精品解析：湖北省黄石市阳新县2024-2025学年 八年级上学期数学期末质量检测试题

阳新县2024~2025学年度上学期期末质量检测 八年级数学试题卷 （考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交． 一、仔细选一选（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，对称轴最多的图形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 正五边形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的对称轴的概念是解答此题的关键． 平面内一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个定义即可判断所给图形的对称轴条数，从而得解． 【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴；正方形是轴对称图形，有4条对称轴；正五边形是轴对称图形，有5条对称轴； 上述图形中，对称轴最多的是正五边形； 故选：D． 2. 某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需要准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系并运用是解题的关键．根据三角形三边关系定理，即“三角形任意两边之和大于第三边”、“三角形任意两边之差小于第三边”进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴能组成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了底数幂乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 利用同底数幂乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方等运算法则分别计算，判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 6. 若，，，则下列a、b、c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的比较大小，先根据平方差公式和零指数次幂、提取公因式计算出，，，然后比较大小即可解题． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选A． 7. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 【答案】C 【解析】 【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ∠ABP＝∠EBP BP＝BP ∠APB＝∠EPB， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 8. 若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. -4 B. 16 C. -4或-16 D. 4或16 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵x2+2（m-3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）=x2+（n+2）x+2n不含x的一次项， ∴m-3=±1，n+2=0， 解得：m=4或m=2，n=-2， 当m=4，n=-2时，nm=16； 当m=2，n=-2时，nm=4， 则nm=4或16， 故选：D． 【点睛】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 9. 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决本题的突破点． 第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可． 【详解】解：设规则瓶体部分的底面积为．倒立放置时，空余部分的体积为，正立放置时，有墨水部分的体积是因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的， 故选B． 10. 如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C ． 二、认真填一填（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，，观察尺规作图痕迹，的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作角，根据作图可知，，求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先解关于的方程，表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或 当时，． 当时，，原方程分母为0，原方程无解． ∴． 故答案：． 14. 阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了探索规律，由，，，得到，然后当时代入求解即可，根据题意规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 15. 如图，分别以长方形的，为边向外作正方形和正方形，延长，交于点I，若正方形和正方形的面积和为18，长方形的面积为9，则正方形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的综合，设，，则，，进而得到，结合正方形的周长公式可得结论 【详解】解：设，，则， ∵长方形的面积为9，即：， 正方形和正方形的面积和为， ∴，即， ∴， 则正方形的周长为， 故答案为：． 16. 如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 三、全面答一答（本题有9个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，和0次幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂运算化简绝对值法则进行化简，然后再进行合并即可； （）先计算整式乘法，再计算加减法即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 如图，点B、C分别在射线，上，点E，F都在内部的射线上，已知，且． （1）求证：； （2）试判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，线段的和与差等知识点，利用证明是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得，结合，，可得，由三角形外角的性质可得，结合，，可得，结合，利用即可得出结论； （2）由（1）得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，然后利用等量代换即可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）得：， ，， ， ． 19. 化简，再从，1，3中选择一个合适数代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值；熟知运算法则是正确解答此题的关键． 先根据异分母分式的减法法则计算，再将除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，最后进行约分化简；再选择使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 当时，原式． 20. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】80吨 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程的应用，解题的关键是找准等量关键正确列出方程． 设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 根据题意得：， 方程两边同乘， 得， 解得， 经检验，是分式方程的解； 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 21. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，已知，，．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图的痕迹，不要求说明理由． （1）的面积为________； （2）作的角平分线； （3）在y轴上作一点E，使最小； （4）作的高线． 【答案】（1）8 （2）见解析； （3）见解析； （4）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据三线合一的性质作图即可； （3）根据轴对称最短的性质作图即可； （4）取格点G，连接，连接交于点F，即为所求作． 【小问1详解】 解：． 故答案为：8； 【小问2详解】 如图，取的中点，格点D，连接，则即为所求作； 【小问3详解】 作点A（或者点C）关于y轴的对称点（或者），连接（或者）交y轴于点E，则点E即为所求作； 【小问4详解】 取格点G，连接，连接交于点F， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴，即，则即为所求作． 【点睛】本题考查了在网格中求三角形的面积，等腰三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22. 阅读并解答：对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为，由此可断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出，后代入，就可以把多项式因式分解． （1）求式子中，的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得出有关m，n的方程求出即可； （2）由把代入，得其值为0，则多项式可分解为的形式，进而将多项式分解得出答案． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：当 时，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 23. 大飞公司生产了一批A、B两种型号的产品，为了适应市场的不同消费需求，公司计划对两种产品进行精（包）装和简（包）装的方案：精装A型产品800台，精装B型产品的数量比精装A型产品的数量少，其余产品进行简装． （1）求计划精装B型产品多少台？ （2）计划简装的产品数与这批产品总数之比为，求这批产品共有多少台； （3）（3）在（2）的条件下，经过市场调研发现精装的B型产品比精装的A型产品畅销，故公司决定调整包装方案，在保证精装产品总数量不变的情况下，减少A型产品精装的数量，增加B型产品精装的数量，结果是精装A型产品数量与简装A型产品数量的比为，新增精装B型产品数量占总产品的，甲、乙两个包装工厂给出相同的价格，精装费用为10元/台，简装费用为8元/台，并推出如下优惠方案： 工厂 甲 乙 分类 精装 简装 A型 B型 优惠 那么公司选择哪一家包装工厂更划算？ 【答案】（1）600台 （2）2200台 （3）乙工厂更划算 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据精装A型产品800台，精装B型产品数量比精装A型产品的数量少，列出算式进行计算即可； （2）根据计划简装的产品数与这批产品总数之比为，列出算式进行计算即可； （3）分别求出甲、乙两个包装工厂需要的价格，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：精装B：（台）； 【小问2详解】 解：一共：（台）； 【小问3详解】 解：精装B型：（台）， 精装A型：（台）， 简装A型：（台）， 简装B型：（台）， 甲工厂： （元）， 乙工厂： （元）， 因为，所以选择乙工厂更划算． 24. 在锐角中，分别以，为边向外作等边和等边，连接，交于点． （1）如图1，易证，其依据是______，从而得出结论：______与______（用“”、“”或“”填空）； （2）如图2，若，请探究线段与的数量关系及直线与的位置关系，并给出证明； （3）在（2）的条件下，若交于于点，于点（如图2），试探究，，之间存在的等量关系，并给予证明． 【答案】（1）；； （2）线段与的数量关系：，直线与的位置关系：；证明见解析 （3）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质可得，，继而得到，可得结论； （2）证明，根据全等三角形的性质可得，，继而得到，再证明垂直平分，由垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得到，即可得证； （3）设，，由（2）知：，，，根据直角三角形两锐角互余得到，，则，，，得到，，再用，的代数式表示出∴和，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：线段与的数量关系：，直线与的位置关系：． 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，，之间存在的等量关系是：． 证明：设，， ， 由（2）知：，，， ∴，，， ∴， ， ∴，，， ∴，， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余等知识点．掌握全等三角形的判定和性质及角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，a，b满足，连接，过点A作，且，连接． （1）如图1，求点C的坐标； （2）如图2，点D的坐标为，在（1）的条件下作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若点N的坐标是，点P在第二象限，且P，N，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点P坐标为或或， 【解析】 【分析】（1）先利用非负数的性质求出A点的坐标为，B点的坐标为，得到，，过点C作轴于H，证明，则，，则，即可得到点C的坐标； （2）过点E作轴于点G，证明，则，得到，则，即可得到求点M的坐标． （3）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 此题考查了坐标与图形、三角形的全等和判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，， 如图1，过点C作轴于H， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点； 【小问2详解】 解：如图2，过点E作轴于点G， 同（1）理可证：， ∴，， ∴， ， 和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：点P坐标为或或， 如图3，当，时，过点N作轴于Q，过点P作于F， ∵，，， ∴，，， 同理可证， ∴，， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点； 如图4，当，时，过点P作轴于R，过点N作轴于L， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴点； 如图5，当，时，过点P作轴于T，过点M作于S，过点N作于W， 同理可证， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点， 综上所述：点P坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阳新县2024~2025学年度上学期期末质量检测 八年级数学试题卷 （考试时间：120分钟，总分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交． 一、仔细选一选（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，对称轴最多的图形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 正方形 D. 正五边形 2. 某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需要准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若分式值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 6. 若，，，则下列a、b、c的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 8. 若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ） A. -4 B. 16 C. -4或-16 D. 4或16 9. 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、认真填一填（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，，观察尺规作图痕迹，的度数为______． 13. 若分式方程的解为正整数，则整数m的值为______． 14. 阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算：______． 15. 如图，分别以长方形的，为边向外作正方形和正方形，延长，交于点I，若正方形和正方形的面积和为18，长方形的面积为9，则正方形的周长为______． 16. 如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______． 三、全面答一答（本题有9个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，点B、C分别在射线，上，点E，F都在内部射线上，已知，且． （1）求证：； （2）试判断、、之间的数量关系，并说明理由． 19. 化简，再从，1，3中选择一个合适的数代入求值． 20. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 21. 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，已知，，．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图的痕迹，不要求说明理由． （1）的面积为________； （2）作的角平分线； （3）在y轴上作一点E，使最小； （4）作高线． 22. 阅读并解答：对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为，由此可断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式的值为，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出，后代入，就可以把多项式因式分解． （1）求式子中，的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式． 23. 大飞公司生产了一批A、B两种型号的产品，为了适应市场的不同消费需求，公司计划对两种产品进行精（包）装和简（包）装的方案：精装A型产品800台，精装B型产品的数量比精装A型产品的数量少，其余产品进行简装． （1）求计划精装B型产品多少台？ （2）计划简装的产品数与这批产品总数之比为，求这批产品共有多少台； （3）（3）在（2）的条件下，经过市场调研发现精装的B型产品比精装的A型产品畅销，故公司决定调整包装方案，在保证精装产品总数量不变的情况下，减少A型产品精装的数量，增加B型产品精装的数量，结果是精装A型产品数量与简装A型产品数量的比为，新增精装B型产品数量占总产品的，甲、乙两个包装工厂给出相同的价格，精装费用为10元/台，简装费用为8元/台，并推出如下优惠方案： 工厂 甲 乙 分类 精装 简装 A型 B型 优惠 那么公司选择哪一家包装工厂更划算？ 24. 在锐角中，分别以，为边向外作等边和等边，连接，交于点． （1）如图1，易证，其依据是______，从而得出结论：______与______（用“”、“”或“”填空）； （2）如图2，若，请探究线段与的数量关系及直线与的位置关系，并给出证明； （3）在（2）的条件下，若交于于点，于点（如图2），试探究，，之间存在的等量关系，并给予证明． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，a，b满足，连接，过点A作，且，连接． （1）如图1，求点C坐标； （2）如图2，点D的坐标为，在（1）的条件下作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若点N的坐标是，点P在第二象限，且P，N，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$