6.2.4 向量的数量积 第2课时导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的数量积（二） 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积的运算. 2.理解平面向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模与夹角问题. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 新知学习 探究 新课导学 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律,分配律，. 思考 向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律. 一 向量数量积的运算律 1．向量数量积的运算律 已知向量，，和实数 ,则 （1） 交换律：①________； （2） 数乘结合律：②______________； （3） 分配律：③______________. 【答案】（1） （2） （3） 2.向量数量积的常用结论 （1）; （2）; （3）; （4）. 例1 （1） （对接教材例12）已知,,与的夹角为 ，则________; （2） 如图所示，在平行四边形中，已知，，，，则__. 【答案】（1） （2） 22 【解析】 （1） . （2） 由，得，，.因为，所以，即.又，，所以. 数量积运算的两个关键点 （1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题； （2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解. ［跟踪训练1］． （1） 已知向量,满足,,则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 （2） 如图,在中,,,则________. 【答案】（1） B （2） 【解析】 （1） 选. （2） 因为,,所以. 二 向量模的计算 例2 （1） 已知平面向量,的夹角为，且,,在中，,,为的中点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 （2） 已知非零向量,满足，，且，则________. 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 因为,则 .即. （2） 由 两边平方得，即，所以.所以. 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模的问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 或,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. ［跟踪训练2］． （1） 已知,,向量,的夹角为 ，那么（ ） A. 2 B. C. 6 D. 12 （2） 若平面向量,满足,,且,则 （ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】（1） B （2） B 【解析】 （1） 选B.因为,所以. （2） 选B.因为,,且,对等式两边平方易知,故. 三 向量的夹角与垂直 角度1 求两向量的夹角 例3 （1） [2024·广西南宁期中]设向量,满足,,,则与的夹角为（ ） A. B. C. D. （2） 已知向量,满足，,且,则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】（1） D （2） A 【解析】 （1） 设 与 的夹角为 ,由题意得,所以,又,,所以,所以,则.又,所以 与 的夹角为. （2） 因为,,,所以，①,②所以 得，,,所以,所以,. 求向量夹角的基本步骤 角度2 利用数量积解决向量的垂直问题 例4 （对接教材例13）已知，,向量，的夹角为 ，，.求实数为何值时，与垂直. 【解】 由已知得. 若，则， 所以， 解得. 故当 时，与 垂直. 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是,利用向量数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题. ［跟踪训练3］． （1） [2024·广东广州期中]已知,,且,则向量与的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. （2） 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】（1） B （2） D 【解析】 （1） 选B.因为,,且,所以,所以,所以,. （2） 选D.由题意，又向量 与 的夹角为 且 与 为单位向量，所以，解得.故选D. 课堂巩固 自测 1．设和是互相垂直的单位向量，且,,则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】选B.因为,，所以. 2．设,,都是单位向量,且,则向量,的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】选A.由,可知,故,所以.设,的夹角为 ,即,又 ,所以.故选A. 3．已知,,且,的夹角为 ，,则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.由题意知, 即， 所以, 解得. 4．[2023· 新课标Ⅱ卷]已知向量，满足，，则______． 【答案】 【解析】由,得,即.① 由,得,整理得,，结合①，得，整理得,,所以. 5．（教材P24T18改编）若两个向量与的夹角为，且是单位向量，,,则向量与的夹角为________. 【答案】 【解析】由题知 , 所以, . 设向量 与 的夹角为 , 则. 因为，所以. 1.已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直的应用. 2.须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思想方法. 3.应注意：不一定成立. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知单位向量,,则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】选C.由题意得. 2．[2024· 新课标Ⅱ卷]已知向量,满足,，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】选B.由，得．所以.将 的两边同时平方，得，即，解得，所以.故选B. 3．设非零向量,,满足,,则与的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由 且,得，两边平方得,所以,则,所以.又 ,所以 . 4．已知，，，则（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】选B.由题意，可得,所以. 5．已知向量,的夹角为 ，且，，则向量在上的投影向量的模等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】选B.由题设，,而,所以，可得 或（舍去），则向量 在 上的投影向量的模为.故选B. 6．（多选）设向量，满足，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】选.对于，因为，故，即，故，故 与 的夹角为 ，故A错误，D正确； 对于B，因为，故，又因为，故，故B正确； 对于C，，故C正确.故选. 7．已知,方向相同，且,,则__. 【答案】16 【解析】因为，所以. 8．已知平面向量,满足，，，则与的夹角为________. 【答案】 【解析】因为，，，所以，所以，设,的夹角为 ，则，因为 ，所以. 9．[2024·河北石家庄期中]如图，在平行四边形中， ，，，，，设，，则____________（用,表示），________. 【答案】； 【解析】因为，所以.因为，所以，因此.因为 ，，，所以,,, ，所以. 10．已知平面向量，，若，，且. （1） 求与的夹角 ； （2） 若，且，求的值及. 【答案】 （1） 解：由，得, 所以，所以. 又，所以. （2） 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，. 所以. B 能力提升 11．已知,为非零向量，若,则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.由 可得，由，可得，所以，设向量 与 的夹角为 ,则，又,所以.故选D. 12．[2024·广东广州期中]已知是所在平面上一点，满足，则的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】选B.由，可得，即，即.将等式 两边平方，化简得，所以，因此，一定是直角三角形.故选B. 13．已知,是夹角为 的两个单位向量.若,,其中，若,的夹角为锐角，则的取值范围是________________________________. 【答案】, 【解析】因为,的夹角为锐角， 所以,且，不共线， 当 时，, 得, 当,共线时，存在唯一的实数 ,使, 即, 化简得， 所以 解得 所以当 时，,不共线， 综上，的取值范围是 且，即,. 14．已知平面上三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角为 . （1） 求证：; （2） 若，求的取值范围. 【答案】 （1） 证明：因为, 且,,两两之间夹角均为 ， 所以 , 所以. （2） 解：因为, 所以, 即. 因为， , 所以,解得 或, 即 的取值范围是. C 素养拓展 15．如图，已知正六边形的边长为1，点满足，则________；若点是其内部一点（包含边界），则的最大值是________. 【答案】； 【解析】由题可知， ，， 所以, 所以. 设向量，的夹角为 ,在直线 上的射影为，要使 最大，则,因为,由图可知当 在 处时，最大， 此时，, . 16．如图，在正方形中，是的中点，点在边上运动（含，点）. （1） 若点是上靠近点的三等分点，设,求 的值； （2） 若，当时，求的值. 【答案】 （1） 解：因为 是 的中点，点 是 上靠近点 的三等分点， 所以，， 所以， 又， 所以,, 故. （2） 设, 则， 又，， 所以, 故. 则，所以， 易得，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的数量积（二） 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律，会利用运算律进行数量积的运算. 2.理解平面向量数量积的性质，能利用数量积解决向量的模与夹角问题. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 新知学习 探究 新课导学 通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律,分配律，. 思考 向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律？ 提示：向量的数量积满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法的分配律. 一 向量数量积的运算律 1．向量数量积的运算律 已知向量，，和实数 ,则 （1） 交换律：①________； （2） 数乘结合律：②______________； （3） 分配律：③______________. 2.向量数量积的常用结论 （1）; （2）; （3）; （4）. 例1 （1） （对接教材例12）已知,,与的夹角为 ，则________; （2） 如图所示，在平行四边形中，已知，，，，则__. 数量积运算的两个关键点 （1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题； （2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解. ［跟踪训练1］． （1） 已知向量,满足,,则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 （2） 如图,在中,,,则________. 二 向量模的计算 例2 （1） 已知平面向量,的夹角为，且,,在中，,,为的中点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 （2） 已知非零向量,满足，，且，则________. 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模的问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. 或,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. ［跟踪训练2］． （1） 已知,,向量,的夹角为 ，那么（ ） A. 2 B. C. 6 D. 12 （2） 若平面向量,满足,,且,则 （ ） A. B. C. 2 D. 8 三 向量的夹角与垂直 角度1 求两向量的夹角 例3 （1） [2024·广西南宁期中]设向量,满足,,,则与的夹角为（ ） A. B. C. D. （2） 已知向量,满足，,且,则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 求向量夹角的基本步骤 角度2 利用数量积解决向量的垂直问题 例4 （对接教材例13）已知，,向量，的夹角为 ，，.求实数为何值时，与垂直. 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是,利用向量数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题. ［跟踪训练3］． （1） [2024·广东广州期中]已知,,且,则向量与的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. （2） 已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数 （ ） A. B. C. D. 课堂巩固 自测 1．设和是互相垂直的单位向量，且,,则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2．设,,都是单位向量,且,则向量,的夹角为（ ） A. B. C. D. 3．已知,,且,的夹角为 ，,则的值为（ ） A. B. C. D. 4．[2023· 新课标Ⅱ卷]已知向量，满足，，则______． 5．（教材P24T18改编）若两个向量与的夹角为，且是单位向量，,,则向量与的夹角为________. 1.已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直的应用. 2.须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思想方法. 3.应注意：不一定成立. 课后达标 检测 A 基础达标 1．已知单位向量,,则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2．[2024· 新课标Ⅱ卷]已知向量,满足,，且，则（ ） A. B. C. D. 1 3．设非零向量,,满足,,则与的夹角（ ） A. B. C. D. 4．已知，，，则（ ） A. B. C. 9 D. 5．已知向量,的夹角为 ，且，，则向量在上的投影向量的模等于（ ） A. B. C. D. 1 6．（多选）设向量，满足，则（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 7．已知,方向相同，且,,则__. 8．已知平面向量,满足，，，则与的夹角为________. 9．[2024·河北石家庄期中]如图，在平行四边形中， ，，，，，设，，则____________（用,表示），________. 10．已知平面向量，，若，，且. （1） 求与的夹角 ； （2） 若，且，求的值及. B 能力提升 11．已知,为非零向量，若,则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 12．[2024·广东广州期中]已知是所在平面上一点，满足，则的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 13．已知,是夹角为 的两个单位向量.若,,其中，若,的夹角为锐角，则的取值范围是________________________________. 14．已知平面上三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角为 . （1） 求证：; （2） 若，求的取值范围. C 素养拓展 15．如图，已知正六边形的边长为1，点满足，则________；若点是其内部一点（包含边界），则的最大值是________. 16．如图，在正方形中，是的中点，点在边上运动（含，点）. （1） 若点是上靠近点的三等分点，设,求 的值； （2） 若，当时，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$