（单元讲义）第三单元 因数与倍数（知识梳理+典例精讲+培优必刷）-2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 第三单元 因数与倍数 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】因数与倍数 1、在axb=c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2、一个数的倍数大于或等于这个数，一个数的因数小于或等于这个数，一个数的倍数大于或等于这个数的因数。 3、找一个数的因数的方法：①列乘法算式。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中每个整数都是该数的因数。②列除法算式。用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。 4、表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。 5、找一个数的倍数的方法：列乘法算式。用这个数依次和整数(0除外)相乘，积是哪个数，哪个数就是这个数的倍数。 【知识点二】2、5和3的倍数的特征 1、5的倍数：个位上是0或5。 2、2的倍数：个位上是2，4，6，8或0。既是5的倍数，又是2的倍数的数的个位上是0。 3、是2的倍数的数叫作偶数，每相邻两个偶数之差为2。不是2的倍数的数叫作奇数，每相邻两个奇数之差为2。 4、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【知识点三】质数和合数 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数(或素数)。一个数除了1和它 本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数， 2、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 【知识点四】公因数和最大公因数 1、几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。 2、几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。 3、求两个数的最大公因数的方法。 （1）列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。 （2）筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。 【知识点五】公倍数和最小公倍数 1、几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。 2、几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。 3、求两个数的最小公倍数的方法主要有两种。 （1）列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。 （2）筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。 【考点一】因数与倍数 【典例一】在9×6＝54中，9和6都是54的( )，54是9的( )，也是6的( )。 【典例二】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【典例三】学校新购买了一些绘本，比30本多，比40本少，平均分给二年级的7个班还多2本。平均每班分得( )本，一共购买了( )本。 【考点二】2、5和3的倍数的特征 【典例一】“4□”是5的倍数，□里可以填( )。 【典例二】有三个人分别在朋友圈集赞，一段时间后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们获得的点赞数的和是24，那么三人中最少的点赞数是( )。 【典例三】海洋是人类未知的领域，海洋下有大量的沉船遗落的器物。若一个带密码的宝箱随海洋运动被带到了岸边，宝箱的密码是由“0、2、1、6、7中的数字组成的三位数，且这个三位数恰好是9的倍数（不同数位上的数字不同），最多尝试( )次密码就可以打开宝箱。 【考点三】质数和合数 【典例一】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【典例二】能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【典例三】将下面各数分解质因数。 39    18    45    80 【考点四】公因数和最大公因数 【典例一】15的因数有( )，25的因数有( )，15和25的公因数有( )。 【典例二】王阿姨把50块巧克力和35块奶糖平均分给舞蹈队的小朋友，要求尽可能分完，分完发现巧克力多了2块，奶糖少了5块。舞蹈队有多少个小朋友？ 【典例三】班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 【考点五】公倍数和最小公倍数 【典例一】有M，N两个数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，M是18，N是( )。 【典例二】五年级二班同学去参观科技馆，小宇说：“我们班这次去的不到50人。”小恒说：“如果6个人坐一辆车，多3个人。”园园说：“如果8个人坐一辆车，空3个座位。”这次最多有多少人去参观科技馆？ 【典例三】纵桨飞舟，粽叶飘香，赛龙舟是端午佳节的重要组成部分，是中华文化的传承。为弘扬中华传统文化，彰显“水润之城”的城市内涵，6月10日，有38支来自各县区的代表队在市区古黄河金鹰段举办2024宿迁端午龙舟赛。赛道上原来有21个浮漂（首尾各有一个），每两个浮漂之间距离是15米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂有多少个？ 一、填空题（满分20分） 1．（2分）一个三位数同时是3和5的倍数，这个三位数最小是( )，把这个数分解质因数为( )。 2．（2分）五年级一班学生人数在35~40之间，他们参加植树活动时，如果每4人一组或每6人一组都刚好分完且无剩余，这班有( )人。 3．（2分）一张长36厘米、宽24厘米的长方形纸，要把它裁成同样大的正方形，边长为整厘米数，且没有剩余，裁成的正方形边长最大是( )厘米，至少可以裁成( )个这样的正方形。 4．（2分）李老师学习强国的分数达到了9353，至少减去( )后，就同时是2，3，5的倍数。 5．（2分）一辆公交车早晨6：00发出第一班，以后每隔15分钟发一班。第8班车的发车时间是( )。 6．（2分）20的因数有( )，30以内4的倍数有( )。 7．（2分）五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 8．（2分）一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 9．（2分）在42＝6×7中，( )和( )都是42的因数，其中( )是42的质因数。 10．（2分）妈妈银行卡的密码是ABCDEF这个六位数，A是最大的一位数，B是最小的奇数，C是最小的合数，E是8的最大因数，F是5的最小倍数，D是最小的质数。妈妈银行卡的密码是( )。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）13和26的最大公因数是26。( ) 12．（2分）因为找一个数的因数是一对一对找的，所以一个数的因数有偶数个。( ) 13．（2分）a＝3×3×5，b＝3×5×7，a和b的最小公倍数是420。( ) 14．（2分）5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数。( ) 15．（2分）因为75÷15＝5，所以75是倍数，5是因数。( ) 三、选择题（满分10分） 16．（2分）用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有（    ）个。 A．3 B．4 C．6 D．9 17．（2分）下面的说法中，错误的是（    ）。 A．质数只有2个因数 B．非零自然数a和b都是它们最小公倍数的因数 C．9是18和27的公因数 D．63和14的最大公因数是14 18．（2分）两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是（    ）m。 A．2 B．3 C．6 D．8 19．（2分）下面4个五位数中，a表示比10小的自然数，其中一定能被2、3和5整除的数是（    ）。 A．aa000 B．a0aa0 C．a0a00 D．a000a 20．（2分）下面计数器表示的数中，（    ）是3的倍数。 A． B． C． D． 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18        9和10        78和39        72和48 五、解答题（满分54分） 22．（6分）商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 23．（6分）某班学生人数在35到45之间，并且2人2人地数余下1人；5人5人地数也余下1人。这个班一共有多少人？ 24．（6分）有两根彩带分别长16厘米和28厘米，现在要把两根彩带剪成同样长的短彩带，且没有剩余。请问短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成多少根这样的短彩带？ 25．（6分）兄弟俩在操场上跑步锻炼，哥哥每4分钟跑一圈，弟弟每6分钟跑一圈，他们同时从起点出发后，哥哥至少跑几圈又能在起点和弟弟相遇？ 26．（6分）学校花圃种了几行玫瑰花，行数和每行玫瑰花的棵数都是质数。下面四名同学数出的玫瑰花总棵数都不相同，小宇数出68棵，小恒数出70棵，乐乐数出77棵，园园数出72棵。请问谁数对了呢？（每行玫瑰花的棵数相同） 27．（6分）甲、乙、丙三人去打靶，每人打一枪。三人各自打中环数之积是192，且三人的环数恰好是连续的偶数。这三人的环数分别是多少？ 28．（6分）学校举行运动会，每一个运动员都有一个三位数的编号。小明编号的第一个数字既是质数又是偶数，第二个数字是所有自然数的因数，第三个数字是10以内最大的3的倍数。你知道小明的编号是多少吗？ 29．（6分）小明房间的地面是一个边长4米的正方形，现在小明想把房间铺满泡沫软垫，选用下面哪种规格的软垫能正好铺满？为什么？ 30．（6分）万老师的手机密码是ABCDEF。A是7的最小倍数，B只有一个因数，C既是6的因数，又是6的倍数，D是最小的自然数，E是8的最大因数，F是最大的一位数。这个密码是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 第三单元 因数与倍数 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】因数与倍数 1、在axb=c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2、一个数的倍数大于或等于这个数，一个数的因数小于或等于这个数，一个数的倍数大于或等于这个数的因数。 3、找一个数的因数的方法：①列乘法算式。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中每个整数都是该数的因数。②列除法算式。用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。 4、表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。 5、找一个数的倍数的方法：列乘法算式。用这个数依次和整数(0除外)相乘，积是哪个数，哪个数就是这个数的倍数。 【知识点二】2、5和3的倍数的特征 1、5的倍数：个位上是0或5。 2、2的倍数：个位上是2，4，6，8或0。既是5的倍数，又是2的倍数的数的个位上是0。 3、是2的倍数的数叫作偶数，每相邻两个偶数之差为2。不是2的倍数的数叫作奇数，每相邻两个奇数之差为2。 4、一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【知识点三】质数和合数 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数(或素数)。一个数除了1和它 本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数， 2、如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 【知识点四】公因数和最大公因数 1、几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。 2、几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。 3、求两个数的最大公因数的方法。 （1）列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。 （2）筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。 【知识点五】公倍数和最小公倍数 1、几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。 2、几个数的公倍数中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。 3、求两个数的最小公倍数的方法主要有两种。 （1）列举法：先分别找出两个数的倍数，再从中找出它们的公倍数与最小公倍数。 （2）筛选法：先找出较大数的倍数，再从中找出哪些也是较小数的倍数，从而找出两个数的公倍数与最小公倍数。 【考点一】因数与倍数 【典例一】在9×6＝54中，9和6都是54的( )，54是9的( )，也是6的( )。 【分析】因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【解答】在9×6＝54中，9和6都是54的因数，54是9的倍数，也是6的倍数。 【典例二】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先确定这个数，再找出这个数的所有因数，再从这个数的因数中找出合数即可。 【解答】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数是27。 27＝1×27＝3×9 这个数的因数中合数有9，27。 【典例三】学校新购买了一些绘本，比30本多，比40本少，平均分给二年级的7个班还多2本。平均每班分得( )本，一共购买了( )本。 【分析】由题意可知，这些绘本的本数减去2就是7的倍数，再根据求一个数的倍数的方法，再结合绘本的本数在30~40之间，据此解答即可。 【解答】7的倍数且在30~40之间的数是35 35＋2＝37（本） 37÷7＝5（本）⋯⋯2（本） 则平均每班分得5本，一共购买了37本。 【点评】本题考查倍数，明确求一个数的倍数的方法是解题的关键。 【考点二】2、5和3的倍数的特征 【典例一】“4□”是5的倍数，□里可以填( )。 【分析】个位是0或5的数是5的倍数，据此解答。 【解答】要使“4□”是5的倍数，□里可以填0、5。 【典例二】有三个人分别在朋友圈集赞，一段时间后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们获得的点赞数的和是24，那么三人中最少的点赞数是( )。 【分析】三个连续偶数的和是24，可以设中间的偶数为a，最小的偶数是a－2，最大的偶数是a＋2，根据他们获得的点赞数的和是24列方程解答，先求出中间数，再用中间数－2即可。 【解答】解：设中间的偶数为a。 a－2＋a＋（a＋2）＝24 a－2＋a＋a＋2＝24 3a＝24 a＝24÷3 a＝8 8－2＝6 所以三人中最少的点赞数是6。 【典例三】海洋是人类未知的领域，海洋下有大量的沉船遗落的器物。若一个带密码的宝箱随海洋运动被带到了岸边，宝箱的密码是由“0、2、1、6、7中的数字组成的三位数，且这个三位数恰好是9的倍数（不同数位上的数字不同），最多尝试( )次密码就可以打开宝箱。 【分析】9的倍数的特征是各位上的数的和是9的倍数，这5个数字中，2＋1＋6＝9，0＋2＋7＝9的三位数，即 207、270、702、720，用2、1、6可以组成6个不同的三位数，即126、162、216、261、612、621，用0、2、7可以组成4个不同的三位数，6＋4＝10（次），所以最多尝试10次密码就可以打开宝箱。 【解答】由分析可知：最多尝试10次密码就可以打开宝箱。 【考点三】质数和合数 【典例一】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先确定这个数，再找出这个数的所有因数，再从这个数的因数中找出合数即可。 【解答】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数是27。 27＝1×27＝3×9 这个数的因数中合数有9，27。 【典例二】能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【分析】由左边的锁上的信息可知这是一个两位数；由中间的锁上的信息可知两位数的最高位是2，那么这个两位数是20——30之间的数；再由第三个锁上的信息，20以内连续3个质数相加的和大于20，那么由此可这3个连续的质数是5、7、11。由此解答。 【解答】5＋7＋11＝23 23满足三把锁上的所有条件。 能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是（23）。 【点评】解决此类问题首先把选取最容易筛选的条件，将选取范围缩到最小，然后再依据剩下的条件进一步筛选，最终进行验证确定。 【典例三】将下面各数分解质因数。 39    18    45    80 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【解答】39＝3×13 18＝2×3×3 45＝3×3×5 80＝2×2×2×2×5 【考点四】公因数和最大公因数 【典例一】15的因数有( )，25的因数有( )，15和25的公因数有( )。 【分析】求一个数的因数，就想哪两个非0自然数相乘等于这个数，则相乘的两个数就是该数的因数，如果相乘的两数相同，写一个即可；公因数是两个或两个以上数字的因数中相同的因数。 【解答】因为15＝1×15＝3×5，所以15的因数有：1，3，5，15； 因为25＝1×25＝5×5，所以25的因数有：1，5，25； 15和25的公因数有：1，5。 【典例二】王阿姨把50块巧克力和35块奶糖平均分给舞蹈队的小朋友，要求尽可能分完，分完发现巧克力多了2块，奶糖少了5块。舞蹈队有多少个小朋友？ 【分析】根据题意，分别求出分给小朋友的巧克力糖和奶糖的块数，然后再求出分得块数的最大公因数，然后再进一步解答即可。 【解答】50－2＝48（块） 35＋5＝40（块） 48＝2×2×2×2×3 40＝2×2×2×5 48和40的最大公因数是：2×2×2＝8 答：舞蹈队有8个小朋友。 【典例三】班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 【分析】根据题意可知，问在书法比赛中获奖的学生有多少人，先算出钢笔和练习本各需要多少，再求出它们的最大公因数，就是在书法比赛中获奖的学生的人数，据此解答即可。 【解答】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35＝5×7 42＝2×3×7 35和42的最大公因数是：7 答：在书法比赛中获奖的学生有7人。 【考点五】公倍数和最小公倍数 【典例一】有M，N两个数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，M是18，N是( )。 【分析】M和N全部共有的质因数相乘的积就是它们的最大公因数；M和N全部共有的质因数乘各自独立的质因数就是它们的最小公倍数；因此M和N的最大公因数与最小公倍数的乘积等于M×N，用M和N的最大公因数乘最小公倍数，所得积除以18，所得结果即为N的值；据此解答。 【解答】6×90÷18 ＝540÷18 ＝30 因此N是30。 【典例二】五年级二班同学去参观科技馆，小宇说：“我们班这次去的不到50人。”小恒说：“如果6个人坐一辆车，多3个人。”园园说：“如果8个人坐一辆车，空3个座位。”这次最多有多少人去参观科技馆？ 【分析】由“如果6个人坐一辆车，多3个人，如果8个人坐一辆车，空3个座位”可知，如果添加3人，参观的人数刚好既是6的倍数又是8的倍数。根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，较大的那个数为最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积；据此先求出6与8的最小公倍数，要使人数最多，只要在6与8的最小公倍数上乘整倍数，但要保证人数不超过50，最后减去3即可得到参观的人数。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数为2×2×2×3＝24 24×2－3 ＝48－3 ＝45（人） 答：这次最多有45人去参观科技馆。 【典例三】纵桨飞舟，粽叶飘香，赛龙舟是端午佳节的重要组成部分，是中华文化的传承。为弘扬中华传统文化，彰显“水润之城”的城市内涵，6月10日，有38支来自各县区的代表队在市区古黄河金鹰段举办2024宿迁端午龙舟赛。赛道上原来有21个浮漂（首尾各有一个），每两个浮漂之间距离是15米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂有多少个？ 【分析】赛道上原来有21个浮漂，首尾各有一个，所以赛道总长是（21－1）个15米，即300米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂就是15和20的公倍数，15和20的最小公倍数是60，所以不需要重新替换的浮漂有（300÷60＋1）个。 【解答】21－1＝20（个） 20×15＝300（米） 15＝3×5 20＝2×2×5 所以15和20的最小公倍数是：5×3×2×2＝60 300÷60＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 答：不需要重新替换的浮漂有6个。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）一个三位数同时是3和5的倍数，这个三位数最小是( )，把这个数分解质因数为( )。 【答案】105 105＝3×5×7 【分析】3和5的最小公倍数是15，用15分别乘2，3，4……，直到得出的积是三位数即可得出这个数；分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。据此解答。 【解答】3和5的最小公倍数是15 15×2＝30 15×3＝45 15×4＝60 15×5＝75 15×6＝90 15×7＝105，则这个三位数最小是105； 则把这个数分解质因数为105＝3×5×7。 2．（2分）五年级一班学生人数在35~40之间，他们参加植树活动时，如果每4人一组或每6人一组都刚好分完且无剩余，这班有( )人。 【答案】36 【分析】无论是每4人一组或每6人一组都刚好分完且无剩余，那么这个班的学生人数是4和6的公倍数；先找出4和6的公倍数，满足在35至40之间的公倍数即为这个班的学生人数；据此解答。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数为2×2×3＝12。 4和6的公倍数有：12，24，36，48，…… 在35至40之间满足是4和6的公倍数的是36。 因此这班有36人。 3．（2分）一张长36厘米、宽24厘米的长方形纸，要把它裁成同样大的正方形，边长为整厘米数，且没有剩余，裁成的正方形边长最大是( )厘米，至少可以裁成( )个这样的正方形。 【答案】12 6 【分析】根据裁成同样大小的正方形，边长为整厘米数，且没有剩余边长最大可知，就是求24和36的最大公因数，进而求出正方形的边长；最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积；根据长方形的面积公式和正方形的面积公式，用长方形的面积除以正方形的面积即可求出可以裁成多少个，据此解答即可。 【解答】 24和36的最大公因数是 （平方厘米） （平方厘米） （个） 裁成的正方形边长最大是12厘米，可以裁成6个这样的正方形。 4．（2分）李老师学习强国的分数达到了9353，至少减去( )后，就同时是2，3，5的倍数。 【答案】23 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 【解答】9＋3＋5＋3＝20 减去3，是9353，不符合各位数之和能被3整除的条件。 减去8是9345，不符合末尾是0的条件。 减去13是9340，符合末尾是0，但各位数之和不能被3整除的条件。 减去23是9340，符合末尾是0，且各位数之和能被3整除的条件。 5．（2分）一辆公交车早晨6：00发出第一班，以后每隔15分钟发一班。第8班车的发车时间是( )。 【答案】7∶45 【分析】根据题意可知一辆公交车早晨6：00发出第一班，以后每隔15分钟发一班。求第8班车的发车时间，那么可知一共是7个间隔，求出7个15分钟就行。 【解答】7×15＝105（分钟） 105分钟＝1时45分钟 6时＋1时45分钟＝7∶45 【点评】间隔问题是生活中常见的数学问题，第8班车的发车时间前面有7个时间间隔。 6．（2分）20的因数有( )，30以内4的倍数有( )。 【答案】1，2，4，5，10，20 4，8，12，16，20，24，28 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【解答】1×20＝20，2×10＝20，4×5＝20； 4×1＝4，4×2＝8，4×3＝12，4×4＝16，4×5＝20，4×6＝24，4×7＝28。 填空如下： 20的因数有（1，2，4，5，10，20），30以内4的倍数有（4，8，12，16，20，24，28）。 7．（2分）五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 【答案】3 24 【分析】把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，说明每人分到的本数和人数是练习本数量的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此再根据五年级一班的学生人数在20~30之间，确定每人分到的本数和人数。 【解答】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 3×24＝72（本） 每名同学分到3本练习本，这个班有24名学生。 8．（2分）一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【答案】9，27 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先确定这个数，再找出这个数的所有因数，再从这个数的因数中找出合数即可。 【解答】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数是27。 27＝1×27＝3×9 这个数的因数中合数有9，27。 9．（2分）在42＝6×7中，( )和( )都是42的因数，其中( )是42的质因数。 【答案】6 7 7 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。所谓质因数就是，当我们把一个整数写成若干个整数的积的时候，如果每个因数都是质数，那么这些因数都叫原数的质因数。 【解答】在42＝6×7中，6和7都是42的因数；因为6是合数，7是质数，所以7是42的质因数。 因此在42＝6×7中，6和7都是42的因数，其中7是42的质因数。 10．（2分）妈妈银行卡的密码是ABCDEF这个六位数，A是最大的一位数，B是最小的奇数，C是最小的合数，E是8的最大因数，F是5的最小倍数，D是最小的质数。妈妈银行卡的密码是( )。 【答案】914285 【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；据此可知，最大的一位数是9，最小的奇数是1，最小的合数是4，8的最大因数是8，5的最小倍数是5，最小质数是2，据此解答。 【解答】最大的一位数是9，最小的奇数是1，最小的合数是4，8的最大因数是8，5的最小倍数是5，最小质数是2；所以A是9，B是1，C是4，D是2，E是8，F是5，这个密码是914285。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）13和26的最大公因数是26。( ) 【答案】× 【分析】两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，较小的那个数为两个数的最大公因数；如果两个数为互质数，两个数的最大公因数是1，据此解答。 【解答】13和26是倍数关系，13和26的最大公因数是13。 原题干说法错误。 故答案为：× 12．（2分）因为找一个数的因数是一对一对找的，所以一个数的因数有偶数个。( ) 【答案】× 【分析】虽然找一个数的因数是一对一对找的，但是这一对有时相同，算一个。比如9的因数有1、3、9三个数，即9的因数的个数不是偶数个。据此判断即可。 【解答】由分析可知： 因为找一个数的因数是一对一对找的，所以一个数的因数有偶数个。此说法错误。 故答案为：× 13．（2分）a＝3×3×5，b＝3×5×7，a和b的最小公倍数是420。( ) 【答案】× 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【解答】3×3×5×7＝315 a＝3×3×5，b＝3×5×7，a和b的最小公倍数是315，原题说法错误。 故答案为：× 14．（2分）5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数；每连续5个数字中，一定有末尾是0或5的数，据此判断。 【解答】个位是0或5的数是5的倍数，每连续5个数字中（0除外），一定有末尾是0或5的数，因此5个连续的自然数（0除外）中，必有一个是5的倍数，原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 15．（2分）因为75÷15＝5，所以75是倍数，5是因数。( ) 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；注意不能单独说这个数是因数或倍数。据此解答即可。 【解答】因为75÷15＝5，所以75是15和5的倍数，5是75的因数。原题干说法错误。 故答案为：× 三、选择题（满分10分） 16．（2分）用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有（    ）个。 A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是5或0的数。那么既是2的倍数，也是5的倍数的特征就是：个位上是0的数。用数字0、1、5、8组成两位数，个位上是0的有：10、50、80，共3个。据此解答。 【解答】据分析可知，用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有3个。 故答案为：A 17．（2分）下面的说法中，错误的是（    ）。 A．质数只有2个因数 B．非零自然数a和b都是它们最小公倍数的因数 C．9是18和27的公因数 D．63和14的最大公因数是14 【答案】D 【分析】（1）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数； （2）在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，最小公倍数一定是这两个自然数的倍数，那么这两个自然数是最小公倍数的因数，举例说明即可； （3）如果9是18的因数，9也是27的因数，那么9就是这两个数的公因数； （4）先把63和14分解质因数，再求出这两个数的最大公因数，据此解答。 【解答】A．由质数的意义可知，质数只有1和它本身2个因数，如：2是质数它的因数有1和2，一共2个因数，题目说法正确； B．非零自然数a和b都是它们最小公倍数的因数，如：a＝4，b＝7，a和b的最小公倍数是4×7＝28，4和7都是28的因数，题目说法正确； C．18÷9＝2，9是18的因数；27÷9＝3，9是27的因数，所以9是18和27的公因数，题目说法正确； D．63＝3×3×7，14＝2×7，则63和14的最大公因数是7，题目说法错误。 故答案为：D 18．（2分）两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是（    ）m。 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由题意可知，要求每小段铁丝最长是几m，就是求24和42的最大公因数，可用短除法解答。 【解答】 24和42的最大公因数是 所以，两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是6m。 故答案为：C 19．（2分）下面4个五位数中，a表示比10小的自然数，其中一定能被2、3和5整除的数是（    ）。 A．aa000 B．a0aa0 C．a0a00 D．a000a 【答案】B 【分析】能被2、3和5整除的数，也就是2、3和5倍数的数。3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数；2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数，由于这个数是2、3和5的倍数，那么这个数末尾是0，据此即可逐项分析。 【解答】A．aa000各个位数的和是2a，2a不一定是3的倍数，不符合题意； B．a0aa0各个数位的和是a＋a＋a＝3a，3a一定是3的倍数，末尾是0，因此也一定是2、5的倍数，符合题意； C．a0a00各个数位的和是2a，2a不一定是3的倍数，不符合题意； D．a000a各个数位的和是2a，2a不一定是3的倍数，不符合题意。 故答案为：B 20．（2分）下面计数器表示的数中，（    ）是3的倍数。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】各个数位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此解题。 【解答】 A．表示304，3＋0＋4＝7，7不是3的倍数，那么304也不是3的倍数； B．表示121，1＋2＋1＝4，4不是3的倍数，那么121也不是3的倍数； C．表示35，3＋5＝8，8不是3的倍数，那么35也不是3的倍数； D．表示243，2＋4＋3＝9，9是3的倍数，那么243也是3的倍数。 所以表示的数是3的倍数。 故答案为：D 四、计算题（满分6分） 21．（6分）求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18        9和10        78和39        72和48 【答案】12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36； 9和10的最大公因数是1，最小公倍数是90； 78和39的最大公因数是39，最小公倍数是78； 72和48的最大公因数是24，最小公倍数是144 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【解答】（1）12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是：2×3＝6 12和18的最小公倍数是：2×2×3×3＝36 （2）9和10是互质数，所以9和10的最大公因数是1，9和10的最小公倍数是：9×10＝90。 （3）78是39的倍数，所以78和39的最大公因数是39，最小公倍数是78。 （4）72＝2×2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 72和48的最大公因数是：2×2×2×3＝24 72和48的最小公倍数是：2×2×2×2×3×3＝144 五、解答题（满分54分） 22．（6分）商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【答案】72个 【分析】从题意可知：这些苹果的个数是12和18的公倍数，是12和18的公倍数中大于70小于80的数。因此先用分解质因数的方法，求出12和18的最小公倍数，再找出在70～80的12和18的公倍数即可。 【解答】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是2×2×3×3＝36 36×2＝72（个） 答：一共有72个苹果。 23．（6分）某班学生人数在35到45之间，并且2人2人地数余下1人；5人5人地数也余下1人。这个班一共有多少人？ 【答案】41人 【分析】根据题意，2人2人地数余下1人，5人5人地数也余下1人，说明这个班的人数是2和5在35到45之间的公倍数加1。据此解答。 【解答】2和5的公倍数有：10，20，30，40，50……，在35到45之间的是40。 40＋1＝41（人） 答：这个班一共有41人。 24．（6分）有两根彩带分别长16厘米和28厘米，现在要把两根彩带剪成同样长的短彩带，且没有剩余。请问短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成多少根这样的短彩带？ 【答案】4厘米；11根 【分析】根据题意可知，短彩带的长度是两个彩带长度的公因数，求短彩带最长是多少厘米，就是求16和28的最大公因数；最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此得出短彩带最长是多少厘米；然后用两根彩带的长度和除以短彩带的长度，即可求出短彩带的数量。 【解答】16＝2×2×2×2         28＝2×2×7         2×2＝4（厘米）         （16＋28）÷4 ＝44÷4 ＝11（根） 答：短彩带最长是4厘米，一共可以剪成11根这样的短彩带。 25．（6分）兄弟俩在操场上跑步锻炼，哥哥每4分钟跑一圈，弟弟每6分钟跑一圈，他们同时从起点出发后，哥哥至少跑几圈又能在起点和弟弟相遇？ 【答案】3圈 【分析】哥哥每4分钟跑一圈，弟弟每6分钟跑一圈，则他们再次在起点相遇至少经过的时间是4和6的最小公倍数；先求出4和6的最小公倍数，再用这个最小公倍数除以4，即为哥哥至少跑几圈又能在起点和弟弟相遇；据此解答。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。 12÷4＝3（圈） 答：哥哥至少跑3圈又能在起点和弟弟相遇。 26．（6分）学校花圃种了几行玫瑰花，行数和每行玫瑰花的棵数都是质数。下面四名同学数出的玫瑰花总棵数都不相同，小宇数出68棵，小恒数出70棵，乐乐数出77棵，园园数出72棵。请问谁数对了呢？（每行玫瑰花的棵数相同） 【答案】乐乐数对了 【分析】因为行数和每行玫瑰花的棵树都是质数，可以分别把68、70、77和72这四个数分解质因数，判断哪个数可以分解成两个质数相乘的形式，那么这个数就是玫瑰花正确的总棵树。 【解答】68＝2×2×17 70＝2×5×7 77＝7×11 72＝2×2×2×3×3 这四个数中，只有77可以分解成两个质数相乘的形式，因此玫瑰花总棵树是77棵。 答：乐乐数对了。 27．（6分）甲、乙、丙三人去打靶，每人打一枪。三人各自打中环数之积是192，且三人的环数恰好是连续的偶数。这三人的环数分别是多少？ 【答案】4环；6环；8环 【分析】先将192分解质因数，把192写成连续的偶数的乘积的形式，可以得到这三个数分别是4，6，8，即这三人的环数。 【解答】192＝2×2×2×2×2×2×3＝（2×2）×（2×3）×（2×2×2）＝4×6×8 答：这三人的环数分别是4环，6环，8环。 28．（6分）学校举行运动会，每一个运动员都有一个三位数的编号。小明编号的第一个数字既是质数又是偶数，第二个数字是所有自然数的因数，第三个数字是10以内最大的3的倍数。你知道小明的编号是多少吗？ 【答案】219 【分析】所有的质数中2是唯一的偶数，1是所有自然数的因数，10以内3的倍数有3，6，9，则第三个数字是9，据此解答。 【解答】分析可知，第一个数字是2，第二个数字是1，第三个数字是9，所以这个三位数是219。 答：小明的编号是219。 29．（6分）小明房间的地面是一个边长4米的正方形，现在小明想把房间铺满泡沫软垫，选用下面哪种规格的软垫能正好铺满？为什么？ 【答案】选择边长为40厘米的正方形软垫 【分析】4米＝400厘米，想刚好铺满，那么长方形泡沫软垫的长和宽以及正方形泡沫软垫的边长必须是400的因数，据此分析解答。 【解答】4米＝400厘米 20是400的因数，30不是400的因数，所以不能选择第一种规格的软垫； 40是400的因数，所以可以选择第二种规格的软垫； 50是400的因数，30不是400的因数，所以不能选择第三种规格的软垫； 60不是400的因数，所以不能选择第四种规格的软垫。 答：选择边长为40厘米的软垫可以铺满整个房间，因为40是400的因数。 30．（6分）万老师的手机密码是ABCDEF。A是7的最小倍数，B只有一个因数，C既是6的因数，又是6的倍数，D是最小的自然数，E是8的最大因数，F是最大的一位数。这个密码是多少？ 【答案】716089 【分析】，所以7的最小倍数是7；，所以1只有一个因数；每个数都既是它本身的因数又是它本身的倍数；最小的自然数是0；，，所以8的因数有1、2、4、8；最大的一位数是9，据此解答。 【解答】A：，所以7的最小倍数是7； B：，所以1只有一个因数； C：6既是6的因数又是6的倍数； D：最小的自然数是0； E：，，8的因数有1、2、4、8，最大的因数是8； F：最大的一位数是9； 所以A是7，B是1，C是6，D是0，E是8，F是9。这个密码是716089。 答：这个密码是716089。 学科网（北京）股份有限公司 $$