第二单元 圆柱和圆锥的认识及圆柱的表面积（十个重难点突破）-2024-2025学年六年级下册数学重难点专题突破（苏教版）

第二单元 圆柱和圆锥的认识及圆柱的表面积 一、圆柱和圆锥的认识 二、圆柱和圆锥的特征的应用 三、圆柱的展开图 四、圆柱的侧面积 五、圆柱的表面积 六、圆柱的侧面积和表面积图形计算 七、含圆柱组合体的表面积 八、运用圆柱的表面积解决问题 九、运用圆柱的表面积解决问题 十、运用组合图形的面积解决问题 知识点1圆柱和圆锥的认识 1、圆柱体简称圆柱，它由两个底面和一个侧面三部分组成。圆柱的上、下两个面叫作底面，底面是两个完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作侧面，圆柱两个底面之间的距离叫作高。 2、圆锥体简称圆锥，它由一个底面和一个侧面两部分组成，圆锥有一个顶点。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、 重难点一 圆柱和圆锥的认识 【典例1】下面的图形，是圆柱的在下面画“√”，是圆锥的在下面画“△”。 （    ）    （    ）      （    ）     （    ）     （    ）   （    ） 【变式1-1】以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 ①                         ②                      ③                 ④ 【变式1-2】下图是等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状。从上面看到的形状是( )，从左面看到的形状是( )。 【变式1-3】把下面的图形以直线为轴旋转一周。 可以形成圆柱的是( )号图形，圆柱的底面半径是( )cm，高是( )cm。 可以形成圆锥的是( )号图形，圆锥的底面半径是( )cm，高是( )cm。 重难点二 圆柱和圆锥的特征的应用 【典例2】用丝带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结处用去丝带20厘米。捆扎这个蛋糕盒一共用去丝带多少厘米？ 【变式2-1】每节电池底面半径为2.5厘米，高为5厘米。六节电池一组放在一个长方体包装盒里，做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ 【变式2-2】把下边8个同样的圆柱形杯子（如图），紧密地放入右边纸盒中。纸盒长、宽、高各几厘米？做这样一个无盖长方体盒子，需要硬纸板多少平方厘米？ 【变式2-3】饮料公司要设计一种能装6罐饮料的长方体包装盒，饮料罐为近似的圆柱形（如下图）。 （1）如果请你设计一个最省料的包装盒，你会把它的长、宽、高分别定为（    ）。 （2）你设计的这个包装盒，至少需要硬纸板多少平方厘米？（箱盖和箱底的重叠部分按300平方厘米计算） 知识点2圆柱的表面积 1、圆柱的展开图 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)。 2、圆柱的侧面积。 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)，这个长方形的长(或宽)等于圆柱的底面周长，宽(或长)等于圆柱的高，因为长方形的面积=长x宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，即S侧=Ch=πdh=2πrh 3、圆柱的表面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱的底面积=πr2 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2 圆柱表面积的字母公式是S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 重难点三 圆柱的展开图 【典例3】将一个高5厘米的圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，量得长方形的长是31.4厘米。那么长方形的宽是( )，圆柱的底面周长是( )，底面半径是( )。 【变式3-1】把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是2分米，它的高是( )分米。 【变式3-2】仓库里有以下几种规格的铁皮，王叔叔想从中选择两张铁皮正好制成一个无盖的圆柱形水桶。（焊接处忽略不计） 王叔叔应该选择( )号和( )号规格的铁皮。（在括号里填上正确答案的序号） 【变式3-3】一个圆柱的侧面沿高展开后是一个长为6.28厘米，宽为5厘米的长方形，这个圆柱的底面直径是( )厘米，高是( )厘米。 重难点四 圆柱的侧面积 【典例4】一个圆柱体，底面直径是5厘米，如果把它的高增加2厘米，它的表面积增加( )平方厘米。 【变式4-1】把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个长31.4厘米、宽10厘米的长方形，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 【变式4-2】一个圆柱样的底面直径是6厘米，高是5厘米，它的侧面积是( )平方厘米。 【变式4-3】做一节底面直径为10分米，长4米的烟筒，至少需要( )平方分米铁片。 重难点五圆柱的表面积 【典例5】一个圆柱形饮料罐，底面半径是3厘米，高是10厘米。这个饮料罐的底面积是( )，侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 【变式5-1】一个圆柱形金鱼池，底面半径是20米，深2米，要在金鱼池的底面和侧面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是( )平方米。 【变式5-2】制作一个底面直径8厘米，高1分米的无盖圆柱形笔筒，至少需要铁皮( )平方厘米。 【变式5-3】手工课上，笑笑制作了一个圆柱形纸灯笼，如图所示，它只有一个底面。把它的侧面彩纸展开，是一个长12.56分米、宽5分米的长方形。这个灯笼的侧面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 重难点六 圆柱的侧面积和表面积图形计算 【典例6】计算下面各圆柱的侧面积。（单位：分米） 【变式6-1】计算圆柱的表面积。（单位：厘米） 【变式6-2】求圆柱体的表面积。（单位：厘米） 【变式6-3】计算下面圆柱的表面积。 （1）    （2） 重难点七 含圆柱组合体的表面积 【典例7】计算下面图形的表面积。 【变式7-1】求下面组合图形的表面积。（单位：厘米） 【变式7-2】求下图的表面积和体积。 【变式7-3】计算下列图形的表面积。 （1）   （2） 重难点八 运用圆柱的表面积解决问题 【典例8】用一块铁皮做一根长2米、管口直径0.2米的圆柱形通风管，至少需要铁皮多少平方米？ 【变式8-1】如图，将一块长分米的大长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以和左侧的小长方形焊接成一个无盖水桶（接头处忽略不计）。在这个水桶的桶壁和底面涂防锈漆（内外都涂），涂防锈漆部分的面积是多少？ 【变式8-2】一种压路机的前轮是圆柱形的，轮宽2米，直径是1.2米，如果前轮每分钟滚动五周，它一分钟压路的面积是多少平方米？ 【变式8-3】一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.6米，每分钟转20周，这台压路机一分钟压过的路面长多少米？一分钟能压路面多少平方米？ 重难点九运用圆柱的表面积解决问题 【典例9】一个圆柱形蛋糕盒，底面半径是15厘米，高是20厘米。 （1）做这个蛋糕盒大约要用硬纸板多少平方厘米？ （2）用彩带捆扎这个蛋糕盒（如图），至少需要彩带多少厘米？（打结处大约用彩带15厘米） 【变式9-1】一个圆柱形铁皮水桶，上面没有盖，高是6分米，底面半径是1.8分米。做这个水桶大约要用铁皮多少平方分米？ 【变式9-2】如下图，一个圆柱形油桶的底面直径和高都是4分米。 （1）要在油桶的侧面贴上一圈商标纸，商标纸的面积至少是多少平方分米？ （2）做这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ （3）如果每升油重0.8千克，这个油桶最多可装油多少千克？（得数保留整数） 【变式9-3】下图是一个蛋糕，底盘是泡沫板。（单位：厘米） （1）请你为这个蛋糕选一个合适的蛋糕盒盖。（在正确答案下面的里画“√”） （2）这种蛋糕盒盖的上面和侧面都是用透明塑料制作的。制作一个合适的蛋糕盒盖至少需要多少平方厘米的透明塑料？（损耗忽略不计） 重难点十运用组合图形的面积解决问题 【典例10】如图的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。 【变式10-1】有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 【变式10-2】（1）要将街心花园的路灯柱刷上白色的油漆（如图，圆柱的上、下底面不刷漆），要刷多少平方米？（得数保留一位小数。） （2）有30个这样的路灯柱，如果刷油漆的人工费为每平方米15元，一共需要人工费多少元？ 【变式10-3】数学实践课上，六（1）班的同学做实验的容器从上面和正面看，得到如图所示的两个图形。求同学们做实验的这个容器的表面积。（单位：厘米） 一、填空题 1．如图，芳芳先给这个圆柱形蛋糕盒的侧面贴一圈商标纸，至少需要( )平方分米的商标纸。她再用彩带捆扎（如图），打结处用去彩带25厘米，则至少要用彩带( )厘米。 2．如图，一个圆柱形蛋糕盒的底面直径是50厘米，高是18厘米，用彩带捆扎这个蛋糕盒，打结处大约用去15厘米，那么至少需要( )分米长的彩带。 3．一根表面涂满红色油漆的圆柱形木料的底面半径是2.5m，高是4m。如图把它切成两个半圆柱，切开后没涂油漆的面积是( )m2。 4．如果用一张边长是8cm的正方形纸围成一个圆柱，这个圆柱的高是( )cm，侧面积是( )cm2。 5．给一个底面周长18.84厘米，高15厘米的圆柱形玻璃水杯做一个长方体包装纸盒，拼接处按50平方厘米计算，该包装盒至少需要( )平方厘米的硬纸板。 6．把一张长12.56分米，宽6.28分米的长方形铁皮圈成一个圆柱铁皮桶，这个铁皮桶的底面积是( )或( )平方分米。（接头处忽略不计） 7．把一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，那么这个圆柱的高是底面半径的( )倍。 8．如图，在一个棱长为5分米的正方体木块的前后、上下、左右各面的中心位置各挖去一个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是( )平方分米。 9．孙师傅用铁皮做了一个圆柱形的无盖水桶（如图），现在要在这个水桶的桶壁和底面涂上防锈漆（内外都涂），涂防锈漆部分的面积是( )平方分米。 10．王师傅用一块长方形铁皮的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处不计）。做成的油桶的底面半径是( )厘米，高是( )厘米。 二、计算题 11．求下面各图形的表面积。（单位：cm）                         12．计算下面各个圆柱的表面积。（单位：厘米） 三、解答题 13．有一个铁皮礼品盒，用塑料绳扎成如图的形状，打结处用去绳子15厘米。共用去塑料绳多少厘米？ 14．阳光农场要在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，如果挖成的水池深5米，若在这个水池的侧面和池底抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 15．王师傅加工20段底面半径为6cm，长为5dm的圆柱形铁皮通风管，至少要用多少平方分米的铁皮？ 16．大厅里有5根同样的柱子，柱子底面周长3.14米，高4米。给这些柱子涂上油漆，每平方米用油漆0.5千克，一共要用多少千克油漆？ 17．用彩带捆扎一个圆柱形的礼品盒（如图）。打结处正好是底面圆心，打结用去彩带25厘米。 （1）捆扎这个礼品盒至少用去彩带多少厘米？ （2）在蛋糕盒的整个侧面贴上商标纸（结头处重合2厘米），商标纸的面积是多少平方厘米？ 18．妈妈给家里新装的圆柱形柜机空调做了一个布套（如图），至少要用多少布料？ 19．一个生日蛋糕，底盘是塑料板，要配一个圆柱形蛋糕盒，底面直径是28厘米，高是20厘米，上面和侧面都是硬纸板。做这个蛋糕盒大约要用硬纸板多少平方厘米？ 20．一个底面直径是3厘米、高4厘米的无盖圆柱体笔筒。你能在下面的方格纸上画出个无盖圆柱体的表面展开图并求出表面积吗？（π取近似值3） 表面积： 21．下图是一个圆柱。按要求画一画，算一算。 （1）在方格纸上画出这个圆柱的展开图。（侧面沿高剪开） （2）请列式计算出这个圆柱的表面积。 22．“博士帽”被视为博学的象征，如图所示的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为16厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作这样的一顶“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 23．有一个圆柱形的零件，高10厘米，底面直径是4厘米，零件的一端有一个圆柱形的孔，孔的底面直径是2厘米，孔深是5厘米（如图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元 圆柱和圆锥的认识及圆柱的表面积 一、圆柱和圆锥的认识 二、圆柱和圆锥的特征的应用 三、圆柱的展开图 四、圆柱的侧面积 五、圆柱的表面积 六、圆柱的侧面积和表面积图形计算 七、含圆柱组合体的表面积 八、运用圆柱的表面积解决问题 九、运用圆柱的表面积解决问题 十、运用组合图形的面积解决问题 知识点1圆柱和圆锥的认识 1、圆柱体简称圆柱，它由两个底面和一个侧面三部分组成。圆柱的上、下两个面叫作底面，底面是两个完全相同的圆。围成圆柱的曲面叫作侧面，圆柱两个底面之间的距离叫作高。 2、圆锥体简称圆锥，它由一个底面和一个侧面两部分组成，圆锥有一个顶点。圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、 重难点一 圆柱和圆锥的认识 【典例1】下面的图形，是圆柱的在下面画“√”，是圆锥的在下面画“△”。 （    ）    （    ）      （    ）     （    ）     （    ）   （    ） 【答案】见详解 【分析】圆柱是由长方形绕长或宽旋转360°得到的立方体，由三个面围成分别是上底面、下底面、侧面，上、下底面是两个等圆，圆柱上下底面之间的距离叫做高。一个圆柱有无数条高，所有的高都相等。 圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转360°得到的立方体，底面是一个圆，侧面是一个曲面，圆锥只有一条高。 【解答】如图： 【变式1-1】以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是( )，形成圆锥的是( )。 ①                         ②                      ③                 ④ 【答案】① ③ 【分析】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 【解答】以直线为轴旋转一周，①是个圆柱，②是个球，③是个圆锥，④是个圆台。 以直线为轴旋转，可以形成圆柱的是①，形成圆锥的是③。 【变式1-2】下图是等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状。从上面看到的形状是( )，从左面看到的形状是( )。 【答案】② ④ 【分析】单独观察圆柱时，从侧面看到是一个长方形或正方形，从上下面看到的两个相同的圆形； 单独观察圆锥时，从侧面看到是一个三角形，从上面看到一个有圆心的圆形，从下面看到一个圆形； 题中，圆锥在左，圆柱在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个有圆心的圆形，右边是一个无圆心的圆形； 从左面看，圆锥挡住了圆柱的一部分，可以看到三角形和长方形重合。据此解答 【解答】由分析可知： 等底等高的圆锥和圆柱，从不同方向会看到不同的形状。从上面看到的形状是，从左面看到的形状是。 【变式1-3】把下面的图形以直线为轴旋转一周。 可以形成圆柱的是( )号图形，圆柱的底面半径是( )cm，高是( )cm。 可以形成圆锥的是( )号图形，圆锥的底面半径是( )cm，高是( )cm。 【答案】① 1 2.5 ③ 1 1 【分析】（1）以长方形的长或宽为轴旋转一周可得到圆柱，可知①号图形满足题意，再根据旋转性质得出其底面半径是短边，高是长边； （2）以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可得到圆锥，其底面半径和高均为1cm。 【解答】由分析可知：（1）可以形成圆柱的是①号图形，底面半径是1cm，高是2.5cm； （2）可以形成圆锥的是③号图形，底面半径是1cm，高是1cm。 重难点二 圆柱和圆锥的特征的应用 【典例2】用丝带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结处用去丝带20厘米。捆扎这个蛋糕盒一共用去丝带多少厘米？ 【答案】380厘米 【分析】观察图形，发现用去丝带的长度就是4个高和4个直径的长度的和再加上20厘米。 【解答】 （厘米） 答：捆扎这个蛋糕盒一共用去丝带380厘米。 【变式2-1】每节电池底面半径为2.5厘米，高为5厘米。六节电池一组放在一个长方体包装盒里，做这个包装盒至少需要多少平方厘米硬纸板？ 【答案】550平方厘米 【分析】根据题意，六节电池一组放在一个长方体包装盒里，那么这个长方体包装盒的长等于三节电池的直径和，宽等于两节电池的直径和，高等于一节电池的直径； 求做这个包装盒至少需要硬纸板的面积，就是求长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 【解答】长： 2.5×2×3＝15（厘米） 宽： 2.5×2×2＝10（厘米） （15×10＋15×5＋10×5）×2 ＝（150＋75＋50）×2 ＝275×2 ＝550（平方厘米） 答：做这个包装盒至少需要550平方厘米硬纸板。 【变式2-2】把下边8个同样的圆柱形杯子（如图），紧密地放入右边纸盒中。纸盒长、宽、高各几厘米？做这样一个无盖长方体盒子，需要硬纸板多少平方厘米？ 【答案】长方体的长是24厘米，宽12厘米，高是10厘米；需要硬纸板1008平方厘米 【分析】由题意可得，长方体的长为4个圆柱的底面直径，宽为2个圆柱的底面直径，高为圆柱的高，所以长方体的长是（4×6）厘米，宽是（2×6）厘米，高是10厘米。做这样一个无盖长方体盒子，则表面积为前、后、左、右和下面的面积和，无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此解答。 【解答】长方体的长：4×6＝24（厘米） 宽：2×6＝12（厘米） 24×12＋24×10×2＋12×10×2 ＝288＋480＋240 ＝1008（平方厘米） 答：长方体的长是24厘米，宽12厘米，高是10厘米，做这样一个无盖长方体盒子，需要硬纸板1008平方厘米。 【点评】本题考查了对圆柱的认识以及长方体表面积公式的灵活应用，注意无盖长方体的表面积只求5个面。 【变式2-3】饮料公司要设计一种能装6罐饮料的长方体包装盒，饮料罐为近似的圆柱形（如下图）。 （1）如果请你设计一个最省料的包装盒，你会把它的长、宽、高分别定为（    ）。 （2）你设计的这个包装盒，至少需要硬纸板多少平方厘米？（箱盖和箱底的重叠部分按300平方厘米计算） 【答案】（1）18厘米、12厘米、10厘米；（2）1332平方厘米 【分析】（1）把6罐圆柱体饮料放长方体盒子里，要使用最少的包装纸，也就是该长方体长、宽、高的差最小，可以设计一个长是（6×3）厘米，宽是（6×2）厘米，高是10厘米的包装盒，据此解答即可。 （2）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式求出表面积，再加上箱盖和箱底的重叠部分面积即可。 【解答】（1）长方体包装长： 6×3＝18（厘米） 长方体包装宽： 6×2＝12（厘米） 所以，我会把长、宽、高分别定为：18厘米、12厘米、10厘米。 （2）需要硬纸板的面积为： （18×12＋18×10＋12×10）×2＋300 ＝（216＋180＋120）×2＋300 ＝516×2＋300 ＝1032＋300 ＝1332（平方厘米） 答：至少需要硬纸板1332平方厘米。 【点评】此题考查了圆柱体的特征和长方体表面积公式的灵活运用，关键要明确：当长方体的长、宽、高的差越小，长方体的表面积就越小。 知识点2圆柱的表面积 1、圆柱的展开图 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)。 2、圆柱的侧面积。 把圆柱的侧面沿高展开后得到一个长方形(当圆柱的底面周长和高相等时，圆柱的侧面沿高展开后是一个正方形)，这个长方形的长(或宽)等于圆柱的底面周长，宽(或长)等于圆柱的高，因为长方形的面积=长x宽，所以圆柱的侧面积=底面周长×高，即S侧=Ch=πdh=2πrh 3、圆柱的表面积。 圆柱的侧面积与两个底面积的和，叫作圆柱的表面积。 圆柱的底面积=πr2 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2 圆柱表面积的字母公式是S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2 重难点三 圆柱的展开图 【典例3】将一个高5厘米的圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，量得长方形的长是31.4厘米。那么长方形的宽是( )，圆柱的底面周长是( )，底面半径是( )。 【答案】5 31.4 5 【分析】圆柱的侧面沿高展开得到一个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，据此解答。 【解答】31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 长方形的宽是5，圆柱的底面周长是31.4，底面半径是5。 【变式3-1】把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是2分米，它的高是( )分米。 【答案】12.56 【分析】根据题意可知，圆柱的侧面展开，得到一个正方形，说明圆柱的高等于圆柱的底面周长；已知圆柱的底面半径，根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（分米） 把一个圆柱的侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱的底面半径是2分米，它的高是12.56分米。 【变式3-2】仓库里有以下几种规格的铁皮，王叔叔想从中选择两张铁皮正好制成一个无盖的圆柱形水桶。（焊接处忽略不计） 王叔叔应该选择( )号和( )号规格的铁皮。（在括号里填上正确答案的序号） 【答案】① ④ 【分析】先根据圆的周长，用3.14×4求出①号圆的周长是12.56分米；再根据圆的周长，用2×3.14×4求出②号圆的周长是25.12分米。通过观察发现：①号圆的周长等于④号长方形的长；②号圆的周长不等于③长方形和④长方形的长或宽。圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的一边长等于圆柱的底面周长，另一边长等于圆柱的高。据此可知：①号是无盖圆柱形水桶的底，④号是无盖圆柱形水桶的侧面。 【解答】3.14×4＝12.56（分米）， 12.56≠9.42 12.56≠2 12.56＝12.56 12.56≠6 2×3.14×4＝25.12（分米） 25.12≠9.42 25.12≠2 25.12≠12.56 25.12≠6 因为①号圆的周长等于④号长方形的长，所以王叔叔应该选择①号和④号规格的铁皮。 【变式3-3】一个圆柱的侧面沿高展开后是一个长为6.28厘米，宽为5厘米的长方形，这个圆柱的底面直径是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 2 5 【分析】根据题意可知，圆柱的侧面沿高展开后的长就是圆柱底面的周长；宽就是圆柱的高；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，直径＝周长÷π，代入数据，即可解答。 【解答】6.28÷3.14＝2（厘米） 一个圆柱的侧面沿高展开后是一个长为6.28厘米，宽为5厘米的长方形，这个圆柱的底面直径是2厘米，高是5厘米。 【点评】利用圆柱侧面展开图以及圆的周长公式进行解答。 重难点四 圆柱的侧面积 【典例4】一个圆柱体，底面直径是5厘米，如果把它的高增加2厘米，它的表面积增加( )平方厘米。 【答案】31.4 【分析】根据题意，表面积增加的部分是底面直径5厘米、高2厘米的圆柱的侧面积。利用圆柱的侧面积公式：计算即可。 【解答】（平方厘米） 则它的表面积增加31.4平方厘米。 【变式4-1】把一个圆柱的侧面沿高展开得到一个长31.4厘米、宽10厘米的长方形，这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 【答案】314 【分析】圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的面积＝圆柱侧面积，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，根据长方形面积＝长×宽，可以推导出圆柱侧面积＝底面周长×高。据此计算即可。 【解答】31.4×10＝314（平方厘米） 这个圆柱的侧面积是314平方厘米。 【变式4-2】一个圆柱样的底面直径是6厘米，高是5厘米，它的侧面积是( )平方厘米。 【答案】94.2 【分析】根据圆柱侧面积＝底面周长×高，而底面周长＝π×直径，列式计算即可。 【解答】3.14×6×5＝94.2（平方厘米） 它的侧面积是94.2平方厘米。 【变式4-3】做一节底面直径为10分米，长4米的烟筒，至少需要( )平方分米铁片。 【答案】1256 【分析】烟筒是没有两个底面的，所以需要铁片的面积就是圆柱的侧面积。圆柱侧面积＝底面周长×高，据此解题。 【解答】4米＝40分米 3.14×10×40 ＝31.4×40 ＝1256（平方分米） 至少需要1256平方分米铁片。 重难点五圆柱的表面积 【典例5】一个圆柱形饮料罐，底面半径是3厘米，高是10厘米。这个饮料罐的底面积是( )，侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 【答案】28.26平方厘米/28.26 188.4平方厘米/188.4 244.92平方厘米/244.92 282.6立方厘米/282.6 【分析】根据圆的面积公式：，圆柱的侧面积公式：，圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，圆柱的体积公式：，把数据分别代入公式即可解答。 【解答】底面积：3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 侧面积：3.14×3×2×10 ＝9.42×2×10 ＝18.84×10 ＝188.4（平方厘米） 表面积：2×28.26＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（平方厘米） 体积：28.26×10＝282.6（立方厘米） 所以，一个圆柱形饮料罐，底面半径是3厘米，高是10厘米。这个饮料罐的底面积是28.26平方厘米，侧面积是188.4平方厘米，表面积是244.92平方厘米，体积是282.6立方厘米。 【变式5-1】一个圆柱形金鱼池，底面半径是20米，深2米，要在金鱼池的底面和侧面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是( )平方米。 【答案】1507.2 【分析】贴瓷砖的面积＝圆柱底面积＋侧面积，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【解答】3.14×202＋2×3.14×20×2 ＝3.14×400＋251.2 ＝1256＋251.2 ＝1507.2（平方米） 贴瓷砖的面积是1507.2平方米。 【变式5-2】制作一个底面直径8厘米，高1分米的无盖圆柱形笔筒，至少需要铁皮( )平方厘米。 【答案】301.44 【分析】无盖圆柱形笔筒没有上面的面，需要的铁皮面积＝底面积＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算，注意统一单位。 【解答】1分米＝10厘米 3.14×（8÷2）2＋3.14×8×10 ＝3.14×42＋251.2 ＝3.14×16＋251.2 ＝50.24＋251.2 ＝301.44（平方厘米） 至少需要铁皮301.44平方厘米。 【变式5-3】手工课上，笑笑制作了一个圆柱形纸灯笼，如图所示，它只有一个底面。把它的侧面彩纸展开，是一个长12.56分米、宽5分米的长方形。这个灯笼的侧面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】62.8 75.36 【分析】长方形面积＝长×宽，由此求出这个灯笼的侧面积。长方形的长是圆柱的底面周长，将其除以3.14再除以2，即可求出底面半径。根据圆面积＝πr2求出底面积，再将底面积和侧面积相加，求出这个灯笼的表面积即可。 【解答】侧面积：12.56×5＝62.8（平方分米） 底面半径：12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（分米） 表面积：3.14×22＋62.8 ＝3.14×4＋62.8 ＝12.56＋62.8 ＝75.36（平方分米） 所以，这个灯笼的侧面积是62.8平方分米，表面积是75.36平方分米。 重难点六 圆柱的侧面积和表面积图形计算 【典例6】计算下面各圆柱的侧面积。（单位：分米） 【答案】200.96平方分米；226.08平方分米 【分析】先利用圆的周长公式求出圆柱的底面周长，再根据圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【解答】3.14×8×8 ＝25.12×8 ＝200.96（平方分米） 2×3.14×3×12 ＝18.84×12 ＝226.08（平方分米） 两个圆柱的侧面积分别是200.96平方分米、226.08平方分米。 【变式6-1】计算圆柱的表面积。（单位：厘米） 【答案】11.304平方厘米；12.56平方厘米 【分析】（1）已知直径是2厘米，高是0.8厘米，根据公式：半径＝直径÷2，求出底面半径；根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrh，代入数据计算，即可解答。 （2）已知半径是0.5厘米，高是3.5厘米，根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋2πrh，代入数据计算，即可解答。 【解答】（1）2÷2＝1（厘米） 2×3.14×12＋2×3.14×1×0.8 ＝2×3.14×1＋2×3.14×1×0.8 ＝6.28＋5.024 ＝11.304（平方厘米） 圆柱的表面积是11.304平方厘米。 （2）2×3.14×0.52＋2×3.14×0.5×3.5 ＝2×3.14×0.25＋2×3.14×0.5×3.5 ＝1.57＋10.99 ＝12.56（平方厘米） 圆柱的表面积是12.56平方厘米。 【变式6-2】求圆柱体的表面积。（单位：厘米） 【答案】207.24平方厘米 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积；侧面积＝底面周长×高；底面积＝π×半径2，代入数据计算即可。 【解答】6÷2＝3（厘米） 3.14×32×2＋3.14×6×8 ＝3.14×9×2＋18.84×8 ＝28.26×2＋150.72 ＝56.52＋150.72 ＝207.24（平方厘米） 这个圆柱体的表面积是207.24平方厘米。 【变式6-3】计算下面圆柱的表面积。 （1）    （2） 【答案】（1）100.48cm2；（2）56.52dm2 【分析】圆柱的表面积＝底面周长×高＋2个底面的面积之和，代入相应数值计算，据此解答。 【解答】（1）3.14×4×6＋3.14×（4÷2）2×2 ＝75.36＋3.14×4×2 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（cm2） （2）9.42×4.5＋3.14×（9.42÷3.14÷2）2×2 ＝42.39＋3.14×1.52×2 ＝42.39＋3.14×2.25×2 ＝42.39＋14.13 ＝56.52（dm2） 重难点七 含圆柱组合体的表面积 【典例7】计算下面图形的表面积。 【答案】188.4cm2 【分析】由于上面的圆柱与下面的圆柱体组合在一起，所以上面的圆柱只求侧面积，下面圆柱体求表面积，然后求和就是这个图形的表面积。根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，把数据代入公式解答即可。 【解答】 图形的表面积是188.4cm2。 【变式7-1】求下面组合图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】713.04平方厘米 【分析】将圆柱上面的面平移到下面，拼成完整的长方体，组合图形的表面积＝长方体表面积＋圆柱侧面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【解答】（20×8＋20×5＋8×5）×2＋2×3.14×3×6 ＝（160＋100＋40）×2＋113.04 ＝300×2＋113.04 ＝600＋113.04 ＝713.04（平方厘米） 这个组合图形的表面积是713.04平方厘米。 【变式7-2】求下图的表面积和体积。 【答案】345.4平方分米；157立方分米 【分析】分析图形可知，所求图形的底面是环形，根据圆环的面积公式，求出图形的底面积，所求图形的表面积＝大圆柱的侧面积＋小圆柱的侧面积＋环形底面积×2，根据圆柱的侧面积公式，代入数据即可算出图形的表面积。所求图形的体积＝环形底面积×高，据此解答。 【解答】 （平方分米） （平方分米） （立方分米） 即图形的表面积是345.4平方分米，体积是157立方分米。 【变式7-3】计算下列图形的表面积。 （1）    （2） 【答案】（1）592.5cm2 （2）244.92dm2 【分析】（1）观察图1，图形的表面积＝一个圆的面积＋长为20cm宽为10cm的长方形的面积＋圆柱的侧面积的一半，根据圆的面积公式：S＝πr2；长方形的面积公式：S＝ab；圆柱的侧面积＝底面周长×高，即S侧＝2πrh＝πdh，把数据代入公式解答。 （2）根据圆柱的表面积的公式，图2组合图形的面积是下边圆柱体表面积减去上边圆柱体底面积，再加上边圆柱体底面积和侧面积的和，也就是下边圆柱体的表面积加上边圆柱体的侧面积，根据圆柱的表面积公式：圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2；圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此列式解答即可。 【解答】（1）3.14×10×20÷2＋3.14×（10÷2）2＋10×20 ＝3.14×10×20÷2＋3.14×52＋10×20 ＝31.4×20÷2＋3.14×52＋200 ＝31.4×20÷2＋3.14×25＋200 ＝628÷2＋3.14×25＋200 ＝314＋3.14×25＋200 ＝314＋78.5＋200 ＝392.5＋200 ＝592.5（cm2） （2）3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×8＋3.14×3×4 ＝3.14×32×2＋18.84×8＋9.42×4 ＝3.14×9×2＋150.72＋37.68 ＝28.26×2＋150.72＋37.68 ＝56.52＋150.72＋37.68 ＝207.24＋37.68 ＝244.92（dm2） 重难点八 运用圆柱的表面积解决问题 【典例8】用一块铁皮做一根长2米、管口直径0.2米的圆柱形通风管，至少需要铁皮多少平方米？ 【答案】1.256平方米 【分析】由题意可知，要求的是圆柱形通风管的侧面积，根据，代入数据计算即可。 【解答】 （平方米） 答：至少需要铁皮1.256平方米。 【变式8-1】如图，将一块长分米的大长方形的铁皮沿虚线剪开，正好可以和左侧的小长方形焊接成一个无盖水桶（接头处忽略不计）。在这个水桶的桶壁和底面涂防锈漆（内外都涂），涂防锈漆部分的面积是多少？ 【答案】282.6平方分米 【分析】通过观察图形可知，设圆柱的底面直径为分米，做成的圆柱形水桶的底面周长加上底面直径等于24.84分米，据此列方程求出底面圆的直径。由图可知，水桶的高等于底面直径，根据圆柱的侧面积＝Ch＝πdh，圆柱的底面积＝πr2，据此求出这个没有盖的圆柱形铁皮水桶的表面积，因为内外都要涂油漆，所以用其表面积乘2，即可求出涂防锈油漆部分的面积，据此解答即可。 【解答】解：设圆柱的底面直径为d分米。 3.14d＋d＝24.84 4.14d＝24.84 d＝6 3.14×6×6＋3.14×（6÷2）2 ＝3.14×36＋3.14×9 ＝3.14×（36＋9） ＝3.14×45 ＝141.3（平方分米） 141.3×2＝282.6（平方分米） 答：涂防锈漆部分的面积是282.6平方分米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用，圆的周长公式、圆柱的侧面积公式及应用，关键是熟记公式，重点是求出圆柱的底面直径。 【变式8-2】一种压路机的前轮是圆柱形的，轮宽2米，直径是1.2米，如果前轮每分钟滚动五周，它一分钟压路的面积是多少平方米？ 【答案】37.68平方米 【分析】求前轮滚动一周压过的路的面积，实际就是求圆柱的侧面积，根据公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，先求出圆柱的侧面积，每分钟滚动五周，用侧面积乘5，据此计算即可。 【解答】3.14×1.2×2＝7.536（平方米） 7.536×5＝37.68（平方米） 答：压路机一分钟压路的面积是37.68平方米。 【变式8-3】一辆压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.6米，每分钟转20周，这台压路机一分钟压过的路面长多少米？一分钟能压路面多少平方米？ 【答案】100.48米；200.96平方米 【分析】根据题意，压路机的前轮每转一周，压路的长度是圆柱底面的周长，压路的面积是圆柱的侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高；每分钟转20周，故再乘20即可求出这台压路机一分钟压过的路面长度和面积。 【解答】底面周长：（米） 一分钟压路长度：（米） 一分钟压路面积：（平方米） 答：这台压路机一分钟压过的路面长100.48米。一分钟能压路面200.96平方米。 重难点九运用圆柱的表面积解决问题 【典例9】一个圆柱形蛋糕盒，底面半径是15厘米，高是20厘米。 （1）做这个蛋糕盒大约要用硬纸板多少平方厘米？ （2）用彩带捆扎这个蛋糕盒（如图），至少需要彩带多少厘米？（打结处大约用彩带15厘米） 【答案】（1）3297平方厘米 （2）215厘米 【分析】（1）求蛋糕盒的硬纸板的面积就是求圆柱的表面积，根据，，圆的周长公式，圆的面积公式，代入数据计算即可。 （2）根据直径＝半径×2，观察可知，彩带的长度等于4条底面直径加4条高加打结处的长，代入数据计算即可。 【解答】（1） （平方厘米） 答：做这个蛋糕盒大约要用硬纸板3297平方厘米。 （2） （厘米） 答：至少需要彩带215厘米。 【变式9-1】一个圆柱形铁皮水桶，上面没有盖，高是6分米，底面半径是1.8分米。做这个水桶大约要用铁皮多少平方分米？ 【答案】77.9976平方米 【分析】这个圆柱形铁皮水桶是由圆柱的侧面和一个底面构成的，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高求出圆柱的侧面积，圆的底面积＝圆周率×半径的平方，求出圆柱的底面积，再把圆柱的侧面积和一个底面积相加即可解答。 【解答】2×3.14×1.8×6＋3.14× ＝6.28×1.8×6＋3.14×3.24 ＝11.304×6＋10.1736 ＝67.824＋10.1736 ＝77.9976（平方分米） 答：做这个水桶大约要用铁皮77.9976平方分米。 【变式9-2】如下图，一个圆柱形油桶的底面直径和高都是4分米。 （1）要在油桶的侧面贴上一圈商标纸，商标纸的面积至少是多少平方分米？ （2）做这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？ （3）如果每升油重0.8千克，这个油桶最多可装油多少千克？（得数保留整数） 【答案】（1）50.24平方分米 （2）75.36平方分米 （3）40千克 【分析】（1）求商标纸的面积就是求圆柱的侧面积，根据圆柱侧面积公式，代入数据计算即可。 （2）根据，圆柱侧面积公式，底面积公式，用直径除以2可得半径。代入数据计算即可。 （3）根据圆柱的体积公式，代入数据计算，所得体积的单位转化为升，再乘0.8，结果根据“去尾法”保留整数。 【解答】（1） （平方分米） 答：商标纸的面积至少是50.24平方分米。 （2）（分米） （平方分米） （平方分米） 答：做这个油桶至少需要铁皮75.36平方分米。 （3）（立方分米）（升） （千克） 答：这个油桶最多可装油40千克。 【变式9-3】下图是一个蛋糕，底盘是泡沫板。（单位：厘米） （1）请你为这个蛋糕选一个合适的蛋糕盒盖。（在正确答案下面的里画“√”） （2）这种蛋糕盒盖的上面和侧面都是用透明塑料制作的。制作一个合适的蛋糕盒盖至少需要多少平方厘米的透明塑料？（损耗忽略不计） 【答案】（1）见详解 （2）1758.4平方厘米 【分析】1）根据生活中的数学知：蛋糕盒的直径和高度要比蛋糕的直径和高度要大点。由此选择第二个蛋糕盒最合适； （2）根据圆柱的侧面积＝圆的底面周长×高 ，圆柱的底面积＝，将数值代入计算即可求得制作这个蛋糕盒盖至少需要多少平方厘米的透明塑料。 【解答】（1）根据生活实际，选第二个蛋糕盒盖合适。 （2）3.14×28×13＋3.14×（28÷2）2 ＝1142.96＋3.14×196 ＝1142.96＋615.44 ＝1758.4（平方厘米） 答：制作一个合适的蛋糕盒盖至少需要1758.4平方厘米的透明塑料。 重难点十运用组合图形的面积解决问题 【典例10】如图的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。 【答案】280.48平方分米 【分析】由于上面是正方形，根据正方形的面积公式：边长×边长；下面是圆柱，没有上、下两个底面，则求需要多少卡纸，就是求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：底面周长×高，把数代入即可求解，再把正方形面积和圆柱的侧面积相加即可求出做一顶需要多少黑色卡纸，再乘20即可求解，最后转换单位。 【解答】30×30＋3.14×16×10 ＝900＋502.4 ＝1402.4（平方厘米） 1402.4×20＝28048（平方厘米） 28048平方厘米＝280.48平方分米 答：制作20顶这样的“博士帽”，至少需要280.48平方分米的黑色卡纸。 【变式10-1】有一个圆柱体的零件，高12厘米，底面直径是8厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图：圆孔的直径是6厘米，孔深7厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 【答案】533.8平方厘米 【分析】这个零件接触空气部分，我们既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面积，同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了原圆柱的底面。 所以，这个零件接触空气的面积即涂漆面积＝高12厘米，底面直径是8厘米的圆柱的表面积＋直径是6厘米，高为7厘米的圆柱的侧面积。 圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高。圆的面积（底面积）＝π×半径2，据此代入数据计算。 【解答】 ＝3.14×42×2＋25.12×12＋18.84×7 ＝3.14×16×2＋301.44＋131.88 ＝100.48＋301.44＋131.88 ＝401.92＋131.88 ＝533.8（平方厘米） 答：一共需涂533.8平方厘米。 【变式10-2】（1）要将街心花园的路灯柱刷上白色的油漆（如图，圆柱的上、下底面不刷漆），要刷多少平方米？（得数保留一位小数。） （2）有30个这样的路灯柱，如果刷油漆的人工费为每平方米15元，一共需要人工费多少元？ 【答案】（1）0.3平方米； （2）135元 【分析】（1）要刷油漆的面积由两部分组成：①长方体的表面积去掉长方体下面有一部分被圆柱的上底面挡住了的面积（也就是直径是12厘米圆的面积）后剩下的面积；②圆柱的侧面积。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、圆柱的侧面积＝底面周长×高，求出这两部分面积，再加起来即可。 （2）刷油漆的人工费为每平方米15元，先用一个路灯柱刷油漆的面积乘15，求出1个这样的灯刷油漆所需的费用；有30个这样的路灯柱，用刷1个这样的灯所需的费用乘30，就可以求出一共需要的人工费用。 【解答】（1）（16×12＋16×12＋12×12）×2 ＝（192＋192＋144）×2 ＝528×2 ＝1056（平方厘米） 12÷2＝6（厘米） 3.14×62＝113.04（平方厘米） 1056－113.04＝942.96（平方厘米） 3.14×12×55 ＝37.68×55 ＝2072.4（平方厘米） 942.96＋2072.4＝3015.36（平方厘米） 3015.36平方厘米≈0.3平方米 答：要刷0.3平方米。 （2）0.3×15×30 ＝4.5×30 ＝135（元） 答：一共需要人工费135元。 【变式10-3】数学实践课上，六（1）班的同学做实验的容器从上面和正面看，得到如图所示的两个图形。求同学们做实验的这个容器的表面积。（单位：厘米） 【答案】120.48平方厘米 【分析】观察图形可以看出，这个容器的表面积为一个圆柱体的表面积加上长方体的侧面积，圆柱体的表面积＝，长方体的底面是边长为1厘米的正方形，长方体的侧面积＝边长×高×4，据此解答。 【解答】圆柱体的表面积： （平方厘米） 长方体的侧面积：（平方厘米） 容器的表面积：（平方厘米） 答：这个容器的表面积是120.48平方厘米。 一、填空题 1．如图，芳芳先给这个圆柱形蛋糕盒的侧面贴一圈商标纸，至少需要( )平方分米的商标纸。她再用彩带捆扎（如图），打结处用去彩带25厘米，则至少要用彩带( )厘米。 【答案】18.84 245 【分析】求至少需要商标纸的面积就是求圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高； 捆扎这个蛋糕盒用去的彩带即4个直径加上4个圆柱的高，再加上打结处的25厘米。据此解答即可。 【解答】40×3.14×15 ＝125.6×15 ＝1884（平方厘米） 1884平方厘米＝18.84平方分米 40×4＋15×4＋25 ＝160＋60＋25 ＝220＋25 ＝245（厘米） 所以，至少需要18.84平方分米的商标纸，至少要用彩带245厘米。 2．如图，一个圆柱形蛋糕盒的底面直径是50厘米，高是18厘米，用彩带捆扎这个蛋糕盒，打结处大约用去15厘米，那么至少需要( )分米长的彩带。 【答案】28.7 【分析】看图可知，彩带长度包括4条直径、4条高和结的长度，彩带长度＝直径×4＋高×4＋结长，据此列式计算，注意统一单位。 【解答】50×4＋18×4＋15 ＝200＋72＋15 ＝287（厘米） ＝28.7（分米） 至少需要28.7分米长的彩带。 3．一根表面涂满红色油漆的圆柱形木料的底面半径是2.5m，高是4m。如图把它切成两个半圆柱，切开后没涂油漆的面积是( )m2。 【答案】40 【分析】看图，没有涂油漆的面是两个一模一样的长方形。长方形的长和宽分别是圆柱的底面直径和圆柱的高。据此，再结合“长方形面积＝长×宽”解题即可。 【解答】2.5×2＝5（m） 5×4×2＝40（m2） 所以，切开后没涂油漆的面积是40m2。 4．如果用一张边长是8cm的正方形纸围成一个圆柱，这个圆柱的高是( )cm，侧面积是( )cm2。 【答案】8 64 【分析】由题意知：圆柱的高就是正方形纸的边长，圆柱的侧面积就是这张正方形纸的表面积。据此解答。 【解答】(平方厘米） 如果用一张边长是8cm的正方形纸围成一个圆柱，这个圆柱的高是（8）厘米，侧面积是（64）平方厘米。 5．给一个底面周长18.84厘米，高15厘米的圆柱形玻璃水杯做一个长方体包装纸盒，拼接处按50平方厘米计算，该包装盒至少需要( )平方厘米的硬纸板。 【答案】482 【分析】根据圆的底面周长公式C＝πd可知，圆柱的底面直径d＝C÷π；那么这个长方体包装纸盒的长、宽都等于圆柱的底面直径，高等于圆柱的高；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出纸盒的表面积，再加上拼接处的面积，即可求出该包装盒至少需要硬纸板的面积。 【解答】圆柱的底面直径：18.84÷3.14＝6（厘米） 长方体的表面积： （6×6＋6×15＋6×15）×2 ＝（36＋90＋90）×2 ＝216×2 ＝432（平方厘米） 硬纸板的面积：432＋50＝482（平方厘米） 【点评】明确长方体包装纸盒的长、宽、高与圆柱的底面直径和高的关系，再运用长方体的表面积公式列式计算。 6．把一张长12.56分米，宽6.28分米的长方形铁皮圈成一个圆柱铁皮桶，这个铁皮桶的底面积是( )或( )平方分米。（接头处忽略不计） 【答案】12.56 3.14 【分析】根据题干分析可得，此题有两种不同的方法：（1）以长12.56分米为圆柱的底面周长，（2）以6.28分米为圆柱的底面周长，由此求出圆柱的底面半径，再根据圆的面积公式即可解决问题。 【解答】12.56÷3.14÷2＝2（分米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 6.28÷3.14÷2＝1（分米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 所以这个铁皮桶的底面积是12.56平方分米或3.14平方分米。 【点评】解答此题的关键是明白：圆柱的侧面展开后，是一个长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高。 7．把一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，那么这个圆柱的高是底面半径的( )倍。 【答案】6.28 【分析】根据题意可知，圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，则圆柱的底面周长＝圆柱的高；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2；即圆柱的高＝π×半径×2，根据等式的性质1，等式两边同时除以半径，进而得出圆柱的高÷半径＝2π，据此解答。 【解答】根据分析可知， 圆柱的高÷半径＝2π ＝2×3.14 ＝6.28 把一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，那么这个圆柱的高是底面半径的6.28倍。 8．如图，在一个棱长为5分米的正方体木块的前后、上下、左右各面的中心位置各挖去一个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱，做成一个模型，这个模型的表面积是( )平方分米。 【答案】225.36 【分析】要求这个模型的表面积，实际上是用棱长为5分米的正方体的表面积加上6个底面直径为2分米、高为2分米的圆柱的侧面积求和。 【解答】5×5×6＋3.14×2×2×6 ＝150＋75.36 ＝225.36（平方分米） 这个模型的表面积是225.36平方分米。 【点评】此题考查长方体表面积和圆柱侧面积的综合应用，解答本题的关键是将表面积转化为学过的基本图形表面积。 9．孙师傅用铁皮做了一个圆柱形的无盖水桶（如图），现在要在这个水桶的桶壁和底面涂上防锈漆（内外都涂），涂防锈漆部分的面积是( )平方分米。 【答案】150.72 【分析】首先分清涂防锈漆无盖的圆柱形铁皮水桶，需要计算几个面的面积：侧面面积与底面面积两个面，由圆柱体侧面积和圆的面积计算方法，列式解答即可，但不要忘记乘2，因为是内外都涂。 【解答】水桶的侧面积： 3.14×4×5＝62.8（平方分米） 水桶的底面积： 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝12.56（平方分米） 水桶的表面积：62.8＋12.56＝75.36（平方分米） 75.36×2＝150.72（平方分米） 涂的面积是150.72平方分米。 【点评】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求圆柱体的表面积的问题，运用侧面积公式以及圆面积公式计算即可。 10．王师傅用一块长方形铁皮的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处不计）。做成的油桶的底面半径是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】20 40 【分析】根据题意可知，阴影部分中的长方形的长为阴影部分圆的周长，长方形的宽为圆的直径也是做成的油桶的高，那么长方形铁皮的长等于两条直径加一个圆的周长，可设圆的直径为x厘米，然后列式解答即可得到圆的半径，据此解答即可。 【解答】解：设油桶的底面的直径为x厘米， x＋x＋3.14x＝205.6 5.14x＝205.6 x＝40 油桶的底面半径半径为：40÷2＝20（厘米） 油桶的高等于油桶的底面直径为40厘米。 【点评】解答此题的关键是找到算式中的等量关系式然后确定圆的半径，最后再根据圆柱的体积公式V＝底面积×高进行计算即可。 二、计算题 11．求下面各图形的表面积。（单位：cm）                         【答案】112cm2；386.9cm2 【分析】（1）观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积； 所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，组合图形的表面积＝圆柱侧面积的一半＋圆的面积＋长方形的面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【解答】（1）4×4×6＋2×2×4 ＝96＋16 ＝112（cm2） 图形的表面积是112cm2。 （2）3.14×10×12÷2＋3.14×（10÷2）2＋10×12 ＝31.4×12÷2＋3.14×25＋120 ＝188.4＋78.5＋120 ＝386.9（cm2） 图形的表面积是386.9cm2。 12．计算下面各个圆柱的表面积。（单位：厘米） 【答案】11.304平方厘米；12.56平方厘米 【分析】根据圆柱的表面积公式：S表＝S侧＋S底×2，把数据代入公式解答。 【解答】（1）3.14×2×0.8＋3.14×（2÷2）2×2 ＝6.28×0.8＋3.14×12×2 ＝5.024＋3.14×2 ＝ 5.024＋6.28 ＝11.304（平方厘米） 这个圆柱的表面积是11.304平方厘米。 （2）2×3.14×0.5×3.5＋3.14×0.52×2 ＝6.28×0.5×3.5＋3.14×0.25×2 ＝3.14×3.5＋0.785×2 ＝10.99＋1.57 ＝12.56（平方厘米） 这个圆柱的表面积是12.56平方厘米。 三、解答题 13．有一个铁皮礼品盒，用塑料绳扎成如图的形状，打结处用去绳子15厘米。共用去塑料绳多少厘米？ 【答案】215厘米 【分析】塑料绳的长为4条直径加上4条高和打结处用去的塑料绳长。 【解答】20×4＋30×4＋15 ＝80＋120＋15 ＝200＋15 ＝215（厘米） 包装共用去塑料绳215厘米。 14．阳光农场要在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，如果挖成的水池深5米，若在这个水池的侧面和池底抹上一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】175.84平方米 【分析】由题意可知，在一块长10米、宽8米的长方形空地上挖一个尽可能大的圆柱形蓄水池，这个圆柱形蓄水池的底面直径等于长方形的宽时最大。根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的面积公式：S＝πr2，求出它的侧面积加上一个底面积即可。 【解答】3.14×8×5＋3.14×（8÷2）2 ＝25.12×5＋3.14×16 ＝125.6＋50.24 ＝175.84（平方米） 答：抹水泥的面积是175.84平方米。 【点评】此题属于圆柱的表面积公式的实际应用，根据圆柱的表面积公式解决问题。 15．王师傅加工20段底面半径为6cm，长为5dm的圆柱形铁皮通风管，至少要用多少平方分米的铁皮？ 【答案】376.8平方分米 【分析】通风管没有底面，只有侧面，求制作圆柱形铁皮通风管需要的铁皮，实际上就是求圆柱的侧面积，先求出一段的侧面积，即底面周长×高，再乘20段，就是至少需要的铁皮，即可解答。 【解答】6cm＝0.6dm （3.14×0.6×2×5）×20 ＝（1.884×2×5）×20 ＝（3.762×5）×20 ＝18.84×20 ＝376.8（dm2） 答：至少需要376.8平方分米的铁皮。 【点评】本题考查圆柱的侧面积的计算，注意按单位名数的统一。 16．大厅里有5根同样的柱子，柱子底面周长3.14米，高4米。给这些柱子涂上油漆，每平方米用油漆0.5千克，一共要用多少千克油漆？ 【答案】31.4千克 【分析】涂油漆的面积就是圆柱的侧面积，根据侧面积公式：S＝Ch，代入数据求出1根柱子涂油漆的面积，进而求出5根柱子涂油漆的面积。最后用5根柱子涂油漆的面积×每平方米用油漆的质量即可。 【解答】3.14×4×5×0.5 ＝12.56×5×0.5 ＝62.8×0.5 ＝31.4（千克） 答：一共要用31.4千克油漆。 【点评】本题主要考查圆柱的侧面积公式的实际应用。 17．用彩带捆扎一个圆柱形的礼品盒（如图）。打结处正好是底面圆心，打结用去彩带25厘米。 （1）捆扎这个礼品盒至少用去彩带多少厘米？ （2）在蛋糕盒的整个侧面贴上商标纸（结头处重合2厘米），商标纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）137厘米；（2）518.4平方厘米 【分析】（1）由图可知，彩带长度＝底面直径×4＋高×4＋打结处彩带长度。 （2）商标纸的面积就是圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝（底面周长＋结头处重合长度）×高，据此解答。 【解答】（1）20×4＋8×4＋25 ＝80＋32＋25 ＝137（厘米） 答：捆扎这个礼品盒至少用去彩带137厘米。 （2）（3.14×20＋2）×8 ＝64.8×8 ＝518.4（平方厘米） 答：商标纸的面积是518.4平方厘米。 【点评】此题考查了有关圆柱的实际应用，能够把实际问题转化成数学问题是解题关键。 18．妈妈给家里新装的圆柱形柜机空调做了一个布套（如图），至少要用多少布料？ 【答案】30222.5平方厘米 【分析】制作没有底的圆柱形柜机空调布套，需要计算侧面面积与顶面圆的面积，由圆柱体侧面积＝圆柱底面周长×高和圆的面积＝πr2，列式计算解答即可。 【解答】空调的侧面积：3.14×50×180 ＝157×180 ＝28260（平方厘米） 空调的底面积：3.14×（50÷2）2 ＝3.14×625 ＝1962.5（平方厘米） 空调的表面积：28260＋1962.5＝30222.5（平方厘米） 答：至少要用30222.5平方厘米布料。 【点评】此题主要考查圆柱体的表面积计算公式的应用，在求表面积时注意分清需要计算几个面的面积。 19．一个生日蛋糕，底盘是塑料板，要配一个圆柱形蛋糕盒，底面直径是28厘米，高是20厘米，上面和侧面都是硬纸板。做这个蛋糕盒大约要用硬纸板多少平方厘米？ 【答案】2373.84平方厘米 【分析】根据题意，求硬纸板的面积就是求圆柱形蛋糕盒的表面积，包括侧面积和一个底面积。圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的底面积＝πr2，据此代入数据解答。 【解答】3.14×28×20＋3.14×（28÷2）2 ＝1758.4＋615.44 ＝2373.84（平方厘米） 答：做这个蛋糕盒大约要用硬纸板2373.84平方厘米。 【点评】本题考查圆柱表面积的应用，熟记圆柱的侧面积和底面积公式是解题的关键。 20．一个底面直径是3厘米、高4厘米的无盖圆柱体笔筒。你能在下面的方格纸上画出个无盖圆柱体的表面展开图并求出表面积吗？（π取近似值3） 表面积： 【答案】见详解；表面积42.75平方厘米 【分析】（1）由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱的底面直径和高已知，求出底面周长，于是可以画出其表面展开图；由此作图即可； （2）根据公式“圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2”，因为是无盖，所以只加一个底面积，把数据代入公式解答即可。 【解答】（1）如图所示，即为所要求画的圆柱的表面展开图： 3×3＝9（厘米） 3÷2＝1.5（厘米） （2）3×3×4＋3×（3÷2）2 ＝36＋3×1.52 ＝36＋6.75 ＝42.75（平方厘米） 答：表面积是42.75平方厘米。 【点评】此题主要考查圆柱的表面积的计算，关键是理解并掌握圆柱表面积的计算公式。 21．下图是一个圆柱。按要求画一画，算一算。 （1）在方格纸上画出这个圆柱的展开图。（侧面沿高剪开） （2）请列式计算出这个圆柱的表面积。 【答案】（1）见详解； （2）25.12cm2 【分析】（1）圆柱侧面沿高剪开成一个长方形，长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高，底面展开是两个圆；据此解答； （2）圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，代入数据计算即可。 【解答】（1）底面周长：3.14×1×2 ＝3.14×2 ＝6.28（cm） 画图如下： （2）3.14×1×1×2＋6.28×3 ＝6.28＋18.84 ＝25.12（cm2） 答：这个圆柱的表面积是25.12cm2。 【点评】本题主要考查圆柱展开图及圆柱的表面积公式。 22．“博士帽”被视为博学的象征，如图所示的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为16厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作这样的一顶“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 【答案】1402.4平方厘米 【分析】根据题意，这种“博士帽”的上面是正方形，下面是无盖无底的圆柱，所以制作一顶“博士帽”至少需要卡纸的面积＝正方形的面积＋圆柱的侧面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆柱的侧面积公式S＝πdh，代入数据计算，求出制作一顶“博士帽”至少需要卡纸的面积。 【解答】3.14×16×10＋30×30 ＝50.24×10＋900 ＝502.4＋900 ＝1402.4（平方厘米） 答：制作这样的一顶“博士帽”至少需要1402.4平方厘米的黑色卡纸。 23．有一个圆柱形的零件，高10厘米，底面直径是4厘米，零件的一端有一个圆柱形的孔，孔的底面直径是2厘米，孔深是5厘米（如图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【答案】182.12平方厘米 【分析】这个零件接触空气的部分涂防锈漆的面积即这个零件的表面积，零件的表面积等于圆柱体的表面积加上圆柱形圆孔的侧面积；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【解答】3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×10＋3.14×2×5 ＝3.14×4×2＋12.56×10＋6.28×5 ＝12.56×2＋125.6＋31.4 ＝25.12＋125.6＋31.4 ＝150.72＋31.4 ＝182.12（平方厘米） 答：一共要涂182.12平方厘米。 【点评】熟练掌握圆柱的侧面积公式、圆柱的表面积公式是解答本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$