第三讲 因数和倍数（单元讲义）-2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版）学生版+教师版

2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第三讲 因数和倍数 （导图+知识精讲+易错点拨+15大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识梳理01：因数和倍数 3 知识梳理02：质数和合数 3 知识梳理03：质因数和分解质因数 4 知识梳理04：2 、5、3的倍数的特征 4 知识梳理05：和与积的奇偶性 4 易错点拨 查漏补缺 4 考点讲练 明确目标 5 考点讲练01：公因数与最大公因数 5 考点讲练02：公倍数与最小公倍数 5 考点讲练03：因数和倍数的认识 5 考点讲练04：2、5的倍数特征 6 考点讲练05：3的倍数特征 6 考点讲练06：奇数与偶数的认识 6 考点讲练07：质因数的含义 6 考点讲练08：分解质因数 7 考点讲练09：找一个数的因数及因数的特征 7 考点讲练10：找一个数的倍数及倍数的特征 7 考点讲练11：2、3、5的倍数特征综合 8 考点讲练12：质数与合数的认识 8 考点讲练13：用最大公因数解决实际问题 8 考点讲练14：用最小公倍数解决实际问题 9 考点讲练15：倍数和因数的综合应用 9 易错真题 培优必刷 10 培优巩固 拔尖冲刺 14 基础夯实优选题专练 14 培优优选题专练 16 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识梳理01：因数和倍数 1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与倍数是相互依存绝不能孤立的存在. 2、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的方法：成对的找。） 3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数） 4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。 知识梳理02：质数和合数 1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类 ①只有自己本身一个因数的 1 ②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。 ③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。 按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是 0. 2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15 是合数。 4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。 5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法 ） ①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5 ②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，(3，7)=1 ③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。 知识梳理03：质因数和分解质因数 1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 2.是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。 知识梳理04：2 、5、3的倍数的特征 2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。 5 的倍数的特征：个位是 0 或 5。 3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。 知识梳理05：和与积的奇偶性 偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数 1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。 2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。 3、3的倍数也可以是偶数。 4、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。 5、1既不是质数，也不是合数。 6.、最小的质数是2，最小的合数是4。 7、2是唯一的一个偶质数。 8、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。 9、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。 10、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。 11、几个数的公倍数的个数是无限的。 12、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。 考点讲练01：公因数与最大公因数 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·期中）如果a＝3b（a、b是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．3 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·期中）把下面的长方形分成若干个同样大小的正方形，要使正方形尽可能大，可以怎样分？在图中画一画。 考点讲练02：公倍数与最小公倍数 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）写出下面各组数的最小公倍数。 5和7( )    12和18( )   9和36( )   3和7( ) 6和9( )    11和9( )   15和20( )   4和8( ) 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）小红妈妈买来一些苹果，每3个放一盘多1个，每4个放一盘也多1个，每5个放一盘还多1个。小红妈妈至少买来多少个苹果？（提示：先想一想3、4、5的最小公倍数） 考点讲练03：因数和倍数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·单元测试）1、3、9都是9的( )，( )是任何数的因数。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）2和3都是18的（    ）。 A．因数 B．倍数 C．质数 D．合数 考点讲练04：2、5的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·江苏扬州·期末）相邻两个非零自然数的积一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法判断 【精练题01】（2024五年级下·江苏·专题练习）用4、5、7这三个数字组成的三位数中，5的倍数有（    ）个。 A．6 B．4 C．2 D．1 考点讲练05：3的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·江苏盐城·期末）在下图计数器的个位上至少再拨（    ）颗珠，使得计数器上表示的四位数是3的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）下面计数器表示的数，（    ）是3的倍数。 A． B． C． 考点讲练06：奇数与偶数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·江苏连云港·期末）在7、9、12、15、29、40中，奇数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【精练题01】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）若A为奇数，与A相邻的两个奇数分别是（    ）。 A．A＋1与A－1 B．A＋2与A－2 C．2A与 3A D．1和3 考点讲练07：质因数的含义 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）35的因数有( )，其中质因数有( )。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）42＝6×7，6( )42的质因数，7( )42的质因数。（填“是”或“不是”） 考点讲练08：分解质因数 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）某小学组织五年级学生去春游。五（1）班有36人，五（2）班有42人，为了方便清点人数，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍。每队最多有多少人？每班各可以分成多少队？ 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）有两根水管，一根长16米，一根长20米，把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段最长几米？共截成几段？ 考点讲练09：找一个数的因数及因数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·江苏连云港·期末）18和12的公因数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）按顺序写出被除数是24的除法算式，再在横线上写一写。 24÷（1）＝24    24÷( )＝( )    24÷( )＝( )    24÷( )＝( ) 24的因数有： 。 考点讲练10：找一个数的倍数及倍数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）五（1）班的人数是2的倍数，又是3的倍数，而且比40多、比50少。五（1）班可能有( )人。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）下面哪些数是3的倍数？哪些数是7的倍数？哪些数既是3的倍数又是7的倍数？ 3  6  7  12  14  18  21  24  27  28  30  35  36  42 3的倍数有 。7的倍数有 。既是3的倍数又是7的倍数有 。 考点讲练11：2、3、5的倍数特征综合 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）从下面的四张卡片中任意选择三张，按要求填一填。 2   4   5   9 组成的数是3的倍数： 。 组成的数既是3的倍数又是2的倍数： 。 组成的数既是3的倍数又是5的倍数： 。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）在括号里填合适的数字。 (1)16( )、30( )是2的倍数，又是5的倍数。 (2)19( )、4( )( )是2的倍数，又是3的倍数。 (3)45( )、( )20既有因数3，又有因数2，还是5的倍数。 考点讲练12：质数与合数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）如果一个自然数不是合数，那么它（    ）。 A．一定是质数 B．一定不是质数 C．不一定是质数 D．一定是奇数 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）最小的质数与最小的两位数的积是( )，把它分解质因数是( )。 考点讲练13：用最大公因数解决实际问题 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）下图是一个长方形水池的示意图。要在水池的四周及四角栽上景观树，每相邻两棵树之间的距离要相等，最少要栽多少棵树？ 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 考点讲练14：用最小公倍数解决实际问题 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·期中）用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图的样子接着拼，拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？ 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 考点讲练15：倍数和因数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·江苏无锡·期中）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米，其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米。） A．108×80 B．90×60 C．120×72 D．144×10 【精练题01】（22-23五年级下·江苏·课前预习）一个数的倍数的特征。 一个数的倍数的个数是( )的，最小的倍数是( )，( )最大的倍数，求一个数的倍数的方法就是用这个数乘1，2，3，4…。 【精练题02】（23-24五年级下·江苏·课后作业）小明房间的地面是一个边长4米的正方形，现在小明想把房间铺满泡沫软垫，选用下面哪种规格的软垫能正好铺满？为什么？ 1．（2024春•滨海县期中）6的因数有1，2，3，6。这几个因数之间的关系是，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数），28和295都是完美数吗？　　 A．都是 B．都不是 C．无法确定 D．28是完美数，295不是完美数 2．（2024春•抚州期中）已知自然数只有2个因数，那么有　　个因数。 A．2 B．3 C．4 D．3或4 3．（2023秋•太和县期中）水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，　　组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 4．（2024秋•龙华区月考）三个连续奇数的和是51，这三个奇数分别是 　　、　　和 　　。 5．（2024•安化县）如果和是不为0的两个连续自然数，则、的最小公倍数是　　，最大公因数是　　． 6．（2023秋•港南区期末）一个奇数和一个偶数相乘，积一定是偶数．　　（判断对错） 7．（2024春•相城区期中）两个自然数的最大公因数肯定比这两个数都小．　 　（判断对错）． 8．（2024春•潍坊期中）用短除法求下列每组数的最小公倍数和最大公因数。 16和104 15和60 16和40 9．（2023春•灵山县期中）用长4厘米、宽3厘米的长方形，照如图的样子拼成正方形．拼成的正方形的边长最小是多少厘米？（先在图中画一画再解答） 10． （2023春•大丰区期中）有一包糖果，如果平均分给10个小朋友，正好分完；如果平均分给12个小朋友，也正好分完．这包糖果至少有多少粒？ 11．（2023•萝北县）李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水．至少多少天后给这两种花同时浇水？ 12．（2022秋•浚县校级期中）食品店里做了56个月饼，店里有包装盒每盒装4个，包装盒每盒装6个，包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？ 13．（2019•永州模拟）一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯．现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏．为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的．不需要重新安装的路灯至少有多少盏？（先画一画，再解答） 14． （2020春•博白县期中）小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 15．（2024•集美区）下列说法正确的是　　 ①、是两个不为0的自然数，，和的最小公倍数是。 ②长度分别为3厘米、3厘米，6厘米的三根小棒能围成一个三角形。 ③任意抛一枚质地均匀的硬币，正面和反面朝上的可能性相同。 ④正方形、长方形、平行四边形和圆都是轴对称图形。 A．①③ B．①②③ C．①③④ D．③④ 16．（2023•黔江区）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是120，这两个数不可能是　　 A．4和120 B．12和40 C．12和60 D．20和24 17．（2023•三明）已知，，均是不为0的自然数），下面说法错误的是　　 A．是的倍 B．是和的最大公因数 C． D． 18．（2023春•萧山区期末）和都是合数，那么下面说法错误的是　　 A．和最大公因数可能是1 B．和的乘积不可能是奇数 C．和的乘积一定是他们的公倍数 D．和最小公倍数可能是 19．（2024秋•营口期中），均为质数，，， 　　， 　　。 20．（2024秋•西安期中）文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进 　　支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进 　　支。 21．（2024秋•雁塔区期中）一个两位数，它只有三个因数，这三个因数从小到大来排，排在中间的是7，这个两位数是 　　。 22．（2024•魏都区校级开学）已知、两个是非0自然数，他们之间的关系是，那么、的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　。 23．（2024春•望都县期中）一个三位数，各数位上的数字和是3，这样的数中是偶数的有4个。 　　（判断对错） 24．（2024春•商水县期末）已知、都是自然数），那么、的最大公因数是2。 　　（判断对错） 25．（2022秋•平泉市期末）下面4个盒子中分别装着乒乓球和网球，它们装的个数分别是19个、9个、7个、28个。乒乓球总个数是网球的6倍，这4盒中只有一盒是网球。哪一盒是网球？ 26．（2024春•长兴县期末）五年级（1）、（2）班要完成大扫除任务．五（1）班来了48人，五（2）班来了54人．如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 27．（2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？ 28．（2024秋•南关区校级期中）植树节到了，何老师带领五（2）班的同学去植树，一共植了123棵，已知何老师植树的棵数和每名同学植树的棵数相等．这个班有多少名学生？每名同学植树多少棵？ 29．（2023春•丹阳市校级期末）有两根绳子，一根长42米，另一根长48米．现在要把它们剪成同样长的小段，每段长要尽可能长，且没有剩余．每段绳子长多少米？一共能剪成多少段？ 30． （2023•康县）五（2）班有男生24人，女生18人，现在需要把它们分成人数相等的几个小组，而且各组的男、女生人数要分别相等，最多可以分成几个小组？每组男、女生各有几人？ 基础夯实优选题专练 1．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）如果1＋n＝m（m和n是不等于0的自然数），那么m和n的最大公因数是（    ）。 A．1 B．m C．n D．mn 2．（22-23五年级下·江苏淮安·期末）三位数45☐既是2的倍数，又有因数3，☐里可填的整数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．1 3．（22-23五年级下·江苏徐州·期末）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米。其中“”表示长108厘米、宽80厘米） A． B． C． D． 4．（23-24五年级下·江苏·课后作业）下面哪些数是24的因数？哪些数是30的因数？哪些数既是24的因数又是30的因数？ 1  2  3  4  5  6  8  10  12  15  24  30  120 24的因数有 。30的因数有 。既是24的因数又是30的因数有 。 5．（23-24五年级下·江苏·课后作业）在质数后画“√”，在合数后画“”。 1（    ）   2（    ）   39（    ）    52（    ）   87（    ）     91（    ）    99（    ）    31（    ）    58（    ）    75（    ） 6．（23-24五年级下·江苏·课后作业）将下列各数分解质因数。 7．（23-24五年级下·江苏·课后作业）一个数，如果只有1和( )两个因数，这样的数叫( )，也叫素数。 8．（23-24五年级下·江苏·单元测试）下面是利民小学五年级三个社团的人数。 社团 美术 合唱 舞蹈 人数 47 48 49 哪个社团可以分成人数相等的小组（至少分成2组，每个小组至少2人）？为什么？ 9．（23-24五年级下·江苏·课后作业）36个同学表演集体舞。把下表填写完整，并填空。 排数 1 2 3 4 6 每排人数 36 4 3 2 1 （1）从表中可以看出，排数和（    ）都是36的因数。 （2）36的因数有（    ）。 11． （21-22五年级下·江苏·假期作业）在自然数的范围内，用最小的奇数乘最小的偶数，再加上最小的合数除以最小的质数的商，和是多少？ 培优优选题专练 11．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有（    ）个。 A．3 B．4 C．6 D．9 12．（23-24五年级下·江苏徐州·期末）a是一个不为零的自然数，下面表示偶数的是（    ）。 A．2a＋1 B．2a－1 C．a＋2 D．2a 13．（23-24五年级下·江苏淮安·期末）下面几组数中互质的是（    ）。 A．12和13 B．17和51 C．3和9 D．12和18 14．（23-24五年级下·江苏·课后作业）50以内4和6的公倍数有( )，3和9的公倍数有( )。 15．（23-24五年级下·江苏·课后作业）把80以内8和10的倍数、公倍数分别填在下面的圈里。 80以内8和10的公倍数有（    ），8和10的最小公倍数是（    ）。 16．（23-24五年级下·江苏·课后作业）a、b是非零自然数，若6a＝b，则a、b的最大公因数是( )；若a＝b＋1，则a、b的最小公倍数是( )；若a÷4＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 17．（23-24五年级下·江苏·课后作业）找出每组数的最小公倍数。 12和8       9和10      5和12      18和15     20和15 18．（23-24五年级下·江苏·期中）用长12厘米、宽8厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？至少要用多少个这样的长方形才能拼成一个正方形？ 19．（23-24五年级下·江苏·课后作业）学校广播室的地面是长方形，长320厘米，宽280厘米。如果要给广播室的地面铺上地砖，下面哪种规格的地砖能正好铺满？你是怎样想的？ 20．（23-24五年级下·江苏·期末）把一些苹果分给小朋友们，每人分3个或每人分5个都能正好分完。已知苹果个数在80~100个之间，一共有多少个苹果？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（苏教版） 第三讲 因数和倍数 （导图+知识精讲+易错点拨+15大考点讲练+易错压轴练+难度分层练） 目录 课前指导 讲义介绍 2 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 3 知识梳理01：因数和倍数 3 知识梳理02：质数和合数 3 知识梳理03：质因数和分解质因数 4 知识梳理04：2 、5、3的倍数的特征 4 知识梳理05：和与积的奇偶性 4 易错点拨 查漏补缺 4 考点讲练 明确目标 5 考点讲练01：公因数与最大公因数 5 考点讲练02：公倍数与最小公倍数 6 考点讲练03：因数和倍数的认识 7 考点讲练04：2、5的倍数特征 7 考点讲练05：3的倍数特征 8 考点讲练06：奇数与偶数的认识 9 考点讲练07：质因数的含义 10 考点讲练08：分解质因数 10 考点讲练09：找一个数的因数及因数的特征 11 考点讲练10：找一个数的倍数及倍数的特征 12 考点讲练11：2、3、5的倍数特征综合 13 考点讲练12：质数与合数的认识 14 考点讲练13：用最大公因数解决实际问题 15 考点讲练14：用最小公倍数解决实际问题 16 考点讲练15：倍数和因数的综合应用 16 易错真题 培优必刷 18 压轴专练 冲刺拔尖 23 培优巩固 拔尖冲刺 30 基础夯实优选题专练 30 培优优选题专练 35 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识梳理01：因数和倍数 1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与倍数是相互依存绝不能孤立的存在. 2、一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的方法：成对的找。） 3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数） 4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。 知识梳理02：质数和合数 1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类 ①只有自己本身一个因数的 1 ②只有 1 和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是 2。在所有的质数中，2 是唯一的一个偶数。 ③除了 1 和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有 3 个因数）最小的合数是 4。 按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是 0. 2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15 是合数。 4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。 举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。 5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法 ） ①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。 举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5 ②互质关系的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，(3，7)=1 ③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。 知识梳理03：质因数和分解质因数 1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 2.是 2 的倍数的数叫作偶数，不是 2 的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差 2。 知识梳理04：2 、5、3的倍数的特征 2 的倍数的特征：个位是 0、2、4、6、8。 5 的倍数的特征：个位是 0 或 5。 3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的倍数。 知识梳理05：和与积的奇偶性 偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数 奇数×奇数=奇数 1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。 2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。 3、3的倍数也可以是偶数。 4、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。 5、1既不是质数，也不是合数。 6.、最小的质数是2，最小的合数是4。 7、2是唯一的一个偶质数。 8、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。 9、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。 10、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。 11、几个数的公倍数的个数是无限的。 12、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。 考点讲练01：公因数与最大公因数 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·期中）如果a＝3b（a、b是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是（    ）。 A．a B．b C．3 【答案】B 【思路点拨】当两个数成倍数关系时，最大公因数是较小数，据此分析。 【规范解答】根据分析，如果a＝3b（a、b是不为0的自然数），说明a是b的3倍，那么a和b的最大公因数是b。 故答案为：B 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·期中）把下面的长方形分成若干个同样大小的正方形，要使正方形尽可能大，可以怎样分？在图中画一画。 【答案】见详解 【思路点拨】分成同样大小，且没有剩余，就是分成的小正方形的边长是48和30的公因数，要使正方形尽可能大，就是以48和30的最大公因数为小正方形的边长，根据求两个数最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数为1；据此求出小正方形的边长；然后用长方形的长和宽分别除以小正方形的边长，就是长方形的长边可以分成几个，宽边可以分成几个，最后把它们乘起来即可．画图即可。 【规范解答】48＝2×2×2×2×3 30＝2×3×5 48和30的最大公因数是2×3＝6；正方形的边长为6厘米； 长可分：48÷6＝8（个）；宽可分：30÷6＝5（个） 8×5＝40（个） 如图： 考点讲练02：公倍数与最小公倍数 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）写出下面各组数的最小公倍数。 5和7( )    12和18( )   9和36( )   3和7( ) 6和9( )    11和9( )   15和20( )   4和8( ) 【答案】 35 36 36 21 18 99 60 8 【思路点拨】求两个数的最小公倍数，两个数的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数； 如果两个数是互为质数关系，这两个数的最小公倍数为这两个数的乘积； 如果两个数是倍数关系的两个数，较大数是它们的最小公倍数；据此解答。 【规范解答】（1）5和7互质，所以5和7的最小公倍数为：5×7＝35； （2）12＝2×2×3；18＝2×3×3，所以12和18的最小公倍数为：2×2×3×3＝36； （3）36是9的倍数，所以9和36的最小公倍数为：36； （4）3和7互质，所以3和7的最小公倍数为：3×7＝21； （5）6＝2×3；9＝3×3，所以6和9的最小公倍数为：2×3×3＝18； （6）11和9互质，所以11和9的最小公倍数为：11×9＝99； （7）15＝3×5；20＝2×2×5，所以15和20的最小公倍数为：2×2×3×5＝60； （8）8是4的倍数，所以8和4的最小公倍数为：8。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）小红妈妈买来一些苹果，每3个放一盘多1个，每4个放一盘也多1个，每5个放一盘还多1个。小红妈妈至少买来多少个苹果？（提示：先想一想3、4、5的最小公倍数） 【答案】61个 【思路点拨】每3个放一盘会剩1个，每4个放一盘也会剩1个，每5个放一盘还会剩1个，说明这些苹果的最少个数是比3、4、5的最小公倍数多1的数；先求出3、4、5的最小公倍数，最小公倍数加1，即为小红妈妈至少买来的苹果个数。 【规范解答】3、4、5的最小公倍数是：3×4×5＝60。 60＋1＝61（个） 答：小红妈妈至少买来61个苹果。 考点讲练03：因数和倍数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·单元测试）1、3、9都是9的( )，( )是任何数的因数。 【答案】 因数 1 【思路点拨】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数，据此完成第一个空；任何数除以1都等于它本身，一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，据此完成第二个空。 【规范解答】1×9＝9 3×3＝9 1、3、9都是9的因数，1是任何数的因数。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）2和3都是18的（    ）。 A．因数 B．倍数 C．质数 D．合数 【答案】A 【思路点拨】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，据此解答。 【规范解答】18÷2＝9 18÷3＝6 所以，2和3都是18的因数。 故答案为：A 考点讲练04：2、5的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·江苏扬州·期末）相邻两个非零自然数的积一定是（    ）。 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法判断 【答案】A 【思路点拨】相邻两个非零自然数一定是奇数与偶数，根据奇数×偶数＝偶数，举例说明。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【规范解答】如：1×2＝2，2是2的倍数； 2×3＝6，6是2的倍数，也是3的倍数； 4×5＝20，20是2的倍数，也是5的倍数； 所以，相邻两个非零自然数的积一定是2的倍数。 故答案为：A 【精练题01】（2024五年级下·江苏·专题练习）用4、5、7这三个数字组成的三位数中，5的倍数有（    ）个。 A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【思路点拨】先写出用4、5、7这三个数字组成的三位数，再根据5的倍数的特征：个位上是0或5的数；找出5的倍数即可。 【规范解答】用4、5、7组成的三位数有：457，475，547，574，754，745，一共有6个； 其中5的倍数有：475，745一共有2个。 用4、5、7这三个数字组成的三位数中，5的倍数有2个。 故答案为：C 考点讲练05：3的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·江苏盐城·期末）在下图计数器的个位上至少再拨（    ）颗珠，使得计数器上表示的四位数是3的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】根据3的倍数特征，一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。据此解答。 【规范解答】这个数各个数位上的数字之和是2＋3＋2＝7， 9是3的倍数， 9－7＝2 所以再拨入2颗珠子，就是3的倍数。 故答案为：B 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）下面计数器表示的数，（    ）是3的倍数。 A． B． C． 【答案】C 【思路点拨】根据3的倍数的特征：各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；依次读出计数器表示的数，再根据3的倍数特征，进行解答。 【规范解答】A．表示631，6＋3＋1＝10，10不能被3整除，不是3的倍数，不符合题意； B．表示601，6＋0＋1＝7，7不能被3整除，不是3的倍数，不符合题意； C．表示153，1＋5＋3＝9，9能被3整除，则153是3的倍数，符合题意。 故答案为：C 考点讲练06：奇数与偶数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·江苏连云港·期末）在7、9、12、15、29、40中，奇数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】根据奇数的定义：个位上不是0、2、4、6、8的数是奇数。在7、9、12、15、29、40中，奇数有：7、9、15、29，共4个。据此解答。 【规范解答】据分析可知，在7、9、12、15、29、40中，奇数有4个。 故答案为：C 【精练题01】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）若A为奇数，与A相邻的两个奇数分别是（    ）。 A．A＋1与A－1 B．A＋2与A－2 C．2A与 3A D．1和3 【答案】B 【思路点拨】不是2的倍数的数叫作奇数；相邻的两个奇数之间相差2，与A相邻的两个数，一个比它小2，一个比它大2，据此用字母表示出与A相邻的两个奇数即可。 【规范解答】若A为奇数，与A相邻的两个奇数分别是A＋2与A－2。 故答案为：B 考点讲练07：质因数的含义 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）35的因数有( )，其中质因数有( )。 【答案】 1、5、7、35 5、7 【思路点拨】根据找一个数的因数的方法，利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组的找出35的因数，再按照质数的定义，除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除的数即为质数，在35的因数中找出质数即可得解。 【规范解答】35＝1×35＝5×7 则35的因数有1、5、7、35，其中质因数有5、7。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）42＝6×7，6( )42的质因数，7( )42的质因数。（填“是”或“不是”） 【答案】 不是 是 【思路点拨】分解质因数是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，其中每个质数叫做这个合数的质因数；因为6是合数不是质数，7是质数，所以6不是42的质因数，7是42的质因数，据此解答。 【规范解答】42＝6×7，则6和7都是42的因数，因为6是合数不是质数，7是质数，因此6不是42的质因数，7是42的质因数。 因此42＝6×7，6不是42的质因数，7是42的质因数。 考点讲练08：分解质因数 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）某小学组织五年级学生去春游。五（1）班有36人，五（2）班有42人，为了方便清点人数，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍。每队最多有多少人？每班各可以分成多少队？ 【答案】6人；五（1）班可6队；五（2）班7队 【思路点拨】根据题意，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍，那么每队的人数是两个班人数的公因数；求每队最多的人数就是求两个班人数的最大公因数； 然后看每班人数里各有几个最大公因数，用除法计算，就是每班各可以分成的队数。 【规范解答】36＝2×2×3×3 42＝2×3×7 36和42的最大公因数是：2×3＝6 即每队最多有6人。 36÷6＝6（队） 42÷6＝7（队） 答：每队最多有6人，五（1）班可以分成6队，五（2）班可以分成7队。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）有两根水管，一根长16米，一根长20米，把它们截成同样长的小段且没有剩余，每段最长几米？共截成几段？ 【答案】4米；9段 【思路点拨】把16米、20米长的两根水管截成同样长的小段且没有剩余，求每段最长的米数，就是求16和20的最大公因数。把16、20分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。 再看16、20里面分别有几个这样的最大公因数，最后相加，即是一共截成的总段数。 【规范解答】16＝2×2×2×2 20＝2×2×5 16和20的最大公因数是：2×2＝4 即每段最长4米。 16÷4＝4（段） 20÷4＝5（段） 4＋5＝9（段） 答：每段最长4米，共截成9段。 考点讲练09：找一个数的因数及因数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·江苏连云港·期末）18和12的公因数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】根据求一个数因数的方法，把这个数写成两个自然数相乘的形式，据此即可找出18和12的因数，再把出18和12公有的因数就是公因数。 【规范解答】12＝1×12＝2×6＝3×4 所以12的因数有：1、2、3、4、6、12 18＝1×18＝2×9＝3×6 所以18的因数有：1、2、3、6、9、18 则18和12的公因数：1、2、3、6 18和12的公因数有4个。 故答案为：C 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）按顺序写出被除数是24的除法算式，再在横线上写一写。 24÷（1）＝24    24÷( )＝( )    24÷( )＝( )    24÷( )＝( ) 24的因数有： 。 【答案】 2 12 3 8 4 6 1，2，3，4，6，8，12，24 【思路点拨】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此解答。 【规范解答】24÷1＝24 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 考点讲练10：找一个数的倍数及倍数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）五（1）班的人数是2的倍数，又是3的倍数，而且比40多、比50少。五（1）班可能有( )人。 【答案】42或48 【思路点拨】五（1）班的人数是2的倍数，又是3的倍数，则五（1）班的人数一定是2和3的公倍数且比40多比50少。罗列出2和3的公倍数，两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。选出符合条件的数据即可解决本题。 【规范解答】2的倍数有：2、4、6、8…；3的倍数有：3、6、9… 2和3的最小公倍数为：6 6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54… 又知总人数比40多、比50少，所以五（1）班可能有42或48人。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）下面哪些数是3的倍数？哪些数是7的倍数？哪些数既是3的倍数又是7的倍数？ 3  6  7  12  14  18  21  24  27  28  30  35  36  42 3的倍数有 。7的倍数有 。既是3的倍数又是7的倍数有 。 【答案】 3、6、12、18、21、24、27、30、36、42 7、14、21、28、35、42 21、42 【思路点拨】3的倍数能被3整除，7的倍数能被7整除，既是3的倍数又是7的倍数，则既能被3整除又能被7整除，据此解答。 【规范解答】3的倍数有：3、6、12、18、21、24、27、30、36、42。 7的倍数有：7、14、21、28、35、42。 既是3的倍数又是7的倍数有：21、42。 考点讲练11：2、3、5的倍数特征综合 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）从下面的四张卡片中任意选择三张，按要求填一填。 2   4   5   9 组成的数是3的倍数： 。 组成的数既是3的倍数又是2的倍数： 。 组成的数既是3的倍数又是5的倍数： 。 【答案】 249、294、429、492、942、924；459、495、549、594、945、954 294、492、942、924、594、954 495、945 【思路点拨】①根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；②既是3的倍数又是2的倍数：不仅各个数位上的数字之和是3的倍数，而且这个数的个位数还得是0、2、4、6、8；③既是3的倍数又是5的倍数：不仅各个数位上的数字之和是3的倍数，而且这个数的个位数字还得是0和5；据此解答。 【规范解答】（1）因为2＋4＋9＝15，4＋5＋9＝18，所以组成的数有：249、294、429、492、942、924；459、495、549、594、945、954； （2）从（1）中得组成的数既是3的倍数又是2的倍数的数有：294、492、942、924、594、954； （3）个位数是5的数有：245、295、425、495、925、945，再结合（1）中得组成的数既是3的倍数又是5的倍数的有：495、945。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）在括号里填合适的数字。 (1)16( )、30( )是2的倍数，又是5的倍数。 (2)19( )、4( )( )是2的倍数，又是3的倍数。 (3)45( )、( )20既有因数3，又有因数2，还是5的倍数。 【答案】(1) 0 0 (2) 2 0 2 (3) 0 1 【思路点拨】（1）个位是0的数，即是2的倍数，也是5的倍数； （2）个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，各个数位相加的和是3的倍数的数是3的倍数； （3）先满足是2和5的倍数，个位就是0，再满足3的倍数特征即可。 【规范解答】（1）160、300是2的倍数，又是5的倍数。 （2）192、402是2的倍数，又是3的倍数。 （3）450、120既有因数3，又有因数2，还是5的倍数。 考点讲练12：质数与合数的认识 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）如果一个自然数不是合数，那么它（    ）。 A．一定是质数 B．一定不是质数 C．不一定是质数 D．一定是奇数 【答案】C 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数，举例说明即可。 【规范解答】分析可知，3的因数只有1和3，3是质数；1的因数只有它本身，1既不是质数也不是合数，所以如果一个自然数不是合数，那么它不一定是质数；2是偶数也是质数，所以如果一个自然数不是合数，那么它不一定是奇数。 故答案为：C 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）最小的质数与最小的两位数的积是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 20 20＝2×2×5 【思路点拨】最小的质数是2，最小的两位数是10，用乘法计算出它们的乘积即可；再把结果写成几个质数相乘的形式即可解答。 【规范解答】最小的质数是2，最小的两位数是10 2×10＝20 20＝2×2×5 所以，最小的质数与最小的两位数的积是20，把它分解质因数是20＝2×2×5。 考点讲练13：用最大公因数解决实际问题 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·课后作业）下图是一个长方形水池的示意图。要在水池的四周及四角栽上景观树，每相邻两棵树之间的距离要相等，最少要栽多少棵树？ 【答案】50棵 【思路点拨】要使栽树最少，应使每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是64和36的最大公因数，求出64和36的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离；长方形的周长＝（长＋宽）×2，然后用长方形的周长除以最大公因数，即可求出最少要栽的棵数。 【规范解答】64＝2×2×2×2×2×2 36＝2×2×3×3 则64与36的最大公因数是2×2＝4 （64＋36）×2÷4 ＝100×2÷4 ＝200÷4 ＝50（棵） 答：最少要栽50棵树。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 【答案】7人 【思路点拨】根据题意可知，问在书法比赛中获奖的学生有多少人，先算出钢笔和练习本各需要多少，再求出它们的最大公因数，就是在书法比赛中获奖的学生的人数，据此解答即可。 【规范解答】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35＝5×7 42＝2×3×7 35和42的最大公因数是：7 答：在书法比赛中获奖的学生有7人。 考点讲练14：用最小公倍数解决实际问题 【精讲题】（23-24五年级下·江苏·期中）用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图的样子接着拼，拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？ 【答案】12厘米 【思路点拨】正方形的四条边长度相等。用长方形拼成正方形，则正方形的边长是长方形的长与宽的公倍数。求拼成的正方形边长最小是多少厘米，也就是求4和3的最小公倍数是多少。据此解答即可。 【规范解答】3和4的最小公倍数：3×4＝12 答：拼成的正方形边长最小是12厘米。 【精练题01】（23-24五年级下·江苏·课后作业）商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【答案】72个 【思路点拨】从题意可知：这些苹果的个数是12和18的公倍数，是12和18的公倍数中大于70小于80的数。因此先用分解质因数的方法，求出12和18的最小公倍数，再找出在70～80的12和18的公倍数即可。 【规范解答】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是2×2×3×3＝36 36×2＝72（个） 答：一共有72个苹果。 考点讲练15：倍数和因数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·江苏无锡·期中）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米，其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米。） A．108×80 B．90×60 C．120×72 D．144×10 【答案】C 【思路点拨】用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面，正好能铺满且没有浪费，也就是这个桌面的长和宽是12的倍数，据此解答。 【规范解答】A．80不能被12整除，不符合题意； B．90不能被12整除，不符合题意； C．120和72都能被12整除，120÷12＝10，72÷12＝6，6×10＝60（张），则用60张正方形画纸可以铺满桌面，符合题意； D．10不能被12整除，不符合题意。 故答案为：C 【精练题01】（22-23五年级下·江苏·课前预习）一个数的倍数的特征。 一个数的倍数的个数是( )的，最小的倍数是( )，( )最大的倍数，求一个数的倍数的方法就是用这个数乘1，2，3，4…。 【答案】 无限 它本身 没有 【思路点拨】根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；据此解答。 【规范解答】一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，求一个数的倍数的方法就是用这个数乘1，2，3，4…。 【精练题02】（23-24五年级下·江苏·课后作业）小明房间的地面是一个边长4米的正方形，现在小明想把房间铺满泡沫软垫，选用下面哪种规格的软垫能正好铺满？为什么？ 【答案】选择边长为40厘米的正方形软垫 【思路点拨】4米＝400厘米，想刚好铺满，那么长方形泡沫软垫的长和宽以及正方形泡沫软垫的边长必须是400的因数，据此分析解答。 【规范解答】4米＝400厘米 20是400的因数，30不是400的因数，所以不能选择第一种规格的软垫； 40是400的因数，所以可以选择第二种规格的软垫； 50是400的因数，30不是400的因数，所以不能选择第三种规格的软垫； 60不是400的因数，所以不能选择第四种规格的软垫。 答：选择边长为40厘米的软垫可以铺满整个房间，因为40是400的因数。 1．（2024春•滨海县期中）6的因数有1，2，3，6。这几个因数之间的关系是，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数），28和295都是完美数吗？　　 A．都是 B．都不是 C．无法确定 D．28是完美数，295不是完美数 【思路点拨】先找出28和295的因数，依据题意去判断28和295是否是完美数。 【规范解答】解：28的因数：1，2，4，7，14，28。，所以28是完美数； 295的因数：1，5，59，295。，，所以295不是完美数。 故选：。 【考点评析】本题考查的是因数的应用。 2．（2024春•抚州期中）已知自然数只有2个因数，那么有　　个因数。 A．2 B．3 C．4 D．3或4 【思路点拨】求一个数因数的方法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，根据乘法口诀有顺序地写，做到不重复，不遗漏；有两个因数，说明是一个质数；的因数最多有：1，3，，。当时，有3个因数，当时，有4个因数。 【规范解答】解：、的因数最多有：1，3，，；当时，有3个因数，当时，有4个因数；当时，有3个因数；当时，有4个因数所以不正确。 、的因数最多有：1，3，，；当时，有4个因数；所以不正确。 、的因数最多有：1，3，，；当时，有3个因数，所以不正确。 、的因数最多有：1，3，，；当时，有3个因数，当时，有4个因数；当时，有3个因数；当时，有4个因数；所以选项3或4正确。 故选：。 【考点评析】解答本题的关键是要知道求一个因数的方法，尤其要注意是个字母，可能等于3的情况。 3．（2023秋•太和县期中）水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，　　组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 【思路点拨】先列举出36的所有因数，再看三个选项中的3个数是否都是36的因数，据此解答。 【规范解答】解：36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 1、13、18中，13不是36的因数，所以1、13、18不可能是获奖作品编码。 2、6、12都是36的因数，所以2、6、12可能是获奖作品的编码。 故选：。 【考点评析】此题主要考查求一个数的因数的方法。 4．（2024秋•龙华区月考）三个连续奇数的和是51，这三个奇数分别是 　15　、　　和 　　。 【思路点拨】根据连续奇数的特点，两个相邻的连续奇数相差2，最小的一个比中间的少2，最大的一个比中间的一个多2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍，求出中间的一个奇数，再求出相邻的另外两个，一个是中间的奇数减2，一个是加2，据此解答。 【规范解答】解：； ； ； 故答案为：15，17，19。 【考点评析】本题是考查奇数的意义及特点，两个连续奇数相差2，三个连续奇数的和是中间一个奇数的3倍。 5．（2024•安化县）如果和是不为0的两个连续自然数，则、的最小公倍数是　　，最大公因数是　　． 【思路点拨】因为、是相邻的两个自然数，且、均不为，即和互质，当两个数为互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；进而解答即可． 【规范解答】解：因为、是相邻的两个自然数，且、均不为，即和互质，则： 和的最大公因数是1；最小公倍数是； 故答案为：，1． 【考点评析】此题主要考查求两个数为互质关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为互质关系，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积． 6．（2023秋•港南区期末）一个奇数和一个偶数相乘，积一定是偶数．　　（判断对错） 【思路点拨】根据偶数与奇数的性质，偶数奇数偶数，据此解答． 【规范解答】解：偶数奇数偶数，如：，6是偶数，，44是偶数； 所以一个偶数与一个奇数相乘的积是偶数． 故答案为：． 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握偶数与奇数的性质．可以用举例子的方法解答． 7．（2024春•相城区期中）两个自然数的最大公因数肯定比这两个数都小．　　（判断对错）． 【思路点拨】根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；进行解答即可． 【规范解答】解：如果这两个数成倍数关系，如6和12，这两个数的最大公因数是6，，但，即这两个数不都比6大； 所以两个自然数的最大公因数肯定比这两个数都小，是错误的； 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公因数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数是这两个数的最小公倍数． 8．（2024春•潍坊期中）用短除法求下列每组数的最小公倍数和最大公因数。 16和104 15和60 16和40 【思路点拨】先利用短除法把每组的两个数进行分解质因数，这两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解答本题。 【规范解答】解：16和104 16和104最小公倍数是208，最大公因数是8。 15和60 15和60最小公倍数是60，最大公因数是15。 16和40 16和40最小公倍数是80，最大公因数是8。 【考点评析】本题考查的是用短除法计算最小公倍数，最大公因数的应用。 9．（2023春•灵山县期中）用长4厘米、宽3厘米的长方形，照如图的样子拼成正方形．拼成的正方形的边长最小是多少厘米？（先在图中画一画再解答） 【思路点拨】求拼成的正方形的边长最小是多少厘米，即求3和4的最小公倍数，因为3和4是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；据此解答即可． 【规范解答】解：， 即拼成的正方形的边长是12厘米； 答：拼成的正方形的边长是12厘米． 【考点评析】此题主要考查了求两个数的最大公因数：是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积． 10．（2023春•大丰区期中）有一包糖果，如果平均分给10个小朋友，正好分完；如果平均分给12个小朋友，也正好分完．这包糖果至少有多少粒？ 【思路点拨】如果平均分给10个小朋友，正好分完，说明糖果是10的整数倍；如果平均分给12个小朋友，也正好分完说明糖果数也是12的整数倍；因此求出10和12的最小公倍数，即可求出这包糖果至少有多少粒． 【规范解答】解：， ， 所以10和12的最小公倍数是：； 答：这包糖果至少有60粒． 【考点评析】考查了求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数． 11．（2023•萝北县）李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水．至少多少天后给这两种花同时浇水？ 【思路点拨】求至少多少天后给这两种花同时浇水，根据题意“月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水”可得：即求4和6的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可． 【规范解答】解：，， 所以4和6的最小公倍数是； 答：至少12天后给这两种花同时浇水． 【考点评析】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 12．（2022秋•浚县校级期中）食品店里做了56个月饼，店里有包装盒每盒装4个，包装盒每盒装6个，包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？ 【思路点拨】4、6、8中哪个是56的因数，就选哪个包装盒，据此解答即可． 【规范解答】解：因为6不是56的因数，，4是56的因数， ，7是56的因数， 所以选每盒装8个或每盒装4个包装盒都正好装完， 即选，包装盒正好能把56个月饼装完； 答：选，包装盒正好能把56个月饼装完． 【考点评析】此题考查根据一个数的因数解决问题，要灵活运用． 13．（2019•永州模拟）一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯．现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏．为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的．不需要重新安装的路灯至少有多少盏？（先画一画，再解答） 【思路点拨】根据题意，不需要重新安装的是9米与6米的公倍数的路灯，即18米倍数的路灯不移动，也就是求出每隔18米路灯的盏数，加上开头的那一盏即可． 【规范解答】解：如图所示： 9与6的最小公倍数是18； ， ， （盏． 答：不需要重新安装的路灯至少有5盏． 【考点评析】本题的关键是求出什么样的路灯不移动，然后再按照两端栽树的方法进行计算即可． 14．（2020春•博白县期中）小明给自己的行李箱设置了四位数的简易密码，其中第一位数是最小的合数，第二位数是最小的偶数，第三位数是6的1.5倍，第四位数既不是质数也不是合数。行李箱的密码是多少？ 【思路点拨】第一位数是最小的合数，最小的合数是4，所以千位上是4；第二位数是最小的偶数，最小的偶数是0，所以百位上是0；第三位数是6的1.5倍，是9，所以十位上是9；第四位数既不是质数也不是合数，既不是质数也不是合数的是1，所以个位上是1；由此即可写出这个四位数。 【规范解答】解： 根据分析可知：这个四位数的千位上是4，百位上是0，十位上是9，个位上是1，所以这个数是4091。 答：行李箱的密码是4091。 【考点评析】本题考查了质数、合数和偶数的意义，注意记住这些特殊的数。 15．（2024•集美区）下列说法正确的是　　 ①、是两个不为0的自然数，，和的最小公倍数是。 ②长度分别为3厘米、3厘米，6厘米的三根小棒能围成一个三角形。 ③任意抛一枚质地均匀的硬币，正面和反面朝上的可能性相同。 ④正方形、长方形、平行四边形和圆都是轴对称图形。 A．①③ B．①②③ C．①③④ D．③④ 【思路点拨】①当两个数是倍数关系时，较小的数是两个数的最大公因数，较大的数是两个数的最小公倍数，据此判断即可； ②三角形任意两边之和大于第三边，据此判断即可； ③硬币有正、反两面，任意抛一枚质地均匀的硬币，正面和反面朝上的可能性相同都是，据此判断即可； ④依据轴对称图形的定义判断：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；其中的这条直线就是对称轴，据此判断即可。 【规范解答】解：①、是两个不为0的自然数，，和的最小公倍数是较大的数，原题干说法正确； ②（厘米），不能围成一个三角形，原题干说法错误； ③，正面和反面朝上的可能性相同都是，原题干说法正确； ④平行四边形不是轴对称图形，原题干说法错误。 故选：。 【考点评析】本题主要考查了最小公倍数、三角形三边关系、轴对称图形及可能性的灵活运用。 16．（2023•黔江区）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是120，这两个数不可能是　　 A．4和120 B．12和40 C．12和60 D．20和24 【思路点拨】根据题意，根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，进行依次分析，进而得出结论。 【规范解答】解：根据两个数成倍数关系，这两个数的最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数，4和120可能； ，，最大公因数是，最小公倍数是，12和40可能； 根据两个数成倍数关系，这两个数的最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数，得出最大公因数是12，最小公倍数是60，所以12和60不可能； ，，最大公因数是，最小公倍数是，20和24可能。 故选：。 【考点评析】解答此题的关键是根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法进行解答，也可以根据两个数成倍数关系，这两个数的最大公因数是较小的那个数，最小公倍数是较大的那个数，直接判断得出。 17．（2023•三明）已知，，均是不为0的自然数），下面说法错误的是　　 A．是的倍 B．是和的最大公因数 C． D． 【思路点拨】根据因数与倍数的意义，甲数除以乙数得到的商是整数而没有余数，那么甲数是乙数的倍数，乙数是甲数的因数。当两个数是倍数关系时，这两个数中较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。再根据没有余数除法中，商除数被除数。据此解答即可。 【规范解答】解：已知，，均是不为0的自然数）。 、是的倍。正确； 、是和的最大公因数。正确； 、。错误； 、。正确。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握因数与倍数的意义及应用，求两个数的最大公因数的方法及应用，除法算式中各部分之间的关系及应用。 18．（2023春•萧山区期末）和都是合数，那么下面说法错误的是　　 A．和最大公因数可能是1 B．和的乘积不可能是奇数 C．和的乘积一定是他们的公倍数 D．和最小公倍数可能是 【思路点拨】根据合数、奇数的意义，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。不是2的倍数的数叫作奇数。再根据求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法解答。 【规范解答】解：、如果和都是合数，和最大公因数可能是1，如4和9；原题说法正确； 、如果和都是合数，如9和15的积是奇数，因此原题说法错误。 、如果和都是合数，如4和6的积一定是它们的公倍数，原题说法正确； 、如果和都是合数，如12和4的最小公倍数是12，原题说法正确。 故选：。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握合数、奇数的意义及意义，求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法及应用。 19．（2024秋•营口期中），均为质数，，， 　5　， 　　。 【思路点拨】，则；，均为质数，，那么把15分解质因数后即可求出、的值。 【规范解答】解：通过分析可得： 因为， 则，。 故答案为：5；3。 【考点评析】本题主要考查了质数与因数的灵活运用。 20．（2024秋•西安期中）文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进 　159　支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进 　　支。 【思路点拨】根据3的倍数及2的倍数，结合这个数是一百五十多求解即可。 【规范解答】解：文具店计划购进一百五十多支钢笔，如果每3支装一盒，且恰好装完，最多购进159支；如果每6支装一盒，且恰好装完，最多购进156支。 故答案为：159；156。 【考点评析】本题主要考查了3的倍数及2有倍数的灵活运用。 21．（2024秋•雁塔区期中）一个两位数，它只有三个因数，这三个因数从小到大来排，排在中间的是7，这个两位数是 　49　。 【思路点拨】首先确定前两个因数为1和7，后面的因数是这个数本身，据此求解即可。 【规范解答】解： 所以49的因数为1、7、49，因此这个两位数是49。 故答案为：49。 【考点评析】本题主要考查了找一个数因数的主法及灵活运用。 22．（2024•魏都区校级开学）已知、两个是非0自然数，他们之间的关系是，那么、的最大公因数是 　1　，最小公倍数是 　　。 【思路点拨】相邻的两个非0的自然数互质，两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积，据此求解即可。 【规范解答】解：因为非0自然数和之间的关系是，所以、互质，所以、的最大公因数是1，最小公倍数是。 故答案为：1，。 【考点评析】明确互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积是解题的关键。 23．（2024春•望都县期中）一个三位数，各数位上的数字和是3，这样的数中是偶数的有4个。 　　（判断对错） 【思路点拨】把3拆分为3个数字的和，再根据排列组合知识和偶数的特征（个位是0、2、4、6、列举解答即可。 【规范解答】解： ① 这样的数中偶数有：300 ② 这样的数中偶数有：210、120、102 ③ 不能组成偶数， 所以共有：（个 所以原题说法正确。 故答案为：。 【考点评析】解答本题关键是明确偶数的特征：个位是0、2、4、6、8。 24．（2024春•商水县期末）已知、都是自然数），那么、的最大公因数是2。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据题意，，说明和是倍数关系，且，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数”进行判断即可。 【规范解答】解：已知、都是自然数），那么、的最大公因数是。所以原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法。 25．（2022秋•平泉市期末）下面4个盒子中分别装着乒乓球和网球，它们装的个数分别是19个、9个、7个、28个。乒乓球总个数是网球的6倍，这4盒中只有一盒是网球。哪一盒是网球？ 【思路点拨】根据题意可知：乒乓球的总个数网球的个数，再找出19、9、7、28中哪三个数字之和除以剩下的一位数，商是6，据此可以找出网球的个数。 【规范解答】解：（个 （个 则网球是9个。 答：第②盒是网球。 【考点评析】解答此题的关键是明确乒乓球的总个数网球的个数，再进一步解答。 26．（2024春•长兴县期末）五年级（1）、（2）班要完成大扫除任务．五（1）班来了48人，五（2）班来了54人．如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 【思路点拨】要求每组最多有多少人，也就是求48和54的最大公因数是多少，先把48和54分解质因数，找出它们公有的质因数，再根据求最大公因数的方法：把这两个数的公有质因数乘起来即可． 【规范解答】解：， ， 所以48和54的最大公因数是：； 答：每组最多有6人． 【考点评析】解决此题关键是把问题转化成求两个数的最大公因数，再根据求两个数的公有质因数的方法解答即可． 27．（2019•温州）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？ 【思路点拨】由于每只瓶都称了三次，因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（加瓶）共重（千克），而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，而质数中是偶数的质数只有2，当油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重（千克），最重的两瓶内的油为（千克）；当油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。 【规范解答】解：每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为 （千克），21是奇数，故空瓶重量之和与油重量之和必为一奇一偶。 而质数中是偶数的质数只有2，分两种情况求解： （1）当空瓶重量和为2，油重量和为19；每个空瓶（千克），故最重两瓶（即重13的两瓶）有（千克）； （2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重千克，最重的两瓶内的油为（千克），这与油重之和为2千克矛盾，不符合题意。 答：最重的两瓶内有12千克油。 【考点评析】本题主要考查了有关偶数、质数以及奇数的知识，解题的关键是求出4瓶油（加瓶）的质量。 28．（2024秋•南关区校级期中）植树节到了，何老师带领五（2）班的同学去植树，一共植了123棵，已知何老师植树的棵数和每名同学植树的棵数相等．这个班有多少名学生？每名同学植树多少棵？ 【思路点拨】由何老师和学生每人植树一样多，可知：每人植树棵数人数植树总棵数．每人植树棵数和人数都应是整数，将植树总棵数分解质因数，，依此可知学生是名，依此即可求解。 【规范解答】解：因为， 所以学生数是（名，每名同学植树3棵． 答：这个班有40名学生，每名同学植树3棵． 【考点评析】本题关键是把123分解质因数，得到这个班的学生人数． 29．（2023春•丹阳市校级期末）有两根绳子，一根长42米，另一根长48米．现在要把它们剪成同样长的小段，每段长要尽可能长，且没有剩余．每段绳子长多少米？一共能剪成多少段？ 【思路点拨】根据题意，可计算出42与48的最大公约数，即是每段绳子最长的长度，然后再用42除以最大公约数加上48除以最大公约数的商，即是一共剪成的段数，列式解答即可得到答案． 【规范解答】解：， ， 所以42与48最大公约数是：， 即每小段最长是6米， ， ， （段； 答：每小段最长是6米，一共能剪成15段． 【考点评析】解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根绳子可以剪成的段数，再相加即可． 30．（2023•康县）五（2）班有男生24人，女生18人，现在需要把它们分成人数相等的几个小组，而且各组的男、女生人数要分别相等，最多可以分成几个小组？每组男、女生各有几人？ 【思路点拨】要求最多可以分成几个小组，即求24和18的最大公因数，先把24和18进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数；然后根据题意，用男、女生的人数分别除以组数，解答即可． 【规范解答】解：，， 24和18的最大公约数是，即最多可以分成6组， 男生每组：（人， 女生每组：（人； 答：最多可以分成6个小组，每组男生有4人，女生每组有3人． 【考点评析】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数． 基础夯实优选题专练 1．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）如果1＋n＝m（m和n是不等于0的自然数），那么m和n的最大公因数是（    ）。 A．1 B．m C．n D．mn 【答案】A 【思路点拨】由于1＋n＝m，说明m比n大1，则m和n是相邻的自然数，两个相邻的自然数是互质数，互质数的最大公因数是1，据此即可选择。 【规范解答】由分析可知： m和n的最大公因数是1。 故答案为：A 2．（22-23五年级下·江苏淮安·期末）三位数45☐既是2的倍数，又有因数3，☐里可填的整数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】A 【思路点拨】2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除的数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】45□： □内填0；450是2的倍数；4＋5＋0＝9；9能被3整除，□内可以填0； □内填2；452是2的倍数；4＋5＋2＝11；11不能被3整除，□内不能填2； □内填4；454不是2的倍数；4＋5＋4＝13；13不能被3整除，□内不能填4； □内填6；456是2的倍数；4＋5＋6＝15；15能被3整除，□内填可以填6； □内填8；458是2的倍数；4＋5＋8＝17；17不能被3整除，□内不能填8； □内填可以填0、6，一共2个。 三位数45☐既是2的倍数，又有因数3，☐里可填的整数有2个。 故答案为：A 3．（22-23五年级下·江苏徐州·期末）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米。其中“”表示长108厘米、宽80厘米） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面，正好能铺满且没有浪费，那么正方形边长12厘米是长方形长和宽的公因数，据此解答。 【规范解答】A．108和80的最大公因数是4，12不是108和80的公因数，不符合题意； B．90和60的最大公因数是30，30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，12不是90和60的公因数，不符合题意； C．120和72的最大公因数是24，24是12的倍数，所以12是120和72的公因数，符合题意； D．90和72的最大公因数是18，18的因数有1、2、3、6、9、18，12不是90和72的公因数，不符合题意。 故答案为：C 4．（23-24五年级下·江苏·课后作业）下面哪些数是24的因数？哪些数是30的因数？哪些数既是24的因数又是30的因数？ 1  2  3  4  5  6  8  10  12  15  24  30  120 24的因数有 。30的因数有 。既是24的因数又是30的因数有 。 【答案】 1、2、3、4、6、8、12、24 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、3、6 【思路点拨】找一个数的因数用除法列举，将所有能整除这个数的数列举出来；公因数就是两个或两个以上的数共有的因数，列出各个数的因数，对比找出即可。 【规范解答】24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24； 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30；所以既是24的因数又是30的因数有1、2、3、6。 5．（23-24五年级下·江苏·课后作业）在质数后画“√”，在合数后画“”。 1（    ）     2（    ）    39（    ）    52（    ）    87（    ）     91（    ）    99（    ）    31（    ）    58（    ）    75（    ） 【答案】见详解 【思路点拨】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数，据此解答。 【规范解答】1既不是质数也不是合数； 2的因数有：1，2，所以2是质数； 39的因数有：1，3，13，39，所以39是合数； 52的因数有：1，2，4，13，26，52，所以52是合数； 87的因数有：1，3，29，87，所以87是合数； 91的因数有：1，7，13，91，所以91是合数； 99的因数有：1，3，9，11，33，99，所以99是合数； 31的因数有：1，31，所以31是质数； 58的因数有：1，2，29，58，所以58是合数； 75的因数有：1，3，5，15，25，75，所以75是合数。 6．（23-24五年级下·江苏·课后作业）将下列各数分解质因数。 【答案】见详解 【思路点拨】每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数。 【规范解答】 15＝3×5 18＝3×2×3 48＝2×3×2×2×2 7．（23-24五年级下·江苏·课后作业）一个数，如果只有1和( )两个因数，这样的数叫( )，也叫素数。 【答案】 它本身 质数 【思路点拨】只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；据此解答即可。 【规范解答】根据分析：例如：2只有1和2两个因数，3只有1和3两个因数，2、3、5、7、11都是质数；所以一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数，也叫素数。 8．（23-24五年级下·江苏·单元测试）下面是利民小学五年级三个社团的人数。 社团 美术 合唱 舞蹈 人数 47 48 49 哪个社团可以分成人数相等的小组（至少分成2组，每个小组至少2人）？为什么？ 【答案】合唱社团和舞蹈社团；48和49是合数 【思路点拨】根据质数和合数的特点，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数，如果社团人数是质数，因数只有1和它本身，不可以平均分成人数相同的小组；如果社团人数是合数，则可平均分成人数相同的小组。据此解答即可。 【规范解答】班级人数是质数的是47，班级人数是合数的有48、49。 答：合唱社团和舞蹈社团可以平均分成人数相同的小组，因为48和49是合数。 9．（23-24五年级下·江苏·课后作业）36个同学表演集体舞。把下表填写完整，并填空。 排数 1 2 3 4 6 每排人数 36 4 3 2 1 （1）从表中可以看出，排数和（    ）都是36的因数。 （2）36的因数有（    ）。 【答案】 表格见详解； （1）每排人数 （2）1、2、3、4、6、9、12、18、36 【思路点拨】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。根据题意，排数×每排人数＝36，所以排数和每排人数都是36的因数；再按顺序写出所有的因数即可。 【规范解答】 填表如下： 排数 1 2 3 4 6 9 12 18 36 每排人数 36 18 12 9 6 4 3 2 1 （1）从表中可以看出，排数和每排人数都是36的因数。 （2）36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 10．（21-22五年级下·江苏·假期作业）在自然数的范围内，用最小的奇数乘最小的偶数，再加上最小的合数除以最小的质数的商，和是多少？ 【答案】2 【思路点拨】根据质数、合数、偶数、奇数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数。据此即可解答。 【规范解答】在自然数范围内，最小质数是2，最小合数是4，最小奇数是1，最小偶数是0。 答：和是2。 培优优选题专练 11．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有（    ）个。 A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【思路点拨】根据2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。5的倍数特征：个位上是5或0的数。那么既是2的倍数，也是5的倍数的特征就是：个位上是0的数。用数字0、1、5、8组成两位数，个位上是0的有：1580、1850、5180、5810、8150、8510，共6个。据此解答。 【规范解答】据分析可知，用数字0、1、5、8组成两位数，组成的数中既是2的倍数，也是5的倍数，有6个。 故答案为：C 12．（23-24五年级下·江苏徐州·期末）a是一个不为零的自然数，下面表示偶数的是（    ）。 A．2a＋1 B．2a－1 C．a＋2 D．2a 【答案】D 【思路点拨】根据偶数的定义：是2的倍数的数叫作偶数，又叫作双数；据此解答。 【规范解答】A．2a ＋ 1，因为2a是偶数，偶数加1是奇数，所以2a＋1是奇数， B．2a－1，同理，2a是偶数，偶数减1是奇数，所以2a－1是奇数。 C．a＋2，当a是奇数时，a＋2是奇数；当a是偶数时，a＋2是偶数，不能确定一定是偶数。 D．2a，因为a是自然数，2×自然数一定能被2整除，所以2a一定是偶数。 故答案为：D 13．（23-24五年级下·江苏淮安·期末）下面几组数中互质的是（    ）。 A．12和13 B．17和51 C．3和9 D．12和18 【答案】A 【思路点拨】公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数，据此逐项分析即可。 【规范解答】A．12和13的公因数只有1，12和13是互质数； B．17和51的公因数除了1，还有17，17和51不是互质数； C．3和9的公因数除了1，还有3，3和9不是互质数； D．12和18公因数除了1，还有2、3、6，12和18不是互质数。 互质的是12和13。 故答案为：A 14．（23-24五年级下·江苏·课后作业）50以内4和6的公倍数有( )，3和9的公倍数有( )。 【答案】 12、24、36、48 9、18、27、36、45 【思路点拨】因此先用分解质因数的方法，分别求出4和6的最小公倍数。如果两个数是倍数关系，其中的较大数就是它们的最小公倍数。据此可知：3和9的最小公倍数是9。再列出50以内最小公倍数的倍数，即可找出两个数的公倍数。 【规范解答】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12 12×2＝24   12×3＝36   12×4＝48 50以内4和6的公倍数有：12、24、36、48。 9是3的倍数，3和9的最小公倍数是9。 9×2＝18   9×3＝27   9×4＝36   9×5＝36 50以内3和9的公倍数有9、18、27、36、45。 15．（23-24五年级下·江苏·课后作业）把80以内8和10的倍数、公倍数分别填在下面的圈里。 80以内8和10的公倍数有（    ），8和10的最小公倍数是（    ）。 【答案】图见详解 40，80；40 【思路点拨】求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1，2，3，4，5…，所得积就是这个数的倍数，据此写出80以内8和10的倍数，再从中找出80以内8和10的公倍数以及最小公倍数，然后填在圈里。 【规范解答】 80以内8和10的公倍数有40和80，8和10的最小公倍数是40。 16．（23-24五年级下·江苏·课后作业）a、b是非零自然数，若6a＝b，则a、b的最大公因数是( )；若a＝b＋1，则a、b的最小公倍数是( )；若a÷4＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 a ab a 【思路点拨】如果两个数是倍数关系时，较小的那个数是它们的最大公因数，较大的那个数是它们的最小公倍数；如果两个数是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；相邻的两个自然数互质。 a、b是非零自然数，若6a＝b，说明b是a的6倍且b大于a；若a＝b＋1，说明a和b互质；若a÷4＝b，说明a是b的4倍且a大于b。据此解答。 【规范解答】由分析可知：a、b是非零自然数，若6a＝b，则a、b的最大公因数是（ a ）； 若a＝b＋1，则a、b的最小公倍数是（ ab ）； 若a÷4＝b，则a和b的最小公倍数是（ a ）。 17．（23-24五年级下·江苏·课后作业）找出每组数的最小公倍数。 12和8       9和10      5和12      18和15     20和15 【答案】24；90；60；90；60 【思路点拨】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【规范解答】（1）12＝2×2×3 8＝2×2×2 12和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 （2）9和10是互质数，所以9和10的最小公倍数是：9×10＝90 （3）5和12是互质数，所以5和12的最小公倍数是：5×12＝60 （4）18＝2×3×3 15＝3×5 18和15的最小公倍数是：2×3×3×5＝90 （5）20＝2×2×5 15＝3×5 20和15的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 18．（23-24五年级下·江苏·期中）用长12厘米、宽8厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？至少要用多少个这样的长方形才能拼成一个正方形？ 【答案】24厘米；6个 【思路点拨】拼成正方形的边长是12厘米、8厘米的公倍数，拼成的最小边长是这两个数的最小公倍数；根据求两个数最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系：最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积；据此求出正方形最小边长，再分别利用除法求出需要几行几列的小长方形，从而利用乘法求出一共需要多少个长方形，据此解答。 【规范解答】12＝2×2×3 8＝2×2×2 12和8的最小公倍数为2×2×2×3＝24；正方形最小边长是24厘米。 （24÷12）×（24÷8） ＝2×3 ＝6（个） 答：拼成的正方形边长最小是24厘米，至少要用6个这样的长方形才能拼成一个正方形。 19．（23-24五年级下·江苏·课后作业）学校广播室的地面是长方形，长320厘米，宽280厘米。如果要给广播室的地面铺上地砖，下面哪种规格的地砖能正好铺满？你是怎样想的？ 【答案】边长40厘米的地砖 【思路点拨】由题意可知，要把长320厘米，宽280厘米的长方形地面正好铺满，所需的正方形地砖的边长必须是320和280的公因数，用短除法求出这两个数的最大公因数，即可求得。 【规范解答】 320和280的最大公因数：2×2×2×5＝40 所以，50和60不是320和280的公因数，用边长40厘米的地砖能正好铺满地面。 答：边长40厘米的地砖能正好铺满学校广播室的地面。 20．（23-24五年级下·江苏·期末）把一些苹果分给小朋友们，每人分3个或每人分5个都能正好分完。已知苹果个数在80~100个之间，一共有多少个苹果？ 【答案】90个 【思路点拨】一些苹果分给小朋友们吃，每人分3个或每人分5个都能正好分完，苹果的个数应是3和5的公倍数，先根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积；求出3和5的最小公倍数；已知苹果在80～100个之间，所以这个公倍数应是在80和100之间的3和5的公倍数。据此解答。 【规范解答】3和5的最小公倍数：3×5＝15 苹果个数在80和100之间； 15×5＝75；75＜80； 15×6＝90；80＜90＜100，所以一共有90个苹果。 答：一共有90个苹果。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$