6.2.4 向量的数量积 第1课时导学案 -2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的数量积（一） 学习目标 1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角. 2.理解平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积. 3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 新知学习 探究 新课导学 我们在物理课中学过，力与物体在力的作用下产生的位移的乘积称为力对物体所做的功，如图所示，如果作用在小车上的力的大小为，小车在水平面上的位移的大小为，力的方向与小车位移的方向的夹角为 ，那么这个力所做的功为 . 思考1．功与力向量及位移向量有关，这三者之间有什么关系，功是向量还是数量？ 思考2．给定任意两个向量,，能确定出一个和功类似的数量吗？ 一 两向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. 2．三种特殊情况 与的夹角 与的关系 与①____ 与②____ 与③____，记作④________ 例1 如图，在等边三角形中，点，，分别是边，，的中点，写出下列各组向量的夹角. （1） 与； （2） 与； （3） 与. （1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. （2）特别地，与的夹角为 ，与（，是非零常数）的夹角为，当时， ；当时， . ［跟踪训练1］．如图，已知是等边三角形. （1） 求向量与的夹角； （2） 若为的中点，求向量与的夹角. 二 向量的数量积 1．定义：已知两个非零向量与,它们的夹角为 ,把数量①____________________叫做向量与的数量积（或内积）,记作,即②____________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为③____. 2．性质 设,是非零向量,它们的夹角是 ,是与方向相同的单位向量,则 （1） . （2）④____. （3）当与同向时,⑤______________；当与反向时,⑥______________.特别地,⑦____________或. （4）由还可以得到⑧____. （5）. 例2 （1） （对接教材例9）已知向量与的夹角 为 ，且，，求： ① ; ② ; （2） 已知正三角形的边长为1，求： ① ； ② ； ③ . 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角,条件是两向量的起点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件. ［跟踪训练2］． （1） 若,,与的夹角 为 ,则（ ） A. 12 B. C. D. （2） 已知满足，，，则（ ） A. B. 7 C. 25 D. 三 投影向量 1．定义 如图，设,是两个非零向量，,,过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量①____，叫做向量②______在向量③______上的④__________. 2．公式 设与方向相同的单位向量为,与的夹角为 ,则向量在向量上的投影向量是⑤____________________. 例3 （1） 已知,,,与同向的单位向量为,则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. （2） 已知,为与方向相同的单位向量.若在上的投影向量为,则______. 求投影向量的方法 （1）依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量. （2）首先根据题意确定向量的模，与同向的单位向量,及两向量与的夹角 ,然后依据公式计算向量在向量上的投影向量. （3）向量在上的投影向量可表示为. ［提醒］ 表示与同向的单位向量. ［跟踪训练3］． （1） 在等腰梯形中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. （2） 已知向量，,且，则向量在向量上的投影向量为________. 课堂巩固 自测 1．已知在中, ,则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2．（教材P20T1改编）已知,,与的夹角是 ，则（ ） A. 3 B. C. D. 3．（教材P20T3改编）若,,向量与向量的夹角为 ，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4．两个向量的夹角的取值范围是____________.当与同向时，夹角为______.当与反向时，夹角为____. 5．在中，弦长为2，______. 1.已学习：向量的夹角、向量的数量积、投影向量. 2.须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量在向量上的投影向量是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法. 3.应注意：（1）用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； （2）向量在向量上的投影向量与向量在向量上的投影向量不同. 课后达标 检测 A 基础达标 1．在正六边形中，向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2．在等腰直角三角形中，若 ，，则的值等于（ ） A. B. 2 C. D. 3．[2024·贵州安顺月考]在直角三角形中， ， ，，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 4．已知，在上的投影向量为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 5．已知平面向量满足，其中是单位向量，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6．（多选）在中，下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量为 B. C. 若，则为钝角三角形 D. 若是等边三角形，则，的夹角为 7．在边长为3的等边三角形中，为上一点且，则________. 8．已知,,则向量在向量上的投影向量为____________. 9．在正方形中，，则正方形的边长为______. 10．已知在中，，，，求，，的值. B 能力提升 11．[2024·广东广州期中]如图，在太极图中，，分别为太极图中的最低点和最高点，经过大圆和两个小圆的圆心，且两个小圆的圆心是线段的两个四等分点（异于的中点），过点作圆的切线，切点为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 12．（多选）设向量在向量上的投影向量为，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 13．已知向量,满足，则,的夹角为________. 14．已知是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列：，，，. C 素养拓展 15．定义：| ,其中 为向量与的夹角,若,,，则（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 6 16．如图,扇形中的中点为,动点,分别在线段,上,且,, . （1） 若点是线段上靠近点的四等分点,用,表示向量; （2） 求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的数量积（一） 学习目标 1.理解平面向量夹角的概念，会求两向量的夹角. 2.理解平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积. 3.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 新知学习 探究 新课导学 我们在物理课中学过，力与物体在力的作用下产生的位移的乘积称为力对物体所做的功，如图所示，如果作用在小车上的力的大小为，小车在水平面上的位移的大小为，力的方向与小车位移的方向的夹角为 ，那么这个力所做的功为 . 思考1．功与力向量及位移向量有关，这三者之间有什么关系，功是向量还是数量？ 思考2．给定任意两个向量,，能确定出一个和功类似的数量吗？ 【答案】思考1 提示： 与 及 的关系为.功 是数量. 思考2 提示：向量的数量积. 一 两向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. 2．三种特殊情况 与的夹角 与的关系 与①____ 与②____ 与③____，记作④________ 【答案】同向； 反向； 垂直； 例1 如图，在等边三角形中，点，，分别是边，，的中点，写出下列各组向量的夹角. （1） 与； （2） 与； （3） 与. 【答案】（1） 【解】与 的夹角是 . （2） 因为，所以 与 的夹角等于 与 的夹角，即 . （3） 如图，延长 至，使，则，则 与 的夹角等于 与 的夹角，即 . （1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. （2）特别地，与的夹角为 ，与（，是非零常数）的夹角为，当时， ；当时， . ［跟踪训练1］．如图，已知是等边三角形. （1） 求向量与的夹角； （2） 若为的中点，求向量与的夹角. 【答案】 （1） 解：因为 为等边三角形，所以 . 如图，延长 至点,使，则,所以 为向量 与 的夹角. 因为 ，所以 , 所以向量 与 的夹角为 . （2） 因为 为 的中点，所以， 所以向量 与 的夹角为 . 二 向量的数量积 1．定义：已知两个非零向量与,它们的夹角为 ,把数量①____________________叫做向量与的数量积（或内积）,记作,即②____________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为③____. 【答案】； ； 0 2．性质 设,是非零向量,它们的夹角是 ,是与方向相同的单位向量,则 （1） . （2）④____. （3）当与同向时,⑤______________；当与反向时,⑥______________.特别地,⑦____________或. （4）由还可以得到⑧____. （5）. 【答案】0； ； ； ； 例2 （1） （对接教材例9）已知向量与的夹角 为 ，且，，求： ① ; ② ; （2） 已知正三角形的边长为1，求： ① ； ② ； ③ . 【答案】 （2） ① 【解】由题意得. 因为 与 的夹角为 ，所以. ② . 因为 与 的夹角为 ，所以. ③ 因为 与 的夹角为 ，所以. 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角,条件是两向量的起点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件. ［跟踪训练2］． （1） 若,,与的夹角 为 ,则（ ） A. 12 B. C. D. （2） 已知满足，，，则（ ） A. B. 7 C. 25 D. 【答案】（1） D （2） D 【解析】 （1） 选.故选D. （2） 选D.由题得，所以 ，所以原式.故选D. 三 投影向量 1．定义 如图，设,是两个非零向量，,,过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量①____，叫做向量②______在向量③______上的④__________. 【答案】投影； ； ； 投影向量 2．公式 设与方向相同的单位向量为,与的夹角为 ,则向量在向量上的投影向量是⑤____________________. 【答案】 例3 （1） 已知,,,与同向的单位向量为,则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. （2） 已知,为与方向相同的单位向量.若在上的投影向量为,则______. 【答案】（1） A （2） 4 【解析】 （1） 根据投影向量的定义，设，的夹角为 ,可得向量 在向量 上的投影向量是. （2） 设 与 的夹角为 ,且，所以,又因为 在 上的投影向量为,所以,所以，所以. 求投影向量的方法 （1）依据投影向量的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量. （2）首先根据题意确定向量的模，与同向的单位向量,及两向量与的夹角 ,然后依据公式计算向量在向量上的投影向量. （3）向量在上的投影向量可表示为. ［提醒］ 表示与同向的单位向量. ［跟踪训练3］． （1） 在等腰梯形中，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. （2） 已知向量，,且，则向量在向量上的投影向量为________. 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 选C.如图，过点D，C分别作，于点，，在等腰梯形 中，，可得，则，故向量 在向量 上的投影向量为. （2） 依题意向量 在向量 上的投影向量为. 课堂巩固 自测 1．已知在中, ,则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.如图,与 的夹角与 的值相等，等于 .故选D. 2．（教材P20T1改编）已知,,与的夹角是 ，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由向量数量积的定义，得.故选B. 3．（教材P20T3改编）若,,向量与向量的夹角为 ，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选D.向量 在向量 上的投影向量是,.故选D. 4．两个向量的夹角的取值范围是____________.当与同向时，夹角为______.当与反向时，夹角为____. 【答案】； 0； 【解析】根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角的取值范围是，当 与 同向时，夹角为0，当 与 反向时，夹角为 . 5．在中，弦长为2，______. 【答案】2 【解析】过 作 于点，则点 为 的中点，. 1.已学习：向量的夹角、向量的数量积、投影向量. 2.须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量在向量上的投影向量是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法. 3.应注意：（1）用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点； （2）向量在向量上的投影向量与向量在向量上的投影向量不同. 课后达标 检测 A 基础达标 1．在正六边形中，向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B. 如图，设 与 交于点，由正六边形的性质可知 为等边三角形，所以，则向量 与 的夹角为. 2．在等腰直角三角形中，若 ，，则的值等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题意知，，， ，. 3．[2024·贵州安顺月考]在直角三角形中， ， ，，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】选A.因为 为直角三角形，且 ，，所以，且， ，所以. 4．已知，在上的投影向量为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】选B.设 与 的夹角为 ，因为，所以，所以，所以. 5．已知平面向量满足，其中是单位向量，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选C.因为,，所以,，所以，故 的取值范围为.故选C. 6．（多选）在中，下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量为 B. C. 若，则为钝角三角形 D. 若是等边三角形，则，的夹角为 【答案】AC 【解析】选.对于A，与 共线的单位向量为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以，所以A为钝角，则 为钝角三角形，故C正确； 对于D，若 是等边三角形，则，的夹角为 ，故D错误.故选. 7．在边长为3的等边三角形中，为上一点且，则________. 【答案】 【解析】由题得，，所以. 8．已知,,则向量在向量上的投影向量为____________. 【答案】 【解析】与 方向相同的单位向量为,所以向量 在向量 上的投影向量为. 9．在正方形中，，则正方形的边长为______. 【答案】5 【解析】在正方形 中，， .设，则，，解得. 所以正方形 的边长为5. 10．已知在中，，，，求，，的值. 解： 因为，，，所以，所以 .如图所示. 所以， ， . B 能力提升 11．[2024·广东广州期中]如图，在太极图中，，分别为太极图中的最低点和最高点，经过大圆和两个小圆的圆心，且两个小圆的圆心是线段的两个四等分点（异于的中点），过点作圆的切线，切点为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】选B.由题意得，连接（图略），由 与圆 相切，得，故 在 上的投影向量为，所以向量 在向量 上的投影向量为. 12．（多选）设向量在向量上的投影向量为，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】选.记向量，的夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量，A错误，B正确；所以，故C正确，D错误.故选. 13．已知向量,满足，则,的夹角为________. 【答案】 【解析】由题意得,不共线，设,, 以，为邻边作平行四边形，则. 由 可知,为等边三角形，也为等边三角形，故,. 14．已知是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列：，，，. 解：设正六边形的边长为1，如图，则，，，，，，， 所以, , ,, 所以. C 素养拓展 15．定义：| ,其中 为向量与的夹角,若,,，则（ ） A. 8 B. C. 8或 D. 6 【答案】A 【解析】选，因为,所以.所以.故选A. 16．如图,扇形中的中点为,动点,分别在线段,上,且,, . （1） 若点是线段上靠近点的四等分点,用,表示向量; （2） 求的取值范围. 【答案】 （1） 解：连接，（图略）. 由已知可得，四边形 是菱形， 则, 所以 . （2） 易知 ，且， 那么只需求 的最大值与最小值即可. 当 时，最小，此时， 则. 当 与 或 重合时，最大，此时， 则. 所以 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$