函数的图象讲义-2025届高三数学一轮复习

2-8 函数的图象 讲义 一、函数图象作图 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 二、函数图象变换 1.平移变换 2.函数自身的对称变换 (1)如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝对称． (2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x) ⇔f(2a－x)＝f(x) ⇔(2a＋x)＝f(－x) (3)若y＝f(x)关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(2a－x)+f(x)=2b ⇔ f(2a＋x)+f(－x)=2b (4)若y＝f(x)关于点(a，0)对称 ⇔ f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔ f(2a－x)＝－f(x) ⇔ f(2a＋x)＝－f(－x) 3.两个函数之间的对称变换 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； 如： 4.翻折变换 (1) (如图(a)和图(b))所示 (2) (如图(c)所示). 5.伸缩变换 ①将上每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到. ②将上每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到. 三、常用基本初等函数的图象： 四、由解析式识别函数图象时常用的特殊值 (1) (2) (3) (4) (5)当时 例如：，，. (6)当时 例如：，，. 考点一 函数图象的画法、图象识别与图象变换 命题点1 由解析式识别图象 【例1-1-1】函数的图象大致为(　　) 【例1-1-2】(多选).已知定义在上的函数的图像如图所示.下述四个结论: (    ) A．函数的值域为 B．函数的单调递减区间为 C．函数仅有两个零点 D．存在实数满足 命题点2 由图象判断解析式 【例1-2-1】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　) A．　　 　B．　　 　C．＝　　 D． 【例1-2-2】(2024·湖北·模拟预测)已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为(    ) A． B． C． D． 【思维升华】识别函数图象的方法 1.特殊值法：根据图象特点，令，等特殊值代入解析式，从而排除一些选项； 2.奇偶性：判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的对称特征，排除选项； 3.单调性：若函数在某些区间的单调性易求时，能较好识别图象； 4.极限：令，，，根据函数解析式看对应的函数值变化，再排除选项； 5.零点法：若较易判断函数是否存在零点，则可结合特殊值排除选项. 命题点3 函数图象变换 【例1-3-1】(2023上·北京·高三校考阶段练习)要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【例1-3-2】函数的图象是(　　) 【例1-3-3】(2023·四川成都·模拟预测)要得到函数的图象，只需将指数函数的图象(    ) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【例1-3-4】已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象是(　　) 【例1-3-5】(2023·泉州模拟)已知函数，则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　) 1．函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　) 2．函数y＝－ln|x|的图象大致为(　　) 3．(2024·安徽合肥·模拟预测)函数(为自然函数的底数)的图象大致为(    ) A．  B． C．  D．   4．(2023·福建福州·模拟预测)函数的图象大致为(   ) A． B． C． D． 5．(2024·山东·模拟预测)函数的图象大致为(    ) A． B． C． D． 6．(2024·河北保定·二模)函数的部分图象大致为(    ) A．  B．  C． D．       7．(2024·四川德阳·二模)函数的图象大致是(    ) A． B． C． D． 8．(2024·湖南·二模)已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为(    ) A． B． C． D． 9．(2024·广东广州·一模)已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是(    ) A． B． C． D． 10．(2024·陕西安康·模拟预测)函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为(    ) A． B． C． D． 11．(2024·陕西汉中·二模)已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是(    ) A． B． C． D． 12.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) 　　 考点二 函数图象的应用 命题点1 利用图象研究函数性质 【例2-1-1】(2023·陕西西安·统考三模)定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2-1-2】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)　　　B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)　　　D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【例2-1-3】设函数y＝，关于该函数图象的命题如下： ①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；②任意两点的连线都不平行于y轴；③关于直线y＝x对称；④关于原点中心对称． 其中正确的是(　　) A．①②　　　　　　　　B．②③　　　　　　　　C．③④　　　　　　　　D．①④ 【例2-1-4】在区间[m，4]上的值域为[－1，2]，则实数m的取值范围为____． 【例2-1-5】(多选) (2024·全国·高三专题练习)已知函数，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 【思维升华】利用图象研究函数性质问题的思路 对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： 命题点2 利用图象研究方程的根 【例3-2-1】已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 【例3-2-2】已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1，1]时，f(x)＝－|x|＋1．则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3，5]内解的个数是(　　) A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．8 【例3-2-3】函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【例3-2-4】(多选).函数有两个零点，且下列结论错误的是(    ) A． B．函数在上有最小值 C．函数的零点为5，8 D．且 【思维升华】利用函数的图象解决方程根问题的思路 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标． 命题点3 利用图象解不等式 【例3-3-1】如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________． 【例3-3-2】f(x)是周期为4的偶函数，x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　) A．(1，3)　　　　B．(－1，1)　　　　C．(－1，0)∪(1，3)　　　　D．(－1，0)∪(0，1) 【思维升华】利用函数图象求解不等式的思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 1．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题： ①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值． 其中正确的个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．0 2．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________． 3．在R上的函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________． 4.(多选).已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 1.(2024·全国甲卷理·真题T7)函数在区间的大致图像为( ) A. B. C. D. 2．(2023·天津·高考真题)已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为(    ) A． B． C． D． 3．(2022·全国甲卷理)函数在区间的图象大致为(    ) A． B． C． D． 4．(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　) A． B． C． D． 5．(2021·浙江·高考真题)已知函数，则图象为如图的函数可能是(    ) A． B． C． D． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-8 函数的图象 讲义 一、函数图象作图 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 二、函数图象变换 1.平移变换 2.函数自身的对称变换 (1)如果f(x＋a)＝f(b－x)⇔y＝f(x)关于直线x＝对称． (2)若y＝f(x)关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x) ⇔f(2a－x)＝f(x) ⇔(2a＋x)＝f(－x) (3)若y＝f(x)关于点(a，b)对称 ⇔ f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔ f(2a－x)+f(x)=2b ⇔ f(2a＋x)+f(－x)=2b (4)若y＝f(x)关于点(a，0)对称 ⇔ f(a＋x)＝－f(a－x) ⇔ f(2a－x)＝－f(x) ⇔ f(2a＋x)＝－f(－x) 3.两个函数之间的对称变换 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； 如： 4.翻折变换 (1) (如图(a)和图(b))所示 (2) (如图(c)所示). 5.伸缩变换 ①将上每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到. ②将上每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到. 三、常用基本初等函数的图象： 四、由解析式识别函数图象时常用的特殊值 (1) (2) (3) (4) (5)当时 例如：，，. (6)当时 例如：，，. 考点一 函数图象的画法、图象识别与图象变换 命题点1 由解析式识别图象 【例1-1-1】函数的图象大致为(　　) 【答案】B【解】∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴是奇函数，排除A选项； 当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项；又e>2，∴，∴e－>1，排除C选项．故选B． 【例1-1-2】(多选).已知定义在上的函数的图像如图所示.下述四个结论: (    ) A．函数的值域为 B．函数的单调递减区间为 C．函数仅有两个零点 D．存在实数满足 【答案】BD【解】对A，由图，的最大值大于2，最小值小于2，故值域不为，故错误； 对B，函数的单调递减区间为，故正确； 对C，函数有三个零点，故错误； 对D，成立，故正确； 故选：BD 命题点2 由图象判断解析式 【例1-2-1】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　) A．　　 　B．　　 　C．＝　　 D． 【答案】A【解】由图象知f(x)为奇函数，排除B、C．若，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D． 【例1-2-2】(2024·湖北·模拟预测)已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可. 【解】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为， 对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D； 对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C； 对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B；故选：A. 【思维升华】识别函数图象的方法 1.特殊值法：根据图象特点，令，等特殊值代入解析式，从而排除一些选项； 2.奇偶性：判断函数的奇偶性，再利用奇偶性的对称特征，排除选项； 3.单调性：若函数在某些区间的单调性易求时，能较好识别图象； 4.极限：令，，，根据函数解析式看对应的函数值变化，再排除选项； 5.零点法：若较易判断函数是否存在零点，则可结合特殊值排除选项. 命题点3 函数图象变换 【例1-3-1】(2023上·北京·高三校考阶段练习)要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】A【分析】先变形得到，故利用“上加下减，左加右减”得到答案. 【解答过程】， 故先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到；故选：A. 【例1-3-2】函数的图象是(　　) 【答案】B【解】将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 即得到的图象，故选B. 【例1-3-3】(2023·四川成都·模拟预测)要得到函数的图象，只需将指数函数的图象(    ) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D【分析】根据指数函数解析式说明图象平移过程即可. 【解】由向右平移个单位，则；故选：D 【例1-3-4】已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象是(　　) 【答案】D【解】法一：据此可画出该函数的图象，如题图选项D中图象．故选D． 法二：先画出函数f(x)的图象，如图1所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)，即g(x)的图象，如图2所示．故选D． 【例1-3-5】(2023·泉州模拟)已知函数，则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　) 【答案】B【解】函数所以， 所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，故选项A，C错误； 当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，故选项D错误，选项B正确． 1．函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　) 【答案】B【解】∵ y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，∴ f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴ f(x)是奇函数，排除选项C．当x＝4时，y∈(7，8)，排除选项A、D．故选B． 2．函数y＝－ln|x|的图象大致为(　　) 【答案】D【解】令f(x)＝y＝－ln|x|，则f(－x)＝f(x)，故函数为偶函数，排除选项B；当x>0且x→0 时，y→＋∞，排除选项A；当x＝2时，y＝1－ln(2)<1－ln e＝0，排除选项C．故选D． 3．(2024·安徽合肥·模拟预测)函数(为自然函数的底数)的图象大致为(    ) A．  B． C．  D．   【答案】A【分析】由函数的奇偶性可排除B，C；再由趋近，，排除D，即可得出答案. 【解】的定义域为，，所以为奇函数， 故排除B，C； 当趋近，，所以，，所以，故排除D；故选：A. 4．(2023·福建福州·模拟预测)函数的图象大致为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案． 【解】因为函数的定义域为，排除CD， 又，即为偶函数，图象关于轴对称，排除B．故选：A． 5．(2024·山东·模拟预测)函数的图象大致为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】求出函数的定义域及奇偶性，再由奇偶性在内函数值的正负判断即可. 【解】依题意，函数的定义域为，， 则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足； 当时，，则，AD不满足，C满足；故选：C 6．(2024·河北保定·二模)函数的部分图象大致为(    ) A．  B．  C． D．       【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【解】设，则，所以为奇函数， 设，可知为偶函数，所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误；故选：A. 7．(2024·四川德阳·二模)函数的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据诱导公式化简，再利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性，从而得解. 【解】因为，定义域为， 又，所以是奇函数，从而ACD错误，B正确；故选：B. 8．(2024·湖南·二模)已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解. 【解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B； 由图可知，当时，，而对于D选项，当时，，故排除D；故选：A. 9．(2024·广东广州·一模)已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可. 【解】观察图象可知函数为偶函数， 对于A，，为奇函数，排除； 对于B，，为奇函数，排除； 同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确；故选：D 10．(2024·陕西安康·模拟预测)函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】由图象分析出函数的奇偶性、函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【解】由图象可得函数为偶函数，且，，当且仅当时，， 对于A，因为，，所以函数是偶函数， 又，，则，所以函数在上单调递增， 所以，故解析式可能为A，故A正确； 对于B，由，不合题意，故B错误； 对于C，因为，所以且， 所以函数是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，由，不合题意，故D错误；故选：A. 11．(2024·陕西汉中·二模)已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】依题意可得为奇函数，即可排除B、D，由函数在上的函数值的特征排除A. 【解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为， 当时，，所以，不符合题意，故A错误； 对于B：定义域为，且， 所以为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误； 对于D：定义域为，且， 所以为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误； 对于C：定义域为，，所以为奇函数， 且当时，，所以，符合题意，故C正确；故选：C 12.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) 　　 【答案】C【解】要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称 得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确． 考点二 函数图象的应用 命题点1 利用图象研究函数性质 【例2-1-1】(2023·陕西西安·统考三模)定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【分析】由图象可得方程在上有三个实数解，结合的值域与单调性即可得解. 【解】由图(a)可知，方程在上有三个实数解， 由图(b)可知，函数在上单调递减，且值域为， 所以方程有三个实数解；故选：C. 【例2-1-2】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)　　　B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)　　　D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图， 观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减． 【例2-1-3】设函数y＝，关于该函数图象的命题如下： ①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；②任意两点的连线都不平行于y轴；③关于直线y＝x对称；④关于原点中心对称． 其中正确的是(　　) A．①②　　　　　　　　B．②③　　　　　　　　C．③④　　　　　　　　D．①④ 【答案】B【解】y＝，图象如图所示，可知②③正确． 【例2-1-4】在区间[m，4]上的值域为[－1，2]，则实数m的取值范围为____． 【答案】[－8，－1]【解】作出f(x)的图象，当x≤－1时，f(x)＝单调递减，且最小值为f(－1)＝－1，则令＝2，解得x＝－8；当x>－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上递减，则最大值为f(2)＝2，又f(4)＝<2，f(－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]． 【例2-1-5】(多选) (2024·全国·高三专题练习)已知函数，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称 B．函数f(x)在(－∞，1)上单调递减 C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴 D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 【答案】AB【解】，该函数图象可以由的图象向右平移1个单位长度， 向上平移2个单位长度得到，所以f(x)关于点(1,2)对称，在(－∞，1)上单调递减，A，B正确，D错误； 易知函数f(x)的图象是由的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误． 【思维升华】利用图象研究函数性质问题的思路 对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： 命题点2 利用图象研究方程的根 【例3-2-1】已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 【答案】C【解】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2，1)，又f(2)＝2ln 2∈(1，2)，可知点(2，1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点． 【例3-2-2】已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1，1]时，f(x)＝－|x|＋1．则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3，5]内解的个数是(　　) A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．8 【答案】A【解】依题意画出y＝f(x)与y＝log2|x|的图象如图所示，由图可知，解的个数为5． 【例3-2-3】函数f(x)＝ln(x＋1)的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【解】由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移1个单位长度得到的， 函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)图象的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，所以作出f(x)，g(x)的图象如图所示，故函数f(x)与g(x)的图象有两个交点． 【例3-2-4】(多选).函数有两个零点，且下列结论错误的是(    ) A． B．函数在上有最小值 C．函数的零点为5，8 D．且 【答案】AC【解】令，则， 所以函数的零点就是函数与的图象交点的横坐标. 如图，在同一坐标系中作出函数与的图象，两图象交点的横坐标分别为. A：，故A错误； B：因为在上有最小值，所以在上也有最小值，故B正确； C：函数，则零点为，2，故C错误； D：由图可知且，故D正确.故选：AC 【思维升华】利用函数的图象解决方程根问题的思路 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标． 命题点3 利用图象解不等式 【例3-3-1】如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________． 【答案】{x|－1<x≤1}【解】令y＝log2(x＋1)，作出函数y＝log2(x＋1)图象如图所示． 由得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}． 【例3-3-2】f(x)是周期为4的偶函数，x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　) A．(1，3)　　　　B．(－1，1)　　　　C．(－1，0)∪(1，3)　　　　D．(－1，0)∪(0，1) 【答案】C【解】作出函数f(x)的图象如图所示．当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．故x∈(－1，0)∪(1，3)． 【思维升华】利用函数图象求解不等式的思路 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解． 1．对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题： ①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值． 其中正确的个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．0 【答案】B【解】因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数； 由y＝lg x图象向左平移1个单位长度得到y＝lg(x＋1) ； 去掉y轴左侧的图象，以y轴为对称轴，作y轴右侧图象的对称图象得到y＝lg(|x|＋1) ； 再向右平移2个单位长度得到y＝lg(|x－2|＋1)，如图， 可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数； 由图象可知函数存在最小值为0．所以①②正确． 2．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】(0，1]【解】当x≤0时，0<2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即f(x)＝ a有两个根，则0<a≤1． 3．在R上的函数f(x)＝关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________． 【答案】0【解】函数f(x)的图象如图，方程f(x)＝c有三个根，即y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点， 易知c＝1，且一根为0，由lg|x|＝1知另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0． 4.(多选).已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD【解】由图可得，，，，； 所以，故选：AD 1.(2024·全国甲卷理·真题T7)函数在区间的大致图像为( ) A. B. C. D. 【答案】B【解】，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又，故可排除D；故选：B. 2．(2023·天津·高考真题)已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为(    )      A． B． C． D． 【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D 3．(2022·全国甲卷理)函数在区间的图象大致为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【解】令， 则，所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C；故选：A. 4．(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]上的大致图象，则该函数是(　　) A． B． C． D． 【答案】A【解】对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B； 对于选项D，当x＝3时，，与图象不符，故排除D； 对于选项C，当时，0＜cos x＜1，故，与图象不符，所以排除C；故选A. 5．(2021·浙江·高考真题)已知函数，则图象为如图的函数可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解. 【解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A； 对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，，则， 当时，，与图象不符，排除C；故选：D. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$