2025年南通市中考数学专题练习——三角形

2025年南通市中考数学专题练习（五）—— 三角形 1、 单选题 1．（2024年崇川区二模）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（2024年崇川区二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（     ） A． B． C． D． 3．（2024年如东、海门一模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（     ） A．10° B．12° C．15° D．20° 4．（2024年崇川区三模）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B． C．﹣1 D．＋1 5．（2024年崇川区一模）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 6．（2024年如东、海门一模）如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（2024年海安一模）若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（     ） A． B． C． D． 8. （2024年海安二模）如图，点为正六边形的中心，则的度数为（　　） A. B. C. D. （第8题图） （第9题图） （第10题图） 9. （2024年海安二模）如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 10. （2024年海安二模）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 11. （2024年海安二模）如图，在中，．阅读以下作图步骤： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点，交于点，连接． 根据以上作图，下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 12．（2024年海安一模）如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13. （2024年海门二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（ ） A. 函数图象上点的横坐标表示的长 B. 当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C. 两段抛物线的开口大小不一样 D. 图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 14．（2024年崇川区三模）如图1，中，，．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作，垂足为P，PQ交的边于点Q，设，的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当时，y的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 2、 填空题 15．（2024年如东、海门一模）十二边形的外角和是 度． 16. （2024年通州、如东二模）五边形的内角和等于__________度． 17．（2024年海安一模）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可）    18．（2024年崇川区二模）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，画直线交于点，连接，则的度数为 ． 19. （2024年海安二模）如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于________． 20．（2024年海安一模）在中，．若点在内部（含边界）且满足，则所有满足条件的点组成区域的面积为 ． 21．（2024年启东一模）如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 3、 解答题 22．（2024年如东、海门一模）如图，P是内一点，，．求证：． 小虎的证明过程如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴≌．（第一步） ∴．（第二步） (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 23. （2024年海安二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 （1）小星的解答从第 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 24．（2024年启东一模）如图，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 25．（2024年启东二模）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF， （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形． 26．（2024年崇川区二模）如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（2024年崇川区三模）如图，在中，，平分． (1)过点A作，交射线于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 28．（2024年启东一模）在中，，，点D为边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线的对称点E． (1)小明给出了下面框中的作法： 小明的作法如图1，分别以B，D为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E．所以，点E就是所求作的点． 请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由； (2)当点E在边上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接，并求出的长； (3)连接，当为直角三角形时，求的正切值． 2025年南通市中考数学专题练习（五）—— 三角形（解析） 一、单选题 1．（2024年崇川区二模）如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（  C    ） A． B． C． D． 解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 2．（2024年崇川区二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（   B  ） A． B． C． D． 解：∵，， ∴， ∴，即， ∴ 3．（2024年如东、海门一模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（    D  ） A．10° B．12° C．15° D．20° 解：过点B作交于D， ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．（2024年崇川区三模）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（　B　） A．1 B． C．﹣1 D．＋1 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵DE把△ABC分成面积相等的两部分， ∴S△ADE＝S四边形DBCE， ∴， ∴ 5．（2024年崇川区一模）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（   D  ） A． B． C． D． 解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 6．（2024年如东、海门一模）如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（   C  ） A． B． C． D． 解：由做图可知垂直平分线段， 得，， ， ， ， ， 是的中位线，， 故选项B正确，不符合题意； ， 故选项A正确，不符合题意； ，， ，， ， ， 故选项D正确，不符合题意； 只有当时，， 故选项C错误，符合题意． 7．（2024年海安一模）若一个正边形的内角和为，则它的每个外角度数是（  D   ） A． B． C． D． 8. （2024年海安二模）如图，点为正六边形的中心，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B （第8题图） （第9题图） （第10题图） 9. （2024年海安二模）如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 10. （2024年海安二模）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 11. （2024年海安二模）如图，在中，．阅读以下作图步骤： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点，交于点，连接． 根据以上作图，下列结论不一定正确的是（　C　） A. B. C. D. 【答案】C 解：由作图可得：垂直平分， ，，，故A正确，不符合题意； ， ， ∴， 为的中点， ，， ，，故B、D正确，不符合题意； 当时，，故C不一定正确，符合题意； 12．（2024年海安一模）如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（  C  ）    A． B． C． D． 13. （2024年海门二模）如图1，等腰中，，，点D从点B出发，沿方向运动，于点E，的面积随着点D的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分）如图2所示，以下判断正确的是（ D ） A. 函数图象上点的横坐标表示的长 B. 当点D为的中点时，点E为线段的三等分点 C. 两段抛物线的开口大小不一样 D. 图象上点的横坐标为3时，纵坐标为 【答案】D 解：∵点在两段函数中，即点D与点C重合时． ∵等腰中，，，， ∴． ∴． ∴． ∴点横轴表示的长，故A错误； 如图，作于点H． 又∵是等腰三角形，∴． ∵， ∴． ， ∵D为中点， ， ∴． ∴． ∴点E为线段的四等分点，故B错误； 当D在上时，为x，则， ∴， 当D在上时，为x，则， ∴． ∵两个二次函数的二次项的比例系数的绝对值相等， ∴两段抛物线的开口大小一样，故C错误； 当时，点D在上， ∴，故D正确． 故选D 14．（2024年崇川区三模）如图1，中，，．点P从点A出发，沿边AB向点B运动．过点P作，垂足为P，PQ交的边于点Q，设，的面积为y．y与x之间的函数关系大致如图2所示，则当时，y的值为（ C   ） A．3 B．2 C． D． 解：由图像可知，，在中，， ∴，可设，， 根据勾股定理可知，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴，． 当点Q与点C重合时，可有， 即，解得， 此时由，可解得， 当点Q在AC段时，由，可知， ∴，即有（）， 当点Q在BC段时，如下图所示， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即， ∴当时，可知． 故选：C． 二、填空题 15．（2024年如东、海门一模）十二边形的外角和是 360 度． 16. （2024年通州、如东二模）五边形的内角和等于____540_______度． 17．（2024年海安一模）如图，，与交于点O，请添加一个条件 ，使．（只填一种情况即可） 【详解】或或    18．（2024年崇川区二模）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，画直线交于点，连接，则的度数为 27 ． 解：∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 19. （2024年海安二模）如图，在△ABC中，，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则CE的长等于________． 【答案】 解：连接AE， ∵DE为AB的垂直平分线，∴AE=BE， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5， 由勾股定理得BC=4， 设CE的长为x，则BE=AE=4-x，在Rt△ACE中， 由勾股定理得：x2+32=（4-x）2，解得：x= 20．（2024年海安一模）在中，．若点在内部（含边界）且满足，则所有满足条件的点组成区域的面积为 ． 解：，，， ， ， 作的垂直平分线，交于点，交于点， ，， 若点在内部（含边界）且满足， 点在内部（含边界）， ， 是直角三角形， ，， ， ，即，， ∴的面积为． 21．（2024年启东一模）如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于 ． 解：连接，如图所示： ∵点M是的中点， ∴， ∴， 又点M是的中点， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴ ， 设，边长， ∵， 则， ∵， ∴， 则， 当时，取得最大值为 三、解答题 22．（2024年如东、海门一模）如图，P是内一点，，．求证：． 小虎的证明过程如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴≌．（第一步） ∴．（第二步） (1)小虎同学的证明过程中，第 步出现错误； (2)请写出正确的证明过程． 【详解】（1）解：全等的判定方法用错了，第一步出现错误； 故答案为：一； （2）解：， ． ， ． 即． ， 在和中， ， ∴， ． 23. （2024年海安二模）如图，点P是内一射线上一点，点M、N分别是边、上的点，连接，且，． 求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ∵，，， ∴……第一步 ∴……第二步 ∴是的平分线．……第三步 （1）小星的解答从第 步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 解：（1）小星的解答从第一步开始出现错误， （2）证明：过点P作，于点D，E， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 24．（2024年启东一模）如图，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， 的度数是． 25．（2024年启东二模）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF， （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形． 证明：（1）∵AE∥DF， ∴∠AEF＝∠DFE， ∴∠AEB＝∠DFC， ∵AE＝FD，BE＝CF， ∴△AEB≌△DFC（SAS）． （2）连接AC、BD． ∵△AEB≌△DFC， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF， ∴AB∥DC， ∴四边形ABDC是平行四边形． 26．（2024年崇川区二模）如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴； （2）∵，∴． ∴．即． ∵，， ∴． ∴． ∴． 27．（2024年崇川区三模）如图，在中，，平分． (1)过点A作，交射线于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 【详解】（1）图形如图所示：    （2）证明：∵， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 28．（2024年启东一模）在中，，，点D为边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线的对称点E． (1)小明给出了下面框中的作法： 小明的作法如图1，分别以B，D为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E．所以，点E就是所求作的点． 请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由； (2)当点E在边上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接，并求出的长； (3)连接，当为直角三角形时，求的正切值． 【详解】（1）解：符合题目要求． 理由：如图，连接，，． 由作法可知，． ∴点B，D均在的垂直平分线上． ∴垂直平分． ∴点C和点E关于直线对称． （2）如图，作的角平分线，交于点D； 以点B为圆心，以为半径作弧，交于点E； ∴点D，点E即为所求作的点． ∵，，， ∴． ∵点C和点E关于直线对称． ∴垂直平分， ∴，， ∴． ∴，即． ∴； （3）① 若， 如图，作于点H，得矩形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ② 若， 如图，作于点H， 又∵， ∴． ∵， ∴，． ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． 若，不符合题意，舍去． 综上，的正切值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$