精品解析：湖南省岳阳市平江县颐华高级中学2024-2025学年高二下学期开学测试数学试题

平江县颐华学校2024—2025年度高二数学开学测试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 A. B. C. D. 2. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ） A. B. － C. －3 D. 3 5. 当时，函数取得最大值，则（ ） A B. C. D. 1 6. 已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若球O的体积为，则该三棱锥的体积是（ ） A. B. 5 C. D. 7. 数列{an}中，a1＝﹣2，an+1＝，则a2016＝（ ） A. ﹣2 B. ﹣ C. D. 3 8. 过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ） A. B. C. D. 与弦斜率有关 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 11. 已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（　　） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设等差数列，的前项和分别为，，若，则________． 13. 已知是圆上的动点，，则实数的取值范围是__________． 14. 若函数在内只有一个零点，则的零点之和为______． 四、解答题：本题共5大题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△P'AB为等边三角形（如图1所示），△P'AB沿着AB折起到△PAB的位置，且使平面PAB⊥平面ABCD，M是棱AD的中点（如图2所示）． （1）求证：PC⊥BM； （2）求直线PC与平面PBM所成角余弦值． 16. 已知在中，角的对边分别为，向量，. （1）求角C的大小； （2）若成等差数列，且，求c. 17. 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项． （1）求； （2）设，求前n项和． 18. 已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点定点作斜率为的直线与椭圆交于，，直线，的斜率分别记为，.求的值 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平江县颐华学校2024—2025年度高二数学开学测试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，侧面展开图是一个半圆，，圆锥的表面积为，，故圆锥的底面半径为，故选B. 考点：圆锥几何性质及侧面积公式. 2. 已知，，且，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量共线的坐标表示建方程组求解即可. 【详解】由，得， 解得，所以， 故选：A. 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【详解】由于，，， 所以， 故选：B 4. 已知，则的值是（ ） A. B. － C. －3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦化切，由题中条件，得到，再由得到，再由弦化切，即可得出结果. 【详解】因为，所以，即， 解得：， 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，根据弦化切即可求解，属于常考题型. 5. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 6. 已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若球O的体积为，则该三棱锥的体积是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三棱锥放入长方体内，所以长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，由球的体积求出的长度，再求出，由三棱锥体积公式求解即可. 【详解】因为，， 易知三角形ABC为等腰直角三角形， 又平面ABC，所以PB为三棱锥的高， 则可将三棱锥放入长方体内，如图， 长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径， , 又， 解得, 所以三棱锥的体积， 故选：A 7. 在数列{an}中，a1＝﹣2，an+1＝，则a2016＝（ ） A. ﹣2 B. ﹣ C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知条件依次计算数列前几项得到该数列的周期，再计算即可. 【详解】依题意，，，，，…依次类推可知数列{an}是周期数列，周期为4，而，故. 故选：D. 【点睛】本题考查了数列的递推公式和周期性的应用，属于基础题. 8. 过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ） A. B. C. D. 与弦斜率有关 【答案】B 【解析】 【分析】不妨设为椭圆的右焦点，，，利用椭圆的右焦半径公式，， 联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，将式子化简整理可得． 【详解】令，设，， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 由，解得，则，所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，整理得：， 所以，， 又，，所以， 综上，. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据对数函数性质即可判断A，利用指数函数和即可判断BC，利用中间量即可判断D. 【详解】需要，不能满足，A选项错误； 由指数函数的性质，当时，有，B选项错误； 由幂函数的性质，当时，有，即，C选项正确； 当时，由幂函数和指数函数的单调性， 则成立，D选项正确. 故选：CD 10. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 有两个零点 C. 曲线在点处切线的斜率为 D. 是偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据函数的定义域可判断D，利用函数的导数的正负可判断A，利用导数的几何意义可判断C，根据函数值的情况及零点定义可判断B. 【详解】由知函数的定义域为， ， 当时，，， 故在单调递增，A正确； 由，当时，， 当，所以只有0一个零点，B错误； 令，，故曲线在点处切线的斜率为，C正确； 由函数定义域为，不关于原点对称知，不是偶函数，D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题. 11. 已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则下列说法中正确的是（　　） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN方程联立进行求解当时，，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合的周长为进而判断选项D即可． 【详解】解：由题意得点在抛物线上， 所以，解得，所以C：，则， 对于A选项，设直线：，与联立得， 设，，所以，， 所以， 当直线的斜率为时，，，故A项正确； 对于B选项，由抛物线的定义， ， 所以， 当且仅当，时等号成立，故B项正确； 对于C选项，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为， 则，是梯形的中位线， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切， 所以为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为， 又因为为的中点，所以点的纵坐标为， 又点在抛物线上，所以点的横坐标为，故C项正确； 对于D选项，过作垂直于准线，垂足为， 所以的周长为， 当且仅当点的坐标为时取等号，故D项错误． 故选:ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 设等差数列，的前项和分别为，，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列前项和公式，化简比例式，代入即可求解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 13. 已知是圆上的动点，，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由的几何意义可知其表示圆上的点与点所在直线的斜率，求出过点A的切线的斜率，结合图象即可求得结果. 【详解】设，由题知圆的圆心为，半径，表示直线的斜率， 不妨设过点A的圆的切线方程为， 则圆心到切线的距离，解得或， 结合图可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 若函数在内只有一个零点，则的零点之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】运用参变分离，转化为函数交点，借助导数和条件内只有一个零点，求出a,再根据零点概念求解零点，再求和. 【详解】，即在内有一个根． 即，与在内有一个交点. , 解得，单调递减；单调递增. 因此.当时，；当时，， 的图象与在内有一个交点.则，则. , 即， 令，解得，则的零点之和为 故答案为：. 四、解答题：本题共5大题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△P'AB为等边三角形（如图1所示），△P'AB沿着AB折起到△PAB的位置，且使平面PAB⊥平面ABCD，M是棱AD的中点（如图2所示）． （1）求证：PC⊥BM； （2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取AB中点O，CD中点E，连接PO，OE，可证OB、OE、OP两两垂直，从而建立如图所示空间直角坐标系，利用向量的数量积为0可证PC⊥BM； （2）求出直线的方向向量和法向量后可求线面角的正弦值，从而可求余弦值. 【小问1详解】 取AB中点O，CD中点E，连接PO，OE， 因为ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，所以OE⊥AB，PO⊥AB， 又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面，平面平面， 故平面，而平面，所以PO⊥OE， 所以OB、OE、OP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，0，），C（1，2，0），B（1，0，0），M（﹣1，1，0）， ，，所以，所以PC⊥BM； 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面PBM的法向量为， 故即，令，. 则，设PC与平面PBM成角为θ， 故， 因为为锐角，故． 16. 已知在中，角的对边分别为，向量，. （1）求角C的大小； （2）若成等差数列，且，求c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算结合三角函数恒等变换公式可求出角C的大小； （2）由已知条件结合正弦定理可得，由，得，得，然后利用余弦定理可求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为在中，， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 【小问2详解】 由成等差数列， 可得， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以，得， 由余弦定理得， 所以，， 所以. 17. 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项． （1）求； （2）设，求的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式求得基本量，从而利用公式法依次求得； （2）结合（1）中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，前项和为，则， 因为，则，即， 又因为成等比数列，所以，即，整理得， 又因为，所以， 联立，解得， 所以， 又，，是等比数列， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 所以数列的前n项和. 18. 已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点定点作斜率为的直线与椭圆交于，，直线，的斜率分别记为，.求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的标准方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设直线：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 得，所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 设直线：，则， 消得：， ， 所以， 设，， 所以，， 因为，所以，， 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：. 【答案】（1）； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）代入,可得的解析式.求得导函数,即可得直线方程的斜率,求得点坐标后,由点斜式即可求得切线方程. （2）根据放缩法,由得.从而证明即可.构造函数,通过求得导函数,再令,求得.即可判断的单调性,进而求得的零点所在区间,并判断出该零点为的极小值点,求得在该点的最小值,即证明不等式成立. 【详解】（1）当时, 所以 所以,又因为,即点坐标为 所以曲线在点处的切线方程为 即 （2）证明：当时,, 要证明只需证明, 设,则, 设,则, 所以函数在上单调递增, 因为,, 所以函数在上有唯一零点,且, 因为,所以,即, 当时,；当时,, 所以当时,取得最小值, 故 综上可知,若,. 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程,由导数证明不等式成立.根据导数判断函数的单调性和极值,函数的最值及零点的综合应用,对思维能力要求较高,是高考的常考点和重难点,属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$