1.4 整式的除法（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.4 整式的除法 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 掌握整式的除法法则，会进行简单的整式的除法运算. 2.类比数的混合运算顺序，能进行整式的混合运算. 情景导入 问题 学校后院的花坛形状是长方形： (1)如果它的面积为x5y (2)如果它的面积是8m2n2 (3)如果它的面积是a4b2c x5y÷x2 8m2n2÷2m2n a4b2c÷3a2b 要如何计算结果呢？ 新知探究 思考 计算下列各题，并说明理由 (1)x5y÷x2 (2)8m2n2÷2m2n (3) a4b2c÷3a2b 利用类似分数约分的方法 (1) x5y÷x2 = = (2) 8m2n2÷2m2n = = (3) a4b2c÷3a2b = = x3y 4n a2bc. (1) x5y÷x2 = = x3y； (2) 8m2n2÷2m2n = = 4n； (3) a4b2c÷3a2b = = a2bc. 你能尝试总结单项式相除的法则吗？ 6 单项式除以单项式法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 单项式除以单项式的实质是将其转化为同底数幂的除法运算，且运算结果仍是单项式. 概念归纳 7 思考交流 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 如何进行单项式除以单项式的运算? 单项式相乘 单项式相除 第一步 系数相乘 系数相除 第二步 同底数幂相乘 同底数幂相除 第三步 其余字母不变连同其指数作为积的因式 只在被除式里含有的字母连同其指数一起作为商的因式 对比学习 法则实际分为三部分： 系数相除； 同底数幂相除； 对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式. 结果仍为单项式 尝试思考 计算下列各式，说说你的理由。 （1）(ad + bd)÷d； （2）(a2b + 3ab)÷a； （3）(xy3－2xy)÷xy 方法1：类比有理数的除法 (ad + bd)× （1）(ad + bd)÷d= =a+b （2）(a2b + 3ab)÷a= (a2b + 3ab)× =ab+3b （3）(xy3－2xy)÷xy= (xy3－2xy)× =y2－2 计算下列各式，说说你的理由。 （1）(ad + bd)÷d； （2）(a2b + 3ab)÷a； （3）(xy3－2xy)÷xy。 方法2： （1）因为( )·d= ad + bd， a+b （2）因为( )·a=a2b + 3ab， ab+3b （3）因为( )·xy=xy3－2xy， y2－2 所以(ad + bd)÷d=a+b； 所以(a2b + 3ab)÷a=ab+3b； 所以(xy3－2xy)÷xy=y2－2。 你能总结出多项式除以单项式的法则吗? 思考交流 如何进行多项式除以单项式的运算?与同伴进行交流。 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 注意： （1）多项式的各项要包括它前面的符号，注意符号的变化； （2）（合并同类项之前）商的项数与多项式的项数相同，不要漏项。 例题讲解 例1 计算： （1）x2y3÷3x2y ； （2）10a4b3c2÷5a3bc ； （3）(2x2y)3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 ； （4）(2a+b)4÷(2a+b)2 . 解： （1） x2y3 ÷ 3x2y = (÷3)x2-2y3-1 =-y2 （2）10a4b3c2 ÷ 5a3bc = (10÷5)a4-3b3-1c2-1 =2ab2c 例1 计算： （1）x2y3÷3x2y ； （2）10a4b3c2÷5a3bc ； （3）(2x2y)3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 ； （4）(2a+b)4÷(2a+b)2 . （3）(2x2y)3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 = 8x6y3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 = -56x7y5÷ 14x4y3 = -4x3y2 注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减. 例1 计算： （1）x2y3÷3x2y ； （3）(2x2y)3·(-7xy2) ÷ 14x4y3 ； （4）(2a+b)4÷(2a+b)2 . 看成一个整体 （4）(2a+b)4÷(2a+b)2 = (2a+b)4-2 = (2a+b)2 = 4a2 + 4ab + b2 （2）10a4b3c2÷5a3bc ； 例1 计算： （5）(9x2y－6xy2)÷3xy； （6）(3x2y－xy2 + xy)÷(xy) . 解：（5）(9x2y－6xy2)÷3xy = 9x2y ÷3xy －6xy2÷3xy = 3x－2y 例1 计算： （5）(9x2y－6xy2)÷3xy； （6）(3x2y－xy2 + xy)÷(xy) . 解：（6） (3x2y－xy2 + xy)÷(xy) = 3x2y ÷(xy) －xy2÷(xy) + xy ÷(xy) = 6x+2y1 随堂练习 1.计算: (1) 2a6b3÷a3b2； (2) x3y2÷x2y； (3) 3m2n3÷(mn)2； (4) (2x2y)3÷6x3y2. 解:(1)原式 = 2a6-3b3-2 =2a3b. (2)原式=(÷) x3-2y2-1 = xy. (3)原式= 3m2n3÷m2n2=3m2-2n3-2 =3n. (4)原式=8x6y3÷6x3y2=(8÷6)x6-3y3-2 = x3y. 2.计算： (1) (3xy+y)÷y； (2) (ma+mb+mc)÷m； (3) (6c2d-c3d3)÷(-2c2d)； (4) (4x2y+3xy2)÷7xy. 解： (1)原式=3xy÷y+y÷y =3x+1. (2)原式=ma÷m+mb÷m+mc÷m =a+b+c. (3)原式=-6c2d÷2c2d+c3d3÷2c2d =-3+cd2. (4)原式=4x2y÷7xy+3xy2÷7xy =x+y. 20 分层练习 基础题 1. [2024台州期末] 的运算结果是( ) D A. B. C. D. 2. 若，则 内应填的单项式是( ) D A. B. C. D. 3. 计算 的结果等于 ( ) C A. B. C. D. 4. 一个长方形的面积是，且长为 ，则这个长方 形的宽为( ) A A. B. C. D. 5. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘，放学后，小丽 回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突 然发现一道题：若 ,那么“ ”中应填 的是( ) B A. B. C. D. 22 6. 某地新建了一个阅读室，现准备在阅读室内 打造书架，已知一个书架可以容纳 本书，那么想要容纳 本书，需要打造_______________个书架. 7.[2024衡阳校级月考] 已知 ，则 ___. 1 【点拨】因为 ， 所以.所以， . 所以，.所以 . 23 8.计算： （1） ; 【解】 . （2） ； . 24 （3） . . 25 9.计算： （1） ； 解： 。 （2） 。 解： 。 26 综合应用题 10.（新考法逆向思维法）如果，那么 内应填入的 代数式是( ) B A. B. C. D. 11.[2024枣庄期中] 任意给定一个非零数，按如图所示的程序计算，最 后输出的结果是( ) C A. B. C. D. 12.[2024宁波期中] 下列计算错误的是( ) D A. B. C. D. 13.如果在计算 时，把括号内的减号不小心抄成 加号，那么正确结果和错误结果的乘积是____________。 28 14.（新考法整体代入法）已知 ，求代数式 的值. 【解】因为 , 所以 . 29 15.（情境题游戏活动）数学课上，李老师和同学们做了一个 猜数游戏，游戏规则是： 第一步：请同学们任意写一个各数位上的数字均相同的三位数； 第二步：计算出这个三位数除以各数位上的数字之和的商. 李老师均能猜出同学们计算的结果，请你说明其中的道理. 【解】设这个三位数的各数位上的数字均为 ，则这个三位 数为 ，各数位上的数字之和为 ，所以 ， 即这个三位数除以各数位上的数字之和的商总是37. 30 16.某市有一块如图所示的梯形空地 ,梯形空地的上底 长为 米，下底长为 米，高长为 米． （1）求这块空地的面积. 【解】这块空地的面积为 平方米. 31 （2）现计划对这块空地进行改造，修建一个长方形广场.若长方形广 场的面积为 平方米，它的宽为 米，则长方形广场 的长比梯形的下底短多少米？ 【解】因为长方形广场的面积为 平方米，宽为 米， 所以长方形广场的长为 米. 所以长方形广场的长比梯形的下底短 米. 32 创新拓展题 17.（新视角阅读理解题）我们已经学习过多 项式除以单项式，多项式除以多项式一 般可用竖式计算. 例如：计算 ,可用竖式计算，如右图. 所以除以 , 商式为 ,余式为0. 根据上面的阅读材料，回答下列问题： （1） 的商 式是____________，余式是___; 1 34 （2）能被整除，求, 的值. 【解】因为能被 整除， 所以 所以, ，所以 . 35 习题 1.计算： （1）8a4b3c÷2a2b3·(-a3bc2)； （2）(3x2y)2·(-15xy3)÷(-9x4y2) ； （2）原式=9x4y2·(-15xy3)÷(-9x4y2) =-135x5y5÷(-9x4y2) =15xy3 ； 解:（1） 原式=4a2c·(-a3bc2)= -a5bc3； （3）(-4a3+6a2b3+3a3b3)÷(-4a2) ； （4）( mn3-m2n2+n4)÷； （3） 原式=4a3÷4a2-6a2b3÷4a2-3a3b3÷4a2 =a-b3-ab3； （4） 原式= mn3÷ n2-m2n2÷ n2+ n4÷ n2 =mn-m2+n2； （5） 原式= xy2÷ y+ y2÷ y - y÷ y = xy+ y - ； （6） 原式=(x2+2x+x+2-2)÷x=x+3。 （5）( xy2+ y2- y)÷； （6）[(x+1)(x+2)-2]÷x 。 2.一只圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为a，高为b。又知另一个长方体形容器的长为b，宽为a。如果把这只圆柱形桶中的水全部倒入这个长方体形容器中(水不溢出)，那么水面的高度是多少? 解:水面的高度是 π()2b÷ab= 。 3.如图(单位:cm )，图(1)的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图(2)这样的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子? 解：瓶子中水的体积 π()2h+π()H =(πa2h+πa2H) cm3，一个杯子能盛的水的体积为π()2×8=πa2(cm3)。所以一共需要这样的杯子(πa2h+πa2H)÷πa2=(h+2H)个。 课堂小结 整式的除法 只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 系数相除，同底数幂相除后，作为商的一个因式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 多项式除以单项式 单项式除以单项式 $$