第07讲 复数的四则运算 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第07讲 复数的四则运算 目录 知识点一：复数的加、减运算及其几何意义 1 知识点二：复数的乘、除运算 2 题型1： 复数的四则运算 3 题型2： 复数的四则运算与复数的概念综合 4 题型3： 复数的模与复数的四则运算综合 4 题型4： 复数的几何意义与复数的四则运算综合 5 题型5： 复数范围内方程的根 6 知识点一：复数的加、减运算及其几何意义 1. 复数的加、减法法则 设是任意两个复数，那么 。 。 复数代数形式的加减运算，其运算法则是对他们的实部与虚部分别进行加减运算。这种运算类似于多项式的加、减法，只需要“合并同类项”即可。 2. 复数加法的运算律 对任意，有 (1) 交换律：。 (2) 结合律：。 3. 复数加、减法的几何意义 (1) 复数加法的几何意义 若在同一条直线上，如图①，平移，使表示向量的有向线段起点与重合，终点到达点位置，则对应的复数即为复数的和。若不在同一条直线上，如图②，复数就是以为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量所对应的复数。 ① ② (2) 复数减法的几何意义 复数就是连接表示的有向线段的终点，并指向表示被减向量的有向线段的终点的向量所对应的复数。 4. 复平面内两点间的距离 设复数在复平面内对应点分别是，则 ，即表示两点之间的距离。 如表示点到点的距离为1，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆。 知识点二：复数的乘、除运算 1. 复数的乘法法则 设，（），那么 。 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可。 2. 复数乘法的运算律 对任意，有 (1) 交换律：。 (2) 结合律：。 (3) 分配律：。 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立。即对于任意复数和正整数有 。 3. 的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 4. 复数的除法运算 。 复数除法的一般做法：通常先把写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数（目的是使分母实数化，这与做根式除法时的分母“有理化”的处理类似），按照乘法法则计算，最后将结果化简成形式． 题型1： 复数的四则运算 【例1.1.】 （1） ; （2）已知i为虚数单位， ; （3） ; （4） . 【例1.2.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例1.6.】 设，则（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 若，则（    ） A．2 B．1 C． D．5 【例1.8.】 若，则（    ） A． B． C． D． 题型2： 复数的四则运算与复数的概念综合 【例2.1.】 已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（    ） A．3 B． C．4 D． 【例2.2.】 设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【例2.3.】 若复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 题型3： 复数的模与复数的四则运算综合 【例3.1.】 已知（i为虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【例3.2.】 （    ） A．1 B．2 C． D．5 【例3.3.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知，，则 . 【例3.5.】 若复数和复数满足，，，则 . 【例3.6.】 （多选）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足，则复数 C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．非零复数z1对应的向量为，非零复数z2对应的向量为，若，则 【例3.7.】 设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【例3.8.】 已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 题型4： 复数的几何意义与复数的四则运算综合 【例4.1.】 若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4.2.】 当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4.3.】 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）． A． B． C． D． 【例4.4.】 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 题型5： 复数范围内方程的根 【例5.1.】 设复数是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知复数是关于的方程的一个根，则 （    ） A．25 B．5 C． D．41 【例5.3.】 已知复数是方程的一个根，则 ． 【例5.4.】 在复数范围内分解因式： ． 【例5.5.】 根据要求完成下列问题： (1)关于的方程有实根，求实数的值； (2)若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 复数的四则运算 目录 知识点一：复数的加、减运算及其几何意义 2 知识点二：复数的乘、除运算 3 题型1： 复数的四则运算 4 题型2： 复数的四则运算与复数的概念综合 6 题型3： 复数的模与复数的四则运算综合 7 题型4： 复数的几何意义与复数的四则运算综合 10 题型5： 复数范围内方程的根 11 知识点一：复数的加、减运算及其几何意义 1. 复数的加、减法法则 设是任意两个复数，那么 。 。 复数代数形式的加减运算，其运算法则是对他们的实部与虚部分别进行加减运算。这种运算类似于多项式的加、减法，只需要“合并同类项”即可。 2. 复数加法的运算律 对任意，有 (1) 交换律：。 (2) 结合律：。 3. 复数加、减法的几何意义 (1) 复数加法的几何意义 若在同一条直线上，如图①，平移，使表示向量的有向线段起点与重合，终点到达点位置，则对应的复数即为复数的和。若不在同一条直线上，如图②，复数就是以为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量所对应的复数。 ① ② (2) 复数减法的几何意义 复数就是连接表示的有向线段的终点，并指向表示被减向量的有向线段的终点的向量所对应的复数。 4. 复平面内两点间的距离 设复数在复平面内对应点分别是，则 ，即表示两点之间的距离。 如表示点到点的距离为1，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆。 知识点二：复数的乘、除运算 1. 复数的乘法法则 设，（），那么 。 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可。 2. 复数乘法的运算律 对任意，有 (1) 交换律：。 (2) 结合律：。 (3) 分配律：。 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立。即对于任意复数和正整数有 。 3. 的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 4. 复数的除法运算 。 复数除法的一般做法：通常先把写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数（目的是使分母实数化，这与做根式除法时的分母“有理化”的处理类似），按照乘法法则计算，最后将结果化简成形式． 题型1： 复数的四则运算 【例1.1.】 （1） ; （2）已知i为虚数单位， ; （3） ; （4） . 【详解】（1）; （2）； （3）； （4）. 【例1.2.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 【例1.3.】 已知为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，， 故. 故选：A. 【例1.4.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， . 故选：B. 【例1.5.】 已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，则, 所以. 故选：B. 【例1.6.】 设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 【例1.7.】 若，则（    ） A．2 B．1 C． D．5 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 【例1.8.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 故选 ：C 题型2： 复数的四则运算与复数的概念综合 【例2.1.】 已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】，由复数的概念可得的虚部为4， 故选：C 【例2.2.】 设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 【例2.3.】 若复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则，有. 故选：A 题型3： 复数的模与复数的四则运算综合 【例3.1.】 已知（i为虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】依题意，，所以. 故选：A 【例3.2.】 （    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 【例3.3.】 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 故选：C. 【例3.4.】 已知，，则 . 【答案】5 【详解】由题意， 则， 故答案为：5 【例3.5.】 若复数和复数满足，，，则 . 【答案】/ 【解析】设，且， 则， 又，所以， 即，则， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【例3.6.】 （多选）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B．若复数z满足，则复数 C．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D．非零复数z1对应的向量为，非零复数z2对应的向量为，若，则 【答案】CD 【详解】对于A项，设，则， 由可得，， 所以满足的复数z在复平面内对应的点在以为圆心，为半径的圆上，故A错误； 对于B项，设，则， 由可得，， 根据复数相等的条件可得，解得， 所以，故B项错误； 对于C项，由复数的模的定义知C正确； 对于D项，由的几何意义知，以为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D正确. 故选：CD. 【例3.7.】 设是复数且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故选：C 【例3.8.】 已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，所以的最大值为． 故选：B 题型4： 复数的几何意义与复数的四则运算综合 【例4.1.】 若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】设，则， 所以，又， 所以，解得， 所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限. 故选：D 【例4.2.】 当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】, 所以该复数在复平面所对应的点的坐标为， 又，所以， 所以点位于第四象限. 故选：D 【例4.3.】 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，. 故选：B. 【例4.4.】 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为z在复平面内对应的点为， 所以，则， 又，所以，即. 故选：C． 【例4.5.】 如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 题型5： 复数范围内方程的根 【例5.1.】 设复数是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将代入方程得：，得，即. 故选：D. 【例5.2.】 已知复数是关于的方程的一个根，则 （    ） A．25 B．5 C． D．41 【答案】C 【详解】因为复数是关于的方程的一个根， 所以，所以， 所以，所以， 则， 故选：C. 【例5.3.】 已知复数是方程的一个根，则 ． 【答案】 【详解】由求根公式可知，方程的复数根与其共轭复数是成对出现在该方程的根中的， 所以方程的另外一个复数根为， 由韦达定理有，解得. 故答案为：. 【例5.4.】 在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【详解】 . 故答案为： 【例5.5.】 根据要求完成下列问题： (1)关于的方程有实根，求实数的值； (2)若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合. 【解析】（1）设是其实根，代入原方程变形为， 由复数相等的定义，得， 解得； （2）由题意得，且对应的点在第一象限， ∴，即，解得， 故实数的集合为. 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