t=20-6h. 故答案为：t=20-6h. 9.如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为　 ． 【解题思路】将x＝3代入y＝|x|﹣1（x≤4）求解． 【解答】解：∵3＜4，∴把x＝3代入y＝|x|﹣1得y＝3﹣1＝2，故答案为2． 10.判断下列式子中y是否是x的函数，若是，请指出自变量x的取值范围． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【解答】（3）（5）不是，其余均是.其中：（1）任意实数；（2）；（4）任意实数；（6）； （7）且；（8）任意实数． 11.一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化 （1）在上述变化过程中，自变量是　 　；因变量是　 　． （2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程x（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量y（升） 　 　　 40 　 　　 24 （3）试写出y与x的关系式　 　． （4）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？ 【解答】解：（1）在上述变化过程中，自变量是汽车行驶路程；因变量是邮箱内剩油量， 故答案为：汽车行驶路程，邮箱内剩油量； （2）56﹣0.08×100＝48，56﹣0.08×300＝32， （3）y与x的关系式是y＝56﹣0.08x， 故答案为：y＝56﹣0.08x； （4）当x＝350时，y＝56﹣0.08×350＝28，所以汽车行驶350千米时剩油28升； 当y＝8时，56﹣0.08x＝8，解得：x＝600，所以汽车行驶600千米时剩油8升． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$