精品解析：广东省深圳市龙华区2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试卷

龙华区中小学2024-2025学年第一学期期末学业质量监测试卷 八年级数学 说明： 1．答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．请将答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0.123 B. C. D. π 2. 在平面直角坐标系中，点P（－1，3）位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是一个正方体小木块静止在斜面上受力分析，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查，结果如表所示．其中有部分数据被墨迹遮挡，关于这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是（ ） 年龄/岁 11 12 13 14 频数/名 5 6 █████ A 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 7. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ） A B. C. D. 8. 骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距，测量裆部离地面的距离（单位：），得出的数据乘就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．设长度最合适时坐杆的长度为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的长是 B. 当时， C. 与的关系式为 D. 若某人裆部离地面的距离为，某山地车坐杆的最大调节长度为，那么他适合骑该山地车 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分．） 9. 已知一个正方体的体积为，则这个正方体的棱长为__________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线l上的一点，则点Q的坐标可能是______．（写出一个即可） 11. 如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳______把休闲凳． 12. 如图，将一个半径为1的圆沿数轴正方向滚动，已知点A在数轴上对应的数是1，则滚动一周后点A的对应点所表示的数为______． 13. 如图1，在中，，一动点P从点A出发，沿着A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是直线，与x轴的交点，则的长为______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解方程组： （1）； （2）． 16. 随着全民健康意识的增强，人们在选择定居地时越来越重视空气质量．AQI（空气质量指数）描述了空气清洁或者污染的程度，以及对健康的影响．小明爸爸打算从某城市的A，B，C三个区域中选择一个区域定居，为帮助爸爸作出最合适的选择，小明对这三个区域的空气质量情况进行了调查分析，过程如下： 【数据整理】 A，B，C三个区域一周的空气质量指数（AQI）情况 区域 A B C 周一 69 115 108 周二 74 93 50 周三 73 111 70 周四 70 97 53 周五 69 105 115 周六 72 111 53 周日 77 103 55 备注：环保局根据AQI将空气质量分为优（）、良（）、轻度污染（）、中度污染（）、重度污染（）、严重污染（以上）6个类别． （1）这三个区域中，______区域的空气质量更稳定；（填A，B或C） 【数据分析】 A B C 平均数 72 105 72 中位数 72 a 55 众数 69 111 b （2）由上表填空：______，______； 【判断决策】 （3）你认为小明爸爸选择哪个区域定居较为合适，并说明理由． 17. 2024年国庆节深圳无人机表演火遍全网．某公司计划租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元． （1）若该公司租用的A，B两种型号无人机数量相等，则需要的租金为______元； （2）若该公司花费的租金为34万元，求租用A，B两种型号无人机各多少架？ 18. 如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小亮在地面平放一面镜子，在镜子上做一个标记点C，小亮看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端点A在镜子中的像与标记点C重合．经测量，小亮的眼睛离地面高度为，小亮与标记点C的距离为，标记点C与旗杆底部点B的距离为． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并直接写出点C，D的坐标． （2）在（1）的条件下，求直线的表达式及旗杆的高度． 19. 数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】 （1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则______． 【深入实践】 （2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着，将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． 【拓展迁移】 （3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ①______，______； ②求正方形的边长． 20. 如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． （1）如图2和如图3，已知四边形为等垂四边形，，． ①在图2中，若，，则的度数为______°； ②在图3中，若，，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． （2）如图4，在锐角中，，，且，D是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含α的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙华区中小学2024-2025学年第一学期期末学业质量监测试卷 八年级数学 说明： 1．答题前，请将学校、班级和姓名用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．请将答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 0.123 B. C. D. π 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，掌握无理数的概念及常见的形式是解题的关键． 无理数的无限不循环小数，常见的无理数的有：含有的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数，如（连续两个1之间2的个数逐渐增加），由此即可求解． 【详解】解：A、有限小数，是有理数数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是分数，是有理数，不符合题意； D、是无限不循环小数，是无理数，符合题意； 故选：D ． 2. 在平面直角坐标系中，点P（－1，3）位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】应先判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【详解】解：因为点P（-1，3）的横坐标是负数，纵坐标是正数， 所以点P在平面直角坐标系的第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标的符号特征，解题的关键是掌握第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）． 3. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 4. 如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ， ∵， ∴线段的长度最长， 故选：C． 5. 如图，是一个正方体小木块静止在斜面上的受力分析，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了四边形内角和定理，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握四边形内角和定理是解题的关键． 根据题意，由直角三角形两锐角互余，对顶角相等得到，结合图示得到，在四边形中，由四边形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵重力的方向竖直向下，， ∴， ∴， ∵正方体小木块静止在斜面上，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行 ∴， 在四边形中，， ∴摩擦力与重力方向的夹角的度数为， 故选：B ． 6. 数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查，结果如表所示．其中有部分数据被墨迹遮挡，关于这20名成员年龄的统计量，仍能够分析得出的是（ ） 年龄/岁 11 12 13 14 频数/名 5 6 █████ A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的概念及计算，理解并掌握以上知识的概念辨析及计算方法是解题的关键． 平均数：指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；众数：一组数据中,出现次数最多的数；中位数：是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；方差：用于衡量数据集中的数值与期望值之间的差异程度，方差越小，数据波动越小；由此即可求解． 【详解】解：数学小组对校足球社团的20名成员进行年龄调查，其中年龄在11岁的有5名,12岁的有6名，13,14岁的频数被遮挡， A、平均数与调查人员数量有关，表格中缺失数据，不能得到平均数，故不符合题意； B、众数与调查人员的数量有关，表格中缺失数据，不能得到众数，故不符合题意； C、∵共调查20名成员，其中年龄在11岁、12岁的共有11名， ∴中位数落在12岁的一组中，能得到中位数，符合题意； D、不能得到平均数，也就不能得到方差，故不符合题意； 故选：C ． 7. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可列出方程组． 【详解】根据每3人坐一辆车，则有2辆空车，可列方程， 根据每2人坐一辆车，则有9人需要步行，可列方程， 所以可列方程组为． 故选：A． 8. 骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距，测量裆部离地面的距离（单位：），得出的数据乘就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．设长度最合适时坐杆的长度为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的长是 B. 当时， C. 与的关系式为 D. 若某人裆部离地面的距离为，某山地车坐杆的最大调节长度为，那么他适合骑该山地车 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，由时可得，即可判定；由可得，即可判定；分别求出和时的值即可判定，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的，故正确，不合题意； ∵ ，，， ∴， 即，故正确，不合题意； 当时，故正确，不合题意； 当时，， ∵， ∴他不适合骑该山地车，故不正确，符合题意； 故选：． 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分．） 9. 已知一个正方体的体积为，则这个正方体的棱长为__________． 【答案】2 【解析】 分析】根据正方体体积公式及立方根定义解答． 【详解】解：设这个正方体的棱长为，根据题意得， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查立方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线l上的一点，则点Q的坐标可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，掌握平行于轴的直线上的点纵坐标相同是解题关键．由题意可知点的纵坐标为5，即可得到答案． 【详解】解：由坐标系可知，点的纵坐标为5， 即点Q的坐标可能是， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳______把休闲凳． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳，根据在2把休闲凳的基础上，每增加1把休闲凳，高度增加建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳， ∵2把休闲凳的高度为，4把休闲凳的高度为， ∴在2把休闲凳的基础上，每增加1把休闲凳，高度增加， 则可列方程为， 解得， 即高的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳， 故答案：6． 12. 如图，将一个半径为1的圆沿数轴正方向滚动，已知点A在数轴上对应的数是1，则滚动一周后点A的对应点所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数的一一对应关系，理解圆滚动一周的含义，掌握数轴上的点与无理数的关系是解题的关键． 根据题意，先算出圆的周长，根据点表示的数得到点表示的数，由此即可求解． 【详解】解：半径为1的圆， ∴圆的周长为， ∵点A在数轴上对应的数是1， ∴滚动一周后点A的对应点所表示的数为， 故答案为： ． 13. 如图1，在中，，一动点P从点A出发，沿着A→B→C的路径运动，过点P作，垂足为Q．设点P运动的路程为x，与的差为y，y与x的函数图象如图2所示，点M，N是直线，与x轴的交点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何综合，解题的关键在于从图象中获取需要的信息．由运动过程得到E点坐标，设直线解析式为，利用待定系数法求出直线解析式，进而求出点M坐标，再根据运动情况求出N点坐标，即可解题． 【详解】解：由运动过程可知，当运动到B点时，， E点坐标为， 设直线解析式为， ， 解得，即， 点M是直线与x轴的交点， 即时，解得， 点M坐标为； 由运动过程可知，N点表示P运动到中点，所以， ． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简，实数的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算计算即可； （2）先运用平方差公式展开，分式的除法运算得到，最后再根据实数的混合运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）运用代入消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：解方程组：， 解：①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解是； 【小问2详解】 解：解方程组： 解：①＋②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 16. 随着全民健康意识的增强，人们在选择定居地时越来越重视空气质量．AQI（空气质量指数）描述了空气清洁或者污染的程度，以及对健康的影响．小明爸爸打算从某城市的A，B，C三个区域中选择一个区域定居，为帮助爸爸作出最合适的选择，小明对这三个区域的空气质量情况进行了调查分析，过程如下： 【数据整理】 A，B，C三个区域一周的空气质量指数（AQI）情况 区域 A B C 周一 69 115 108 周二 74 93 50 周三 73 111 70 周四 70 97 53 周五 69 105 115 周六 72 111 53 周日 77 103 55 备注：环保局根据AQI将空气质量分为优（）、良（）、轻度污染（）、中度污染（）、重度污染（）、严重污染（以上）6个类别． （1）这三个区域中，______区域的空气质量更稳定；（填A，B或C） 【数据分析】 A B C 平均数 72 105 72 中位数 72 a 55 众数 69 111 b （2）由上表填空：______，______； 【判断决策】 （3）你认为小明爸爸选择哪个区域定居较为合适，并说明理由． 【答案】（1）A；（2）105，53；（3）选择A区域较合适，因为A区域的AQI平均值相对较小，而且波动比较小，空气质量比较稳定 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握折线图，中位数，众数，根据调查数据作决策等知识是解题的关键． （1）根据折线图中的信息即可求解； （2）根据中位数，众数的计算方法即可求解； （3）根据调查数据作决策即可． 【详解】解：（1）根据折线图可得，A区域空气质量更稳定， 故答案为：A； （2）B区域的空气质量的数据依次为：， ∴， C区域的空气质量数量中，出现次数最多的是53， ∴， 故答案为：105，53； （3）选择A区域较合适， ∵A区域的AQI平均值相对较小，而且波动比较小，空气质量比较稳定． 17. 2024年国庆节深圳无人机表演火遍全网．某公司计划租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元． （1）若该公司租用的A，B两种型号无人机数量相等，则需要的租金为______元； （2）若该公司花费的租金为34万元，求租用A，B两种型号无人机各多少架？ 【答案】（1）350000 （2）公司租用A型号无人机600架，B型号无人机400架 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列出二元一次方程组求解是关键． （1）租用的A，B两种型号无人机数量相等，则各有500个，根据租金单价，运用有理数乘法运算即可求解； （2）设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架，由数量关系列二元一次方程组即可求解． 【小问1详解】 解：租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元， ∴需要的租金为：（元）， 故答案为：350000； 【小问2详解】 解：设公司租用A型号无人机x架，B型号无人机y架， 根据题意得：， 解得：， 答：公司租用A型号无人机600架，B型号无人机400架． 18. 如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小亮在地面平放一面镜子，在镜子上做一个标记点C，小亮看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端点A在镜子中的像与标记点C重合．经测量，小亮的眼睛离地面高度为，小亮与标记点C的距离为，标记点C与旗杆底部点B的距离为． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并直接写出点C，D的坐标． （2）在（1）的条件下，求直线的表达式及旗杆的高度． 【答案】（1）以点C为原点，，，图见解析；以点E为原点，，；以点B为原点，，； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握代数系数法求解析式，一次函数求函数值的方法是解题的关键． （1）方法一：以点C为原点，结合坐标与图形得到点坐标；方法二：以点E为原点，结合坐标与图形得到点坐标；方法三：以点B为原点，结合坐标与图形得到点坐标； （2）方法一：以点C为原点，作点D关于y轴的对称点F，则点F的坐标为，可得直线的解析式为，当时，，即可求解；方法二：以点E为原点，作点D关于直线的对称点G，则，所以直线的解析式为，当时，，由此即可求解；方法三：以点B为原点，作点D关于直线的对称点M，则，所以直线的解析式为，当时，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，以点C为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 此时，． 方法二： 如图2，以点E为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 此时，． 方法三： 如图3，以点B为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 此时，． 【小问2详解】 解：方法一：作点D关于y轴的对称点F，由对称性可知：点F的坐标为， 由平面镜反射知识可知：， ∴点A，F，C在一条直线上， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴旗杆高度为． 方法二：作点D关于直线的对称点G，由对称性可知：， 由平面镜反射知识可知：， ∴点A，G，C在一条直线上， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴旗杆高度为． 方法三：作点D关于直线的对称点M，由对称性可知：， 由平面镜反射知识可知：， ∴点A，M，C在一条直线上， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴旗杆高度为． 19. 数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无重叠． 【初步尝试】 （1）如图1，长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点，沿着，剪2刀，得到3块图案①，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片．若，则______． 【深入实践】 （2）如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点．沿着，将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片．请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号． 【拓展迁移】 （3）如图3，同学们从刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，． ①______，______； ②求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①，；② 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理的运用，图象变换的性质，掌握正方形的性质，图形变换的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，由勾股定理得到，由四边形是正方形，可得，由此即可求解； （2）根据正方形的性质拼接即可； （3）①根据朱出与朱入可得，，则，由此即可求解；②在中，，在中，，又在中，，由此列式得，设，解得，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）长方形纸片可看作由2个全等的小正方形组成，E是的中点， ∴，， ∴， ∵移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片， ∴， 故答案为：； （2）下图展示了两种不同的拼法， （3）将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知，， ∴， ①如图所示， 根据朱出与朱入可得，，则，， ∴，； ②由①可知，， 在中，， 在中，， 又在中，， ∴，设， ∴， 解得， ∴， ∴正方形的边长是． 20. 如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． （1）如图2和如图3，已知四边形为等垂四边形，，． ①在图2中，若，，则的度数为______°； ②在图3中，若，，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． （2）如图4，在锐角中，，，且，D是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含α的式子表示）． 【答案】（1）①70；②是，理由见解析 （2）或，当时，的大小还可以为 【解析】 【分析】本题考查新定义等垂四边形，平行线性质，角平分线定义，以及四边形内角和，解题的关键在于正确理解等垂四边形定义及性质． （1）①根据等垂四边形定义和四边形内角和求解，即可解题； ②利用平行线性质和角平分线定义得到，再结合等垂四边形性质得到，最后根据等垂四边形定义证明，即可解题； （2）根据等垂四边形定义，分三种情况，当B，C为顶点的一组对角相等时， 当A，B为顶点的一组对角相等时， 当A，C为顶点的一组对角相等时，结合四边形内角和求解，即可解题． 【小问1详解】 解：①，， ， ， ， ， ， 故答案为：． ②四边形是等垂四边形，理由如下： ， ， ，分别平分，， ，， ， 四边形为等垂四边形，， ， 即， ， 四边形是等垂四边形． 【小问2详解】 解：以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形， 且，，且， ， 当B，C为顶点的一组对角相等时， 有， ， 或（不合题意，舍去）； 当A，B为顶点的一组对角相等时， 有，即， 则， 或（不合题意，舍去）； 当A，C为顶点的一组对角相等时， 有， 或（不合题意，舍去）； 综上所述，的大小为或，以及当时，的大小还可以为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$