精品解析：湖北省宜昌市第一中学2024-2025学年高一上学期12月阶段性测试数学试卷

宜昌一中2024级高一年级十二月阶段性检测 高一数学试卷 考试时间：2024年12月10日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表： x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1 0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ） A. 0.625 B. C. 0.5625 D. 0.066 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是奇函数，为偶函数，则 A. B. C. D. 7. 已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 命题“，”为假命题 D. 若的解集为M，则 8. 若函数(且)在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 已知集合，，则满足题意的集合有个 C. 已知函数，则 D. 函数（，）的图象必过点 10. 对数函数与的图象如图所示，过原点O的直线交的图象于A，B两点，过点A，B分别作y轴的平行线交于C，D两点，交x轴于M，N两点则（ ） A. B. C. O，C，D三点共线 D. 当轴时，点A坐标为 11. 已知函数，.下列选项正确的是（ ） A. B. ，使得 C. 对任意，都有 D. 对任意，都有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 13. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 14. 已知函数，其中，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或． （1）求，； （2）若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 16. 按照要求解答下列问题. （1）已知函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （2）求函数，的最小值. 17. 某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下： 元 1 2 3 4 万件 3 2 1.5 1.2 为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：． （1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？ 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设． （1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值； （3）当时，设，已知在上有两个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜昌一中2024级高一年级十二月阶段性检测 高一数学试卷 考试时间：2024年12月10日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据交集运算求解. 【详解】由，得，则， 由，解得，则， 所以． 故选：B． 2. 已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表： x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1 0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（ ） A. 0.625 B. C. 0.5625 D. 0.066 【答案】C 【解析】 【分析】按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可． 【详解】由题意得在区间上单调递增， 设方程的解的近似值为， 由表格得， 所以, 因为， 所以方程的近似解可取为0.5625． 故选：C. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性质及过特殊点，结合图象特征利用排除法求解. 【详解】令 ， 则， 所以函数是偶函数，图象关于轴对称，故排除B、D， 再由时，函数值，可得图象过点，故排除C. 故选：A 4. 已知幂函数的图象与轴无交点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数的等式与不等式，即可解出的值. 【详解】因为幂函数的图象与轴无交点， 则，解得. 故选：B. 5. 已知正数x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式即可判断；对B，利用“1”的代换，结合基本不等式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，表达为的函数，取当  接近  时，表达式趋近于 ，可否的D. 【详解】对于A：因为，则， 当且仅当，即，时取等号，故A错误； 对于B：， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C：因为，则， 当且仅当，即，时取等号，故C正确； 对于D：代入 ，得 ， 当  接近  时，表达式趋近于 ，超过 ，因此D错误. 故选：C. 6. 若函数是奇函数，为偶函数，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，可得f（1）+f（﹣1）＝4，及，两式联立即可求得f（﹣1）． 【详解】∵函数F（x）＝f（x）﹣2x4是奇函数， ∴F（1）+F（﹣1）＝0，即f（1）﹣2+f（﹣1）﹣2＝0，则f（1）+f（﹣1）＝4①， ∵为偶函数， ∴G（1）＝G（﹣1），即，则②， 由①②解得，． 故选：C． 【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，考查函数值的求解，根据奇偶性的定义建立关于f（1），f（﹣1）的方程组是解题关键，属于基础题． 7. 已知，且关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 命题“，”为假命题 D. 若的解集为M，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系可得，，可判断选项A；利用二次函数对称轴可判断选项B；根据关系化简不等式可判断选项C；利用两不等式的关系可判断选项D. 【详解】因为，且关于x的不等式的解集为， 所以，且的根为和2，所以，得，， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，所以，， 因为，，所以，故B错误； 对于C，即为，即，无解， 故命题“，”为假命题，故C正确； 对于D，因为是由向上平移一个单位，所以，故D错误. 故选：C． 8. 若函数(且)在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出函数是增函数，所以是一个方程的两个根，通过换元法转化为二次方程有两个正根来解决，应用判别式及根与系数的关系即可解出． 【详解】由复合函数的知识知，是增函数， 故，， 则 ， 所以的解是，令 从而一元二次方程有两个正根， 只需，解得， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题解题时，先分析出函数是增函数，通过换元法转化为二次方程有两个正根来解决是关键点． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 已知集合，，则满足题意的集合有个 C. 已知函数，则 D. 函数（，）的图象必过点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性即可判断选项A，根据并集的概念和运算即可判断选项B，利用换元法求解函数解析式，即可判断选项C，根据指数函数的性质，即可判断选项D. 【详解】对于A，令，解得或， 所以函数的定义域为， 又在该范围上的增区间为， 且函数在该范围上的减区间为， 故函数的单调递减区间是，故A错误； 对于B，已知集合，， 则或或或，故B正确； 对于C，令，，则， ，， 即，，故C错误； 对于D，令，得，此时， 函数的图象必过定点，故D正确. 故选：BD 10. 对数函数与的图象如图所示，过原点O的直线交的图象于A，B两点，过点A，B分别作y轴的平行线交于C，D两点，交x轴于M，N两点则（ ） A. B. C. O，C，D三点共线 D. 当轴时，点A坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数和运算性质得到，用均值不等式，可判断AB；设，，由，得， ，由可判断C； 因为轴， 联列方程组，得，求出后可判断D. 【详解】设，因为轴，且在上，在轴上. 根据对数换底公式，点纵坐标为，点纵坐标为，点纵坐标为.得点B是DN的中点，所以，故A正确. ，当且仅当时取得等号，显然等号取不到，故B错误； 设，．过原点O的直线交的图象， 于A，B两点，且轴，所以， 所以，即，所以，即， 所以，又∵轴，所以， 所以O，C，D三点共线，故C正确； 因为轴(已知条件)，所以，则， 联列方程组，消去可得：，即， 由图象可知：，所以，解得：， 此时，，所以点A坐标为，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数，.下列选项正确的是（ ） A. B. ，使得 C. 对任意，都有 D. 对任意，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，即可判断A；根据，令，结合零点的存在性定理即可判断B；由、，结合复合函数的单调性可得和的单调性，即可判断C；由选项BC的分析可得，分类讨论当、时与的大小，进而判断D. 【详解】A：因为，所以，. 因为，， 所以，故A错误； B：若，则，即， ，可得， 令，因为，， 所以，使得，即，故B正确； C：因为， 且在上单调递减，所以也单调递减， 可得， 因为. 又在上单调递增，所以也单调递增， 得，即， 因此，对于任意的，都有，故C正确； D：由B可知：，使得， 结合C的结论，可知当，，，即， 当时，，，即， 因为，，得，即， 当时，有， 因为，所以，所以， 因此可得，即， 当，有， 因为，所以，可得，即， 因此，对于任意的，都有，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数或基本函数的单调性求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故答案为： 13. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，其中，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设 ，画出函数图像得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案. 【详解】设 ，如图所示，画出函数图像，有三个不同的实数解，需满足 即 设， 当，满足： 解得： 当，解得，此时 ，满足 综上所述： 故答案为 【点睛】本题考查了函数的零点问题，漏解是容易发生的错误，根据图像得到根的大小关系是解题的关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，或． （1）求，； （2）若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合然后求其补集即可，求出集合的补集，再求与集合的交集即可. （2）由题意可得，讨论集合是否为空集即可. 【小问1详解】 集合，或， 则或，，则 【小问2详解】 ，为真命题，即， 又，， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，由可得或，解得， 综上，m的取值范围为：或． 16. 按照要求解答下列问题. （1）已知函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （2）求函数，的最小值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）运用二次函数的性质，结合图像可解；（2）先去绝对值，写出分段函数，再结合指数函数单调性，一次函数单调性，求解最值即可. 【小问1详解】 根据题意得到，解得， 故的取值范围是. 【小问2详解】 由题意可得， 当时，函数和单调递增，故函数在上单调递减， 故； 当时，函数在上单调递增，故； 当时，，可知. 综上可知的最小值为3. 17. 某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下： 元 1 2 3 4 万件 3 2 1.5 1.2 为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：． （1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？ 【答案】（1）最合适， （2）元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合给定的函数模型，代入验证，即可求解； （2）由成本与销量Q的关系为，列出不等式，结合不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：若选择模型，将代入可得，即， 经验证，均不满足，故模型不合适． 若选择模型，因为过点，所以模型不合适． 若选择模型，将代入可得，即， 经验证，，均满足，故模型最合适，且． 【小问2详解】 解：由成本与销量Q的关系为． 要使生产的产品可以获得利润，则． 因为，所以，即． 因为，所以． 故该产品的销售单价应该高于元． 18. 已知函数，. （1）若，求函数在区间上的值域； （2）若，求证：，并求的值； （3）令，则，已知函数在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：若，则， ， 设， 则， 两式相加得，即，则， 故. （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的值域； （2）利用指数运算可证得，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值； （3）令，，由结合参变量分离法可得，利用双勾函数的单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，函数为增函数， 则函数的最大值为，函数的最小值为， 所以，函数的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，当时，， 则函数等价于， 若函数在区间上有零点，则等价于在上有零点， 即在区间上有解， 所以，在区间上有解， 所以，， 设，则，则， 因为函数在区间上单调递增，且，， 当时，，所以，， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设． （1）判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值； （3）当时，设，已知在上有两个零点，证明：． 【答案】（1）是“反比例对称函数”，理由见解析； （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用“反比例对称函数”的概念计算判断即可； （2）构造新的“反比例对称函数”，然后利用其性质求解即可. （3）将两个函数看做两个“反比例对称函数”，然后找到同一个时的图像，判断交点横坐标关系，然后判断其中一个图像发生伸缩变换之后的交点横坐标关系即可. 【小问1详解】 是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知， 可知， 所以， 故是“反比例对称函数”. 【小问2详解】 由题可知，，此时， 因为函数与的图像恰有一个交点，即有一个解， 得， 令，得仅有一个解， 显然， 因为，则有， 要使仅有一个解， 只需，或（舍） 所以. 【小问3详解】 不妨先设， 由题可知， 显然， 已知有两个零点，，则两个零点满足， 此时， 即，函数与函数，的两个交点横坐标满足； 可知利用复合函数单调性可知， 当时，单调递增； 时，单调递减； 由对勾函数性质可知 ， 在时，此时单调递减； 在时，此时单调递增； 得两函数示意图 当，此时， 相当于函数， 故所有的横坐标缩小为原来的倍； 故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故. 【点睛】思路点睛：新概念的题型，我们需要去理解函数的性质，然后计算即可，注意出题人出题一般是层层递进的，所以还是需要寻找前后问题的联系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $