（4）2025年南通市中考数学专题练习—— 二次函数

2025年南通市中考数学专题练习（四）—— 二次函数 一、单选题 1．（2024年海安一模）设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　 　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2024年崇川区三模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 3．（2024年启东一模） 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，小球飞行过程中能达到的最大高度为 ．    4．（2024年崇川区一模）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是 . 3、 解答题 5. （2024年通州、如东二模）某超市购进某种商品的成本为25元，经过调查发现，这种商品在前30天的销售单价y（元）与时间x（天）之间的函数关系式为（x为整数），日销量与时间x（天）之间满足函数关系：，x为整数）． （1）求前15天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ （2）求前30天中日销售利润不低于1080元的天数． 6．（2024年启东二模）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值； （3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4 7. （2024年海门二模）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间：第x（天） 日销售价（元/件） 50 日销售量（件） （，x为整数） 设该商品的日销售利润为w元． （1）直接写出w与x的函数关系式__________________； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 8. （2024年海安二模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 9．（2024年崇川区二模）在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C． (1)用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________； (2)如图，当时，连接，．求证：平分； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围． 10．（2024年崇川区三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点 在点 的左侧． (1)直线经过定点 ，点 的坐标是____________； (2)如果直线 绕点旋转的过程中，与 始终互相垂直，求 的值； (3)抛物线与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ，如果 ，求 的最小值． 11. （2024年海安二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，过A点的直线与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线与抛物线相交于点F，求证： （3）过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 12. （2024年海门二模）二次函数图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D是二次函数在第一象限图象上的一动点，过点D作轴，交二次函数图象于另一点E．作点D关于y轴的对称点P． （1）求的长； （2）若是边长为1的等边三角形，求二次函数的解析式； （3）求的值的最大值． 13. （2024年通州、如东二模）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设的面积为S，且．过点B作x轴的垂线交的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的的平行线，，直线（不平行于y轴）与抛物线有唯一公共点，分别交，于P，Q两点． （1）求b的值； （2）求点E的纵坐标； （3）探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 14．（2024年启东二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值． 15．（2024年如东、海门一模）已知抛物线（m，n为常数，）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，． (1)求的值； (2)如图，连接交于点，求证：； (3)设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作MN//x轴，交直线AC于点N．由线段MN长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数． 16．（2024年启东一模）在二次函数的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足． (1)求p的值； (2)记时二次函数的最大值为，最小值为．若，求的取值范围； (3)连接．当时，作，垂足为点是否存在最大值？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 17．（2024年海安一模）在平面直角坐标系中，拋物线经过点，且． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过点，设点A与点横坐标的差为，点A与点纵坐标的差为，求的值； (3)在（2）的条件下，连接，若线段交抛物线对称轴于点（点不与重合），在直线的同侧作矩形，且．当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，求的取值范围． 2025年南通市中考数学专题练习（四）—— 二次函数（解析） 一、单选题 1．（2024年海安一模）设函数（，m，n是实数），当时，，时，．则（　C　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解：由所给函数解析式可知， 抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为和在抛物线上， 则点关于直线的对称点为， 因为，， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大， 则抛物线的开口向上，即．故A不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下，即．故B选项不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为， 所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 则抛物线的开口向下，即． 故C选项符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为， 所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的， 则抛物线的开口向下，即．故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024年崇川区三模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（  A  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解：由两函数表达式可知， 函数的对称轴 为， 函数的对称轴为，且两函数图象均开口向上， 即，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有，， A、若，则有，即， 解得：或（舍去）， 当时，则， ，故符合题意； B、若，则有，即， 解得：或， 当时，则， ， 当时，则， ，但不一定为0，故不符合题意； C、若，则有， 当时，才有，才有，故不符合题意； D、若，则有， 当且仅当时，才有， 此时，则，与题干矛盾，故不符合题意； 故选：A． 二、填空题 3．（2024年启东一模）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，小球飞行过程中能达到的最大高度为 20 ． 解：∵， ∵， ∴当时，最大，最大值为20 4．（2024年崇川区一模）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是 . 【详解】∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点， ∴，顶点为（-2,1） ∴由题意可知a>0, ∵线段AB的长不大于4， ∴4a+1≥3 ∴a≥ ∴a2+a+1的最小值为：（）2++1=； 4、 解答题 5. （2024年通州、如东二模）某超市购进某种商品的成本为25元，经过调查发现，这种商品在前30天的销售单价y（元）与时间x（天）之间的函数关系式为（x为整数），日销量与时间x（天）之间满足函数关系：，x为整数）． （1）求前15天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ （2）求前30天中日销售利润不低于1080元的天数． 解：（1）设利润元， ∵ ∴ ∵ ∴当时 ，w有最大值，最大值为1152， ∴前15天中第12天的销售利润最大，最大日销售利润是1152元． （2）由（1）知，当时， 解得：，共有10天， 当时， ∴ 解得：，共有3天， 综上，共有（天）， 答：前30天中日销售利润不低于1080元天数为13天． 6．（2024年启东二模）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值； （3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4 【详解】（1）y=x（36﹣2x）=﹣2x2+36x（0<x<18）； （2）由题意：﹣2x2+36x=160，解得x=10或8， ∵x=8时，36﹣16=20＜18，不符合题意， ∴x的值为10； （3）∵y=﹣2x2+36x=﹣2（x﹣9）2+162， ∴x=9时，y有最大值162， 设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵， 由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b=8600， ∴a+7b=1500， ∴b的最大值为214，此时a=2， 需要种植的面积=0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214=162.8＞162， ∴这批植物不可以全部栽种到这块空地上． 7. （2024年海门二模）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间：第x（天） 日销售价（元/件） 50 日销售量（件） （，x为整数） 设该商品的日销售利润为w元． （1）直接写出w与x的函数关系式__________________； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 解：（1）由题意得： 当时，则； 当时，则； ∴； （2）当时，； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，（元）． 当时，，随增大而减小， ∴当时，（元）． ∵， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元． 8. （2024年海安二模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示． （1）直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围） （2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？ （3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？ 解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点， 设二次函数表达式为，一次函数表达式为， 二次函数经过，， ，解得：， 二次函数表达式为． 一次函数经过，， ，解得：， 一次函数表达式为． （2）， 当时，，解得， ， 当时，， 当甲车减速至9时，它行驶的路程是87.5； （3）当时，甲车的速度为16， 当时，两车之间的距离逐渐变大， 当时，两车之间的距离逐渐变小， 当时，两车之间距离最小， 将代入中，得， 将代入中，得， 此时两车之间的距离为：， 秒时两车相距最近，最近距离是． 9．（2024年崇川区二模）在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C． (1)用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________； (2)如图，当时，连接，．求证：平分； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围． 【详解】（1）根据直线与y轴交于点B，令，得 ∴点， 根据题意，得，解得， ∴交点坐标分别为， ∵点M在x轴上． ∴点， （2）∵抛物线， ∴，解得， ∴ 抛物线与x轴的交点为， ∴ ， ∵，∴ ， 根据(1)，得，， ∵点B关于点A的对称点为C，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ． ∴， ∵，∴， ∴ ， 故直线的解析式为， ∴ 不论k为何值，直线过定点， ∴点在直线上． ∴平分； （3） 设图象上的任意一点，图象上的任意一点， 根据题意得，，解得， ∴即图象的解析式为， 当时，图象的解析式为经过点B时，图象，图象与线段有唯一交点，∴满足解析式， ∴，解得(舍去)， 经过点M时，图象，图象与线段有唯一交点， ∴满足解析式， ∴，解得(舍去), ∴； 当时， 当时，图象，图象与线段没有交点， 当时，图象，图象与线段有M，B两个交点，不符合题意； ∴当时，图象与线段有两个交点，不符合题意； ∴时，图象与线段有一个交点， ∴， 故， ∴， 综上所述，或． 10．（2024年崇川区三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点 在点 的左侧． (1)直线经过定点 ，点 的坐标是____________； (2)如果直线 绕点旋转的过程中，与 始终互相垂直，求 的值； (3)抛物线与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ，如果 ，求 的最小值． 【详解】（1）解：∴直线经过定点. （2）解：抛物线的顶点坐标为， 设点A的坐标为，点B的坐标为， 联立与 得, ∴, ∴， 如图，过点A作轴于点G，点B作轴于点H， 则， ∴， ∴， ∴，即， 即， 即， ∴ ∴， 即， 解得：； （3）如图，连接， 则轴且， ∴， 当时，， ∴点F的坐标为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，或 当点E在F上方时， ∵， ∴当时，最小，最小为； 当点E在F下方时， 又∵ 综上所述，最小值为． 11. （2024年海安二模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m． （1）直接写出b，c的值； （2）如图，过A点的直线与y轴相交于点E，与抛物线相交于点D，过A点的另一条直线与抛物线相交于点F，求证： （3）过点P作x轴的平行线与直线交于点Q，线段的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 解：（1）抛物线（b，c是常数）与x轴交于点， 抛物线的解析式为， 故； （2）过点E作于点G， ∵，令则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∵，∴， ∵， ∴，即： ∴， ∵，∴， ∴， ∴在中，， 把代入中，得， ∴，当时，， ∴，∴， ∴在中， ， ∴， ∵ ∴； （3）①抛物线解析式为， 时，，即，， 设直线的解析式为， ，解得：，故直线的解析式为， 时，，即， 当时，点在点的左侧，， 当时，点在点的右侧，， 故； ②绘制的函数图象如图所示： 点，， 故当时，的值只有1个，故点只有1个； 当时，的值只有2个，故点只有2个； 当时，的值只有3个，故点只有3个． 12. （2024年海门二模）二次函数图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点D是二次函数在第一象限图象上的一动点，过点D作轴，交二次函数图象于另一点E．作点D关于y轴的对称点P． （1）求的长； （2）若是边长为1的等边三角形，求二次函数的解析式； （3）求的值的最大值． 解：（1） ，． 对称轴为直线． 设，则． 利用抛物线的对称性可知：， ． 为2． （2）是边长为1的等边三角形，，轴， ∴点C在线段的垂直平分线上，∴， ∴ ， 如图所示，过点C作于H，∴, ∴， ∴，解得． 二次函数解析式为． （3）设点的坐标为． 点，． ，， 又∵，四边形是平行四边形． ，， 当时，的值有最大值． 13. （2024年通州、如东二模）如图，直线与抛物线相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设的面积为S，且．过点B作x轴的垂线交的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的的平行线，，直线（不平行于y轴）与抛物线有唯一公共点，分别交，于P，Q两点． （1）求b的值； （2）求点E的纵坐标； （3）探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）设，点的横坐标为，则点的横坐标为， 设直线，则：，解得：，∴直线的解析式为：， 由（1）可知，， 令，整理，得：，则：是方程的两个实数根， ∴， 将代入，得：；∴点的纵坐标为； （3）是定值： 设直线的解析式为， 令，整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴，∴， ∴， 由（1）（2）可知：点的纵坐标为， ∴当时，，当时， ∴，， ∴， ∴ ； ∴的值为定值． 14．（2024年启东二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，满？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作的垂线，垂足为，，分别为射线，上的两个动点，且满足，连接，请直按写出的最小值． 【详解】（1）把，，代入 得， , 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）过点作的角平分线，交轴于点，过点作于， ∵为的角平分线，轴， ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又 ，即 在中， 又， 过点作，垂足为， 设点坐标为 ①若点在第四象限时， 或（舍） ． ②若点在第三象限时，同理可得关于轴的对称点 综上所述，或； （3）如图，过点作，同时使得，连接 ， 又 ， 过点作，垂足为， ， 在中，， ，， 在中， ∴的最小值为． 15．（2024年如东、海门一模）已知抛物线（m，n为常数，）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，． (1)求的值； (2)如图，连接交于点，求证：； (3)设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作MN//x轴，交直线AC于点N．由线段MN长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， ， 则． ， 将代入得：． ； （2）证明：由（1）得， ． ，． 过作轴交延长线于点， 设直线为，则，即， 直线为． 令，则，即， 点F横坐标为1， ． ∵轴， ，则， ； （3）解：直线为． 设的坐标为， 则的坐标为， ． 由题意知且． 结合图象， 当时，符合条件的点有3个； 当时，符合条件的点有2个； 当时，符合条件的点有1个． 16．（2024年启东一模）在二次函数的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足． (1)求p的值； (2)记时二次函数的最大值为，最小值为．若，求的取值范围； (3)连接．当时，作，垂足为点是否存在最大值？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）把点代入， 得，解得或0. 又∵点P在第二象限，， ∴； （2）由题意得点A和点B的坐标分别是和， 且，即． ①当时，，，，∴． ②当时，，，，∴． ③当时，，，，∴．   综上，的取值范围为． （3）如图，设，， 过点P作直线轴，作直线l于点C，作直线l于点D， 又∵，∴， ∴，即， ∴，化简得． 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为． ∵当时，恒有， ∴直线过定点． 当点H和Q不重合时，， ∴当取得最大值时，点H和Q重合． 此时，． 17．（2024年海安一模）在平面直角坐标系中，拋物线经过点，且． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过点，设点A与点横坐标的差为，点A与点纵坐标的差为，求的值； (3)在（2）的条件下，连接，若线段交抛物线对称轴于点（点不与重合），在直线的同侧作矩形，且．当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，求的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线； （2）解：由抛物线经过点， ∴ ，解得， 即抛物线解析式为， 将A、B两点横纵坐标代入后作差，可得， ； （3）∵点不与重合， ∴，而， ①或，则或， 则点A、B在对称轴右侧， 线段交抛物线对称轴不相交，不满足题意； ②时，则，点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧， 当经过点M时，此时正好符合题意， ∵ ， 设， 则，解得， ∴， ∴， 过点B作y轴的垂线，过点A作y轴的平行线，两直线交于点G， 对于，令，记抛物线与x轴右侧交点为M， 则，解得或，则与x轴交于和， 则由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或（舍）， ∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时， ∴； ③当时，，则A在对称轴右侧，B在对称轴左侧， 当点B经过抛物线与x轴侧交点时，正好满足题意， 将代入直线：得， ∴此时直线：， 联立得，解得或， ∴， ∴满足当抛物线在矩形内部的部分始终在轴下方时，， 综上：或． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$