精品解析：天津市第四中学2024-2025学年高三下学期统练一（开学考试）数学试题

天津四中2025届高三下学期统练一 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. f（x）＝－ln｜x｜ B. f（x）＝4sin｜x｜－ C. f（x）＝6cos｜x｜－ D. f（x）＝｜x｜－ln｜x｜ 4. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 设是两平面，是两直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 6. 针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ） 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 54 B. 48 C. 42 D. 36 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 方程在区间有5个不等实根 D. 上单调递增 8. 已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 关于的方程，下列四个结论中正确的个数是（ ） ①存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有7个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､填空题 10. 已知复数，则_____. 11. 已知和分别是等差数列与等比数列的前项和，且，，，则_____． 12. 已知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为__________. 13. 已知圆与抛物线准线交于两点，且，则的值为______． 14. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 15. 如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则___________；若的面积为，则的最小值为___________. 三､解答题 16. 如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点到平面距离． 17. 在三角形中，内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若 （i）求； （ii）求. 18. 已知函数，曲线在处的切线经过点 （1）求； （2）若，判断的单调性： （3）当时，，求的取值范围． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，点在椭圆上. （1）求椭圆方程； （2）如图，过椭圆上一动点作圆的两条切线，，两切线的斜率之积为. （i）求的值； （ii）若交椭圆于另一点，与圆切于点，与轴交于点，记、的面积分别为、，若，求直线的方程. 20. 若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为—跳跃数列，记. （1）若数列为—跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值； （2）已知为正整数，数列为—跳跃数列. ①若，求数列的前60项的和; ②求的所有不同值的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津四中2025届高三下学期统练一 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】，， ． 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值判断充分性，根据对数函数的性质及指数函数的性质判断必要性. 【详解】当时，，但无意义，故不满足充分性； 当时，则，所以， 则，即，满足必要性， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. f（x）＝－ln｜x｜ B. f（x）＝4sin｜x｜－ C. f（x）＝6cos｜x｜－ D. f（x）＝｜x｜－ln｜x｜ 【答案】A 【解析】 【分析】利用图象的对称性与奇偶性的关系，以及函数的性质逐项排除即可. 【详解】由图象，得函数的定义域为， 且图象关于y轴对称，即为偶函数，当，. 选项B，C中，当，，故排除B，C； 选项A，D中，当时，，，结合图象，排除D. 故选：A. 4. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数式与指数式的转换，由对数函数的单调性，可得答案. 【详解】法一：由，则，由，则，即. 因为，所以， 因为，所以，故； 法二：由，，， ∵，∴，故 . 故选：D. 5. 设是两平面，是两直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由条件可推得或，就时的情况即可排除，对于B，D，取特殊情况即可排除；对于C，由，易得，运用面面平行可推出线面平行. 【详解】对于A，因，，可得或， 当时，因，可得平行，相交或异面，故A错误； 对于B：由，当时不满足，故B错误； 对于C，由，可得，又，故，故C正确； 对于D，如图，在长方体中，分别取平面为平面，    取直线为，为，显然满足，，，但与不垂直，故D错误； 故选：C. 6. 针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ） 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 A. 54 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】设男生人数为，结合卡方计算可得，即，进而可判断. 【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同，所以女生人数也为，根据题意列出列联表： 男生 女生 合计 喜欢冰雪运动 不喜欢冰雪运动 合计 则，因为有的把握认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，所以，即，解得，又，所以A，B，C项正确，D项错误. 故选：D 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A. 的图象关于直线对称 B. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C. 方程在区间有5个不等实根 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象对称轴间距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D. 【详解】由题意相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，当时，，故． 由可得，由函数最大值为2可得，因此． A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误． B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误． C选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，C正确． D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误． 故选：C． 8. 已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到OA和OB的方程，设，根据题意得到，进而得到方程组，求出，由垂直关系可得斜率之积等于，求出，得到渐近线方程. 【详解】由题意可得，OA的方程为 ，OB的方程为 ， 设， 点A，B分别在第二、三象限内，若  ，则 ，  ，  ， ，  ， 由可得，斜率之积等于， 故 ，即 ，解得  所以双曲线C的渐近线方程为  故选：A 9. 关于的方程，下列四个结论中正确的个数是（ ） ①存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有7个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将方程根的问题转化成函数图象交点问题，分析函数奇偶性，单调性，最值，画出函数图像，根据图像观察交点个数即可得结果. 【详解】解：关于的方程可化为， 则， 对于函数或， 由于，故其为偶函数， 当时，令， ，其在上单调递增，在上单调递减， 令，得， 由复合函数单调性得　在上单调递减，在单调递增； 同理可得在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， ， 故的草图如下： 当时，与图中曲线有4个交点，即原方程恰有4个不同的实根； 当时，与图中曲线有5个交点，即原方程恰有5个不同的实根； 当时，与图中曲线有8个交点，即原方程恰有8个不同实根； 由图可知不存在实数，使得方程恰有7个不同的实根. 故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，是一道难度较大的题目. 二､填空题 10. 已知复数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的乘除运算结合模长公式即可求解. 【详解】, 所以， 故答案为：. 11. 已知和分别是等差数列与等比数列的前项和，且，，，则_____． 【答案】9或18 【解析】 【分析】根据等比数列定义求得公比，再利用两数列各项之间的关系计算可得结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得，即， 解得或； 当时，可得，又，所以； 此时； 当时，，可得，又，所以； 此时； 综上可得，或18. 故答案为：9或18 12. 已知展开式中各项的系数和为64，则展开式中含项的系数为__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据各项系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得指定项的系数. 【详解】令，得展开式中各项的系数和为，解得， 则.当时，，所以展开式中含项的系数为. 故答案为： 13. 已知圆与抛物线的准线交于两点，且，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用勾股定理求出，由圆心到准线的距离可得答案. 【详解】设圆的圆心坐标为，连接， 抛物线准线与轴交于点，则， 所以， 所以圆心到准线的距离为， 解得，或（舍去）. 故答案为：4. 14. 袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是__________；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件，则__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解. 【详解】根据题意从3个红球和2个白球任取3个球，由种取法， 其中恰有一个白球的取法有种，其中恰有一个白球的概率是； 由题可知，“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到红球”为事件， 则，，所以. 故答案为：；. 15. 如图，平行四边形中，为的中点，为线段上一点，且满足，则___________；若的面积为，则的最小值为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】设，由平面向量线性运算表示即可求出，由结合基本不等式可得的最小值. 【详解】设， 则 ， 即，而不共线，因此， 所以，即； 由的面积为，得，解得， 因此 ，当且仅当时取等号, 所以的最小值为. 故答案为：； 三､解答题 16. 如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判断定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量来求解即可； （3）在（2）建立的坐标系下利用向量法求解即可. 【小问1详解】 由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 又，分别为的中点， 则， 所以； 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； 设平面与平面夹角的大小为， 所以， 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； 【小问3详解】 由（2）平面的一个法向量为； 又， 所以点到与平面的距离距为： . 17. 在三角形中，内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若 （i）求； （ii）求. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由题设结合正弦定理边化角和两角和的正弦公式即可计算求解. （2）（i）先由（1）求出，再由题设结合正弦定理即可计算求解. （ii）由（i）求出，接着由倍角公式求出，再由结合两角和的正弦公式即可计算求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得，即， 又，则，所以. 【小问2详解】 （i）由（1）可得， 若，则由正弦定理得即， 所以. （ii）因为，，， 所以，故， 所以， 所以 . 18. 已知函数，曲线在处的切线经过点 （1）求； （2）若，判断的单调性： （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求得斜率，再结合斜率公式列出等式求解即可； （2）通过二次求导，结合导数与单调性的关系即可判断； （3）由，得，再由时，原不等式等价于构造函数求导，确定最值即可求解； 【小问1详解】 ，切线斜率． 又切线经过点 解得． 【小问2详解】 由（1）知，，令，则 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增 在上单调递增 【小问3详解】 由题意得对任意的成立． ①当时， ②当时，原不等式等价于 设，则 由（2）知，当时，对任意的成立，即． 当时，，单调递增，当时，，单调递减 ，故的取值范围是 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为4，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）如图，过椭圆上一动点作圆的两条切线，，两切线的斜率之积为. （i）求的值； （ii）若交椭圆于另一点，与圆切于点，与轴交于点，记、的面积分别为、，若，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）直线方程为或. 【解析】 【分析】（1）由题设列出关于的方程组求出即可得解； （2）（i）设过点的圆O的切线方程为，结合圆心到该切线距离等于半径得到方程，设两切线斜率分别为，则由韦达定理结合题意即可求解； （ii）设直线，依次求出点B和，联立与椭圆的方程结合韦达定理和弦长公式求出，由圆心到距离求出，则结合题设即可依次求出和，从而得解. 【小问1详解】 由题可得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设过点的圆O的切线方程为即， 则圆O的圆心到该切线距离为， 两边平方整理得， 设两切线斜率分别为，则， 所以即. （ii）由（i）圆，由题意可设直线， 令得，即，则， 联立， 则即， 设，则， 则， 所以由即得， 又圆心到距离为，即， 所以， 整理得，故，即， 所以，即， 所以直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：求解圆的半径r的关键是理解两切线斜率是方程的两根. 20. 若数列满足，且存在正整数，使得为奇数时，；为偶数时，，称为—跳跃数列，记. （1）若数列为—跳跃数列，且对任意，求最小时的最大值； （2）已知为正整数，数列为—跳跃数列. ①若，求数列的前60项的和; ②求的所有不同值的和. 【答案】（1）7 （2）①12156；② 【解析】 【分析】（1）根据跳跃数列的定义，由题意取验证可知与题意矛盾，取时符合题意，求出的最大值即可求解. （2）①由题意得数列是周期为11的周期数列，再结合等比数列的前项和公式即可求解； ②的所有不同的值为:，再结合分组求和及等比数列的前项和公式即可求解. 【小问1详解】 因为数列为—跳跃数列，且， 若， 与对任意矛盾； 若，则， 与对任意矛盾； 若，则， 满足对任意， 此时最大值为， 所以的最小值为3，且时的最大值为7. 【小问2详解】 ①时，， ， 数列是周期为11的周期数列， 所以的前60项和为. ②的所有不同的值为:， 所以的所有不同值的和为 因为 ， 所以. 【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略： （1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. （3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $