精品解析：广东省潮州市暨实高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

绝密★启用前 潮州暨实高级中学高二十二月份月考 数 学 试 卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析求解. 【详解】因为向量，，且， 则，解得. 故选：D. 2. 已知非零向量和互相垂直，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用代入坐标计算即得． 【详解】由可得， 解得. 故选：C． 3. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知  ，故直线的方程可化为  ， 由  ，  可得  ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 4. 已知直线，圆，若圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离及题意可知，即可得解. 【详解】因为的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 所以圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则， 解得， 故选：C 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出弦长即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，即，圆心为，半径， 又，即， 所以两圆相交， 则两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到直线的距离， 所以公共弦长为． 故选：B 6. 已知双曲线：，双曲线的焦点在轴上，它的渐近线与双曲线相同，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得双曲线的渐近线为，即可求解离心率. 【详解】依题意可知，双曲线：的渐近线方程为， 即双曲线的渐近线方程为. 又双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的方程为， 其中依次为的实半轴和虚半轴， 渐近线方程为， 所以， 所以， 则双曲线的离心率. 故选：A 7. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r>0)上存在点P，且点P关于直线对称点Q在圆 上，则r的取值范围是（ ） A. (2，+∞) B. [2，+∞) C. (2，8) D. [2，8] 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆关于对称的圆的方程，转化为此圆与有交点，再由圆心距与半径的关系列不等式组求解. 【详解】圆心坐标， 设关于直线的对称点为， 由，可得， 所以圆关于直线对称圆的方程为， 则条件等价为：与有交点即可， 两圆圆心为，，半径分别为，3， 则圆心距， 则有， 由得，由得， 综上：， 所以r的取值范围是， 故选：D. 8. 已知递增的等差数列的前项和为，则（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等差数列前n项和公式计算得解. 【详解】设等差数列的公差为d， 则由题得，解得， 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 若， ，则 C. 若，则数列是递增数列 D. 若数列的前n项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答. 【详解】令等比数列的公比为，则， 对于A，，且，则是等比数列，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，由知，，则，， 即，，数列是递增数列，C正确； 对于D，显然，则，而， 因此，D正确. 故选：ACD 10. 下列选项正确的是（ ） A. 空间向量与垂直 B. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为 C. 已知向量，，，若可作为一组基底，则可取1 D. 若和分别是直线和直线的方向向量，则两直线所成夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示判断A；求出投影向量的模判断B；利用基底的意义计算判断C；求出异面直线的夹角判断D. 【详解】对于A，由向量与，得，不垂直，A错误； 对于B，向量，，在方向上的投影向量，其模为，B正确； 对于C，当时，，假定共面，即存在有序数对使得， 则，于是，此方程无解，因此不共面， 即当时，可作为一组基底，C正确； 对于D，由，而，解得， 直线所成夹角为，D错误. 故选：BC 11. 已知椭圆的左，右两个焦点分别是，，其中，直线经过左焦点与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的（ ） A. 的周长为 B. 当直线的斜率存在时，记，若的中点为，为坐标原点，则 C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若的最小值为，则椭圆的离心率 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义判断B，由中点弦，“作差法”判断B，由向量的数量积的坐标表示求离心率的范围，判断D，由椭圆的通径求离心率，判断D． 【详解】 直线过左焦点，的周长为，A正确； 设，，则，点， ， 由，两式相减得：， ， ，故B错误； ，， ， 即， 又，， ，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，C正确； 为椭圆的通径时最小，即轴， 令，，解得， 通径为， 整理得，即， 解得，舍去，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，关键是确定圆心和半径，属于基础题． 先求出、的坐标，可得圆心为直角三角形的斜边的中点，半径为的一半，由此可解． 【详解】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点， ，， 则经过，，三点的圆的圆心为直角三角形的斜边的中点， 半径为的一半，即， 则经过，，三点的圆的标准方程是． 故答案为：． 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前项和，，，则______. 【答案】1或16 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求，又，可得，即可求出、，再求出公比，即可求出. 【详解】各项均为正数的等比数列中，公比， 由，所以，又， 所以，解得或； 若时，可得，则， 若时，可得，则. 故答案为：或 14. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值． 【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为， 令在双曲线的右支上， 由双曲线的定义， 由椭圆定义， 可得，， 又， ， 可得， 得， 即， 可得， 则 ， 当且仅当，上式取得等号， 可得的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0． （1）若l1⊥l2，求实数m的值； （2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d． 【答案】（1）m=-3；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据两条直线垂直列方程，解方程求得的值.（2）根据两条直线平行，列方程，解方程求得的值，验证后求得的方程，根据两平行线间的距离公式求得两直线间的距离. 【详解】（1）∵直线l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0， ∴当l1⊥l2时，1•（m-3）-2m=0，解得m=-3； （2）由l1∥l2可得m（m-3）+2=0，解得m=1或m=-2， 当m=2时，l1与l2重合，应舍去， 当m=-1时，可得l1：x+y+1=0，l2：-2x-2y+6=0，即x+y-3=0， 由平行线间的距离公式可得d==2 【点睛】本小题主要考查两条直线平行和垂直的条件，考查两平行直线间的距离公式，属于中档题.若两条直线垂直，则有，若两条直线平行，则有. 16. 在三棱锥中，底面ABC为直角三角形，，平面. （1）证明：； （2）若D为的中点，且，求点D到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面即可； （2）设点到平面的距离为，则由可求出点到平面的距离． 【小问1详解】 ∵为直角三角形，， ∴， ∵平面，平面， ∴， 又平面， 平面， ∵平面，∴． 【小问2详解】 由，，， 根据已知易得， ∴，， ∴， 设点到平面的距离为，则， ∵， ∴． 17. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. （1）求该抛物线方程； （2）为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由抛物线的定义结合韦达定理化简弦长后求解 （2）解出坐标，由割补法求解 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 所以直线的方程为， 由消去得， 所以， 由抛物线定义得， 即，所以. 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由知，方程， 可化为， 解得，，故，. 所以，. 则面积 18. 已知圆：，点，C为圆上任意一点，点P在直线C上，且满足，点P的轨迹为曲线E． 求曲线E的方程； 若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】由题意可得点P的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出曲线E的方程;设，根据韦达定理结合斜率公式，以及，可得，再分类讨论，根据判别式即可求出的取值范围. 【详解】由，可得， 则点P的轨迹是以为焦点的椭圆， 则，， ， 则曲线E的方程为， 设，， 则，消y可得， ，， 当时，， 当时，， 由于对任意k恒成立， 则， ， ， 综上所述． 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化，是中档题．其中涉及方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 19. 若正项数列前项和为，首项，点在曲线上，数列满足，，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列和的通项公式； （3）设数列满足，数列的前项和为，若不等式第一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】(1)由题意可得，结合等差数列的定义，即可得证； (2)分别运用等差数列和等比数列的通项公式，计算可得所求； (3)运用错位相减法求和可得，对分奇数和偶数，结合不等式恒成立问题解法，可得所求范围． 小问1详解】 证明：由点在曲线上，可得， 由于是正项数列的和，所以两边开方得：，因为， 所以数列为公差为，首项为的等差数列； 【小问2详解】 由数列为公差为，首项为的等差数列可得， ，即， 当时，， 由知，上式对也成立，则； 数列满足，，且， 可得，故是以为首项，为公比的等比数列， 可得； 【小问3详解】 由于， 所以前项和为， 则， 两式相减可得 ， 化简可得， 由不等式对一切恒成立， 可得为奇数时，恒成立， 由递增，可得最小值为，即有，可得； 为偶数时，恒成立， 由递增，可得最小值为，即有， 综上可得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 潮州暨实高级中学高二十二月份月考 数 学 试 卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知非零向量和互相垂直，则值是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知直线，圆，若圆上有且仅有一个点到直线的距离为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线：，双曲线的焦点在轴上，它的渐近线与双曲线相同，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，若圆 (r>0)上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆 上，则r的取值范围是（ ） A. (2，+∞) B. [2，+∞) C. (2，8) D. [2，8] 8. 已知递增的等差数列的前项和为，则（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 若， ，则 C. 若，则数列是递增数列 D. 若数列的前n项和，则 10. 下列选项正确的是（ ） A. 空间向量与垂直 B. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量的模为 C. 已知向量，，，若可作为一组基底，则可取1 D. 若和分别是直线和直线的方向向量，则两直线所成夹角为 11. 已知椭圆的左，右两个焦点分别是，，其中，直线经过左焦点与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的（ ） A. 周长为 B. 当直线的斜率存在时，记，若的中点为，为坐标原点，则 C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若的最小值为，则椭圆的离心率 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是__________ 13. 已知数列是各项均为正数等比数列，为其前项和，，，则______. 14. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l1：x+my+1=0和l2：（m-3）x-2y+（13-7m）=0． （1）若l1⊥l2，求实数m的值； （2）若l1∥l2，求l1与l2之间的距离d． 16. 在三棱锥中，底面ABC为直角三角形，，平面. （1）证明：； （2）若D为的中点，且，求点D到平面的距离. 17. 已知过抛物线焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. （1）求该抛物线的方程； （2）为坐标原点，求的面积. 18. 已知圆：，点，C为圆上任意一点，点P在直线C上，且满足，点P的轨迹为曲线E． 求曲线E的方程； 若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围． 19. 若正项数列的前项和为，首项，点在曲线上，数列满足，，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列和的通项公式； （3）设数列满足，数列的前项和为，若不等式第一切恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$